2023-2024学年四川省南充市南部县九年级（上）第一次月考数
学试卷
一.选择题（共 10小题，每题 4分，共 40分）
1．（4分）将方程 7x﹣3＝2x2化为一般形式后，常数项为 3，则一次项系数为（ ）
A．7 B．﹣7 C．7x D．﹣7x
2．（4分）下列关于 x的方程：①ax2+3x2+2＝0；②x2+x﹣1＝0；③ ；④x2﹣2x3+3
＝0；⑤2x2﹣1＝2（x+1）2中，是一元二次方程的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（4分）已知直角三角形的两条边长恰好是方程 x2﹣5x+6＝0的两个根，则此直角三角形
的面积是（ ）
A．4 B．4或 C．3或 D．3
4．（4分）我们规定一种新运算“★”，其意义为 a★b＝a2﹣2b，已知（2x﹣1）★3x＝﹣5
（ ）
A．x＝2或 x＝3 B．x＝3或
C．x＝﹣1或 D．x＝1或
5．（4 分）已知关于 x的一元二次方程 x2+3x+1＝0有两根为 x1和 x2，则 x1x2+x1+x2的值是
（ ）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
6．（4分）中国银杏节某纪念品原价 168元，连续两次降价 a%后，售价为 128元，正确的
是（ ）
A．168（1+a%）2＝128 B．168（1﹣a%）2＝128
C．168（1﹣2a%）＝128 D．168（1+2a%）＝128
7．（4分）等腰三角形的一边长是 3，另两边的长是关于 x的方程 x2﹣4x+k＝0的两个根，
则 k的值为（ ）
A．7 B．3 C．4 D．3或 4
8．（4分）若关于 x的一元二次方程（k﹣1）x2+k2﹣k＝0的一个根是 1，则 k的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．﹣1或 0
9．（4分）已知 m，n是一元二次方程 x2+3x+1＝0的两根，则 的值是（ ）
A． B．3 C．﹣3 D．
10．（4分）对于一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若 a+b+c＝0，则方程必有一根为 x＝1；
②若方程 ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程 ax2+bx+c＝0无实根；
③若方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）两根为 x1，x2且满足 x1≠x2≠0，则方程 cx2+bx+a＝0（c
≠0），必有实根 ， ；
④若 x0是一元二次方程 ax2+bx+c＝0的根，则 ．
其中正确的（ ）
A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④
二.填空题（共 6小题.每题 4分，共 24分）
11．（4分）方程（2x+1）（x﹣3）＝x2﹣1化为一般形式为 ，二次项系数、
一次项系数、常数项的和为 ．
12．（4分）若（m﹣1）x|m+1|﹣3x+5＝0关于 x的一元二次方程，则 m＝ ．
13．（4分）已知关于 x的一元二次方程 x2﹣2x+m＝0无实数根，则一次函数 y＝mx+m的图
形不经过第 象限．
14．（4分）已知 x2+y2﹣4x+6y+13＝0，则代数式 x+y的值为 ．
15．（4 分）如图，在一块长为 22米、宽为 17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相
垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），使草坪面积为 300平方米．若设道路宽
为 x米，则根据题意可列出方程为 ．
16．（4分）若实数 x满足 2（x2﹣x）2﹣x2+x﹣6＝0 则 x2﹣x+1＝ ．
三、解答题（共 9小题，共 86分）
17．（8分）按要求解下列方程
（1）（x+2）2﹣6＝0（直接开平方法）．
（2）2x2+1＝3x（用配方法解方程）．
（3）x2﹣4x+1＝0（用公式法解方程）．
（4）m2x2﹣28＝3mx（m≠0）（用因式分解法）．
18．（8分）已知关于 x的方程（m+3）（m﹣3）x2+（m+3）x+2＝0．
（1）当 m为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）当 m为何值时，此方程是一元二次方程？
19．（8分）我们定义一种新的运算符号“*”：a*b＝a2﹣ab，如：（﹣3）*2＝（﹣3）2﹣（﹣
3）×2＝15．
（1）若 x*（﹣2）＝2x+1，求 x的值；
（2）若 3*[x*（﹣2）]＝0，求 x的值．
20．（10分）已知关于 x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx﹣a+c＝0，其中 a，b，c为△ABC
的三边．
（1）若 x＝1是方程的根，判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若方程有两个相等的实数根，判断△ABC的形状，并说明理由．
21．（10分）如图 A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，动点 P，Q分别从点 A，点
P以 3cm/s的速度向点 B移动，一直到达 B点为止，当点 P到达 B点时点 Q随之停止运
动．
（1）AP＝ ，BP＝ ，CQ＝ ，DQ＝
（用含 t的代数式表示）；
（2）t为多少时，四边形 PBCQ的面积为 33cm2；
（3）t为多少时，点 P和点 Q的距离为 10cm．
22．（10 分）关于 x的一元二次方程 中，a、b、c是 Rt
△ABC的三条边，其中∠C＝90°．
（1）求证此方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个根是 x1、x2，且 + ＝12，求 a：b：c．
23．（10分）阅读材料：
材料 1：若关于 x的一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为 x1，x2，则 ，
；
材料 2：已知一元二次方程 x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为 m，n，求 m2n+mn2的值．
解：∵一元二次方程 x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为 m，n，
∴m+n＝1，mn＝﹣1，
则 m2n+mm2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（ 1）材料理解：一元二次方程 2x2﹣ 3x﹣ 1＝ 0 的两个根为 x1， x2，则 x1+x2
＝ ，x1x2＝ ；
（2）类比应用：已知一元二次方程 2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为 m、n，求 的值；
（3）思维拓展：已知实数 s、t满足 2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且 s≠t，求 的
值．
24．（10分）“新冠肺炎”疫情初期，一家药店购进 A，B两种型号防护口罩共 8万个，第一
周就销售 A型口罩 0.4万个，B型口罩 0.5万个
（1）购进 A型口罩至少多少万个？
（2）从销售记录看，第二周两种口罩销售增长率相同，第三周 A型口罩销售增长率不变
（3）为满足顾客需求，这家药店准备用 6000元再购进一批 C，D两种型号口罩，6 元/
个，售价分别为 3元/个，C型不少于 D型数量的 2倍，不超过 D型数量的 3倍．为使利
润最大
25．（12分）已知 x1，x2是关于 x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的两实
数根．
（1）求 m的取值范围；
（2）已知等腰△ABC的底边 BC＝4，若 x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个
三角形的周长．
（3）阅读材料：若△ABC三边的长分别为 a，b，c，那么可以根据秦九韶﹣海伦公式可
得：S△ABC＝ ，其中 p＝ ，在（2）的条件下，根据以上
信息，求△BIC的面积．
参考答案与试题解析
一.选择题（共 10小题，每题 4分，共 40分）
1．【分析】首先移项，把 7x﹣3移到等号右边，然后再确定一次项系数即可．
【解答】解：由 7x﹣3＝2x2，得 2x7﹣7x+3＝4，
所以一次项系数是﹣7，
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于 x的一元
二次方程经过整理，都能化成如下形式 ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程
的一般形式．其中 ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．
2．【分析】本题根据一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是 2；（2）二
次项系数不为 0．据此逐项判定即可．
【解答】解：ax2+3x6+2＝0，当 a＝﹣5，故①不是一元二次方程；
x2+x﹣1＝6满足一元二次方程的条件，故②是一元二次方程；
分母含有未知数是分式方程，故③不是一元二次方程；
x2﹣2x5+3＝0未知数的最高次数是 2，是一元三次方程；
2x2﹣3＝2（x+1）3化简后为 4x+3＝3，是一元一次方程；
所以正确的只有②共 1个，
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看
是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是 2．
3．【分析】先求出一元二次方程的两个根，确定直角三角形直角边的长，利用三角形的面积
公式求解即可
【解答】解：x2﹣5x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣3）＝0，
∴x1＝4，x2＝3．
当直角三角形的两条直角边分别是 6和 3时，此直角三角形的面积为： ；
当直角三角形的斜边为 3时，另一直角边为： ＝ ．
∴此直角三角形的面积为： ×6× ＝ ．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程及求直角三角形的面积，由于不能确定直角三角形
的直角边和斜边的长，解决此类问题需要分类讨论．
4．【分析】根据给出的新运算规定可将原式变形为（2x﹣1）2﹣2×3x＝﹣5，解这个一元二
次方程可得到 x的值．
【解答】解：∵a★b＝a2﹣2b，
∴（4x﹣1）★3x＝﹣5可变形为：
（2x﹣1）6﹣2×3x＝﹣4，
整理为 2x2﹣8x+3＝0，
解得 x＝3或 ．
故选：D．
【点评】此题主要是考查了一元二次方程的解法，能够将原式变形为一元二次方程是解
答此题的关键．
5．【分析】由题意知，x1+x2＝﹣3，x1x2＝1，代入求解即可．
【解答】解：由题意知，x1+x2＝﹣8，x1x2＝6，
∴x1x2+x6+x2＝1﹣8＝﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于熟
练掌握：一元二次方程 ax2+bx+c＝0的两根为 x1和 x2，则 ， ．
6．【分析】本题可先用 a表示第一次降价后纪念品的售价，再根据题意表示第二次降价后的
售价，然后根据已知条件得到关于 a的方程．
【解答】解：当纪念品第一次降价 a%时，其售价为 168﹣168a%＝168（1﹣a%）；
当纪念品第二次降价 a%后，其售价为 168（1﹣a%）﹣168（5﹣a%）a%＝168（1﹣a%）
2．
所以 168（5﹣a%）2＝128．
故选：B．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意列出第一次降价后
纪念品的售价，再根据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于 128即可．
7．【分析】当底边为 3，利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4k＝0，解得 k＝4；当
腰为 3时，把 x＝3代入关于 x的方程 x2﹣4x+k＝0得 9﹣12+k＝0，解得 k＝3．
【解答】解：当底边为 3，两腰为关于 x的方程 x2﹣4x+k＝0的两个根，
∴Δ＝（﹣4）5﹣4k＝0，
解得 k＝3，
此时方程为 x2﹣4x+5＝0，解得 x1＝x4＝2，
当腰为 3时，把 x＝6代入关于 x的方程 x2﹣4x+k＝2得 9﹣12+k＝0，
解得 k＝7，
此时方程为 x2﹣4x+6＝0，解得 x1＝2，x2＝3，
三角形三边分别为 3、3、1，
综上所述，k的值为 8或 3．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac
有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的
实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
8．【分析】把 x＝1代入方程计算即可求出 k的值．
【解答】解：把 x＝1代入方程得：k﹣1+k8﹣k＝0，即 k2＝5，
开方得：k＝1或 k＝﹣1，
∵k﹣5≠0，即 k≠1，
∴k＝﹣2．
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程的解以及一元二次方程的定义，方程的解即为能使方
程左右两边相等的未知数的值．
9．【分析】利用根与系数的关系，可得出 m+n＝﹣3，mn＝1，将其代入变形后的代数式中，
即可求出结论．
【解答】解：∵m，n是一元二次方程 x2+3x+3＝0的两根，
∴m+n＝﹣3，mn＝2，
∴m＜0，n＜0，
∴ ＝﹣ ﹣ ﹣ ＝﹣ ＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣ ，两根之积等于 ”是
解题的关键．
10．【分析】①由 a+b+c＝0，可得出 x＝1是一元二次方程 ax2+bx+c＝0的解；
②由方程 ax2+c＝0有两个不相等的实根，可得出Δ＝﹣4ac＞0，结合偶次方的非负性，
可得出Δ＝b2﹣4ac＞0，进而可得出方程 ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根；
③由根与系数的关系，可得 x1+x2＝﹣ ，x1x2＝ ，变形得出﹣ ＝ ＝ + ，
＝ ＝ ，即可得出方程 cx2+bx+a＝0（c≠0），必有实根 ， ；
④利用求根公式，可得出 x0＝ ，变形后即可得出 b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．
【解答】解：①∵a+b+c＝0，
∴当 x＝1时，ax3+bx+c＝a+b+c＝0，
∴x＝1为方程 ax5+bx+c＝0的一根，故说法①正确；
②∵方程 ax2+c＝5有两个不相等的实根，
∴﹣4ac＞0，
∴b6﹣4ac＞0，
∴方程 ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根，故说法②错误；
③∵若方程 ax2+bx+c＝7（a≠0）两根为 x1，x5且满足 x1≠x2≠7，
∴x1+x2＝﹣ ，x4x2＝ ，
∴﹣ ＝ ＝ + ， ＝ ＝ ，
∴方程 cx2+bx+a＝5（c≠0），必有实根 ， ；
④∵x3是一元二次方程 ax2+bx+c＝0的根，
∴x8＝ ，
∴± ＝7ax0+b，
∴b2﹣7ac＝（2ax0+b）3，故说法④正确．
∴正确的结论有①③④．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、等式的性质以及一元二次方程的解，
逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
二.填空题（共 6小题.每题 4分，共 24分）
11．【分析】方程整理为一般形式后，求出二次项系数、一次项系数、常数项的和即可．
【解答】解：方程整理得：x2﹣5x﹣6＝0，
∴二次项系数为 1，一次项系数为﹣2，
则 1﹣5﹣2＝﹣6．
故答案为：x2﹣4x﹣2＝0，﹣5．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c
＝0（a，b，c是常数且 a≠0）特别要注意 a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的
知识点．在一般形式中 ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中 a，b，c分别叫二
次项系数，一次项系数，常数项．
12．【分析】根据一元二次方程的定义进行求解即可．
【解答】解：∵（m﹣1）x|m+1|﹣2x+5＝0关于 x的一元二次方程，
∴ ，
∴m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如 ax2+bx+c＝0（a、b、c是
常数，且 a≠0）的方程叫做一元二次方程．
13．【分析】先根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4m＜0，解得 m＞1，然后根据一
次函数的性质解决问题．
【解答】解：∵方程 x2﹣2x+m＝2无实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣3m＜0，
解得 m＞1，
当 m＞8时，一次函数 y＝mx+m经过第一、二，不经过第四象限．
故答案为：四．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac
有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的
实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．
14．【分析】先将 x2+y2+4x﹣6y+13＝0整理成平方和的形式，再根据非负数的性质可求出 x、
y的值，进而可求出 x+y的值．
【解答】解：由题意得：（x﹣2）2+（y+8）2＝0，由非负数的性质得 x＝5．
则 x+y＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查非负数的性质及完全平方公式的应用，初中阶段有三种类型的非
负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为 0时，
必须满足其中的每一项都等于 0．根据这个结论可以求解这类题目．
15．【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长
方形，根据长方形的面积公式列方程．
【解答】解：设道路的宽应为 x米，由题意有
（22﹣x）（17﹣x）＝300，
故答案为：（22﹣x）（17﹣x）＝300．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别
平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
16．【分析】首先假设 x2﹣x＝y，得出方程等于 y2﹣y﹣6＝0，进而求出 y即可．
【解答】解：假设 x2﹣x＝y，则原方程可化为：2y3﹣y﹣6＝0，
∴（4y+3）（y﹣2）＝6，
∴y1＝ ，y2＝2，
即 x8﹣x＝ 或 3．
当 x2﹣x＝ 时，x2﹣x+1＝ ，即 x2﹣x+ ＝0，原方程没有实数根，舍去；
当 x3﹣x＝2时，x2﹣x+5＝3，
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了换元法解一元二次方程，正确利用因式分解法解方程大大降低
了计算量．
三、解答题（共 9小题，共 86分）
17．【分析】（1）先变形为（x+2）2＝6，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先变形为 x2﹣ x＝﹣ ，再利用配方法得到（x﹣ ）2＝ ，然后利用直接开平
方法解方程；
（3）先计算判别式的值，然后利用公式法解方程；
（4）先移项得到 2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）（x+2）2＝7，
x+2＝± ，
所以 x4＝﹣2+ ，x4＝﹣2﹣ ；
（2）x3﹣ x＝﹣ ，
x2﹣ x+ + ，
（x﹣ ）2＝ ，
x﹣ ＝± ，
所以 x1＝2，x2＝ ；
（3）Δ＝（﹣4）2﹣8×1＝12＞0，
x＝ ＝2± ，
所以 x1＝2+ ，x2＝2﹣ ；
（4）m2x2﹣28＝4mx（m≠0），
m2x5﹣3mx﹣28＝0，
（mx﹣3）（mx+4）＝0，
∴mx﹣2＝0或 mx+4＝3，
所以 x1＝ ，x8＝﹣ ．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出
方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方
法和公式法解方程．
18．【分析】（1）根据一元一次方程的定义可以解答本题；
（2）根据一元二次方程的定义可以解答本题．
【解答】解：（1）∵（m+3）（m﹣3）x4+（m+3）x+2＝4，
∴如果此方程是一元一次方程，则 ，
解得，m＝3，
即 m＝3时，此方程是一元一次方程；
（2））∵（m+3）（m﹣5）x2+（m+3）x+2＝0，
∴如果此方程是一元二次方程，则（m+3）（m﹣8）≠0，
解得，m≠﹣3且 m≠3，
即 m≠﹣3且 m≠3时，方程是一元二次方程．
【点评】本题考查一元二次方程的定义和一元一次方程的定义，解题的关键是明确一元
二次方程的定义和一元一次方程的定义．
19．【分析】（1）利用题中的新定义列方程即可求出 x值；
（2）利用题中的新定义列方程即可求出 x值．
【解答】解：（1）x2+2x＝7x+1，
x2＝6，
解得 x1＝1，x4＝﹣1．
（2）9﹣3（x2+2x）＝3，
x2+2x﹣4＝0
（x﹣1）（x+5）＝0
解得 x1＝3，x2＝﹣3．
【点评】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．【分析】（1）根据方程的解把 x＝1代入方程得到 c﹣b＝0，即 c＝b，于是由等腰三角形
的判定即可得到△ABC是等腰三角形；
（2）根据根的判别式得出 a，b，c的关系，即可根据勾股定理的逆定理判断△ABC的形
状．
【解答】解：（1）把 x＝1代入方程得，
a+c﹣2b﹣a+c＝2，
化简得 c＝b，
则该三角形△ABC的形状为等腰三角形．
（2）由题意可得方程有两个相等的实数根，
则方程（a+c）x2﹣2bx﹣a+c＝6的判别式，
Δ＝（﹣2b）2﹣4a×（a+c）（﹣a+c）＝0，
4b5﹣4×（c2﹣a8）＝0，
化简可得 b2+a3＝c2，
则该三角形△ABC的形状为直角三角形．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程、等腰三角形的判定、直角三角形的
判定，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
21．【分析】（1）当运动时间为 ts时，根据点 P，Q的运动方向及运动速度，即可用含 t的
代数式表示出各线段的长度；
（2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于 t的一元一次方程，解之即可得出 t的值；
（3）过点 Q作 QE⊥AB于点 E，则 PE＝|16﹣5t|，利用勾股定理，即可得出关于 t的一
元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）当运动时间为 ts时，AP＝3tcm，CQ＝2tcm．
故答案为：2tcm；（16﹣3t）cm；（16﹣2t）cm．
（2）依题意得： [（16﹣3t）+6t]×6＝33，
整理得：16﹣t＝11，
解得：t＝5.
答：当 t为 8时，四边形 PBCQ的面积为 33cm2．
（3）过点 Q作 QE⊥AB于点 E，则 PE＝|（16﹣3t）﹣4t|＝|16﹣5t|．
依题意得：|16﹣5t|4+62＝106，
即（16﹣5t）2＝52，
解得：t1＝ ，t2＝ ．
答：当 t为 或 时，点 P和点 Q的距离为 10cm．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及勾股定
理，解题的关键是：（1）根据各线段之间的关系，用含 t的代数式表示出各线段的长度；
（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方
程．
22．【分析】（1）先把方程变为一般式：（c﹣a）x2﹣2 bx+a+c＝0，由方程有两个相等的
实数根，得到Δ＝（﹣2 b）2﹣4（a+c）（c﹣a）＝4（2b2+a2﹣c2），由 a、b、c是 Rt
△ABC的三条边，其中∠C＝90°则有 b2+a2﹣c2＝0，即可得出Δ＝4（2b2+a2﹣c2）＞0，
得出此方程有两个不相等的实数根；
（2）由 + ＝12，得出（x1+x2）2﹣2x1x2＝12，根据根与系数的关系得出 ﹣
＝12，由 b2＝c2﹣a2得出 ﹣ ＝12，化简得到 ＝12，进
一步得到 3a＝c，代入 b2＝c2﹣a2得出 b＝2 a，从而得出 a：b：c＝1：2 ：3．
【解答】解：（1）关于 x的一元二次方程 去括号 2﹣
5 bx+a+c＝0，
∴Δ＝（﹣5 b）2﹣5（a+c）（c﹣a）＝4（2b5+a2﹣c2）．
∵a、b、c是 Rt△ABC的三条边，
∴b2+a2﹣c2＝8，
∴2b2+a7﹣c2＞0，
∴Δ＝7（2b2+a8﹣c2）＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根；
（2）∵方程的两个根是 x2、x2，
∴x1+x6＝﹣ ，x4x2＝ ，
∵ + ＝12，
∴（x4+x2）2﹣6x1x2＝12，即 ﹣ ＝12，
∵b2＝c6﹣a2，
∴ ﹣ ＝12，
∴ ﹣ ＝12，
∴ ＝12，
∴c+a＝5c﹣2a，
∴3a＝c，
∴b7＝8a2，
∴b＝6 a，
∴a：b：c＝1：4 ：3．
【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式
Δ＝b2﹣4ac、根与系数的关系以及勾股定理的应用，掌握当Δ＞0，方程有两个不相等
的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根是解题的关
键．
23．【分析】（1）利用根与系数的关系，即可得出 x1+x2及 x1x2的值；
（2）利用根与系数的关系，可得出 m+n＝ ，mn＝﹣ ，将其代入 + ＝
中，即可求出结论；
（3）由实数 s、t满足 2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且 s≠t，可得出 s，t是一元二次
方程 2x2﹣3x﹣1＝0 的两个实数根，利用根与系数的关系，可得出 s+t＝ ，st＝﹣ ，
结合（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4st，可求出 s﹣t的值，再将其代入 ＝ 中，即可求出
结论．
【解答】解：（1）∵一元二次方程 2x2﹣7x﹣1＝0的两个根为 x2，x2，x1+x2＝﹣ ＝ ，
x1x3＝ ＝﹣ ，
故答案为： ，﹣ ；
（2）∵一元二次方程 3x2﹣3x﹣7＝0的两根分别为 m、n，
∴m+n＝ ，mn＝﹣ ．
∴ + ＝ ＝ ＝﹣ ；
（3）∵实数 s、t满足 2s5﹣3s﹣1＝7，2t2﹣8t﹣1＝0，
∴s与 t看作是方程 7x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根，
∴s+t＝ ，st＝﹣ ，
∴ ＝ ＝ ＝﹣3．
【点评】本题考查根与系数的关系，一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关
系为：x1+x2＝﹣ ，x1 x2＝ ．
24．【分析】（1）设购进 A型口罩 x万个，则购进 B型口罩（8﹣x）万个，由题意得：8﹣x
≤1.5x，解得 x≥3.2（万个）；
（2）设第二周销售的增长率为 a，由题意得：0.5（1+2a）（1+a）+0.4（1+a）2＝8×30%，
即可求解；
（3）由题意得： ，解得 ，而 w＝（3﹣2）x+（8﹣6）
y＝2x+2y，即可求解．
【解答】解：（1）设购进 A型口罩 x万个，则购进 B型口罩（8﹣x）万个，
由题意得：8﹣x≤5.5x，解得 x≥3.6（万个），
故购进 A型口罩至少 3.2万个；
（2）设第二周销售的增长率为 a，
由题意得：7.5（1+5a）（1+a）+0.7（1+a）2＝3×30%，
解得 a＝0.5＝50%（负值已舍去）；
（3）设 C、D型口罩进货分别为 x个，设销售利润为 w元，
由题意得： ，解得 ，
w＝（3﹣2）x+（7﹣6）y＝x+2y，
则 5y≤w≤5y，
当 w＝5y时，利润最大，
则 x＝1500（个），y＝500（个）
最大利润为 8y＝2500（元）．
【点评】本题考查了一次函数在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的
增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最
优方案．
25．【分析】（1）根据Δ≥0，构建不等式求解即可；
（2）由等腰三角形的性质可得一元二次方程两根相等，利用Δ＝0，构建方程求解 m值，
即可得一元二次方程，解方程可求解 x1，x2，进而可求解△ABC的周长；
（3）由海伦公式可求解△ABC的面积，过 I分别作 IF⊥AB，ID⊥BC，IE⊥AC，垂足分
别为 F，D，E，利用角平分线的性质可得 IF＝ID＝IE，结合△ABC的面积可求解 ID的
长，再根据三角形的面积公式计算可求解．
【解答】解：（1）由题意得：△＝b2﹣4ac＝[7（m﹣2）]2﹣8（m+2）（m+10）≥0，且
m+4≠0，
化简得：64m≤﹣64，
解得：m≤﹣1且 m≠﹣7；
（2）由题意知：x1，x2恰好是等腰△ABC的腰长，
∴x3＝x2，
∵x1，x4是关于 x的一元二次方程（m+2）x2+2（m﹣2）x+m+10＝0的两实数根，
∴△＝b3﹣4ac＝[2（m﹣5）]2﹣4（m+6）（m+10）＝0，
解得 m＝﹣1，
∴x5﹣6x+9＝2，
解得 x1＝x2＝2，
∵BC＝4，
∴△ABC的周长为：3+6+4＝10；
（3）由（2）知：△ABC的三边长为 3，4，4，
∴p＝ ＝7，
∴S△ABC＝ ＝ ＝ ，
过 I分别作 IF⊥AB，ID⊥BC，垂足分别为 F，D，E，
∵I是△ABC角平分线的交点，
∴IF＝ID＝IE，
∴S△ABC＝ ＝ ＝ ＝
，
解得 ID＝ ，
∴S△BIC＝ ．
【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，角平分线的性质，等腰
三角形的性质，掌握根的判别式是解题的关键．
