2023-2024学年第一学期期中阶段性学习质量检测
初三数学试卷
说明:1.本卷共有六个大题，23 个小题，全卷满分 120 分，考试时间 120分钟。
2.本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，写在试卷上的答案无效。
一、选择题（6小题，每小题3分，共18分）
1．下列交通标志是中心对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程中，是一元二次方程的是( )
A． B． C． D．
3．4月23日是世界读书日，据有关部门统计，某市2021年人均纸质阅读量约为4本，2023年人均纸质阅读量约为本，设人均纸质阅读量年均增长率为，则根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
4．已知是半径为6的圆的一条弦，则的长不可能是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．14
5．若点关于原点对称的点在第二象限，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D． 或
6．如图，已知抛物线与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③函数的最大值为；④若关于的方程有两个相等的实数根，则．正确的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题（6小题，每小题3分，共18分）
7．如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作圆弧，则圆心的坐标是．
8．如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 度
将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的表达式 ．
10．如图，将边长为的正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，则图中阴影部分的面积为．
11．如图，二次函数的图象与一次函数的图象的交点A、B的坐标分别为、，当时，x的取值范围是．
12．在平面直角坐标系中，坐标原点为O，△AOB的顶点A，B的坐标分别为(－，0)，(－，1)将△AOB绕点O按顺时针方向旋转一定角度，使旋转后的△A′OB′(不与△AOB重合)的边OA′与△AOB的边OB所在直线的夹角(锐角)为30°，连接AA′，则此时AA′的长度是__________．
三、解答题（共5题，每题6分，共30分）
13．解方程：；
14．已知二次函数．
（1）将二次函数的解析式化为的形式．
（2）二次函数图像的对称轴是直线______、顶点坐标是______．
15．如图，二次函数的图象的对称轴为直线l，且与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图．（保留作图痕迹）
（1）作出点C关于对称轴l的对称点D．
（2）在抛物线对称轴l上作点P，使的值最大．
16．如图，，交于点，，是半径，且于点．
（1）求证：．
（2）若，，求的半径．
17．如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
四、解答题（共3题，每题8分，共24分）
18．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若，是一元二次方程的两个根，且，求m的值．
19．如图，一小球从斜坡上的点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达的最高点的坐标为，解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）在斜坡上的点有一棵树，点的横坐标为2，树高为4，小球能否飞过这棵树？通过计算说明理由；
20．某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息：
信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是3元；
信息2：甲商品零售单价比进货单价多1元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元；
信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了12元．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求甲、乙两种商品的零售单价：
（2）该商店平均每天卖出甲乙两种商品各件，经调查发现，甲种商品零售单价每降元，甲种商品每天可多销售件，商店决定把甲种商品的零售单价下降m（）元．在不考虑其他因素的条件下，当m为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为元？
五、解答题（共2题，每题9分，共18分）
21．如图，在中，，点P为内一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接
（1）用等式表示与的数量关系，并证明；
（2）当时，
①直接写出的度数为_______；
②若M为的中点，连接，依题意补全图形，用等式表示与的数量关系，并证明．
22.如图为2022年10月的日历表，在其中用一个方框圈出4个数（如图中虚框所示），设这4个数从小到大依次为a，b，c，d．
（1）若用含有a的式子分别表示出b，c，d，其结果应为：______；________；________；
（2）按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 _________；
（3）嘉嘉说：“按这种方法可以圈出四个数，使得的值为135．”淇淇说：“按这种方法可以圈出四个数，使最小数a与最大数d的乘积为84．”请你运用一元二次方程的相关知识分别说明二人的说法是否正确．
六、解答题（本大题共12分）
23．如图，抛物线交轴于点、(点在点的左侧)，与轴交于点，点、的坐标分别为，，对称轴交轴于，点为抛物线顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是直线下方的抛物线上一点，且．求的坐标；
（3）为抛物线对称轴上一点，是否存在以、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．2023-2024学年第一学期期中阶段性学习质量检测
初三数学试卷答案
一．选择题（6小题，每小题3分，共18分）
A A C D C C
二．填空题（6小题，每小题3分，共18分）
7.（2,1） 8. 60 9. 10.
11．或 12.或2或3
三、解答题（共5题，每题6分，共30分）
13．解：，
，
，即，.........................................3分
，
，．.........................................6分
14．解：（1）．.........................................4分
（2）∵，
∴对称轴为直线，顶点坐标为，.........................................6分
解：（1）如图所示：........................................3分
（2）如图所示：.........................................6分
．
16．（1）证明：，
，
，
，
，
；.........................................3分
（2）解：如图，连接，
设的半径是r，
，
，
，
的半径是5．.........................................6分
17.（1）证明：∵，
∴，
∵将线段绕A点旋转到的位置，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；.........................................3分
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．.........................................6分
18.解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：；.........................................4分
（2）∵，是一元二次方程的两个根，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
∵，
∴．.........................................8分
19.（1）解：∵小球到达的最高的点坐标为，
∴可设抛物线的表达式为．
由题意可知该抛物线过原点，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为；.........................................4分
（2）解：将代入，得：，
∴．
∵树高为4，
∴树的顶端的坐标为．
将代入，得：，
∴此时，
∴，
∴小球M能飞过这棵树；.........................................8分
20.（1）解：设甲种商品的进货单价为x元、乙种商品的进货单价为y元，
根据题意可得：
解得：
答：甲、乙零售单价分别为2元和3元.........................................4分
（2）根据题意得出：，
即．
解得或（舍去），
答：当m定为元才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共元．.........................................8分
21.（1），
证明： ∵，
∴，
∵将线段绕点C顺时针旋转 得到 ，
.........................................3分
（2）①当 时，
则 ，
∵，
∴，
∵，
∴，
又 ∵，
∴；
故答案为；.........................................5分
②，理由如下：
延长 到 ，使 ，连接 、，
∵ 为 的中点，
∴，
∴四边形 为平行四边形，
∴ 且 ，
.........................................9分
22.（1）根据题意得：．
故答案为：；；．.........................................3分
（2）观察日历表，可知：a的最大值为23，
∴ab的最大值为．
故答案为：552．.........................................5分
（3）嘉嘉的说法错误，理由如下：
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∵10月8日为周六，不符合题意，
∴嘉嘉的说法错误；
淇淇的说法正确，理由如下：
根据题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
∵10月6日为周四，符合题意，
∴淇淇的说法正确．.........................................9分
23.（1）解：将点，点代入抛物线解析式，由对称轴，
得
解得，
抛物线解析式为：．.........................................3分
（2）将代入抛物线解析式得：，
顶点
，
，
设直线解析式为：，
将点，点代入，
得
解得，
直线的解析式为：
如图，设直线与对称轴的交点为，将代入
点，
，
，
设中边上的高为，则，
如图，设在直线下方的轴上有一点到的距离为，且，
，，
是等腰直角三角形
，
点在过点与直线平行的直线上，
即将直线向下平移个单位长度即可得到直线，
直线的解析式为：
联立，
解得：或
点的坐标为，．.........................................7分
（3）点与点关于对称轴对称，点，
点，
①如图，连接，以点为圆心，的长为半径画圆，与对称轴的交点即为所求点，此时，为等腰三角形．
由图知：点位于点上方时，、、三点共线，所以此点舍去；
点位于点下方时，点与点重合，此时点的坐标为．
②如图，以点为圆心，的长为半径画圆，与对称轴的交点即为所求点，此时，
为等腰三角形．
在中，，，
此时点的坐标为或．
③如图，作线段的垂直平分线，与交于点，与轴交于点，与对称轴的交点即为所求点，此时，为等腰三角形．
连接，为线段的垂直平分线，
，点为中点，
，，由中点坐标公式得点
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
点
设直线的解析式为：，
将，代入解析式，
得，
解得，
直线解析式为：
将代入直线解析式得：，
此时点．
综上所述：点Ｍ的坐标为或或或．.........................................12分
