2023-2024学年上海市长宁区九年级（上）月考数学试卷（10月
份）
一、选择题（每题 2分，共 12分）
1．（2分）已知 x：y＝4：5，则（x+y）：（x﹣y）的值为（ ）
A．1：9 B．﹣9 C．9 D．﹣1：9
2．（2分）如果两个相似多边形的面积比为 9：4，那么这两个相似多边形的相似比为（ ）
A．9：4 B．2：3 C．3：2 D．81：16
3．（2 分）若 与 的方向相反，且 ， ，则下列用 的式子中，正确的是
（ ）
A． B． C． D．
4．（2分）在△ABC中，点 D、E分别在边 AB、AC上，下列比例式中不能得到 DE∥BC的
是（ ）
A． B． C． D．
5．（2分）如图，在 ABCD中，点 E是边 BA延长线上的一点，错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2分）如图，在△ABC中，点 D、E分别是 AB、AC上的点，且 CD2＝CE×CB，下列
说法不正确的是（ ）
A．△CDE∽△CBD
B． ＝（ ）2
C．AD2＝AE AC
D．
二、填空题（每小题 3分，共 36分）
7．（3分）在一张比例尺为 1：20000的地图上，量得 A、B两地的距离是 7cm，则 A、B两
地的实际距离为 m．
8．（3 分）已知点 P 是线段 AB 上的一点，且 AP2＝AB PB，如果 AB＝2，那么 AP
＝ ．
9．（3分）计算（ ﹣ ）﹣（ ﹣2 ）＝ ．
10．（3分）如图，AD∥BE∥CF， ，DE＝5 ．
11 ．（ 3 分 ） 如 图 ， AD ∥ BC ， AC 与 BD 相 交 于 点 E ， AC ＝ 7cm， 则 CE
＝ ．
12．（3 分）如图，在△ABC 中，点 D 为 AB 上的点，AB＝5， ，∠ACD＝∠
B ．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，垂足为点 D，若 AD＝2，则 C△ACD：C△ABC
＝ ．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，AD⊥BC，垂足为点 D，AD与 BE相交于点
G，则 GE的长为 ．
15．（3 分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，正方形 DEFG的顶点 D、G在△
ABC的边 BC上，则这个正方形的边长是 ．
16．（3 分）如图，梯形 ABCD中，AD∥BC，点 E在边 AB上，且 ，则△BEC的面
积与四边形 AECD的面积之比为 ．
17．（3分）定义：如图 1，对于线段 AB的内分点 C和外分点 D，如果满足 ，在△
ABC中，点 D在 AB上，连接 CE，射线 CD、CB与射线 AM交于点 F、G，若 A、B、D、
E是调和点列，且 AD＝2，则 的值是 ．
18．（3分）如图，在矩形 ABCD中，点 E在 BC上，点 B的对应点 F恰好落在线段 DE上，
线段 AF的延长线交 CD于点 G，则 的值为 ．
三、解答题（19、20、21题每题 6分，22、23、24题每题 8分，25题 10分，共
19．（6分）如图，点 F是平行四边形 ABCD的边 AD上一点，CF交 BA的延长线于点 E．
（1）若 ，AB＝4，求 AE的长；
（2）联结 BD，设 ， ，用 、 表示 ．
20．（6分）如图，AD∥BC，AB、CD交于点 E， ．
（1）求证：EF∥BC；
（2）若四边形 AFED的面积为 16，求△ACD的面积．
21．（6分）如图，D是△ABC内一点，且∠ADC＝∠BDA＝120°，BD＝3， ，求∠
ABC的度数．
22．（8分）如图，梯形 ABCD中，AD∥BC，点 E是 AD边上一点，点 G在边 DC上，且∠
BEF＝∠A．
（1）求证：AB CG＝CF AE；
（2）若 AB＝AD＝3， ，求 CF的长．
23．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，垂足为点 D，E是 AC的中点
（1）求证：FD2＝FC FB；
（2）求证： ＝ ．
24．（8分）如图 1，在直角坐标平面内，直线 l1：y＝﹣4x+8交 x轴于点 A，交 y轴于点 B，
线段 AB的中点记作点 M．
（1）求点 A、点 B、点 M的坐标；
（2）如图 2，过点 M的直线 l2的截距为 5，交 x轴于点 C，点 E、F是直线 l2上的动点
（点 E在点 M上方，点 F在点 M下方），且总满足 ME＝MF，当△EAF是直角三角形时
25．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝7，点 D是边 CA延长线上的一点，
垂足为点 E，AE的延长线交 CA的平行线 BF于点 F
（1）当点 E是 BD中点时，求 AD的长；
（2）设 CE＝x，AF＝y，求 y关于 x的函数关系式及定义域；
（3）当△BGE与△BAF相似时，求线段 AF的长．
参考答案与试题解析
一、选择题（每题 2分，共 12分）
1．【分析】由已知条件，设 x＝4k，则 y＝5k，则可直接求得（x+y）：（x﹣y）的值．
【解答】解：设 x＝4k，则 y＝5k，
（x+y）：（x﹣y）＝（2k+5k）：（4k﹣7k）＝﹣9．
故选：B．
【点评】已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所
设的未知数表示出来，实现消元．
2．【分析】根据两个相似多边形的面积比为 9：4，面积之比等于相似比的平方．
【解答】解：根据题意得： ＝ ．故选 C．
【点评】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，
而面积之比等于相似比的平方．
3．【分析】由 与 的方向相反，且 ， ，即可求得 与 的关系，继而可求得
答案．
【解答】解：∵ 与 的方向相反，且 ， ＝2，
∴用 表示 ＝﹣ ．
故选：B．
【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，解题的关键是注意 与 的方向相
反，及符号相反．
4．【分析】由题意得出选项 A、B、C的比例式中能得到 DE∥BC，选项 B的比例式中不能
得到 DE∥BC，即可得出答案．
【解答】解：如图，∵ ＝ ，
∴DE∥BC；
∵ ＝ ，
∴DE∥BC；
∵ ＝ ，
∴DE∥BC，
当 ＝ 时，△ADE与△ABC不一定相似，
∴∠ADE不一定等于∠B，
∴不能判定 DE∥BC，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的逆定理；熟练掌握平行线分线段成比例
定理的逆定理是解题的关键．
5．【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解．
【解答】解：∵AD∥BC
∴ ＝ ，故 A正确；
∵CD∥BE，AB＝CD，
∴△CDF∽△EBC
∴ ＝ ，故 B正确；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△EBC
∴ ＝ ，故 D正确．
∴C错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此
题的关键．
6．【分析】通过证明△CDE∽△CBD，可得∠CDE＝∠B，∠CED＝∠CDB，通过△ACD∽
△DCE，可得 AD2＝AE AC，∠CDE＝∠A＝∠B，可得 CB＝AC，由等腰三角形的性质
可得 BD＝AD，即可证 ．
【解答】解：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵CD2＝CE CB，
∴ ，
∴△CDE∽△CBD，
∴∠CDE＝∠B，∠CED＝∠CDB，
又∵∠ACD＝∠DCE，
∴△ACD∽△DCE，
∴ ＝ ，
∴AD2＝AE AC，∠CDE＝∠A，
∴∠A＝∠B，
∴AC＝BC，
又∵CD平分∠ACB，
∴BD＝AD，
∴ ＝5，
无法证明△ADE与△ABC相似，故选项 B不成立，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和
性质，证明三角形相似是解题的关键．
二、填空题（每小题 3分，共 36分）
7．【分析】首先设 A，B两地的实际距离为 xcm，根据题意可得方程 ，解此方程
即可求得答案，注意统一单位．
【解答】解：设 A，B两地的实际距离为 xcm，
根据题意得： ，
解得：x＝140000，
∵140000cm＝1400m，
∴A，B两地的实际距离是 1400m．
故答案为：1400．
【点评】此题考查了比例尺的性质．比较简单，解题的关键是注意理解题意，根据题意
列方程，注意统一单位．
8．【分析】设 AP＝x，则 PB＝2﹣x，根据 AP2＝AB PB列出方程求解即可，另外，注意舍
去负数解．
【解答】解：设 AP＝x，则 PB＝2﹣x，
由题意，x2＝3（2﹣x），
解得 x＝ ﹣7或﹣
故答案为： ﹣4．
【点评】此题考查了黄金分割，理解黄金分割点的概念．学会利用参数构建方程解决问
题．
9．【分析】根据平面向量的加法运算律进行计算即可．
【解答】解：（ ﹣ ）﹣（ ）
＝（ ﹣ ） ﹣（7﹣1） ，
＝ ﹣ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握平面向量的加法运算定
律的应用．
10．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得：EF＝10，
∴DF＝DE+EF＝5+10＝15，
故答案为：15．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题
的关键．
11．【分析】由 ＝ ，且 ＝ ，得 ＝ ，由 AD∥BC，证明△ADE∽△CBE，
则 ＝ ＝ ，所以 ＝ ，即可求得 CE＝ cm，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵ ＝ ，且 ＝ ，
∴ ＝ ，
∵AD∥BC，
∴△ADE∽△CBE，
∴ ＝ ＝ ，
∵AC＝7cm，
∴ ＝ ，
解得 CE＝ ，
故答案为： cm．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、高相等的两个三角形的面积比等于底
边长的比等知识，证明△ADE∽△CBE是解题的关键．
12．【分析】由∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△
ACD∽△ABC，得 ＝ ＝ ，则 AC＝ ＝ ，于是得 ＝ ，则
BC＝2 ，于是得到问题的答案．
【解答】证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴ ＝ ＝ ，
∵AD＝3，AB＝5 ，
∴AC＝ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴BC＝8 ，
故答案为：2 ．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明△ACD∽△ABC是解题的关键．
13．【分析】通过证明△ACD∽△CBD，可得 ，可求 CD的长，由勾股定理可
求 AC的长，通过证明△ACD∽△ADC，由相似三角形的性质可求解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB；
∴∠ACD＝∠B＝90°﹣∠A；
又∵∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴△ACD∽△CBD，
∴ ，
∵AD＝2，BD＝3，
∴AB＝2，CD＝ ，
∴AC＝ ＝ ＝ ，
∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴△ACD∽△ADC，
∴C△ACD：C△ABC＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形相似是解题的关
键．
14．【分析】由等腰三角形的性质得 BD＝CD＝5，再由勾股定理得 AD＝12，然后证点 G为
△ABC的重心，得 DG＝4，GE＝ BG，进而由勾股定理求出 BG的长，即可解决问题．
【解答】解：∵AB＝AC＝13，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝ BC＝2，
∴AD＝ ＝ ＝12，
∵BE是 AC边上的中线，
∴点 G为△ABC的重心，
∴DG＝ AD＝4 BG，
∴BG＝ ＝ ＝ ，
∴GE＝ BG＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及重心定理等知识，熟练掌握勾股
定理和等腰三角形的性质是解题的关键．
15．【分析】由∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，根据勾股定理求得 BC＝5，由正方形的性质
得 DE＝DG＝GF，∠EDG＝∠FGD＝90°，则∠BDE＝∠FGC＝∠A＝90°，可证明△
DBE∽△ABC，得 ＝ ，则 DB＝ DG，再证明△GFC∽△ABC，得 ＝ ，则
GC＝ DG，于是得 DG+DG+ DG＝5，求得 DG＝ ，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，
∴BC＝ ＝ ＝5，
∵四边形 DEFG是正方形，
∴DE＝DG＝GF，∠EDG＝∠FGD＝90°，
∴∠BDE＝∠FGC＝∠A＝90°，
∵∠BDE＝∠A，∠B＝∠B，
∴△DBE∽△ABC，
∴ ＝ ，
∴DB＝ DE＝ DG，
∵∠FGC＝∠A，∠C＝∠C，
∴△GFC∽△ABC，
∴ ＝ ，
∴GC＝ GF＝ DG，
∵DB+DG+GC＝BC＝5，
∴ DG+DG+ ，
解得 DG＝ ，
∴正方形 DEFG的边长是 ，
故答案为： ．
【点评】此题重点考查正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，证
明△DBE∽△ABC及△GFC∽△ABC是解题的关键．
16．【分析】连接 AC，则△AEC与△BEC的面积的比等于 1：3，再根据 BC＝3AD的△ABC
与△ACD的面积的比等于 3：1，设△ACE的面积为 a，则可以表示出△BEC与四边形
AECD的面积，再求出比值即可．
【解答】解：如图，连接 AC，
∵ ＝ ，
∴S△BEC＝2a，
∴S△ABC＝a+3a＝4a，
∵BC＝4AD，
∴S△ABC＝3S△ACD＝4a，
∴S△ACD＝ a，
∴四边形 AECD的面积＝S△AEC+S△ACD＝a+ a＝ a，
∴△BEC的面积：四边形 AECD的面积＝8a： a＝8：7．
故答案为：9：4．
【点评】利用等腰三角形边长的关系得到面积的关系从而得到三角形与四边形的面积的
比是解决本题的主要思路．
17．【分析】先求出 DB＝1，通过证明△ADF∽△EDC，△ABG∽△EBC，可得 ＝ ，
＝1，即可求解．
【解答】解：∵A、B、D、E是调和点列，
∴ ，
∴ ＝ ，
∴DB＝1（负值舍去），
∴AB＝2，DE＝4，
∵AG∥CE，
∴△ADF∽△EDC，△ABG∽△EBC，
∴ ＝ ， ＝1，
∴AF＝ CE，
∴ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
18．【分析】延长 BC，AG交于点 H，设 BE＝3x，EC＝2x，由平行四边形的性质可得 AD＝
BC＝5x，AD∥BC，由折叠的性质可得∠AEB＝∠AEF，BE＝EF＝3x，通过证明△ADF
∽△HEF，△ADG∽△HCG，可求 AF＝ y，FG＝AG﹣AF＝ ，即可求解．
【解答】解：如图，延长 BC，
设 BE＝3x，则 EC＝2x，
∵四边形 ABCD矩形，
∴AD＝BC＝4x，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵将△ABE沿着直线 AE翻折得到△AFE，
∴∠AEB＝∠AEF，BE＝EF＝3x，
∴∠DAE＝∠AED，
∴AD＝DE＝5x，
∴DF＝6x，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△HEF，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴EH＝ ，AF＝ ，
∴CH＝EH﹣EC＝ x，
∵AD∥BC，
∴△ADG∽△HCG，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
设 AG＝10y，则 GH＝11y，
∴AH＝21y，
∴AF＝ ×2＝ y，
∴FG＝AG﹣AF＝ ，
∴AF：FG＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，折叠的性质，矩形的性质，灵活运用这
些性质进行推理是解题的关键．
三、解答题（19、20、21题每题 6分，22、23、24题每题 8分，25题 10分，共
19．【分析】（1）根据平行四边形的性质即可得出结果；
（2）根据（1）的结论 AE＝ 得出 ，再根据平面向量三角形运算法则求解即可．
【解答】解：（1）∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴AE∥CD，AB＝CD＝4，
∴ ＝ ，
∴AE＝ ＝ ；
（2）如图，
由（1）知，AE＝ ，
∵ ，
∴ ＝ ，
又∵ ，
∴ ＝ ＝ ．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，平面向量，熟记平面向量的三角形运算法则是
解题的关键．
20．【分析】（1）由平行线分线段成比例可得 ＝ ，可得结论；
（2）通过证明△ACD∽△FCE，可得 ＝ ，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴EF∥BC；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵EF∥BC，AD∥BC，
∴EF∥AD，
∴△ACD∽△FCE，
∴ ＝ ，
∵四边形 AFED的面积为 16，
∴S△ACD＝25．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，证明三角形相似
是解题的关键．
21．【分析】首先由∠ADC＝∠BDA＝∠BDC，得到∠ADC＝∠BDA＝∠BDC＝120°，对应
边成比例夹角相等，证得△ABD∽△BCD，进而得到∠ABC＝60°．
【解答】解：∵AD＝2，BD＝3 ，
∴CD：BD＝BD：AD，
∵∠ADC＝∠BDA＝120°，
∴∠ADB＝∠BDC＝120°
∴△ABD∽△BCD，
∴∠ABD＝∠DCB，
∵∠ADC＝∠BDA＝∠BDC＝120°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC＝60°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝60°．
【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解
题的关键．
22．【分析】（1）由等腰梯形的性质得∠A＝∠D＝∠GCF，∠DEG＝∠F，而∠BEF＝∠A，
则∠ABE＝180°﹣∠AEB﹣∠A＝180°AEB﹣∠BEF＝∠DEG＝∠F，所以△ABE∽△
CFG，得 ＝ ，则 AB CG＝CF AE；
（2）由 AB＝AD＝3，AE＝ ，得 DE＝AD﹣AE＝ ，再由∠A＝∠D，∠ABE＝∠DEG，
证明△ABE∽△DEG，则 ＝ ，求得 DG＝ ，而 AB＝DC＝3，所以 CG＝CD﹣DG
＝ ，由 AB CG＝CF AE，得 CF＝ ＝ ．
【解答】（1）证明：∵梯形 ABCD中，AD∥BC，
∴∠A＝∠D，∠DEG＝∠F，
∵∠BEF＝∠A，
∴∠ABE＝180°﹣∠AEB﹣∠A＝180°AEB﹣∠BEF＝∠DEG，
∴∠ABE＝∠F，
∵∠A＝∠D，∠D＝∠GCF，
∴∠A＝∠GCF，
∴△ABE∽△CFG，
∴ ＝ ，
∴AB CG＝CF AE．
（2）解：∵AB＝AD＝3，AE＝ ，
∴DE＝AD﹣AE＝3﹣ ＝ ，
∵∠A＝∠D，∠ABE＝∠DEG，
∴△ABE∽△DEG，
∴ ＝ ，
∴DG＝ ＝ ＝ ，
∵AB＝DC＝3，
∴CG＝CD﹣DG＝6﹣ ＝ ，
∵AB CG＝CF AE，
∴CF＝ ＝ ＝ ，
∴CF的长是 ．
【点评】此题重点考查等腰梯形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△ABE
∽△CFG及△ABE∽△DEG是解题的关键．
23．【分析】（1）由∠ADC＝90°，E是 AC的中点，得 DE＝CE＝AE＝ AC，则∠FDC＝
∠ACD，因为∠ACB＝90°，所以∠ACD＝∠B＝90°﹣∠A，则∠FDC＝∠B，而∠F＝
∠F，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△FCD∽△FDB，得 ＝ ，
则 FD2＝FC FB；
（2）由△FCD∽△FDB，得 ＝ ，则 ＝ ，再由∠ADC＝∠CDB＝90°，
∠ACD＝∠B＝90°﹣∠A，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ADC∽△CDB，
得 ＝ ，则 CD2＝AD BD，所以 ＝ ＝ ．
【解答】证明：（1）∵CD⊥AB于点 D，
∴∠ADC＝90°，
∵E是 AC的中点，
∴DE＝CE＝AE＝ AC，
∴∠FDC＝∠ACD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠B＝90°﹣∠A，
∴∠FDC＝∠B，
∵∠F＝∠F，
∴△FCD∽△FDB，
∴ ＝ ，
∴FD5＝FC FB．
（2）由（1）得△FCD∽△FDB，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵∠ADC＝∠CDB＝90°，∠ACD＝∠B＝90°﹣∠A，
∴△ADC∽△CDB，
∴ ＝ ，
∴CD2＝AD BD，
∴ ＝ ＝ ．
【点评】此题重点考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、
直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质等知识，证明
△FCD∽△FDB及△ADC∽△CDB是解题的关键．
24．【分析】（1）对于 y＝﹣4x+8，当 x＝0时，y＝2，令 y＝﹣4x+8＝0，则 x＝2，即可求解；
（2）当 AE是斜边时，利用勾股定理列出等式即可求解；当 AF为斜边时，同理可解．
【解答】解：（1）对于 y＝﹣4x+8，当 x＝8时，
令 y＝﹣4x+8＝8，则 x＝2，
故点 A、B的坐标分别为：（2、（3；
由点 A、B的坐标得，4），
（2）设直线 l2的表达式为：y＝k（x﹣3）+4＝kx+4﹣k，
即 8﹣k＝5，则 k＝﹣1，
故直线 l7的表达式为：y＝﹣x+5，
设点 E（m，﹣m+5），
∵ME＝MF，即点 M是 EF的中点，
由中点坐标公式的，点 F（4﹣m，
由点 A、E、F坐标知 2＝（m﹣2）3+（m﹣5）2，AF4＝m2+（2m﹣5）2，EF2＝（7m﹣2）
2+（m﹣3）2，
由题意知，∠AEF不可能是直角．
当 AE是斜边时，
则（m﹣2）3+（m﹣5）2＝m6+（2m﹣6）5+（2m﹣2）3+（m﹣1）2，
解得：m＝6（舍去）或 ，
则点 F的坐标为：（ ，3）；
当 AF为斜边时，
则（4m﹣2）2+（m﹣2）2+（m﹣2）6+（m﹣5）2＝m2+（2m﹣6）7，
解得：m＝ ，
则点 F的坐标为：（ ，6﹣ ，6+ ）；
综上，点 F的坐标为：（ ，3﹣ ，6+ ）．
【点评】本题为一次函数综合题，涉及到一次函数的图象和性质、中点坐标公式的运用、
勾股定理的运用等，分类求解是本题解题的关键．
25．【分析】（1）由直线 AE是 BD的垂直平分线，可得 AD＝AB＝ ＝
＝5 ；
（2）取 AB中点 O，连接 OC、OE，由∠BCA＝∠BEA＝90°，可得点 A、C、B、E四
点共圆，故∠BCE＝∠BAF，∠CBE+∠CAE＝180°，而 BF∥CD，有∠BFA+∠CAE＝
180°，∠CBE＝∠BFA，可得△BCE∽△FAB，从而可得 CE FA＝BC AB，即得 CE AF
＝7×5 ＝35 ，y＝ ；
（3）过点 E作 EH⊥CD于 H，作 EM⊥BC于 M，由△BCE∽△FAB，△BGE与△FAB
相似，可知△BCE与△BGE相似，故∠BCE＝∠EBG，可得∠BCE＝∠ECA，EM＝EH，
四边形 EMCH为正方形，CM＝CH，可证 Rt△BME≌Rt△AHE（HL），得 BM＝AH，设
AH＝a，则 MB＝a，CM＝7﹣a，CH＝1+a，可得 7﹣a＝1+a，a＝3，CH＝4，求出 CE
＝4 ，再由 CE FA＝35 ，得 AF＝ ．
【解答】解：（1）∵点 E是 BD中点，AE⊥BD，
∴直线 AE是 BD的垂直平分线，
∴AD＝AB，
在 Rt△ABC中，AB＝ ＝ ，
∴AD＝5 ；
（2）取 AB中点 O，连接 OC，如图，
∵∠BCA＝∠BEA＝90°，
∴OC＝OA＝OB＝OE，
∴点 A、C、B、E四点共圆，
∴∠BCE＝∠BAF，∠CBE+∠CAE＝180°，
∵BF∥CD，
∴∠BFA+∠CAE＝180°，
∴∠CBE＝∠BFA，
∴△BCE∽△FAB，
∴ ，
∴CE FA＝BC AB，
∵∠BCA＝90°，BC＝7，
∴AB＝5 ，
∴CE AF＝7×5 ＝35 ，
由 CE＝x，AF＝y ，
∴y＝ ；
（3）过点 E作 EH⊥CD于 H，作 EM⊥BC于 M
∴∠EMC＝∠MCH＝∠CHE＝90°，
∴四边形 EMCH为矩形，
由（2）知△BCE∽△FAB，△BGE与△FAB相似，
∴△BCE与△BGE相似，
∴∠BCE＝∠EBG，
∵点 A、C、B、E四点共圆，
∴∠ECA＝∠EBG，
∴∠BCE＝∠ECA，
∴EM＝EH，
∴四边形 EMCH为正方形，
∴CM＝CH，
∵∠ECB＝∠ECA＝ ∠BCA＝45°，
∴∠EBA＝∠EAB＝45°，
∴EB＝EA，
∴Rt△BME≌Rt△AHE（HL），
∴BM＝AH，
设 AH＝a，则 MB＝a，CH＝7+a，
∴7﹣a＝1+a，
∴a＝4，
∴CH＝4，
在 Rt△CHE中，
cos∠ECH＝ ＝ ＝ ，
∴CE＝4 ，
由（2）得 CE FA＝35 ，
∴AF＝ ．
【点评】本题考查相似三角形综合应用，难度较大，知识点较多，是综合利用知识的典范，
解题的关键是能引辅助线拓展条件，会证相似三角形，利用相似三角形构造方程，能利用定
义求三角函数值，会证点四点共圆．
