青铜峡市宁朔县中2023-2024学年第一学期
高三年级数学（文科）期中考试测试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知复数，则（ ）
A．2 B．10 C． D．
3.已知都是正实数，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知向量，，若，则与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5.函数的图象大致为（ ）
A． B． C．D．
6.已知函数的最小正周期为，把函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
7.已知函数在处有极大值，则的值为（ ）
A．1 B．3 C．2 D．1或3
8.直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交但不过圆心 B．相切 C．相离 D．相交且过圆心
9.在等比数列中，已知前n项和，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
10.已知直线是函数图像的一条对称轴，则在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
11．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且外接圆半径为，则△ABC周长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12.若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，，则 .
14．已知直线与直线平行，且经过点，则直线的方程为 .
15．已知，，且，，则 ．
16．关于函数有下述四个结论：①是偶函数；②在区间上单调递减；③在有四个零点；④的值域是；⑤的周期为.其中所有正确结论的编号是 .
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分
17．(12分)如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积．
18．(12分)已知数列为等差数列，数列为等比数列，，，，，
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前n项和为.
19.(12分)在中，角所对的边分别为且．
(1)求边的值；
(2)若，，求的面积.
20.(12分)已知椭圆的离心率是，是椭圆C上一点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点的直线l与椭圆C交于A，B（异于点P）两点，直线PA，PB的斜率分别是，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
21.(12分)函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，求的单调区间；
（3）若，证明：在有唯一零点.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
(2)设点，若直线与曲线相交于，两点，求的值．
23.已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.青铜峡市宁朔县中2023-2024学年第一学期
高三年级数学（文科）期中考试答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C D A C A B B A B D D C
11．D
【详解】因为，由正弦定理的
又因为，可得，
所以，
即，
因为，可得，可得，即，
解得或（舍去），
因为，所以，则，
又因为外接圆半径为，所以，
又由
，
因为为锐角三角形，且，所以且，
解得，可得，所以，
所以.
12．C
【详解】当时，不成立，则，
所以关于的方程有两个实数根等价于关于的方程有两个实数根.
令，则
当或时，单调递减，
当时，单调递增，
所以当时，，
又时，时.
则的图象如下所示：
由图可知，当时，关于的方程有两个实数根，
即关于的方程有两个实数根.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，，则 .
14．已知直线与直线平行，且经过点，则直线的方程为 .
15．已知，，且，，则 ．
16．关于函数有下述四个结论：①是偶函数；②在区间上单调递减；③在有四个零点；④的值域是；⑤的周期为.其中所有正确结论的编号是 ②③⑤ .
16题：【详解】选项①. 因为，
所以，
所以既不是奇函数也不是偶函数，①不正确；
选项②. ，令，则，
因为在区间上单调递增，而函数在单调递减，
所以在区间上单调递减，②正确；
选项③. 当时，由，得，或，或，或，
所以在有四个零点，③正确；
选项④. ，因为，
所以当时，，当时，，所以④不正确.
选项⑤.
所以是的周期，故⑤正确
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分
17．(12分)如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积．
【详解】（1）平面理由如下：
如图，在正方体中，
连接交于点F，则F为中点.
连接，
又∵E为的中点，是的中位线，.
平面，平面，
平面. 6分
（2） 12分
18．(12分)已知数列为等差数列，数列为等比数列，，，，，
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前n项和为.
【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为，
由题意可得，,
故,解得.
又，,
所以，.
故数列的通项公式为，的通项公式为........6分
（2）由（1）得，
所以
........12分
19.(12分)在中，角所对的边分别为且．
(1)求边的值；
(2)若，，求的面积.
【详解】（1）依题意，，
由正弦定理得，，
而，故． 6分
（2）由余弦定理得，，得，
故 12分
20.(12分)已知椭圆的离心率是，是椭圆C上一点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点的直线l与椭圆C交于A，B（异于点P）两点，直线PA，PB的斜率分别是，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【详解】（1）设椭圆C的焦距为2c，
由题意可得，解得，，
故椭圆C的标准方程为：. 4分
（2）
由题意可知直线l的斜率不为0，设直线，，， 6分
联立，整理得， 8分
则，
，，
因为，所以，，
所以 10分
. 12分
故为定值，该定值为.
21.(12分)函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，求的单调区间；
（3）若，证明：在有唯一零点.
【详解】解：（Ⅰ）若，则，，
故，即曲线在点处的切线斜率为5，
又，所以所求切线方程为：，即. 4分
（Ⅱ）当时，的定义域为，
,
当，时，， 在和上单调递增.
当时，， 在上单调递减. 8分
（Ⅲ）由得
设，，
当时，，有，即，
故在单调递增.
又，，
所以在有唯一零点. 12分
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
(2)设点，若直线与曲线相交于，两点，求的值．
23.已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.
