2023-2024学年上学期期中模拟考试
九年级数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第1-5章（北师大版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1．如图所示的几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．矩形的对角线互相垂直
C．对角线相等的菱形是正方形
D．一组对边平行的四边形是平行四边形
3．要估计鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞了50条鱼，在每条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞出200条鱼，发现只有两条鱼是刚才做了记号的鱼，假设鱼在鱼塘内均匀分布，那么估计这个鱼塘的鱼数约为（ ）
A．1750条 B．1250条 C．5000条 D．2500条
4．关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠0
5．如图，AD∥BE∥FC，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，如果AB＝4，AC＝9，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，D在BC边上，∠ADE＝∠B，CD＝4，若△ABD的面积等于9，则△CDE的面积为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．6
7．一花户，有26m长的篱笆，要围成一边靠住房墙（墙长12m）的面积为80m2的长方形花园，且垂直于住房墙的一边留一个1m的门（如图），设垂直于住房墙的其中一边长为xm，则可列方程为（ ）
A．x＝80 B．x（26﹣2x）＝80
C．x＝80 D．x（27﹣2x）＝80
8．下列命题，其中是真命题的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相平分的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的矩形是正方形
9．如图，在 ABCD中，点E为AD的中点，点F为边AB上一点，且AF：BF＝2：3，连接CF，BE，相交于点G，则BG：GE＝（ ）
A．6：7 B．7：6 C．3：4 D．4：5
10．如图1，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD在第一象限，BC∥x轴．直线y＝x从原点O出发沿x轴正方向平移．在平移过程中，直线被平行四边形ABCD截得的线段长度n与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示．平行四边形ABCD的面积为（ ）
A．3 B． C． D．4
第Ⅱ卷
填空题：本题共6小题，共18分。
11．关于x的一元二次方程x2+x+a﹣4＝0的一个根为0，则a的值为 ．
12．在一个不透明的袋子中放有m个球，其中有6个红球，这些球除颜色外完全相同．若每次把球充分搅匀后，任意摸出一球记下颜色后再放回袋子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.3左右，则m的值约为 ．
13．如图，点E是正方形ABCD中CD边上的中点，对角线交点为O，连接BE交AC于F点，则CF：OF＝ ．
14．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝，BD＝2，点P是AC上一动点，点E是AB的中点，则PD+PE的最小值为 ．
15．如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解．则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的关联方程．若方程x﹣1＝0是关于x的不等式组的关联方程，则n的取值范围是 ．
16．如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上，则的值是 ．
三、解答题：本题共7小题，共52分.
17．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣4x+1＝0； （2）x（x﹣2）＝x﹣2．
18．（8分）如图，BE为路面水平线，某驾驶员开车时视线经过点A，F形成盲区△ABC、△FED．已知AC、FD都垂直于BE，AF∥BE，∠PBE＝45°，∠PEB＝30°，AB＝m．
（1）求该驾驶员开车时盲区的总面积；
（2）若CD＝1.8m，试求驾驶员开车时眼睛离地面的距离（精确到0.01m，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）．
19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝7，AB＝24，求菱形ADCF的面积．
20．（8分）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．
（1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．
请根据以上要求，完成如下问题：
①设购买A型机器人m台，购买总金额为w万元，请写出w与m的函数关系式；
②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？
21．（10分）在矩形ABCD中，BC＞AB．沿过点B的直线折叠矩形，使点C落在AD边上点F处，折痕为BE．
【尝试】
（1）如图1，△ABF与△DFE始终保持相似关系，请说明理由．
【探究】
（2）随着折痕BE位置的变化，F点的位置随之发生变化．当AB＝5时，是否存在点F，使AF FD＝10？若存在，求出此时BC的长；若不存在，请说明理由．
【延伸】
（3）如图2，折叠△ABF，使边BA落在BF上BG处，折痕为BM．若MF＝AM+FD，求的值．
22．（10分）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
[观察与猜想]
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，的值为 ；
（2）如图2，在矩形ABCD中，∠DBC＝30°，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则的值为 ；
[类比探究]
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE AB＝CF AD；
[拓展延伸]
（4）如图4，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AD＝8，＝，将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，DE⊥CF．求的值．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2023-2024学年上学期期中模拟考试
九年级数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第1-5章（北师大版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1．如图所示的几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：从左边看，是一个正方形，正方形的内部的右上角是一个小正方形，
故选：C．
2．下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．矩形的对角线互相垂直
C．对角线相等的菱形是正方形
D．一组对边平行的四边形是平行四边形
【答案】C
【解析】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故A选项不符合题意；
B、矩形的对角线相等，故B选项不符合题意；
C、对角线相等的菱形是正方形，故C选项符合题意；
D、两组对边平行的四边形是平行四边形，故D选项不符合题意；
故选：C．
3．要估计鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞了50条鱼，在每条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞出200条鱼，发现只有两条鱼是刚才做了记号的鱼，假设鱼在鱼塘内均匀分布，那么估计这个鱼塘的鱼数约为（ ）
A．1750条 B．1250条 C．5000条 D．2500条
【答案】C
【解析】解：由题意可得：50÷＝5000（条）．
故选：C．
4．关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠0
【答案】B
【解析】解：∵关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝22﹣4×k×（﹣1）＞0且k≠0，
解得k＞﹣1且k≠0，
故选：B．
5．如图，AD∥BE∥FC，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，如果AB＝4，AC＝9，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：∵AD∥BE∥FC，AB＝4，AC＝9，
∴＝＝＝，
故选：C．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，D在BC边上，∠ADE＝∠B，CD＝4，若△ABD的面积等于9，则△CDE的面积为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．6
【答案】A
【解析】解：过点D作DM⊥AB于M，过点E作EN⊥BC于N，
∵AB＝AC＝6，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADE＝∠B，∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△ABD∽△DCE．
∴，
∵△ABD的面积等于9，
∴AB DM＝×6×DM＝9，
∴DM＝3，
∴，
∴EN＝2．
∴△CDE的面积为CD EN＝×4×2＝4，
故选：A．
7．一花户，有26m长的篱笆，要围成一边靠住房墙（墙长12m）的面积为80m2的长方形花园，且垂直于住房墙的一边留一个1m的门（如图），设垂直于住房墙的其中一边长为xm，则可列方程为（ ）
A．x＝80 B．x（26﹣2x）＝80
C．x＝80 D．x（27﹣2x）＝80
【答案】D
【解析】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（27﹣2x）m，
根据题意得：x（27﹣2x）＝80．
故答案为：D．
8．下列命题，其中是真命题的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相平分的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的矩形是正方形
【答案】D
【解析】解：A、对角线互相垂直的四边形是平行四边形，是假命题，本选项不符合题意；
B、有一个角是直角的四边形是矩形，是假命题，本选项不符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是菱形，是假命题，本选项不符合题意；
D、对角线互相垂直的矩形是正方形，是真命题，本选项符合题意．
故选：D．
9．如图，在 ABCD中，点E为AD的中点，点F为边AB上一点，且AF：BF＝2：3，连接CF，BE，相交于点G，则BG：GE＝（ ）
A．6：7 B．7：6 C．3：4 D．4：5
【答案】A
【解析】解：如图，延长CF、DA交于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴△AHF∽△BCF，△HEG∽△CBG，
∴，，
∵AF：BF＝2：3，
∴AH：BC＝2：3，
∵点E是AD的中点，
∵BC＝AD＝2AE，
∴HE：BC＝7：6，
∴BG：GE＝6：7，
故选：A．
10．如图1，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD在第一象限，BC∥x轴．直线y＝x从原点O出发沿x轴正方向平移．在平移过程中，直线被平行四边形ABCD截得的线段长度n与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示．平行四边形ABCD的面积为（ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】D
【解析】解：如图，过B作BM⊥AD于点M，分别过B，D作直线y＝x的平行线，交AD于E，如图1所示，
由图象和题意可得，
AE＝6﹣4＝2，DE＝7﹣6＝1，BE＝，
∴AD＝2+1＝3，
∵直线BE平行直线y＝x，
∴BM＝EM＝，
∴平行四边形ABCD的面积是：AD BM＝3×＝4．
故选：D．
11．已知菱形的周长为4，两条对角线的和为6，则菱形的面积为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】D
【解析】解：如图四边形ABCD是菱形，AC+BD＝6，
∴AB＝，AC⊥BD，AO＝AC，BO＝BD，
∴AO+BO＝3，
∴AO2+BO2＝AB2，（AO+BO）2＝9，
即AO2+BO2＝5，AO2+2AO BO+BO2＝9，
∴2AO BO＝4，
∴菱形的面积＝AC BD＝2AO BO＝4；
故选：D．
第Ⅱ卷
填空题：本题共6小题，共18分。
关于x的一元二次方程x2+x+a﹣4＝0的一个根为0，则a的值为 ．
【答案】4．
【解析】解：把x＝0代入方程x2+x+a﹣4＝0得：a﹣4＝0，
∴a＝4．
故答案为：4．
在一个不透明的袋子中放有m个球，其中有6个红球，这些球除颜色外完全相同．若每次把球充分搅匀后，任意摸出一球记下颜色后再放回袋子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.3左右，则m的值约为 ．
【答案】20．
【解析】解：根据题意得＝0.3，
解得：m＝20，
经检验：m＝20是分式方程的解，
故答案为：20．
13．如图，点E是正方形ABCD中CD边上的中点，对角线交点为O，连接BE交AC于F点，则CF：OF＝ ．
【答案】2．
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∵AB＝CD，AB∥CD，
∵E是CD的中点，
∴CE＝CD＝AB，
∵正方形ABCD的对角线交点为O，
∴OA＝OC＝OF+CF，
∴AF＝CF+2OF，
∵AB∥CD，
∴△CEF∽△ABF，
∴，
∴，
∴2CF＝CF+2OF，
∴CF＝2OF，
∴CF：OF＝2，
故答案为：2．
14．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝，BD＝2，点P是AC上一动点，点E是AB的中点，则PD+PE的最小值为 ．
【解析】解：如图，连接DE，交AC于点P，此时PD+PE的最小值为DE的长，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝，BO＝DO＝1，AC⊥BD，AB＝AD，
∴tan∠ABO＝＝，
∴∠ABO＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵点E是AB的中点，
∴DE⊥AB，
∵sin∠ABD＝，
∴＝，
∴DE＝，
故答案为：．
如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解．则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的关联方程．若方程x﹣1＝0是关于x的不等式组的关联方程，则n的取值范围是 ．
【答案】1≤n＜3．
【解析】解：解方程x﹣1＝0得x＝3，
∵x＝3为不等式组的解，
∴，
解得1≤n＜3，
即n的取值范围为：1≤n＜3，
故答案为：1≤n＜3．
16．如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上，则的值是 ．
【答案】2．
【解析】解：设AD＝2a，AB＝2b，
∵将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，
∴AE＝BE＝EO＝b，DG＝AG＝GO＝a，∠CEG＝∠AEB＝90°，∠GOE＝∠A＝90°，
∴∠CEO+∠GEO＝∠CEO+∠OCE＝90°，
∴∠OEG＝∠OCE，
∴△EOG∽△COE，
∴OE2＝OG OC，
∴b2＝a 2a，
∵a＞0，b＞0，
∴b＝a，
设DF＝OF＝x，则CF＝CD﹣DF＝2a﹣x，
在Rt△COF中，由勾股定理得，x2+（2a）2＝（2）2，
解得x＝，
∴OF＝，
∴＝2，
故答案为：2．
三、解答题：本题共7小题，共52分.
17．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣4x+1＝0； （2）x（x﹣2）＝x﹣2．
【答案】（1）x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）x1＝2，x2＝1．
【解析】解：（1）x2﹣4x+1＝0，
x2﹣4x＝﹣1，
x2﹣4x+4＝3，即（x﹣2）2＝3，
∴x﹣2＝或x﹣2＝﹣，
∴x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）∵x（x﹣2）＝x﹣2，
∴（x﹣2）（x﹣1）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝2，x2＝1．
18．（8分）如图，BE为路面水平线，某驾驶员开车时视线经过点A，F形成盲区△ABC、△FED．已知AC、FD都垂直于BE，AF∥BE，∠PBE＝45°，∠PEB＝30°，AB＝m．
（1）求该驾驶员开车时盲区的总面积；
（2）若CD＝1.8m，试求驾驶员开车时眼睛离地面的距离（精确到0.01m，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）．
【答案】（1）该驾驶员开车时盲区的总面积是m2．
（2）求驾驶员开车时眼睛离地面的距离1.16m．
【解析】解：（1）∵AC、FD都垂直于BE，AF∥BE，
∴四边形AFDC是矩形，
∴AC＝FD，
在Rt△ABC中，∠PBE＝45°，
∴sin45°＝，
∴AC＝（m），
∴FD＝（m），
在Rt△FDE中，∠PEB＝30°，
∴tan30°＝，
∴ED＝（m），
∴S△FDE＝××＝（m2），S△ABC＝××＝（m2），
∴该驾驶员开车时盲区的总面积是（m2）．
答：该驾驶员开车时盲区的总面积是（m2）．
（2）过点P作PG⊥BE于点G，交AF于点H，
∴HG＝AC＝（m）
设PH＝x（m），
∵AF∥CD，
∴∠PFA＝∠PED＝30°，∠PAH＝∠PBC＝45°，
∴FH＝x（m），AH＝x，
∵CD＝AF＝1.8（m），
∴x+x＝1.8，
解得：x＝0.659，
∴PG＝PH+HG≈0.5+0.659≈1.16（m）．
答：求驾驶员开车时眼睛离地面的距离1.16m．
19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝7，AB＝24，求菱形ADCF的面积．
【答案】（1）见解析；（2）84．
【解析】（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF＝DB，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝BC＝CD，
∴四边形ADCF是菱形；
（2）解：∵D是BC的中点，
∴S菱形ADCF＝2S△ADC＝S△ABC＝AB AC＝×24×7＝84
20．（8分）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．
（1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．
请根据以上要求，完成如下问题：
①设购买A型机器人m台，购买总金额为w万元，请写出w与m的函数关系式；
②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？
【答案】（1）每台A型机器人每天搬运货物90吨，则每台B型机器人每天搬运货物100吨；
（2）①w＝﹣0.8m+60；
②购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最低是46.4万元．
【解析】解：（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物（x+10）吨，
由题意得：，
解得：x＝90，
当x＝90时，x（x+10）≠0，
∴x＝90是分式方程的根，
∴x+10＝90+10＝100（吨），
答：每台A型机器人每天搬运货物90吨，则每台B型机器人每天搬运货物100吨；
（2）①由题意得：w＝1.2m+2（30﹣m）＝﹣0.8m+60；
②由题意得：，
解得：15≤m≤17，
∵﹣0.8＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝17时，w最小，此时w＝﹣0.8×17+60＝46.4，
∴购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最低是46.4万元
21．（10分）在矩形ABCD中，BC＞AB．沿过点B的直线折叠矩形，使点C落在AD边上点F处，折痕为BE．
【尝试】
（1）如图1，△ABF与△DFE始终保持相似关系，请说明理由．
【探究】
（2）随着折痕BE位置的变化，F点的位置随之发生变化．当AB＝5时，是否存在点F，使AF FD＝10？若存在，求出此时BC的长；若不存在，请说明理由．
【延伸】
（3）如图2，折叠△ABF，使边BA落在BF上BG处，折痕为BM．若MF＝AM+FD，求的值．
【答案】（1）见解析；
（2）3；
（3）．
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝∠D＝90°，
由折叠知，∠BFE＝∠C＝90°，
∴∠AFE+∠EFD＝∠EFD+∠FED＝90°，
∴∠AFE＝∠FED，
∴△AFB∽△DFE；
（2）存在点F，使AF FD＝10，
∵将△BCE沿BE翻折，使点C落在AD边上点F处，
∴∠BFE＝∠C＝90°，CE＝EF，
又∵矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，
∴∠AFB+∠DFE＝90°，∠DEF+∠DFE＝90°，
∴∠AFB＝∠DEF，
∴△FAB∽△EDF，
∴，
∴AF DF＝AB DE，
∵AF DF＝10，AB＝5，
∴DE＝2，
∴CE＝DC﹣DE＝5﹣2＝3，
∴EF＝3，
∴DF＝，
∴AF＝，
∴BC＝AD＝AF+DF＝2．
（3）∵MF＝AM+FD，
∴MF＝AD，
由折叠知，BC＝BF＝AD，∠FGM＝∠A＝90°，
∴MF＝BF，
∵∠MFG＝∠BFA，
∴△FGM∽△FAB，
∴，
设AM＝x，FG＝y，则AB＝2x，AF＝2y，
∴（2x）2+（2y）2＝（2x+y）2，
解得y＝或y＝0（舍去），
∴BF＝2x+y＝2x+＝，
∴．
22．（10分）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
[观察与猜想]
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，的值为 ；
（2）如图2，在矩形ABCD中，∠DBC＝30°，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则的值为 ；
[类比探究]
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE AB＝CF AD；
[拓展延伸]
（4）如图4，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AD＝8，＝，将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，DE⊥CF．求的值．
【答案】（1）1；
（2）；
（3）见解析；
（4）．
【解析】（1）解：如图1，设DE与CF交于点G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠FDC＝90°，AD＝CD，
∵DE⊥CF，
∴∠DGF＝90°，
∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠CFD＝∠AED，
在△AED和△DFC中，
，
∴△AED≌△DFC（AAS），
∴DE＝CF，
即＝1，
故答案为：1；
（2）解：如图2，设DB与CE交于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠EDC＝90°，AB＝CD，AD∥BC，
∠ADB＝∠DBC＝30°，
∴＝tan30°＝，
∵CE⊥BD，
∴∠DGC＝90°，
∴∠CDG+∠ECD＝90°，∠ADB+∠CDG＝90°，
∴∠ECD＝∠ADB，
∵∠CDE＝∠A，
∴△DEC∽△ABD，
∴＝＝＝，
故答案为：；
（3）证明：如图3，过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H，
∵CG⊥EG，
∴∠G＝∠H＝∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABCH为矩形，
∴AB＝CH，∠FCH+∠CFH＝∠DFG+∠FDG＝90°，
∴∠FCH＝∠FDG＝∠ADE，
∵∠A＝∠H＝90°，
∴△DEA∽△CFH，
∴＝，
∴＝，
∴DE AB＝CF AD；
（4）解：如图4，过点C作CG⊥AD于点G，连接AC交BD于点H，CG与DE相交于点O，
∵CF⊥DE，GC⊥AD，
∴∠FCG+∠CFG＝∠CFG+∠ADE＝90°，
∴∠FCG＝∠ADE，
∵∠BAD＝∠CGF＝90°，
∴△DEA∽△CFG，
∴＝，
在Rt△ADB中，tan∠ADB＝＝，
∴tan∠ADH＝，
即＝，
设AH＝a，则DH＝4a，
∵AH2+DH2＝AD2，
∴a2+（4a）2＝82，
∴a＝（负值已舍去），
∴AH＝，DH＝，
∴AC＝2AH＝，
∵S△ADC＝AC DH＝AD CG，
∴××＝×8×CG，
∴CG＝，
∴＝＝＝．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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