初二年级数学期中练习
时间：90分钟
亲爱的同学，欢迎你参加此次初二年级(上)数学学习回溯之旅。本学期已旅程过半，你肯定又有了许多新奇的发现和独特的体验。这一次期中练习正是你大显身手的好机会哟！我们相信，在这紧张而又愉快的时间里，你一定会有更好的表现！
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.在平面直角坐标示系中，点关于轴对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
2.在下列长度的四根木棒中，能与，长的两根木棒钉成一个三角形的是( )
A. B. C. D.
3.如图，在中，，是的边上的中线，那么可以证明≌，这里证明全等所使用的判定方法是( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，，平分交于，若，，则点到的距离为( )
A. B. C. D. 不能确定
5.如图所示，，，，，，则( )
A. B. C. D. 无法计算
6.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中，，在探究筝形的性质时，得到如下结论：
；；≌，
其中正确的结论有( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
7.如图，已知与上的点，点，小临同学现进行如下操作：以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接；以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，交第步中所画的弧于点，连接下列结论不能由上述操作结果得出的是( )
A. B.
C. D.
8.如图，中，，为中点，把纸片沿对折得到，如图，点和点分别为，上的动点，把纸片沿折叠，使得点落在的外部，如图所示．设，则下列等式成立的是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9.在中，，，则______．
10.若一个正多边形的每一个外角都等于，则这个正多边形的边数为______．
11.等腰三角形的两条边长分别为和，则这个等腰三角形的周长是______．
12.由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图，衣架杆，若衣架收拢时，，如图，则此时，两点之间的距离是______．
13.如图，在中，，，为中点，则______．
14.如图，为等边三角形，点在上，点在上，，与相交于点，则______．
15.如图，在中，，，、、三点在一条直线上，且，过点作，且若，则______用含的式子表示
16.如图，在平面直角坐标系中，点，，，是两个动点，其中点以每秒个单位长度的速度沿折线按照的路线运动，点以每秒个单位长度的速度沿折线按照的路线运动，运动过程中点和同时开始，而且都要运动到各自的终点时停止．设运动时间为秒，直线经过原点，且，过点，分别作的垂线段，垂足为，，当与全等时，的值为______．
三、解答题（本大题共8小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知：如图，是上一点，，，．
求证：．
18.本小题分
如图，点、在的边上，，求证：．
19.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．
画出关于轴对称的并写出点的坐标； ______，______
在轴上有一点，使得的值最小，请画出图形并直接写出点的坐标：______，______
20.本小题分
如图，，平分，点为中点，求证：．
21.本小题分
如图，在中，，于点，点为上的一点，且，连接并延长交于点．
请补全图形；
写出与的数量关系和位置关系并证明．
22.本小题分
如图，中，，，为延长线上一点，点在上，且．
求证：；
若，求的度数．
23.本小题分
在中，，，点在的延长线上，是的中点，是射线上一动点，且，连接，作，交延长线于点．
如图，当点在上时，填空： ______ 填“”、“”或“”．
如图，当点在的延长线上时，请根据题意将图形补全，判断与的数量关系，并证明你的结论．
24.本小题分
小聪和小明两位同学在学习全等三角形时积极思考，提出了以下两个问题：
问题：如图，中，，，是的角平分线，求：的值．
小聪同学经过思考，发现可以过作于，于，利用与的面积比来解决这个问题．
问题：如图，为等边三角形，点为外一点，，连接，探究，，三者之间的数量关系．
小明同学经过思考，发现可以在上截取，构造等边三角形，从而解决这个问题．
根据两位同学的思考，完成问题、的解答直接写出结果．
根据问题、的结论，解决下面问题：如图，和都是等边三角形，且、、三点共线，连接，交于点，连接，设，，，若，直接写出的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：点关于轴对称的点的坐标是：．
故选：．
直接利用关于轴对称点的性质得出答案：纵坐标相同，横坐标互为相反数．
此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标关系是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：设第三根木棒长为，由题意得：，
，
选项符合题意，
故选：．
首先设第三根木棒长为，根据三角形的三边关系定理可得，计算出的取值范围，然后可确定答案．
本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．
3.【答案】
【解析】证明：是的边上的中线，
，
在和中，
，
≌，
故选：．
运用全等三角形的判定可求解．
本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：，平分交于，
到的距离等于的长
故选C．
由已知条件进行思考，结合利用角平分线的性质可得点到的距离等于到的距离即的长，问题可解．
本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到到的距离即为长是解题的关键．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了全等三角形的性质和判定，能求出≌是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等．求出，根据推出≌，根据全等三角形的性质求出，根据三角形内角和为及邻补角性质，求出即可．
【解答】
解：，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
．
故选B．
6.【答案】
【解析】解：在与中，
，
≌，
故正确；
，
在与中，
，
≌，
，，
，
故正确；
故选：．
先证明与全等，再证明与全等即可判断．
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据证明与全等和利用证明与全等．
7.【答案】
【解析】解：在和中，
，
≌，
，，．
，．
故A、、都可得到．不一定得出．
故选：．
证明≌，根据全等三角形的性质以及平行线的判定定理即可得出结论．
本题考查了平行线的判定，尺规作图，根据图形的作法得到相等的线段，证明≌是关键．
8.【答案】
【解析】解：如图，
，为中点，
，，
，
如图，与交于点，
把纸片沿折叠，
，
在四边形中，，
，
，
，
，
，
由图可知，
．
故选：．
由等腰三角形的性质得出，如图，在四边形中，，可得出，则可得出答案．
本题考查了翻折变换的性质，四边形内角和，等腰三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：在中，，
则，
由题意得，
解得：，，
故答案为：．
根据直角三角形的性质列出方程组，解方程组得到答案．
本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：这个多边形的边数是：．
故答案为：．
根据多边形的外角和是度，每个外角都相等，即可求得外角和中外角的个数，即多边形的边数．
此题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和是度是解题的关键．
11.【答案】或
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论，分是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．
【解答】
解：是腰长时，三角形的三边分别为、、，
此时能组成三角形，
周长；
是底边长时，三角形的三边分别为、、，
此时能组成三角形，
所以周长．
综上所述，这个等腰三角形的周长是或．
故答案为或．
12.【答案】
【解析】解：，，
是等边三角形，
，
故答案为：
根据有一个角是的等腰三角形的等边三角形进行解答即可．
此题考查等边三角形问题，关键是根据有一个角是的等腰三角形的等边三角形进行分析．
13.【答案】
【解析】解：，，
，
，为的中点，
，
即，
，
，
，
故答案为：．
根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，根据等腰三角形的性质求出，根据含角的直角三角形的性质得出，再代入求出答案即可．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含角的直角三角形的性质等知识点，能求出是解此题的关键．
14.【答案】
【解析】解：是等边三角形，
，，
在与中，
，
≌，
，
，即，
．
即：，
．
故答案为：．
证明≌，由全等三角形的性质得到，则由图示知，即，所以根据三角形内角和定理求得，易得的度数．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质．证明≌是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：如图，连接，．
，
，，
，
在和中
，
≌，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
同法可证≌，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
如图，连接，利用全等三角形的性质分别证明，都是等腰直角三角形，可得结论．
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
16.【答案】或或
【解析】解：由题意，和是两直角三角形的斜边，当与全等时，，
Ⅰ、当点在上，点在上时，，，
，
，
Ⅱ、当点，都在上时，点，重合时，两三角形重合时，
，，
，
，
Ⅲ、当点在上，点在上且点与点重合时，
，，
，
，
即：满足题意的的值为或或．
判断出，再分三种情况讨论，表示出，建立方程求解即可．
此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质，解本题的关键是分情况表示出和，用方程的思想也是解本题的关键．
17.【答案】解：，
，
在和中，
，
．
【解析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质．
利用角角边定理，判断，涉及到了平行线的性质，即可求解．
18.【答案】证明：如图，过点作于．
，
；
，
，
，
．
【解析】本题考查等腰三角形的性质；做题时，两次用到三线合一的性质，由等量减去等量得到差相等是解答本题的关键；
要证明线段相等，只要过点作的垂线，利用三线合一得到为及的中点，线段相减即可得证．
19.【答案】；；；
【解析】解：如图所示：，
故答案为：；；
如图所示：．
【分析】
确定、、三点关于轴对称的对称点位置，再连接即可；
连接，与轴交点就是的位置．
此题主要考查了作图--轴对称变换，以及最短路线，关键是掌握在直线上的同侧有两个点、，在直线上有到、的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点就是所要找的点．
20.【答案】证明：延长，交于点，
，
，
点是的中点，
，
在与中，
，
≌，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
【解析】延长，交于点，根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据证明≌．
21.【答案】解：如图所示：
，，理由如下：
，，
为等腰直角三角形，
，，
在和中，
，
，，
，
，
，
，
，
．
【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
22.【答案】证明：，
，
在与中，
，
≌，
；
解：，，
，
，
，
由可知，，
，
，
即的度数为．
【解析】由证明≌，即可解决问题；
由等腰直角三角形的性质得，再求出，即可解决问题．
本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：，理由如下：
连接，如图所示：
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
故答案为：；
根据题意将图形补全，如图所示：
与的数量关系：，证明如下：
连接，
，点在的延长线上，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
．
连接，先证≌，得，，再证≌，得，即可得出结论；
连接，先证和，得，，再证≌，得，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识；证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
24.【答案】解：问题：过点作于，于，
是的角平分线，
，
，，，，
，
；
问题：在上截取，连接，
，，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
≌，
，
；
由可知≌，
，，，
，
过点作于，于，
，
，
平分，
，
在上截取，
为等边三角形，
，，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】问题：过点作于，于，根据三角形面积公式可得出答案；
问题：在上截取，连接，证明≌，由全等三角形的性质可得出，则可得出结论；
过点作于，于，在上截取，证明≌，由全等三角形的性质得出，证出，则可得出答案．
本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，三角形的面积，全等三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
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