浙江省金华市东阳市2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.）
1．（2022八上·东阳期中）下面四个图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022八上·东阳期中）下列长度的三条线段不能组成三角形的是（ ）
A．1，1，2 B．2，3，4 C．3，4，5 D．3，4，6
3．（2022八上·东阳期中）等腰三角形的底角等于50°，则这个等腰三角形顶角的度数是（ ）
A．50° B．65° C．80° D．100°
4．（2022八上·东阳期中）下列命题中，逆命题是真命题的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等 B．若a＝b，那么a2＝b2
C．对顶角相等 D．若a＝b，那么|a|＝|b|
5．（2022八上·东阳期中）如图，在△ABC中，作BC边上的高线，下列画法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022八上·东阳期中）如图，AB⊥CD，垂足为O.添加下列一组条件后，不能判定Rt△AOC≌Rt△BOD的是（ ）
A．AC＝BD，OA＝OB B．OA＝OD，∠A＝∠B
C．AC＝BD，OC＝OD D．AC＝BD，AC∥BD
7．（2022八上·东阳期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D.DE＝5，AD＝9，则BE的长是（ ）
A．6 B．5 C．4.5 D．4
8．（2022八上·东阳期中）如图，在四边形ABCD中，连结AC，BD，若△ABC是等边三角形，AB＝BD，∠ABD＝20°，则∠BDC的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．75°
9．（2022八上·东阳期中）数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当0＜x＜12时，求代数式 的最小值”，其中 可看作两直角边分别为x和2的Rt△ACP的斜边长， 可看作两直角边分别是12﹣x和3的Rt△BDP的斜边长.于是将问题转化为求AP+BP的最小值，如图所示，当AP与BP共线时，AP+BP为最小.请你解决问题：当0＜x＜4时，则代数式 的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．（2022八上·东阳期中）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示.过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连结BG，若大正方形的面积是小正方形面积的5倍，则 的值为（ ）
A． B．3 C． D．4
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
11．（2022八上·东阳期中）在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝25°，则∠A＝ 度.
12．（2022八上·东阳期中）在说明命题“若|a|＞3，则a＞3”是假命题的反例中，a的值可以是 .
13．（2022八上·东阳期中）如图，AC＝BD，若要证明△ABC≌△DCB，需要补充的一个条件，可以是 （写出一个即可）.
14．（2018八上·徐州期末）边长为2cm的等边三角形的面积为 cm2
15．（2022八上·东阳期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AC＝6，BC＝8，则CD＝ .
16．（2022八上·东阳期中）如图，在长方形ABCD中，BC＝4，CD＝2，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，则线段AE的长为 .
17．（2022八上·东阳期中）如图，梯形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，AD∥BC，BD平分∠ABC，若AD＝3，BC＝7，则BD的长为 .
18．（2022八上·东阳期中）如图1是吊车的实物图，图2是吊车工作示意图，车顶BM与车身CN平行于地面，已知BM到地面的距离为2米，AD＝4.8米，∠MBC＝3∠BCN.吊车作业时是通过液压杆CD的伸缩使起重臂AB绕点B转动的，从而使得起重臂升降作业.在某次起重作业中，学习兴趣小组经过测量发现：液压杆CD为2米时，∠DCN＝120°，∠MBD＝150°，则∠CBD＝ 度，此时点A到地面的距离为 米.
三、解答题（本题有6小题，共46分.）
19．（2022八上·东阳期中）如图，C为∠AOB平分线上一点，点D在射线OA上，且OD＝CD.
求证：CD∥OB.
20．（2022八上·东阳期中）如图，在△ABC与△DCB中，已知∠ABD＝∠DCE，∠DBC＝∠ACB.
求证：AC＝DB.
21．（2022八上·东阳期中）如图，在3×6的方格纸中，已知格点P和线段AB.
⑴画一个锐角三角形（顶点均在格点上且不与点A，B重合），使P为其中一边的中点.
⑵再画出该三角形关于直线AB对称的图形.
22．（2022八上·东阳期中）如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上.
（1）若∠BAC＝100°，∠CAD＝30°，求∠EAF的度数.
（2）若BC∥AD，AE平分∠BAM，∠BFE+∠C＝81°，求∠EAF的度数.
23．（2022八上·东阳期中）已知：在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝BC，CD2+AD2＝2AB2.
（1）求证：AD⊥CD.
（2）若AB＝ ，AD＝8.
①求四边形ABCD的面积.
②点B到AD的距离是 ▲ .
24．（2022八上·东阳期中）如图，AC⊥BD于点E，连结AB，CD，AB＝10，BE＝8，点P在线段AB上运动时（不与A，B重合），点Q在线段AC上，满足CQ＝ AP，连结PQ.当P为AB中点时，Q恰好与点E重合.
（1）求AC的长.
（2）若∠C＝∠B，P运动到AB中点时，求证：直线PQ⊥CD.
（3）连结BQ，当△ABQ是等腰三角形时，请写出所有符合条件的AP的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形.
故答案为：B.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.
2．【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵1+1＝2，
∴长度为1，1，2的三条线段不能组成三角形，本选项符合题意；
B、∵3+2＞4，
∴长度为2、3、4的三条线段能组成三角形，本选项不符合题意；
C、∵3+4＞5，
∴长度为3，4，5的三条线段能组成三角形，本选项不符合题意；
D、∵3+4＞6，
∴长度为3、4、6条线段能组成三角形，本选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，据此判断.
3．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的底角等于50°，
∴180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴等腰三角形的顶角为80°，.
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的性质结合内角和定理求解即可.
4．【答案】A
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：A、两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，是真命题，符合题意；
B、若a＝b，那么a2＝b2的逆命题是若a2＝b2，那么a＝b，是假命题，不符合题意；
C、对顶角相等的逆命题是两个相等的角是对顶角，是假命题，不符合题意；
D、若a＝b，那么|a|＝|b|的逆命题是若|a|＝|b|，那么a＝b，是假命题，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】首先分别写出各个命题的逆命题，然后结合平行线的判定定理、对顶角的性质以及绝对值的性质进行判断.
5．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：△ABC的BC边上的高是经过点A和BC垂直的线段.选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】三角形的高线就是垂线，即从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，据此判断.
6．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、当AC＝BD，OA＝OB时，根据HL定理可以判定Rt△AOC≌Rt△BOD，故本选项不符合题意；
B、当OA＝OD，∠A＝∠B时，不能判定Rt△AOC≌Rt△BOD，故本选项符合题意；
C、当AC＝BD，OC＝OD时，根据HL定理可以判定Rt△AOC≌Rt△BOD，故本选项不符合题意；
D、当AC∥BD时，∠A＝∠B，根据AAS定理可以判定Rt△AOC≌Rt△BOD，故本选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】直接根据全等三角形的判定定理进行判断即可.
7．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，BE⊥CE，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
在△BEC和△CDA中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴EC＝AD＝9，BE＝DC，
∵DE＝5，
∴CD＝EC﹣DE＝4，
∴BE＝4.
故答案为：D.
【分析】由同角的余角相等可得∠ACD＝∠CBE，利用AAS证明 △ACD≌△CBE， 得到EC＝AD＝9，BE＝DC， 由CD＝EC-DE求出CD，进而可得BE的值.
8．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：在等边△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵AB＝BD，∠ABD＝20°，
∴BD＝BC，∠CBD＝60°﹣20°＝40°，
∴∠BDC＝（180°﹣40°）÷2＝70°.
故答案为：C.
【分析】由等边三角形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝60°，由已知条件可知AB＝BD，∠ABD＝20°，则 BD＝BC，∠CBD＝∠ABC-∠ABD=40°， 然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算.
9．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：依题意如图，AC＝1，DB＝2，CD＝4，CP＝x，PD＝4﹣x，
∴AE＝1+2＝3，BE＝4，
∴AB ＝5，
∴代数式 的最小值是5.
故答案为：B.
【分析】依题意可得：AC＝1，DB＝2，CD＝4，CP＝x，PD＝4-x，则AE=AC+CE=3，BE=4，利用勾股定理求出AB，进而可得代数式的最小值.
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：BE与GD的延长线相交于M点，BM交CF于N点，如图，
设小正方形的边长为x，则大正方形的边长为 x，
设CN＝t，则BE＝t，
在Rt△BCN中，∵CN＝t，BN＝t+x，BC＝ x，
∴x2+（t+x）2＝（ x）2，
解得t＝x，
∴BE＝CN＝x，
∵ED为小正方形的对角线，
∴∠FEN＝∠EFN＝45°，
∴∠GFD＝45°，
∵GD⊥DF，
∴△GDF为等腰直角三角形，
∴∠FGD＝45°，DG＝DF＝x，
∵∠GEM＝∠EGM＝45°，
∴△MGE为等腰直角三角形，
∴ME＝MG＝2x，
在Rt△BMG中，∵BM＝3x，GM＝2x，
∴BG＝ ＝ x，
∴ ＝ ＝ .
故答案为：C.
【分析】BE与GD的延长线相交于M点，BM交CF于N点，设小正方形的边长为x，则大正方形的边长为x， 设CN＝t，则BE＝t， BN＝t+x，BC＝x，利用勾股定理可得t＝x， 由正方形的性质可得∠FEN＝∠EFN＝45°，推出 △GDF、△MGE为等腰直角三角形， 得到DG＝DF＝x，ME＝MG＝2x，然后在Rt△BMG中，利用勾股定理表示出BG，据此求解.
11．【答案】65
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝25°，
∴∠A＝180°-∠B-∠C=180°-90°﹣25°＝65°.
故答案为：65.
【分析】直接根据内角和定理计算即可.
12．【答案】﹣4（答案不唯一）
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：当a＝﹣4时，|a|＝4＞3，而﹣4＜﹣3，
∴“|a|＞3，则a＞3”是假命题，
故答案为：﹣4（答案不唯一）.
【分析】原命题为假命题时，应满足|a|>3，但a≤3，据此解答.
13．【答案】AB＝DC
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AC＝DB，BC＝CB，
∴可补充AB＝DC，
在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SSS）；
故答案为：AB＝DC.
【分析】根据全等三角形的判定定理进行解答即可.
14．【答案】
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】如图，作AD⊥BC，
∵△ABC是等边三角形，
由勾股定理得：AD= （cm），
∴△ABC的面积= ×2× = （cm2）．
【分析】BC为2，DC为1，在三角形ACD中，由勾股定理得AD为，因此求得等边三角形的面积为BC×AD×。
15．【答案】5
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由勾股定理得：AB＝ ＝10，
∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝ AB＝5，
故答案为：5.
【分析】由勾股定理可得AB的值，根据直角三角形斜边上中线的性质可得CD＝AB，据此计算.
16．【答案】1.5
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设ED＝x，
则AE＝4﹣x，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
由题意得：∠EBD＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴EB＝ED＝x，
由勾股定理得：BE2＝AB2+AE2，
即x2＝4+（4﹣x）2，
解得：x＝2.5，
即ED＝2.5，
∴AE＝1.5.
故答案为：1.5.
【分析】设ED＝x，则AE＝4-x，根据矩形以及平行线的性质可得∠EDB＝∠DBC，由折叠的性质可得
∠EBD＝∠DBC，则∠EDB＝∠EBD，推出 EB＝ED＝x，然后利用勾股定理求解即可.
17．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的判定与性质；等腰梯形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点D，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形AEFD是矩形.
梯形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，AD∥BC，
∴AB＝CD，∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ADB，
∴AB＝AD＝3，
∵AD∥CB，AE⊥CB，DF⊥BC，
∴AD＝DF，
∴Rt△AEB≌Rt△DFC（HL），
∴BE＝CF，
∵四边形AEFD是矩形，
∴AD＝EF＝3，
∴BE＝CF＝ （7﹣3）＝2，
∴AE＝DF＝ ，
∴BD＝ ，
故答案为： .
【分析】过点A作AE⊥BC于点D，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形AEFD是矩形，由等腰梯形的性质可得AB＝CD，根据平行线的性质可得∠ADB＝∠DBC， 由角平分线的概念可得∠ABD＝∠DBC，推出
AB＝AD=3， 证明Rt△AEB≌Rt△DFC，得到BE＝CF， 由矩形的性质可得AD＝EF＝3，然后求出BE，再结合勾股定理计算即可.
18．【答案】75；5.4
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：∵BM∥CN，
∴∠BCN+∠MBC＝180°，
∵∠MBC＝3∠BCN，
∴∠BCN＝45°，∠MBC＝135°，
∵∠DCN＝120°，
∴∠DCB＝75°，
∵∠MBD＝150°，
∴∠DBC＝360°﹣∠MBD﹣∠MBC＝75°，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴BD＝CD＝2米，
∵AD＝4.8米，
∴AB＝6.8米，
过B作BE⊥EF于E，过A作AF⊥EF于F，过B作BG⊥AF于F，
在Rt△ABG中，∵∠ABG＝180°﹣∠DBM＝30°，
∴AG＝ AB＝3.4米，
∵BE⊥EF，AF⊥EF，BG⊥AF，
∴∠BEF＝∠EFG＝90°，
∴四边形BEFG是矩形，
∴GF＝BE＝2米，
∴AF＝AG+GF＝3.4+2＝5.4（米），
答：点A到地面的距离AF的长为5.4米.
故答案为：75，5.4.
【分析】由平行线的性质可得∠BCN+∠MBC＝180°，结合∠MBC＝3∠BCN可得∠BCN、∠MBC的度数，易得∠DCB＝75°，∠DBC＝75°，则BD＝CD＝2米， AB＝6.8米，过B作BE⊥EF于E，过A作AF⊥EF于F，过B作BG⊥AF于F，由含30°角的直角三角形的性质可得AG＝AB＝3.4米， 易得四边形BEFG是矩形，GF＝BE＝2米，然后根据 AF＝AG+GF进行计算.
19．【答案】证明：∵OD＝CD，
∴∠DOC＝∠DCO，
∵OC平分∠AOB，
∴∠DOC＝∠BOC，
∴∠BOC＝∠DCO，
∴DC∥OB.
【知识点】平行线的判定；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质可得∠DOC＝∠DCO，由角平分线的概念可得∠DOC＝∠BOC，则 ∠BOC＝∠DCO，然后根据平行线的判定定理进行证明.
20．【答案】证明：∵∠ABD＝∠DCE，∠DBC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠DCB，
在△ABC和△DCB中
∵ ，
∴△ABC≌△DCB，
∴AC＝DB.
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】由已知条件可知∠ABD＝∠DCE，∠DBC＝∠ACB，则∠ABC＝∠DCB，利用ASA证明△ABC≌△DCB，据此可得结论.
21．【答案】解：⑴如图所示，△DCE即为所求（答案不唯一）；
⑵如图所示，△FGH即为所求.
【知识点】作图﹣轴对称；作图-三角形
【解析】【分析】（1）锐角三角形的三个角均为锐角，据此作图；
（2）分别找出锐角三角形的三个顶点关于直线AB的对称点，然后顺次连接即可.
22．【答案】（1）解：∵△ABC和△ADE关于直线MN对称，
∴△ABC≌△ADE，∠CAF＝∠EAF，
∴∠DAE＝∠BAC＝100°，
∵∠CAD＝30°，
∴∠CAE＝100°﹣30°＝70°，
∴∠EAF＝70°÷2＝35°
（2）解：∵BC∥AD，
∴∠C＝∠CAD，
∵∠DAC＝∠BAE，∠EAF＝∠CAF，
又∵AE平分∠BAM，
∴∠DAC＝∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，
∵∠BFE+∠C＝81°，
∴∠D+∠DAC＝81°，
∴∠CAF+∠EAF+∠E＝180°﹣81°＝99°，
∵∠C＝∠E，
∴3∠EAF＝99°，
∴∠EAF＝33°.
【知识点】平行线的性质；轴对称的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质可得△ABC≌△ADE，∠CAF＝∠EAF，由全等三角形的性质可得∠DAE＝∠BAC＝100°， 由∠CAE=∠DAE-∠CAD求出∠CAE的度数，进而可得∠EAF的度数；
（2）由平行线的性质可得∠C＝∠CAD，根据轴对称的性质可得∠DAC＝∠BAE，∠EAF＝∠CAF，由角平分线的概念可得 ∠DAC＝∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，结合∠BFE+∠C＝81°以及平角的概念可得∠CAF+∠EAF+∠E＝99°，据此求解.
23．【答案】（1）证明：∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴AC2＝AB2+BC2，
∵AB＝BC，
∴AC2＝2AB2，
∵CD2+AD2＝2AB2，
∴CD2+AD2＝AC2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ADC＝90°，
∴AD⊥CD；
（2）解：①在Rt△ABC中，AB＝BC＝ ，
∴AC＝ AB＝ × ＝10，
在Rt△ACD中，AD＝8，
∴CD＝ ＝6，
∴四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ADC的面积
＝ AB BC+ AD CD
＝ × × + ×8×6
＝25+24
＝49，
∴四边形ABCD的面积为49；
②7
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（2）②过点B作BE⊥AD，垂足为E，过点B作BF⊥DC，交DC的延长线于点F，连接BD，
∴∠BEA＝∠BED＝∠BFC＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠FBE＝360°﹣∠ADC﹣∠BED﹣∠BFC＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABC﹣∠CBE＝∠FBE﹣∠CBE，
∴∠ABE＝∠CBF，
∵AB＝BC，
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴BE＝BF，
∵四边形ABCD的面积为49，
∴△ABD的面积+△CBD的面积＝49，
∴ AD BE+ CD BF＝49，
∴ ×8BE+ ×6BF＝49，
∴7BE＝49，
∴BE＝7，
∴点B到AD的距离是7，
故答案为：7.
【分析】（1）根据垂直的概念可得∠ABC＝90°， 由勾股定理可得AC2＝AB2+BC2，结合AB＝BC可得AC2＝2AB2，由已知条件可得CD2+AD2＝2AB2，则 CD2+AD2＝AC2，由勾股定理逆定理知∠ADC＝90°，据此证明；
（2）①在Rt△ABC、Rt△ACD中，利用勾股定理可得AC、CD，然后根据四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ADC的面积结合三角形的面积公式进行计算；
②过点B作BE⊥AD，垂足为E，过点B作BF⊥DC，交DC的延长线于点F，连接BD，易得∠BEA=∠BED=∠BFC＝90°， ∠FBE＝90°，证明△ABE≌△CBF，得到BE＝BF，然后根据 四边形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积＝49结合三角形的面积公式进行计算.
24．【答案】（1）解：如图1，∵AC⊥BD于点E，
∴∠AEB＝90°，
∵AB＝10，BE＝8，
∴AE＝ ＝6，
∵当P为AB中点时，Q恰好与点E重合，且CQ＝ AP，
∴CE＝CQ＝ AP＝ × ×10＝6，
∴AC＝AE+CE＝6+6＝12，
∴AC的长是12.
（2）证明：由已知得，当P为AB中点时，Q恰好与点E重合，
如图1，延长PE交CD于点F，
∵∠AEB＝90°，P为AB中点，
∴PE＝PB＝ AB，
∴∠PEB＝∠B，
∵∠C＝∠B，
∴∠C＝∠PEB，
∵∠CEB＝90°，
∴∠C+∠CEF＝∠PEB+∠CEF＝90°，
∴∠CFE＝90°，
∴PE⊥CD，
∴PQ⊥CD.
（3）解：当△ABQ是等腰三角形，且AQ＝AB时，如图2，
∵AC＝12，AQ＝AB＝10，
∴CQ＝AC﹣AQ＝12﹣10＝2，
∴CQ＝ AP，
∴ AP＝2，
∴AP＝ ；
当△ABQ是等腰三角形，且AQ＝BQ时，如图3，
∵BE2+EQ2＝BQ2，且BE＝8，EQ＝6﹣CQ，BQ＝AQ＝12﹣CQ，
∴82+（6﹣CQ）2＝（12﹣CQ）2，
∴CQ＝ ，
∴ AP＝ ，
∴AP＝ ；
∵BD垂直平分AC，
∴若点Q与点C重合，则AB＝QB，
∵点P不与B重合，且CQ＝ AP，
∴点Q不与点C重合，
∴不存在AB＝QB的情况，
综上所述，AP的长为 或 .
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）利用勾股定理可得AE=6，结合题意可得CE＝CQ＝AP＝6， 然后根据AC＝AE+CE进行计算；
（2）延长PE交CD于点F，由直角三角形斜边上中线的性质可得PE＝PB＝AB由等腰三角形的性质可得∠PEB＝∠B，结合∠C＝∠B可得∠C＝∠PEB，根据∠CEB＝90°可得∠C+∠CEF＝∠PEB+∠CEF＝90°，则∠CFE＝90°，据此证明；
（3）当△ABQ是等腰三角形，且AQ＝AB时，CQ＝AC-AQ＝2，结合CQ＝AP可得AP的值；当△ABQ是等腰三角形，且AQ＝BQ时，由勾股定理可得CQ，结合CQ＝AP可得AP的值.
浙江省金华市东阳市2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.）
1．（2022八上·东阳期中）下面四个图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形.
故答案为：B.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.
2．（2022八上·东阳期中）下列长度的三条线段不能组成三角形的是（ ）
A．1，1，2 B．2，3，4 C．3，4，5 D．3，4，6
【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵1+1＝2，
∴长度为1，1，2的三条线段不能组成三角形，本选项符合题意；
B、∵3+2＞4，
∴长度为2、3、4的三条线段能组成三角形，本选项不符合题意；
C、∵3+4＞5，
∴长度为3，4，5的三条线段能组成三角形，本选项不符合题意；
D、∵3+4＞6，
∴长度为3、4、6条线段能组成三角形，本选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，据此判断.
3．（2022八上·东阳期中）等腰三角形的底角等于50°，则这个等腰三角形顶角的度数是（ ）
A．50° B．65° C．80° D．100°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的底角等于50°，
∴180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴等腰三角形的顶角为80°，.
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的性质结合内角和定理求解即可.
4．（2022八上·东阳期中）下列命题中，逆命题是真命题的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等 B．若a＝b，那么a2＝b2
C．对顶角相等 D．若a＝b，那么|a|＝|b|
【答案】A
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：A、两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，是真命题，符合题意；
B、若a＝b，那么a2＝b2的逆命题是若a2＝b2，那么a＝b，是假命题，不符合题意；
C、对顶角相等的逆命题是两个相等的角是对顶角，是假命题，不符合题意；
D、若a＝b，那么|a|＝|b|的逆命题是若|a|＝|b|，那么a＝b，是假命题，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】首先分别写出各个命题的逆命题，然后结合平行线的判定定理、对顶角的性质以及绝对值的性质进行判断.
5．（2022八上·东阳期中）如图，在△ABC中，作BC边上的高线，下列画法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：△ABC的BC边上的高是经过点A和BC垂直的线段.选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】三角形的高线就是垂线，即从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，据此判断.
6．（2022八上·东阳期中）如图，AB⊥CD，垂足为O.添加下列一组条件后，不能判定Rt△AOC≌Rt△BOD的是（ ）
A．AC＝BD，OA＝OB B．OA＝OD，∠A＝∠B
C．AC＝BD，OC＝OD D．AC＝BD，AC∥BD
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、当AC＝BD，OA＝OB时，根据HL定理可以判定Rt△AOC≌Rt△BOD，故本选项不符合题意；
B、当OA＝OD，∠A＝∠B时，不能判定Rt△AOC≌Rt△BOD，故本选项符合题意；
C、当AC＝BD，OC＝OD时，根据HL定理可以判定Rt△AOC≌Rt△BOD，故本选项不符合题意；
D、当AC∥BD时，∠A＝∠B，根据AAS定理可以判定Rt△AOC≌Rt△BOD，故本选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】直接根据全等三角形的判定定理进行判断即可.
7．（2022八上·东阳期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D.DE＝5，AD＝9，则BE的长是（ ）
A．6 B．5 C．4.5 D．4
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，BE⊥CE，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
在△BEC和△CDA中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴EC＝AD＝9，BE＝DC，
∵DE＝5，
∴CD＝EC﹣DE＝4，
∴BE＝4.
故答案为：D.
【分析】由同角的余角相等可得∠ACD＝∠CBE，利用AAS证明 △ACD≌△CBE， 得到EC＝AD＝9，BE＝DC， 由CD＝EC-DE求出CD，进而可得BE的值.
8．（2022八上·东阳期中）如图，在四边形ABCD中，连结AC，BD，若△ABC是等边三角形，AB＝BD，∠ABD＝20°，则∠BDC的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．75°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：在等边△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵AB＝BD，∠ABD＝20°，
∴BD＝BC，∠CBD＝60°﹣20°＝40°，
∴∠BDC＝（180°﹣40°）÷2＝70°.
故答案为：C.
【分析】由等边三角形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝60°，由已知条件可知AB＝BD，∠ABD＝20°，则 BD＝BC，∠CBD＝∠ABC-∠ABD=40°， 然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算.
9．（2022八上·东阳期中）数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当0＜x＜12时，求代数式 的最小值”，其中 可看作两直角边分别为x和2的Rt△ACP的斜边长， 可看作两直角边分别是12﹣x和3的Rt△BDP的斜边长.于是将问题转化为求AP+BP的最小值，如图所示，当AP与BP共线时，AP+BP为最小.请你解决问题：当0＜x＜4时，则代数式 的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：依题意如图，AC＝1，DB＝2，CD＝4，CP＝x，PD＝4﹣x，
∴AE＝1+2＝3，BE＝4，
∴AB ＝5，
∴代数式 的最小值是5.
故答案为：B.
【分析】依题意可得：AC＝1，DB＝2，CD＝4，CP＝x，PD＝4-x，则AE=AC+CE=3，BE=4，利用勾股定理求出AB，进而可得代数式的最小值.
10．（2022八上·东阳期中）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示.过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连结BG，若大正方形的面积是小正方形面积的5倍，则 的值为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：BE与GD的延长线相交于M点，BM交CF于N点，如图，
设小正方形的边长为x，则大正方形的边长为 x，
设CN＝t，则BE＝t，
在Rt△BCN中，∵CN＝t，BN＝t+x，BC＝ x，
∴x2+（t+x）2＝（ x）2，
解得t＝x，
∴BE＝CN＝x，
∵ED为小正方形的对角线，
∴∠FEN＝∠EFN＝45°，
∴∠GFD＝45°，
∵GD⊥DF，
∴△GDF为等腰直角三角形，
∴∠FGD＝45°，DG＝DF＝x，
∵∠GEM＝∠EGM＝45°，
∴△MGE为等腰直角三角形，
∴ME＝MG＝2x，
在Rt△BMG中，∵BM＝3x，GM＝2x，
∴BG＝ ＝ x，
∴ ＝ ＝ .
故答案为：C.
【分析】BE与GD的延长线相交于M点，BM交CF于N点，设小正方形的边长为x，则大正方形的边长为x， 设CN＝t，则BE＝t， BN＝t+x，BC＝x，利用勾股定理可得t＝x， 由正方形的性质可得∠FEN＝∠EFN＝45°，推出 △GDF、△MGE为等腰直角三角形， 得到DG＝DF＝x，ME＝MG＝2x，然后在Rt△BMG中，利用勾股定理表示出BG，据此求解.
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
11．（2022八上·东阳期中）在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝25°，则∠A＝ 度.
【答案】65
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝25°，
∴∠A＝180°-∠B-∠C=180°-90°﹣25°＝65°.
故答案为：65.
【分析】直接根据内角和定理计算即可.
12．（2022八上·东阳期中）在说明命题“若|a|＞3，则a＞3”是假命题的反例中，a的值可以是 .
【答案】﹣4（答案不唯一）
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：当a＝﹣4时，|a|＝4＞3，而﹣4＜﹣3，
∴“|a|＞3，则a＞3”是假命题，
故答案为：﹣4（答案不唯一）.
【分析】原命题为假命题时，应满足|a|>3，但a≤3，据此解答.
13．（2022八上·东阳期中）如图，AC＝BD，若要证明△ABC≌△DCB，需要补充的一个条件，可以是 （写出一个即可）.
【答案】AB＝DC
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AC＝DB，BC＝CB，
∴可补充AB＝DC，
在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SSS）；
故答案为：AB＝DC.
【分析】根据全等三角形的判定定理进行解答即可.
14．（2018八上·徐州期末）边长为2cm的等边三角形的面积为 cm2
【答案】
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】如图，作AD⊥BC，
∵△ABC是等边三角形，
由勾股定理得：AD= （cm），
∴△ABC的面积= ×2× = （cm2）．
【分析】BC为2，DC为1，在三角形ACD中，由勾股定理得AD为，因此求得等边三角形的面积为BC×AD×。
15．（2022八上·东阳期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AC＝6，BC＝8，则CD＝ .
【答案】5
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由勾股定理得：AB＝ ＝10，
∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝ AB＝5，
故答案为：5.
【分析】由勾股定理可得AB的值，根据直角三角形斜边上中线的性质可得CD＝AB，据此计算.
16．（2022八上·东阳期中）如图，在长方形ABCD中，BC＝4，CD＝2，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，则线段AE的长为 .
【答案】1.5
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设ED＝x，
则AE＝4﹣x，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
由题意得：∠EBD＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴EB＝ED＝x，
由勾股定理得：BE2＝AB2+AE2，
即x2＝4+（4﹣x）2，
解得：x＝2.5，
即ED＝2.5，
∴AE＝1.5.
故答案为：1.5.
【分析】设ED＝x，则AE＝4-x，根据矩形以及平行线的性质可得∠EDB＝∠DBC，由折叠的性质可得
∠EBD＝∠DBC，则∠EDB＝∠EBD，推出 EB＝ED＝x，然后利用勾股定理求解即可.
17．（2022八上·东阳期中）如图，梯形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，AD∥BC，BD平分∠ABC，若AD＝3，BC＝7，则BD的长为 .
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的判定与性质；等腰梯形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点D，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形AEFD是矩形.
梯形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，AD∥BC，
∴AB＝CD，∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ADB，
∴AB＝AD＝3，
∵AD∥CB，AE⊥CB，DF⊥BC，
∴AD＝DF，
∴Rt△AEB≌Rt△DFC（HL），
∴BE＝CF，
∵四边形AEFD是矩形，
∴AD＝EF＝3，
∴BE＝CF＝ （7﹣3）＝2，
∴AE＝DF＝ ，
∴BD＝ ，
故答案为： .
【分析】过点A作AE⊥BC于点D，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形AEFD是矩形，由等腰梯形的性质可得AB＝CD，根据平行线的性质可得∠ADB＝∠DBC， 由角平分线的概念可得∠ABD＝∠DBC，推出
AB＝AD=3， 证明Rt△AEB≌Rt△DFC，得到BE＝CF， 由矩形的性质可得AD＝EF＝3，然后求出BE，再结合勾股定理计算即可.
18．（2022八上·东阳期中）如图1是吊车的实物图，图2是吊车工作示意图，车顶BM与车身CN平行于地面，已知BM到地面的距离为2米，AD＝4.8米，∠MBC＝3∠BCN.吊车作业时是通过液压杆CD的伸缩使起重臂AB绕点B转动的，从而使得起重臂升降作业.在某次起重作业中，学习兴趣小组经过测量发现：液压杆CD为2米时，∠DCN＝120°，∠MBD＝150°，则∠CBD＝ 度，此时点A到地面的距离为 米.
【答案】75；5.4
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：∵BM∥CN，
∴∠BCN+∠MBC＝180°，
∵∠MBC＝3∠BCN，
∴∠BCN＝45°，∠MBC＝135°，
∵∠DCN＝120°，
∴∠DCB＝75°，
∵∠MBD＝150°，
∴∠DBC＝360°﹣∠MBD﹣∠MBC＝75°，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴BD＝CD＝2米，
∵AD＝4.8米，
∴AB＝6.8米，
过B作BE⊥EF于E，过A作AF⊥EF于F，过B作BG⊥AF于F，
在Rt△ABG中，∵∠ABG＝180°﹣∠DBM＝30°，
∴AG＝ AB＝3.4米，
∵BE⊥EF，AF⊥EF，BG⊥AF，
∴∠BEF＝∠EFG＝90°，
∴四边形BEFG是矩形，
∴GF＝BE＝2米，
∴AF＝AG+GF＝3.4+2＝5.4（米），
答：点A到地面的距离AF的长为5.4米.
故答案为：75，5.4.
【分析】由平行线的性质可得∠BCN+∠MBC＝180°，结合∠MBC＝3∠BCN可得∠BCN、∠MBC的度数，易得∠DCB＝75°，∠DBC＝75°，则BD＝CD＝2米， AB＝6.8米，过B作BE⊥EF于E，过A作AF⊥EF于F，过B作BG⊥AF于F，由含30°角的直角三角形的性质可得AG＝AB＝3.4米， 易得四边形BEFG是矩形，GF＝BE＝2米，然后根据 AF＝AG+GF进行计算.
三、解答题（本题有6小题，共46分.）
19．（2022八上·东阳期中）如图，C为∠AOB平分线上一点，点D在射线OA上，且OD＝CD.
求证：CD∥OB.
【答案】证明：∵OD＝CD，
∴∠DOC＝∠DCO，
∵OC平分∠AOB，
∴∠DOC＝∠BOC，
∴∠BOC＝∠DCO，
∴DC∥OB.
【知识点】平行线的判定；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质可得∠DOC＝∠DCO，由角平分线的概念可得∠DOC＝∠BOC，则 ∠BOC＝∠DCO，然后根据平行线的判定定理进行证明.
20．（2022八上·东阳期中）如图，在△ABC与△DCB中，已知∠ABD＝∠DCE，∠DBC＝∠ACB.
求证：AC＝DB.
【答案】证明：∵∠ABD＝∠DCE，∠DBC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠DCB，
在△ABC和△DCB中
∵ ，
∴△ABC≌△DCB，
∴AC＝DB.
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】由已知条件可知∠ABD＝∠DCE，∠DBC＝∠ACB，则∠ABC＝∠DCB，利用ASA证明△ABC≌△DCB，据此可得结论.
21．（2022八上·东阳期中）如图，在3×6的方格纸中，已知格点P和线段AB.
⑴画一个锐角三角形（顶点均在格点上且不与点A，B重合），使P为其中一边的中点.
⑵再画出该三角形关于直线AB对称的图形.
【答案】解：⑴如图所示，△DCE即为所求（答案不唯一）；
⑵如图所示，△FGH即为所求.
【知识点】作图﹣轴对称；作图-三角形
【解析】【分析】（1）锐角三角形的三个角均为锐角，据此作图；
（2）分别找出锐角三角形的三个顶点关于直线AB的对称点，然后顺次连接即可.
22．（2022八上·东阳期中）如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上.
（1）若∠BAC＝100°，∠CAD＝30°，求∠EAF的度数.
（2）若BC∥AD，AE平分∠BAM，∠BFE+∠C＝81°，求∠EAF的度数.
【答案】（1）解：∵△ABC和△ADE关于直线MN对称，
∴△ABC≌△ADE，∠CAF＝∠EAF，
∴∠DAE＝∠BAC＝100°，
∵∠CAD＝30°，
∴∠CAE＝100°﹣30°＝70°，
∴∠EAF＝70°÷2＝35°
（2）解：∵BC∥AD，
∴∠C＝∠CAD，
∵∠DAC＝∠BAE，∠EAF＝∠CAF，
又∵AE平分∠BAM，
∴∠DAC＝∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，
∵∠BFE+∠C＝81°，
∴∠D+∠DAC＝81°，
∴∠CAF+∠EAF+∠E＝180°﹣81°＝99°，
∵∠C＝∠E，
∴3∠EAF＝99°，
∴∠EAF＝33°.
【知识点】平行线的性质；轴对称的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质可得△ABC≌△ADE，∠CAF＝∠EAF，由全等三角形的性质可得∠DAE＝∠BAC＝100°， 由∠CAE=∠DAE-∠CAD求出∠CAE的度数，进而可得∠EAF的度数；
（2）由平行线的性质可得∠C＝∠CAD，根据轴对称的性质可得∠DAC＝∠BAE，∠EAF＝∠CAF，由角平分线的概念可得 ∠DAC＝∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，结合∠BFE+∠C＝81°以及平角的概念可得∠CAF+∠EAF+∠E＝99°，据此求解.
23．（2022八上·东阳期中）已知：在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝BC，CD2+AD2＝2AB2.
（1）求证：AD⊥CD.
（2）若AB＝ ，AD＝8.
①求四边形ABCD的面积.
②点B到AD的距离是 ▲ .
【答案】（1）证明：∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴AC2＝AB2+BC2，
∵AB＝BC，
∴AC2＝2AB2，
∵CD2+AD2＝2AB2，
∴CD2+AD2＝AC2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ADC＝90°，
∴AD⊥CD；
（2）解：①在Rt△ABC中，AB＝BC＝ ，
∴AC＝ AB＝ × ＝10，
在Rt△ACD中，AD＝8，
∴CD＝ ＝6，
∴四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ADC的面积
＝ AB BC+ AD CD
＝ × × + ×8×6
＝25+24
＝49，
∴四边形ABCD的面积为49；
②7
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（2）②过点B作BE⊥AD，垂足为E，过点B作BF⊥DC，交DC的延长线于点F，连接BD，
∴∠BEA＝∠BED＝∠BFC＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠FBE＝360°﹣∠ADC﹣∠BED﹣∠BFC＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABC﹣∠CBE＝∠FBE﹣∠CBE，
∴∠ABE＝∠CBF，
∵AB＝BC，
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴BE＝BF，
∵四边形ABCD的面积为49，
∴△ABD的面积+△CBD的面积＝49，
∴ AD BE+ CD BF＝49，
∴ ×8BE+ ×6BF＝49，
∴7BE＝49，
∴BE＝7，
∴点B到AD的距离是7，
故答案为：7.
【分析】（1）根据垂直的概念可得∠ABC＝90°， 由勾股定理可得AC2＝AB2+BC2，结合AB＝BC可得AC2＝2AB2，由已知条件可得CD2+AD2＝2AB2，则 CD2+AD2＝AC2，由勾股定理逆定理知∠ADC＝90°，据此证明；
（2）①在Rt△ABC、Rt△ACD中，利用勾股定理可得AC、CD，然后根据四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ADC的面积结合三角形的面积公式进行计算；
②过点B作BE⊥AD，垂足为E，过点B作BF⊥DC，交DC的延长线于点F，连接BD，易得∠BEA=∠BED=∠BFC＝90°， ∠FBE＝90°，证明△ABE≌△CBF，得到BE＝BF，然后根据 四边形ABCD的面积=△ABD的面积+△CBD的面积＝49结合三角形的面积公式进行计算.
24．（2022八上·东阳期中）如图，AC⊥BD于点E，连结AB，CD，AB＝10，BE＝8，点P在线段AB上运动时（不与A，B重合），点Q在线段AC上，满足CQ＝ AP，连结PQ.当P为AB中点时，Q恰好与点E重合.
（1）求AC的长.
（2）若∠C＝∠B，P运动到AB中点时，求证：直线PQ⊥CD.
（3）连结BQ，当△ABQ是等腰三角形时，请写出所有符合条件的AP的长.
【答案】（1）解：如图1，∵AC⊥BD于点E，
∴∠AEB＝90°，
∵AB＝10，BE＝8，
∴AE＝ ＝6，
∵当P为AB中点时，Q恰好与点E重合，且CQ＝ AP，
∴CE＝CQ＝ AP＝ × ×10＝6，
∴AC＝AE+CE＝6+6＝12，
∴AC的长是12.
（2）证明：由已知得，当P为AB中点时，Q恰好与点E重合，
如图1，延长PE交CD于点F，
∵∠AEB＝90°，P为AB中点，
∴PE＝PB＝ AB，
∴∠PEB＝∠B，
∵∠C＝∠B，
∴∠C＝∠PEB，
∵∠CEB＝90°，
∴∠C+∠CEF＝∠PEB+∠CEF＝90°，
∴∠CFE＝90°，
∴PE⊥CD，
∴PQ⊥CD.
（3）解：当△ABQ是等腰三角形，且AQ＝AB时，如图2，
∵AC＝12，AQ＝AB＝10，
∴CQ＝AC﹣AQ＝12﹣10＝2，
∴CQ＝ AP，
∴ AP＝2，
∴AP＝ ；
当△ABQ是等腰三角形，且AQ＝BQ时，如图3，
∵BE2+EQ2＝BQ2，且BE＝8，EQ＝6﹣CQ，BQ＝AQ＝12﹣CQ，
∴82+（6﹣CQ）2＝（12﹣CQ）2，
∴CQ＝ ，
∴ AP＝ ，
∴AP＝ ；
∵BD垂直平分AC，
∴若点Q与点C重合，则AB＝QB，
∵点P不与B重合，且CQ＝ AP，
∴点Q不与点C重合，
∴不存在AB＝QB的情况，
综上所述，AP的长为 或 .
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）利用勾股定理可得AE=6，结合题意可得CE＝CQ＝AP＝6， 然后根据AC＝AE+CE进行计算；
（2）延长PE交CD于点F，由直角三角形斜边上中线的性质可得PE＝PB＝AB由等腰三角形的性质可得∠PEB＝∠B，结合∠C＝∠B可得∠C＝∠PEB，根据∠CEB＝90°可得∠C+∠CEF＝∠PEB+∠CEF＝90°，则∠CFE＝90°，据此证明；
（3）当△ABQ是等腰三角形，且AQ＝AB时，CQ＝AC-AQ＝2，结合CQ＝AP可得AP的值；当△ABQ是等腰三角形，且AQ＝BQ时，由勾股定理可得CQ，结合CQ＝AP可得AP的值.
