彭州市2023～2024学年度上期高三期中教学质量调研
文科数学
考试时间120分钟，满分150分
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号和考号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，，则
A． B． C． D．
2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则
A． B． C． D．
3. 已知命题，不是素数，则为
A．，是素数 B．，是素数
C．，是素数 D．，是素数
4已知等差数列的前n项和为，，则数列的公差为
A．1 B．2 C．3 D．4
5. 已知向量，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．2023年“三月三”期间，四川交通部门统计了2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量（单位：万车次），并与2022年比较，得到同比增长率[同比增长率=（今年车流量去年同期车流量）÷去年同期车流量×100％）]数据，绘制了如图所示的统计图，则下列结论错误的是
A．2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的极差为23
B．2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的中位数为17
C．2023年4月19日至4月21日的高速公路车流量的标准差小于2023年4月23日至4月25日的高速公路车流量的标准差
D．2022年4月23日的高速公路车流量为20万车次
7．已知函数，的部分图象如图所示，则
A． B．
C．1 D．
8．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为，则下列各数中与最接近的是（参考数据：）
A． B． C． D．
9．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1斜率为的直线与C的右支交于点P，若线段PF1与y轴的交点恰为PF1的中点，则C的离心率为
A． B． C．2 D．3
10．已知定义在上的奇函数满足，当时，．若函数在区间上有5个零点，则实数m的取值范围是
A．[1,1.5) B．[1.5,2) C．[2,2.5) D．[2.5,3)
11．已知，则不等式的解集为
A． B．
C． D．
12．已知，对任意，都存在，使得成立，则下列选项中，可能的值为
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数则______．
14．已知数列满足，且，则______．
15．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点A(5,4)射出，经过抛物线上的点B反射后，再经抛物线上的另一点C射出，则______．
16．已知正数a，b满足（e为自然对数的底数），有下列三个关系式：
① ② ③
其中正确的是______（填序号）．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，，求的面积．
18．（12分）
如图，在四棱锥中，底面，，，，，E，F分别为CD，PA的中点．
（1）证明：；
（2）求三棱锥的体积．
19．（12分）
某地区对某次考试成绩进行分析，随机抽取100名学生的A，B两门学科成绩作为样本．将他们的A学科成绩整理得到如图所示的频率分布直方图，且规定成绩不小于70分为良好．已知他们中B学科良好的有50人，两门学科均良好的有40人．
（1）根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为这次考试学生的A学科良好与B学科良好有关；
B学科良好 B学科不够良好 合计
A学科良好
A学科不够良好
合计
（2）为了进一步分析学生成绩，从A学科不够良好的学生中采用分层抽样的方法抽出6人，最后从这6人中随机选出2人进行访谈，求其中恰有1人为B学科良好的概率。
附：，其中．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
20．（12分）
已知椭圆的左、右顶点分别为A1，A2，点在椭圆C上，且.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的右焦点为F，过点F斜率不为0的直线l交椭圆C于P，Q两点，记直线MP与直线MQ的斜率分别为k1，k2，当时，求的面积．
21．（12分）
已知函数．
（1）当时，求函数在区间[1,2]上的最大值；
（2）若存在极大值点，且，求的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（10分）
在平面直角坐标系中，曲线，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线，的极坐标方程；
（2）在极坐标系中，射线与曲线，分别交于A，B两点（异于极点），求的长度．
23．（10分）
已知．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
高中2021级文科数学试题 第 1 页 （共 4 页）彭州市2023～2024学年度上期高三期中教学质量调研
文科数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A A D B B C D D D A B C
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．2 14． 15． 16．①②③
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）
解：（1），
由正弦定理得， …………………………2分
，可得，，即．………………4分
，所以； …………………………6分
（2）解法1：由正弦定理，
， …………………………8分
可得，，……9分
，，所以， …………………………10分
的面积为． …………………………12分
解法2：因为，且，
， …………………………7分
可得，
，
， …………………………9分
，，可得，，
，，
，由余弦定理得，即，
解得，即， …………………………10分
的面积为．………………………12分
18．（12分）
解：（1）方法一：综合法——平行平面的性质
取的中点，连结，（如图），……..1分
由E，F分别为，的中点及中位线定理得，，，……………2分
，，，，
，．
又，，，
． …………………………4分
，
． …………………………6分
方法二：综合法——直线与平面平行的判定
连结延长交的延长线于，连结， …………1分
，即，又，
， ……………………3分
又，， ……………………4分
，，
． ……………………6分
（2）方法一：，
，，
又，，，，
，
点到平面的距离为， ……………………………8分
，，
，
，到平面等距，故三棱锥的高为2， ……………………………9分
又， ……………………………10分
； ……………………………12分
方法二：连结，由，得：，
，
，
在中，，由余弦定理得：，…8分
即，
，
，，
，， ……………………………9分
，，
……………………………10分
……………12分
19．（12分）
解： （1）由直方图可得学科良好的人数为（人），…1分
所以列联表如下：
B学科良好 B学科不够良好 合计
A学科良好 40 30 70
A学科不够良好 10 20 30
合计 50 50 100
………………………4分
假设：学科良好与学科良好无关，
，………………5分
所以有95%把握认为学科良好与学科良好有关； ………………………6分
（2）由题意知，学科不够良好的学生中，学科良好和不够良好的学生比为
所抽学科良好人数为2人，学科不够良好人数为4人， ………………………7分
记“其中恰有1人为学科良好”为事件，
设学科良好为，，学科不够良好分别为，，，，
则所有结果为共15种．事件包含的基本事件为共8种； ………………………11分
由古典概型的概率公式得：． ………………………12分
20．（12分）
解：（1）由题意知，，
又，则，， ………………………1分
，解得(负值舍去)， ………………………3分
由在椭圆上及得，解得， ………………………4分
椭圆的方程为； ………………………5分
（2）由（1）知，右焦点为，
据题意设直线的方程为，，，
则，，
于是由得，化简得（*）……………………7分
由，消去整理得，
，
由根与系数的关系得：，，
代入（*）式得：，解得，
直线的方程为， ………………………9分
方法一：，，，
由求根公式与弦长公式得：，……………………10分
设点到直线的距离为，则， ……………………11分
……………………12分
方法二：由题意可知
， ……………………10分
代入消去得，
，，， ……………………11分
． …………………………12分
21．（12分）
解：（1）已知，函数定义域为，
当时，，
可得， ……………………2分
当时，， ……………………3分
所以函数的在区间[1,2]上单调递增， ……………………4分
则当时，函数取得最大值，最大值； ……………………5分
（2）易知，
若，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值，不符合题意； …………………………7分
若，
令，
解得或，
当，即时，
由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数取得极小值，不符合题意； ……………………………8分
若，即时，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极大值，
若存在极大值点，且，
则且，符合题意； …………………………9分
若，即时，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极大值，
此时且，
解得，…..11分
综上，满足条件的的取值范围为． …………………………12分
22．（10分）
解：（1）曲线的极坐标方程为：， …………………………2分
曲线的普通方程为：，， …………………………4分
曲线的极坐标方程为；…….5分
（2）由（1）得：点的极坐标为，点的极坐标为， ………………7分
， …………………………10分
23．（10分）
解：（1）方法一：当时，，
①，无解； …………………………1分
②，解得； …………………………3分
③，解得； …………………………4分
综上：原不等式的解集为； …………………………5分
方法二：原不等式等价于：， …………………………1分
由绝对值的几何意义知的几何意义为：
数轴上实数对应的点到所对点的距离与其到原点的距离之差大于1，………………3分
又的解为， …………………………4分
原不等式的解集为； …………………………5分
（2）当时，，
原不等式等价于：，即，则，…………6分
，故，解得， …………………………9分
的取值范围为．……10分
