广东省惠州市第五中学2023—2024学年上学期八年级期中
数学考试卷
一．选择题（每题3分，共30分）
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．一个三角形的两边分别为5cm，9cm，那么第三边的长度在以下选项中只能是（ ）
A．3cm B．4cm C．7cm D．14cm
3．将一副三角板按照如图方式摆放，则∠CBE的度数为（ ）
A．90° B．100° C．105° D．110°
4．下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（ ）
A． B．
C． D．
5．五边形ABCDE的内角和等于（ ）
A．360° B．540° C．720° D．900°
6．如图，AC⊥BD于P，AP＝CP，增加下列一个条件：（1）BP＝DP；（2）AB＝CD；（3）∠A＝∠C，其中能判定△ABP≌△CDP的条件有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．在平面直角坐标系中，点P的坐标是（3，4），点Q与点P关于x轴对称，则Q点的坐标是（ ）
A．（3，4） B．（﹣3，4） C．（3，﹣4） D．（﹣3，﹣4）
8．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、EC的中点，且S△ABC＝8，则阴影部分面积S是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，在△ABC中，已知∠B和∠C的平分线相交于点D，过点D作EF∥BC交AB、AC于点E、F，若△AEF的周长为9，BC＝6，则△ABC的周长为（ ）
A．18 B．17 C．16 D．15
10．在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），B（0，2），若点C在x轴上，且△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（每题3分，共18分）
11．正n边形的每个内角都是120°，这个正n边形的对角线条数为 条．
12．如图，为了不使相框变形，在相框上钉上1根木条，这是因为三角形具有 性．
13．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点C、D分别落在点C′、D′的位置上，EC'交AD于G，已知∠EFG＝56°，那么∠BEG＝ ．
14．如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E是线段BC延长线上一点，连接AE，点C在AE的垂直平分线上，若DE＝12cm，则△ABC的周长是 ．
15．如图，在七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线相交于点O，若图中∠1，∠2，∠3，∠4的角度和为230°，则∠BOD的度数为
16．如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠ABD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A＝α，则∠A2023＝ ．
三．解答题（共8小题共52分）
17．如图，AD为△ABC的高，BE为△ABC的角平分线，若∠EBA＝34°，∠AEB＝80°，求∠CAD的度数．
18．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4），
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，并直接写出点P的坐标．
19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上的一点，DE⊥AB于D，交AC于M，且ED＝AC，过点E作EF∥BC分别交AB、AC于点F、N．
（1）求证：△ABC≌△EFD；
（2）若∠A＝30°，求∠EFD的度数．
20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF．说明：
（1）CF＝EB；
（2）AB＝AF+2EB．
21．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝36°．
（1）尺规作图：作∠B的角平分线BD，交AC于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）判断△DBC是否为等腰三角形，并说明理由．
22．已知：如图，P是∠AOB平分线上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．求证：
（1）OD＝OE
（2）OP是DE的垂直平分线
23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝30°，点D在边BC上运动（D不与B、C重合），连结AD作∠ADE＝30°，DE交边AC于点E．
（1）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（2）在点D的运动过程中，当△ADE是等腰三角形时，请直接写出∠ADB的度数．
24．（1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝3，AC＝5．求BC边上的中线AD的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长AD至E，使DE＝AD，连接BE．利用全等将边AC转化到BE，在△BAE中利用三角形三边关系即可求出中线AD的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是 ，中线AD的取值范围是 ；
（2）问题解决：如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，DM⊥DN．DM交AB于点M，DN交AC于点N．求证：BM+CN＞MN；
（3）问题拓展：如图3，在△ABC中，点D是BC的中点，分别以AB，AC为直角边向△ABC外作Rt△ABM和Rt△ACN，其中∠BAM＝∠NAC＝90°，AB＝AM，AC＝AN，连接MN，请你探索AD与MN的数量与位置关系，并直接写出AD与MN的关系．
广东省惠州市第五中学2023—2024学年上学期八年级期中
数学考试卷参考答案
一．选择题
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：B，C，D选项中的图形都能找到一条或多条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
A选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：A．
2．一个三角形的两边分别为5cm，9cm，那么第三边的长度在以下选项中只能是（ ）
A．3cm B．4cm C．7cm D．14cm
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
第三边应大于19﹣5＝4，而小于两边之和9+5＝14．
故选：C．
3．将一副三角板按照如图方式摆放，则∠CBE的度数为（ ）
A．90° B．100° C．105° D．110°
【解答】解：由题意可得：
∠ACB＝60°，∠BAC＝45°，
∴∠CBE＝∠ACB+∠BAC＝60°+45°＝105°，
故选：C．
4．下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：C选项中，BE与AC不垂直；
B选项中，BE与AC不垂直；
D选项中，BE与AC不垂直；
∴线段BE是△ABC的高的图是D选项．
故选：A．
5．五边形ABCDE的内角和等于（ ）
A．360° B．540° C．720° D．900°
【解答】解：根据多边形内角和公式（n﹣2）×180°可得：（5﹣2）×180°＝540°．
故选：B．
6．如图，AC⊥BD于P，AP＝CP，增加下列一个条件：（1）BP＝DP；（2）AB＝CD；（3）∠A＝∠C，其中能判定△ABP≌△CDP的条件有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：∵AC⊥BD于点P，AP＝CP，
又AB＝CD，
∴△ABP≌△CDP．
∴增加的条件是BP＝DP或AB＝CD或∠A＝∠C或∠B＝∠D．
故添加BP＝DP或AB＝CD或∠A＝∠C或∠B＝∠D．
故选：D．
7．在平面直角坐标系中，点P的坐标是（3，4），点Q与点P关于x轴对称，则Q点的坐标是（ ）
A．（3，4） B．（﹣3，4） C．（3，﹣4） D．（﹣3，﹣4）
【解答】解：∵点P的坐标是（3，4），点Q与点P关于x轴对称，
∴Q点的坐标是：（3，﹣4）．
故选：C．
8．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、EC的中点，且S△ABC＝8，则阴影部分面积S是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵点D为BC的中点，
∴S△ABD＝S△ADCS△ABC＝4，
∵点E为AD的中点，
∴S△EBD＝S△EDCS△ABD＝2，
∴S△EBC＝S△EBD+S△EDC＝4，
∵点F为EC的中点，
∴S△BEFS△BEC＝2，
故选：B．
9．如图，在△ABC中，已知∠B和∠C的平分线相交于点D，过点D作EF∥BC交AB、AC于点E、F，若△AEF的周长为9，BC＝6，则△ABC的周长为（ ）
A．18 B．17 C．16 D．15
【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠DBE，
∵EF∥BC，
∴∠DBC＝∠BDE，
∴∠DBE＝∠BDE，
∴BE＝DE，
同理可得，CF＝DF，
∴△AEF的周长＝AE+DE+DF+AF＝AE+BE+AF+CF＝AB+AC＝9，
∵BC＝6，
∴△ABC的周长＝9+6＝15．
故选：D．
10．在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），B（0，2），若点C在x轴上，且△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：如图所示：
当AB＝AC时，符合条件的点有2个；
当BC＝BA时，符合条件的点有1个；
当CB＝CA，即当点C在AB的垂直平分线上时，符合条件的点有一个．
∴符合条件的点C共有4个．
故选：D．
二．填空题
11．正n边形的每个内角都是120°，这个正n边形的对角线条数为 9 条．
【解答】解：由多边形内角和公式列方程，
180°（n﹣2）＝120°n
解得，n＝6．
∴该正多边形为正六边形．
所以该六边形对角线条数9（条）．
故答案为9．
12．如图，为了不使相框变形，在相框上钉上1根木条，这是因为三角形具有 稳定 性．
【解答】解：为了不使相框变形，在相框上钉上1根木条，这是因为三角形具有稳定性．
故答案为：稳定．
13．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点C、D分别落在点C′、D′的位置上，EC'交AD于G，已知∠EFG＝56°，那么∠BEG＝ 68° ．
【解答】解：∵长方形ABCD中，AD∥BC，
∴∠CEF＝∠EFG＝56°，
∴∠CEF＝∠FEG＝56°，
∴∠BEG＝180°﹣∠CEF﹣∠FEG＝180°﹣56°﹣56°＝68°．
故答案为：68°．
14．如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E是线段BC延长线上一点，连接AE，点C在AE的垂直平分线上，若DE＝12cm，则△ABC的周长是 24cm ．
【解答】解：∵点C在AE的垂直平分线上，
∴AC＝CE，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴BD＝CD，
∴AB+BD＝AC+CD＝CE+CD＝DE，
∵DE＝12cm，
∴AB+BC+AC＝AB+BD+AC+CD＝2×12＝24cm．
故答案为：24cm．
15．如图，在七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线相交于点O，若图中∠1，∠2，∠3，∠4的角度和为230°，则∠BOD的度数为（ 50° ）
16．如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠ABD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A＝α，则∠A2023＝ α ．
【解答】解：∵BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，
∴∠A1BD∠ABC，∠A1CD∠ACD，
又∵∠ACD＝∠ABC+∠A，∠A1CD＝∠A1BD+∠A1，
∴（∠ABC+∠A）∠ABC+∠A1，
∴∠A1∠A，
同理可得：∠A2∠A1∠A，
∠A3∠A，…．
则A2023∠A，
∵∠A＝α，
∴∠A2023α．
故答案为：α．
三．解答题（共8小题）
17．如图，AD为△ABC的高，BE为△ABC的角平分线，若∠EBA＝34°，∠AEB＝80°，求∠CAD的度数．
【解答】解：∵BE为△ABC的角平分线，
∴∠CBE＝∠EBA＝34°，
∵∠AEB＝∠CBE+∠C，
∴∠C＝80°﹣34°＝46°，
∵AD为△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝44°．
18．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4），
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，并直接写出点P的坐标．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，其中点B1的坐标为（﹣4，2）．
（2）如图所示，点P即为所求，其坐标为（2，0）．
19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上的一点，DE⊥AB于D，交AC于M，且ED＝AC，过点E作EF∥BC分别交AB、AC于点F、N．
（1）求证：△ABC≌△EFD；
（2）若∠A＝30°，求∠EFD的度数．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB于D，
∴∠EDF＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠C＝∠EDF，
∵EF∥BC，
∴∠B＝∠EFD，
在△ABC与△EFD中，
，
∴△ABC≌△EFD（AAS）；
（2）解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，
由（1）可知，∠B＝∠EFD，
∴∠EFD＝∠B＝60°．
20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF．说明：
（1）CF＝EB；
（2）AB＝AF+2EB．
【解答】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC，
在Rt△CFD和Rt△EBD中，，
∴Rt△CFD≌Rt△EBD（HL），
∴CF＝EB；
（2）在△ACD和△AED中，，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AC＝AE，
由（1）知，CF＝EB，
∴AB＝AE+EB＝AC+EB＝AF+FC+EB＝AF+2EB．
21．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝36°．
（1）尺规作图：作∠B的角平分线BD，交AC于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）判断△DBC是否为等腰三角形，并说明理由．
【解答】解：（1）如图所示：
BD即为所求；
（2）△DBC为等腰三角形，
理由：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣36°）÷2＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∴∠BDC＝36°+36°＝72°，
∴BD＝BC，
∴△DBC是等腰三角形．
22．已知：如图，P是∠AOB平分线上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．求证：
（1）OD＝OE
（2）OP是DE的垂直平分线
【解答】解：（1）∵P是∠AOB平分线上的一点，
∴∠AOP＝∠BOP，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO＝∠PEO＝90°，且OP＝OP，∠AOP＝∠BOP，
∴△ODP≌△OEP（AAS）
∴OD＝OE；
（2）∵△ODP≌△OEP，
∴DP＝PE，且OD＝OE，
∴OP是DE的垂直平分线．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝30°，点D在边BC上运动（D不与B、C重合），连结AD作∠ADE＝30°，DE交边AC于点E．
（1）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（2）在点D的运动过程中，当△ADE是等腰三角形时，请直接写出∠ADB的度数．
【解答】解：（1）当DC＝AB＝4时，△ABD≌△DCE，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴∠ADE+∠EDC＝∠B+∠BAD，
∵∠ADE＝∠B＝30°，
∴∠EDC＝∠BAD，
∵DC＝AB＝4，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（ASA）；
（2）解：①如图，当AD＝DE时，
∠ADE＝30°，
在△ADE中，，
∴∠DEC＝180°﹣∠DEA＝180°﹣75°＝105°，
∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠C＝30°，
在△CDE中，∠CDE＝180°﹣∠DEC﹣∠C＝45°，
∵∠ADE＝30°，
∴∠ADB＝180°﹣∠CDE﹣∠ADE＝105°；
②当DE＝AE时，
∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠C＝30°，
∵∠ADE＝30°，
∴∠ADE＝∠EAD＝30°，
在△ADE中，∠AED＝180°﹣∠ADE﹣∠DAE＝120°，
∴∠DEC＝60°，
∴∠EDC＝180°﹣∠DEC﹣∠C＝90°，
∴∠ADB＝180°﹣∠EDC﹣∠ADE＝60°，
综上，∠ADB的度数为105°或60°；
24．（1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝3，AC＝5．求BC边上的中线AD的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长AD至E，使DE＝AD，连接BE．利用全等将边AC转化到BE，在△BAE中利用三角形三边关系即可求出中线AD的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是 SAS ，中线AD的取值范围是 1＜AD＜4 ；
（2）问题解决：如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，DM⊥DN．DM交AB于点M，DN交AC于点N．求证：BM+CN＞MN；
（3）问题拓展：如图3，在△ABC中，点D是BC的中点，分别以AB，AC为直角边向△ABC外作Rt△ABM和Rt△ACN，其中∠BAM＝∠NAC＝90°，AB＝AM，AC＝AN，连接MN，请你探索AD与MN的数量与位置关系，并直接写出AD与MN的关系．
【解答】（1）解：如图1，延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，
∵AD为BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴EB＝AC＝5，
在△ABE中，根据三角形三边关系可得：BE﹣AB＜AE＜AB+BE，
即2＜AE＜8，
∵AE＝2AD
2＜2AD＜8，
∴1＜AD＜4，
故答案为：SAS，1＜AD＜4；
（2）证明：如图2中，延长ND至点F，使FD＝ND，连接BF、MF，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BDF和△CDN中，
，
∴△BFD≌△CND（SAS），
∴BF＝CN，
∵DM⊥DN，FD＝ND，
∴MF＝MN，
在△BFM中，由三角形的三边关系得：BM+BF＞MF，
∴BM+CN＞MN；
（3）解：结论：2AD＝MN，AD⊥MN，
如图3，延长AD于E，使得ED＝AD，连接BE，延长DA交MN于F，
∵点D是BC的中点，∴BD＝CD，
在△BDE和△CDA中，
，
∴△CDA≌△BDE（SAS），
∴BE＝AC，∠ACD＝∠EBD，
∵∠MAN+∠MAB+∠BAC+∠CAN＝360°，∠BAM＝∠NAC＝90°，
∴∠MAN+∠CAB＝180°，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠MAN＝∠ABC+∠ACB＝∠ABC+∠EBD＝∠ABE，
在△MAN和△ABE中，
，
∴△ABE≌△MAN（SAS），
∴MN＝AE＝2AD，∠BAE＝∠AMN，
∵∠MAF+∠MAB+∠BAE＝180°，∠MAB＝90°，
∴∠MAF+∠BAE＝90°，
∴∠MAF+∠AMN＝90°，
∴AF⊥MN，
即AD⊥MN．
