陕西省延安市黄陵中学（重点班)2019-2020学年高二上学期理数期末考试试卷
一、单选题
1．（2019高二上·黄陵期中）数列1,3,7,15,…的通项公式 等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2020高二上·黄陵期末）在△ABC中，“A＝ ”是“cos A＝ ”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2020高二上·黄陵期末）命题 ， ，命题 ， ，则下列命题中是真命题的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2019高二上·黄陵期中）不等式 的解集是（ ）
A．{x|x＜－8或x＞－3} B．{x|x≤－8或x＞－3}
C．{x|－3≤x≤2} D．{x|－3＜x≤2}
5．（2020高二上·黄陵期末）若a＜1，b＞1，那么下列不等式中正确的是( )
A． B． C．a2＜b2 D．ab＜a＋b
6．（2019高二上·黄陵期中）已知等差数列中，，则的值是 （ ）
A．15 B．30 C．31 D．64
7．（2020高二上·黄陵期末）双曲线 的实轴长是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020高二上·黄陵期末）空间直角坐标中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB与CD的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．无法确定
9．（2020高二上·黄陵期末）已知向量 ，则下列向量中与 成 的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2019高二上·黄陵期中）若实数a，b满足a＋b＝2，则 的最小值是（ ）
A．18 B．6 C．2 D．4
11．（2016高二上·宜春期中）钝角三角形ABC的面积是 ，AB=1，BC= ，则AC=（ ）
A．5 B． C．2 D．1
12．（2017高二上·南阳月考）已知 为坐标原点， 是椭圆 的左焦点， 分别为 的左，右顶点． 为 上一点，且 轴．过点 的直线 与线段 交于点 ，与 轴交于点 ．若直线 经过 的中点，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2020高二上·黄陵期末）命题“ x0∈ ，tan x0≤sin x0”的否定是 ．
14．（2020高二上·黄陵期末）已知椭圆5x2－ky2＝5的一个焦点是(0，2)，则k＝ ．
15．（2020高二上·黄陵期末）已知 ，且 两两垂直，则(x，y，z)＝ ．
16．（2020高二上·黄陵期末）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为 ．
三、解答题
17．（2020高二上·黄陵期末）已知命题p： ；命题q： .若p是真命题，且q是假命题，求实数x的取值范围.
18．（2020高二上·黄陵期末）已知空间三点 ，设 .
（1）求 和 的夹角 的余弦值；
（2）若向量 与 互相垂直，求 的值.
19．（2020高二上·黄陵期末）求满足下列条件的抛物线的标准方程．
（1）焦点在坐标轴上，顶点在原点，且过点(－3，2)；
（2）顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点在直线x－2y－4＝0上．
20．（2018高二上·灌南月考）如图，在直三棱柱ABC 中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，A ＝4.
（1）证明： ；
（2）求二面角 的余弦值大小．
21．（2019高二上·黄陵期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知角A＝ ， sinB＝3sinC.
（1）求tanC的值；
（2）若a＝ ，求△ABC的面积．
22．（2019高二上·长春月考）已知双曲线 ，问：过点 能否作直线 ，使 与双曲线交于 两点，并且点 为线段 的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。
23．（2020高二上·黄陵期末）如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝4，点E在线段AB上．过点E作EF∥BC交AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A与P重合)，使得∠PEB＝60°.
（1）求证：EF⊥PB．
（2）试问：当点E在线段AB上移动时，二面角P FC B的平面角的余弦值是否为定值？若是，求出其定值；若不是，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】 ， ， ， ，故可得 ，
故答案为：C.
【分析】由已知数列，分别找到前四项的规律，即可求出通项公式 .
2．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】在 中，则 ，所以 且 ，
所“ ”是“ ”的充要条件，
故答案为：C.
【分析】根据在 中，根据角得范围和特殊角的三角函数值，及充要条件的判定方法，即可判定，得到答案.
3．【答案】D
【知识点】复合命题的真假
【解析】【解答】命题p：由于对已知 x∈R，x2≥0，则x2+1≥1＞0，
则命题p： x∈R，x2+1＞0，为真命题，￢p为假命题；
命题q：由于对 θ∈R，sin2θ+cos2θ=1，
则命题q： θ∈R，sin2θ+cos2θ=1.5为假命题，￢q为真命题．
则p∧q、￢p∧q、￢p∨q为假命题，p∧（￢q）为真命题．
故答案为：D．
【分析】由于命题p： x∈R，x2+1＞0，为真命题，而命题q： θ∈R，sin2θ+cos2θ=1.5为假命题再根据复合命题的真假判定，一一验证选项即可得正确结果．
4．【答案】B
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，所以 ，解得 或 ，
故答案为：B.
【分析】先将分式不等式 转化为整式不等式 ，再解二次不等式即可得解.
5．【答案】D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】当 时满足a＜1，b＞1，但 ，即A，B，C不符合题意；
，又a＜1，b＞1，
所以 ，
故答案为：D
【分析】举反例说明ABC不符合题意，利用不等式性质证明D符合题意.
6．【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】因为等差数列中，，所以，=15，故选A。
【分析】简单题，等差数列中，。m+n=p+q，。
7．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】化方程为双曲线的标准方程得： ，所以 ，故实轴长为 ，
故答案为：A．
【分析】利用双曲线标准方程求出a的值，从而求出双曲线的实轴长。
8．【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】∵空间直角坐标系中，
A（1，2，3），B（﹣1，0，5），C（3，0，4），D（4，1，3），
∴ =（﹣2，﹣2，2）， =（1，1，﹣1），
∴ =﹣2 ，
∴直线AB与CD平行．
故答案为：A．
【分析】由已知得 =（﹣2，﹣2，2）， =（1，1，﹣1）， =﹣2 ，从而得到直线AB与CD平行．
9．【答案】B
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】对于A选项中的向量 ， ，
则 ；
对于B选项中的向量 ，则 ；
对于C选项中的向量 ， ，则 ；
对于D选项中的向量 ，此时 ，两向量的夹角为 .
故答案为：B.
【分析】用两向量的数量积求夹角公式求出与 成 的向量的坐标。
10．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由实数a，b满足a＋b＝2，有 ，当且仅当 ，即 时取等号，
故答案为：B.
【分析】由重要不等式可得 ，再根据a＋b＝2，代入即可得解.
11．【答案】B
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：∵钝角三角形ABC的面积是 ，AB=c=1，BC=a= ，
∴S= acsinB= ，即sinB= ，
当B为钝角时，cosB=﹣ =﹣ ，
利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB BC cosB=1+2+2=5，即AC= ，
当B为锐角时，cosB= = ，
利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB BC cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，
此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，
则AC= ．
故选：B．
【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC的值代入求出sinB的值，分两种情况考虑：当B为钝角时；当B为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，利用余弦定理求出AC的值即可．
12．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】如图
取 与 重合，则由 直线 同理由 .
故答案为：A.
【分析】用特殊位置法，取 P 与 M 重合，得到关于a,b,c的关系式求离心率.
13．【答案】
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】因为命题 的否定为
故答案为:
【分析】根据特称命题的否定直接求解.
14．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】
因为椭圆5x2－ky2＝5的一个焦点是(0，2)，
所以
故答案为:
【分析】先化成椭圆标准形式，再根据方程列等量关系，解得结果.
15．【答案】(－64，－26，－17)
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】∵ 两两垂直，
∴ ， ， ，
∴ ，
解得：x=﹣64，y=﹣26，z=﹣17．
故答案为：(－64，－26，－17)．
【分析】根据向量的数量积等于0列方程组得出x，y，z的值．
16．【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：如图所示，取AB得中点M，连接CM，C1M，过点C作CD⊥C1M，垂足为D
∵C1A=C1B，M为AB中点，
∴C1M⊥AB
∵CA=CB，M为AB中点，
∴CM⊥AB
又∵C1M∩CM=M，
∴AB⊥平面C1CM
又∵AB 平面ABC1，
∴平面ABC1⊥平面C1CM，平面ABC1∩平面C1CM=C1M，CD⊥C1M，
∴CD⊥平面C1AB，
∴CD的长度即为点C到平面ABC1的距离，即点B1到平面ABC1的距离
在Rt△C1CM中，C1C=1，CM= ，C1M=
∴CD= ，即点B1到平面ABC1的距离为
故答案为：
【分析】在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．本题采用的是“找垂面法”：即找（作）出一个过该点的平面与已知平面垂直，然后过该点作其交线的垂线，则得点到平面的垂线段．观察点的位置可知：点B1到平面ABC1的距离就等于点C到平面ABC1的距离，取AB得中点M，连接CM，C1M，过点C作CD⊥C1M，垂足为D，则平面ABC1⊥平面C1CM，所以CD⊥平面C1AB，CD的长度即为点C到平面ABC1的距离，在Rt△C1CM中，利用等面积法即可求出CD的长度．
17．【答案】解：p为真:等价于不等式
q为假等价于不等式 的解。然后这两个不等式的解集求并集即是所求x的取值范围。由 得： ，解得
由 得：
因为p为真命题，q为假命题，则
所以 或
【知识点】复合命题的真假
【解析】【分析】利用命题p和命题q的真假性，结合对数函数的单调性和与特殊值对应的对数的大小关系比较，以及绝对值不等式求解方法，从而利用交集的运算法则，借助数轴求出实数x的取值范围。
18．【答案】（1）解： ，
．
则 ，
所以 与 的夹角 的余弦值为 .
（2）解： ，
，
所以 ,
即 ，
所以 或 .
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【分析】（1）利用向量夹角公式即可得出；（2）利用两个向量互相垂直，其数量积为0，可得关于 的方程.
19．【答案】（1）解：因为抛物线焦点在坐标轴上，顶点在原点，
所以可设抛物线方程为 或
因为过点(－3，2)，所以 或 ，即 或
因此抛物线方程为 或
（2）解：因为焦点在直线x－2y－4＝0上又在坐标轴上，所以焦点坐标为 或
因此对应抛物线方程为 或
【知识点】抛物线的标准方程
【解析】【分析】（1）先设抛物线方程，再代入点坐标求方程；（2）先求焦点坐标，再写抛物线方程.
20．【答案】（1）证明：∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，
∴AC，BC，CC1两两垂直．
如图
以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C﹣xyz，则C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0），B1（0，4，4）．
∵ =（﹣3，0，0）， =（0，﹣4，4），
∴ =0，
AC⊥BC1
（2）解：平面ABC的一个法向量为 =（0，0，1），
设平面C1AB的一个法向量为 =（x，y，z），
=（﹣3，0，4）， =（﹣3，4，0），
由 得：
令x=4，则z=3，y=3则 =（4，3，3）．
Cos＜ ， ＞= = ．
即二面角 AB C的余弦值为 .
【知识点】空间向量垂直的坐标表示；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，表示相应的向量，根据空间向量的数量积运算，即可证明两直线垂直；
（2）求出平面的法向量，结合空间向量的数量积运算即可求出二面角的余弦值.
21．【答案】（1）解：因为A＝ ，所以B＋C＝ ，
故sin ＝3sinC，
所以 cosC＋ sinC＝3sinC，即 cosC＝ sinC，得tanC＝ .
（2）解：由 ，sinB＝3sinC，得b＝3c.
在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝9c2＋c2－2×(3c)×c× ＝7c2，
又∵a＝ ，∴c＝1，b＝3，所以△ABC的面积为S＝ bcsinA＝ .
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由已知得到 sin ＝3sinC， 利用两角和的正弦公式，即可求出 tanC的值；
（2）先利用正弦定理得到b＝3c，再利用余弦定理列式，可得 a2＝7c2， 得到 c＝1，b＝3 ，即可求出 △ABC的面积.
22．【答案】解：设过点 的直线方程为 或
①设
当 存在时联立 ，得
因为直线与双曲线相交于两个不同点，则必有 ，
，且
又 为线段 的中点， 即
解得 ，与 矛盾，
故过点 与双曲线交于两点 且 为线段 中点的直线不存在.
②当 时，直线经过点 但不与双曲线交于 两点．
综上，符合条件的直线 不存在
【知识点】双曲线的应用
【解析】【分析】假设存在，设出方程与双曲线方程联立，利用B为线段MN中点，结合韦达定理，求出k的值，验证根的判别式，可得结论。
23．【答案】（1）证明：在Rt△ABC中，∵EF∥BC
∴EF⊥AB
∴EF⊥EB，EF⊥EP，又由EB∩EP=E
∴EF⊥平面PEB
又∵PB 平面PEB
∴EF⊥PB
（2）解：在平面PEB中，过P点作PD⊥BE于D，
由（1）知，EF⊥PD
∴PD⊥平面BCFE
在平面PEB中过点B作直线BH∥PD
则BH⊥平面BCFE
如图，以B为坐标原点，BC，BE，BH方向分别为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系，
设PE=x（0＜x＜4），又∵AB=BC=4
∴BE=4﹣x，EF=x
在Rt△PED中，∠PED=60°
∴PD= ，DE=
∴BD=4﹣x﹣ =4﹣
∴C（4，0，0），F（x，4﹣x，0），P（0，4﹣ ， ）
从而 =（x﹣4，4﹣x，0）， =（﹣4，4﹣ ， ）
设 =（a，b，c）是平面PCF的一个法向量，则：
，
即
令b=1，则 =（1，1， ）是平面PCF的一个法向量，
又∵平面BCF的一个法向量为 =（0，0，1）
设二面角P﹣FC﹣B的平面角为θ，则
Cosθ= =
∴当点E在线段AB上移动时，二面角P﹣FC﹣B的平面角的余弦值为定值
【知识点】直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【分析】（1）由已知在Rt△ABC中，中EF∥BC，我们可得到EF⊥AB，即EF⊥EB，EF⊥EP，由线面垂直的判定定理定理，易得EF⊥平面PEB，再由线面垂直的定义，即可得到EF丄PB；（2）在平面PEB中，过P点作PD⊥BE于D，结合（I）的结论可得BH⊥平面BCFE，以B为坐标原点，BC，BE，BH方向分别为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系，则我们可以分别求出平面PFC与平面BFC的法向量，代入二面角的向量夹角公式中，求出其余弦值，判断后，即可得到答案．
陕西省延安市黄陵中学（重点班)2019-2020学年高二上学期理数期末考试试卷
一、单选题
1．（2019高二上·黄陵期中）数列1,3,7,15,…的通项公式 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】 ， ， ， ，故可得 ，
故答案为：C.
【分析】由已知数列，分别找到前四项的规律，即可求出通项公式 .
2．（2020高二上·黄陵期末）在△ABC中，“A＝ ”是“cos A＝ ”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】在 中，则 ，所以 且 ，
所“ ”是“ ”的充要条件，
故答案为：C.
【分析】根据在 中，根据角得范围和特殊角的三角函数值，及充要条件的判定方法，即可判定，得到答案.
3．（2020高二上·黄陵期末）命题 ， ，命题 ， ，则下列命题中是真命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复合命题的真假
【解析】【解答】命题p：由于对已知 x∈R，x2≥0，则x2+1≥1＞0，
则命题p： x∈R，x2+1＞0，为真命题，￢p为假命题；
命题q：由于对 θ∈R，sin2θ+cos2θ=1，
则命题q： θ∈R，sin2θ+cos2θ=1.5为假命题，￢q为真命题．
则p∧q、￢p∧q、￢p∨q为假命题，p∧（￢q）为真命题．
故答案为：D．
【分析】由于命题p： x∈R，x2+1＞0，为真命题，而命题q： θ∈R，sin2θ+cos2θ=1.5为假命题再根据复合命题的真假判定，一一验证选项即可得正确结果．
4．（2019高二上·黄陵期中）不等式 的解集是（ ）
A．{x|x＜－8或x＞－3} B．{x|x≤－8或x＞－3}
C．{x|－3≤x≤2} D．{x|－3＜x≤2}
【答案】B
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，所以 ，解得 或 ，
故答案为：B.
【分析】先将分式不等式 转化为整式不等式 ，再解二次不等式即可得解.
5．（2020高二上·黄陵期末）若a＜1，b＞1，那么下列不等式中正确的是( )
A． B． C．a2＜b2 D．ab＜a＋b
【答案】D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】当 时满足a＜1，b＞1，但 ，即A，B，C不符合题意；
，又a＜1，b＞1，
所以 ，
故答案为：D
【分析】举反例说明ABC不符合题意，利用不等式性质证明D符合题意.
6．（2019高二上·黄陵期中）已知等差数列中，，则的值是 （ ）
A．15 B．30 C．31 D．64
【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】因为等差数列中，，所以，=15，故选A。
【分析】简单题，等差数列中，。m+n=p+q，。
7．（2020高二上·黄陵期末）双曲线 的实轴长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】化方程为双曲线的标准方程得： ，所以 ，故实轴长为 ，
故答案为：A．
【分析】利用双曲线标准方程求出a的值，从而求出双曲线的实轴长。
8．（2020高二上·黄陵期末）空间直角坐标中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB与CD的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．无法确定
【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】∵空间直角坐标系中，
A（1，2，3），B（﹣1，0，5），C（3，0，4），D（4，1，3），
∴ =（﹣2，﹣2，2）， =（1，1，﹣1），
∴ =﹣2 ，
∴直线AB与CD平行．
故答案为：A．
【分析】由已知得 =（﹣2，﹣2，2）， =（1，1，﹣1）， =﹣2 ，从而得到直线AB与CD平行．
9．（2020高二上·黄陵期末）已知向量 ，则下列向量中与 成 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】对于A选项中的向量 ， ，
则 ；
对于B选项中的向量 ，则 ；
对于C选项中的向量 ， ，则 ；
对于D选项中的向量 ，此时 ，两向量的夹角为 .
故答案为：B.
【分析】用两向量的数量积求夹角公式求出与 成 的向量的坐标。
10．（2019高二上·黄陵期中）若实数a，b满足a＋b＝2，则 的最小值是（ ）
A．18 B．6 C．2 D．4
【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由实数a，b满足a＋b＝2，有 ，当且仅当 ，即 时取等号，
故答案为：B.
【分析】由重要不等式可得 ，再根据a＋b＝2，代入即可得解.
11．（2016高二上·宜春期中）钝角三角形ABC的面积是 ，AB=1，BC= ，则AC=（ ）
A．5 B． C．2 D．1
【答案】B
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：∵钝角三角形ABC的面积是 ，AB=c=1，BC=a= ，
∴S= acsinB= ，即sinB= ，
当B为钝角时，cosB=﹣ =﹣ ，
利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB BC cosB=1+2+2=5，即AC= ，
当B为锐角时，cosB= = ，
利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB BC cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，
此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，
则AC= ．
故选：B．
【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC的值代入求出sinB的值，分两种情况考虑：当B为钝角时；当B为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，利用余弦定理求出AC的值即可．
12．（2017高二上·南阳月考）已知 为坐标原点， 是椭圆 的左焦点， 分别为 的左，右顶点． 为 上一点，且 轴．过点 的直线 与线段 交于点 ，与 轴交于点 ．若直线 经过 的中点，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】如图
取 与 重合，则由 直线 同理由 .
故答案为：A.
【分析】用特殊位置法，取 P 与 M 重合，得到关于a,b,c的关系式求离心率.
二、填空题
13．（2020高二上·黄陵期末）命题“ x0∈ ，tan x0≤sin x0”的否定是 ．
【答案】
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】因为命题 的否定为
故答案为:
【分析】根据特称命题的否定直接求解.
14．（2020高二上·黄陵期末）已知椭圆5x2－ky2＝5的一个焦点是(0，2)，则k＝ ．
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】
因为椭圆5x2－ky2＝5的一个焦点是(0，2)，
所以
故答案为:
【分析】先化成椭圆标准形式，再根据方程列等量关系，解得结果.
15．（2020高二上·黄陵期末）已知 ，且 两两垂直，则(x，y，z)＝ ．
【答案】(－64，－26，－17)
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】∵ 两两垂直，
∴ ， ， ，
∴ ，
解得：x=﹣64，y=﹣26，z=﹣17．
故答案为：(－64，－26，－17)．
【分析】根据向量的数量积等于0列方程组得出x，y，z的值．
16．（2020高二上·黄陵期末）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为 ．
【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：如图所示，取AB得中点M，连接CM，C1M，过点C作CD⊥C1M，垂足为D
∵C1A=C1B，M为AB中点，
∴C1M⊥AB
∵CA=CB，M为AB中点，
∴CM⊥AB
又∵C1M∩CM=M，
∴AB⊥平面C1CM
又∵AB 平面ABC1，
∴平面ABC1⊥平面C1CM，平面ABC1∩平面C1CM=C1M，CD⊥C1M，
∴CD⊥平面C1AB，
∴CD的长度即为点C到平面ABC1的距离，即点B1到平面ABC1的距离
在Rt△C1CM中，C1C=1，CM= ，C1M=
∴CD= ，即点B1到平面ABC1的距离为
故答案为：
【分析】在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．本题采用的是“找垂面法”：即找（作）出一个过该点的平面与已知平面垂直，然后过该点作其交线的垂线，则得点到平面的垂线段．观察点的位置可知：点B1到平面ABC1的距离就等于点C到平面ABC1的距离，取AB得中点M，连接CM，C1M，过点C作CD⊥C1M，垂足为D，则平面ABC1⊥平面C1CM，所以CD⊥平面C1AB，CD的长度即为点C到平面ABC1的距离，在Rt△C1CM中，利用等面积法即可求出CD的长度．
三、解答题
17．（2020高二上·黄陵期末）已知命题p： ；命题q： .若p是真命题，且q是假命题，求实数x的取值范围.
【答案】解：p为真:等价于不等式
q为假等价于不等式 的解。然后这两个不等式的解集求并集即是所求x的取值范围。由 得： ，解得
由 得：
因为p为真命题，q为假命题，则
所以 或
【知识点】复合命题的真假
【解析】【分析】利用命题p和命题q的真假性，结合对数函数的单调性和与特殊值对应的对数的大小关系比较，以及绝对值不等式求解方法，从而利用交集的运算法则，借助数轴求出实数x的取值范围。
18．（2020高二上·黄陵期末）已知空间三点 ，设 .
（1）求 和 的夹角 的余弦值；
（2）若向量 与 互相垂直，求 的值.
【答案】（1）解： ，
．
则 ，
所以 与 的夹角 的余弦值为 .
（2）解： ，
，
所以 ,
即 ，
所以 或 .
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【分析】（1）利用向量夹角公式即可得出；（2）利用两个向量互相垂直，其数量积为0，可得关于 的方程.
19．（2020高二上·黄陵期末）求满足下列条件的抛物线的标准方程．
（1）焦点在坐标轴上，顶点在原点，且过点(－3，2)；
（2）顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点在直线x－2y－4＝0上．
【答案】（1）解：因为抛物线焦点在坐标轴上，顶点在原点，
所以可设抛物线方程为 或
因为过点(－3，2)，所以 或 ，即 或
因此抛物线方程为 或
（2）解：因为焦点在直线x－2y－4＝0上又在坐标轴上，所以焦点坐标为 或
因此对应抛物线方程为 或
【知识点】抛物线的标准方程
【解析】【分析】（1）先设抛物线方程，再代入点坐标求方程；（2）先求焦点坐标，再写抛物线方程.
20．（2018高二上·灌南月考）如图，在直三棱柱ABC 中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，A ＝4.
（1）证明： ；
（2）求二面角 的余弦值大小．
【答案】（1）证明：∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，
∴AC，BC，CC1两两垂直．
如图
以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C﹣xyz，则C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0），B1（0，4，4）．
∵ =（﹣3，0，0）， =（0，﹣4，4），
∴ =0，
AC⊥BC1
（2）解：平面ABC的一个法向量为 =（0，0，1），
设平面C1AB的一个法向量为 =（x，y，z），
=（﹣3，0，4）， =（﹣3，4，0），
由 得：
令x=4，则z=3，y=3则 =（4，3，3）．
Cos＜ ， ＞= = ．
即二面角 AB C的余弦值为 .
【知识点】空间向量垂直的坐标表示；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，表示相应的向量，根据空间向量的数量积运算，即可证明两直线垂直；
（2）求出平面的法向量，结合空间向量的数量积运算即可求出二面角的余弦值.
21．（2019高二上·黄陵期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知角A＝ ， sinB＝3sinC.
（1）求tanC的值；
（2）若a＝ ，求△ABC的面积．
【答案】（1）解：因为A＝ ，所以B＋C＝ ，
故sin ＝3sinC，
所以 cosC＋ sinC＝3sinC，即 cosC＝ sinC，得tanC＝ .
（2）解：由 ，sinB＝3sinC，得b＝3c.
在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝9c2＋c2－2×(3c)×c× ＝7c2，
又∵a＝ ，∴c＝1，b＝3，所以△ABC的面积为S＝ bcsinA＝ .
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由已知得到 sin ＝3sinC， 利用两角和的正弦公式，即可求出 tanC的值；
（2）先利用正弦定理得到b＝3c，再利用余弦定理列式，可得 a2＝7c2， 得到 c＝1，b＝3 ，即可求出 △ABC的面积.
22．（2019高二上·长春月考）已知双曲线 ，问：过点 能否作直线 ，使 与双曲线交于 两点，并且点 为线段 的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。
【答案】解：设过点 的直线方程为 或
①设
当 存在时联立 ，得
因为直线与双曲线相交于两个不同点，则必有 ，
，且
又 为线段 的中点， 即
解得 ，与 矛盾，
故过点 与双曲线交于两点 且 为线段 中点的直线不存在.
②当 时，直线经过点 但不与双曲线交于 两点．
综上，符合条件的直线 不存在
【知识点】双曲线的应用
【解析】【分析】假设存在，设出方程与双曲线方程联立，利用B为线段MN中点，结合韦达定理，求出k的值，验证根的判别式，可得结论。
23．（2020高二上·黄陵期末）如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝4，点E在线段AB上．过点E作EF∥BC交AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A与P重合)，使得∠PEB＝60°.
（1）求证：EF⊥PB．
（2）试问：当点E在线段AB上移动时，二面角P FC B的平面角的余弦值是否为定值？若是，求出其定值；若不是，说明理由．
【答案】（1）证明：在Rt△ABC中，∵EF∥BC
∴EF⊥AB
∴EF⊥EB，EF⊥EP，又由EB∩EP=E
∴EF⊥平面PEB
又∵PB 平面PEB
∴EF⊥PB
（2）解：在平面PEB中，过P点作PD⊥BE于D，
由（1）知，EF⊥PD
∴PD⊥平面BCFE
在平面PEB中过点B作直线BH∥PD
则BH⊥平面BCFE
如图，以B为坐标原点，BC，BE，BH方向分别为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系，
设PE=x（0＜x＜4），又∵AB=BC=4
∴BE=4﹣x，EF=x
在Rt△PED中，∠PED=60°
∴PD= ，DE=
∴BD=4﹣x﹣ =4﹣
∴C（4，0，0），F（x，4﹣x，0），P（0，4﹣ ， ）
从而 =（x﹣4，4﹣x，0）， =（﹣4，4﹣ ， ）
设 =（a，b，c）是平面PCF的一个法向量，则：
，
即
令b=1，则 =（1，1， ）是平面PCF的一个法向量，
又∵平面BCF的一个法向量为 =（0，0，1）
设二面角P﹣FC﹣B的平面角为θ，则
Cosθ= =
∴当点E在线段AB上移动时，二面角P﹣FC﹣B的平面角的余弦值为定值
【知识点】直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【分析】（1）由已知在Rt△ABC中，中EF∥BC，我们可得到EF⊥AB，即EF⊥EB，EF⊥EP，由线面垂直的判定定理定理，易得EF⊥平面PEB，再由线面垂直的定义，即可得到EF丄PB；（2）在平面PEB中，过P点作PD⊥BE于D，结合（I）的结论可得BH⊥平面BCFE，以B为坐标原点，BC，BE，BH方向分别为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系，则我们可以分别求出平面PFC与平面BFC的法向量，代入二面角的向量夹角公式中，求出其余弦值，判断后，即可得到答案．
