浙江省嘉兴市桐乡高级中学2019-2020学年高一上学期数学10月月考试卷
一、单选题
1．（2019高一上·嘉兴月考）已知集合 ，集合 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】因为 ，所以 = .
故答案为：D
【分析】利用一元二次不等式求解集的方法求出集合B，再利用交集的运算法则，借助数轴求出集合。
2．（2019高一上·嘉兴月考）下列函数中在定义域上既是奇函数又是增函数的为（ ）
A．y＝x＋1 B．y＝－x2 C．y＝x3 D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】y＝x＋1是非奇非偶函数，
y＝－x2是偶函数，
y＝x3由幂函数的性质，是定义在R上的奇函数，且为单调递增，
在在定义域为 ，不是定义域上的单调增函数，
故答案为：C
【分析】依据奇偶性和单调性依次判断每个选项即可.
3．（2019高一上·嘉兴期中）下列各组表示同一函数的是（ ）
A． B． ,
C． D．
【答案】D
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解： 函数 的定义域为 ,而函数 的定义域为 ,故它们不是同一个函数,故排除A；
函数 的定义域为 , 的定义域为 ,故它们不是同一个函数，故排除B；
函数 的值域为 ,函数 的值域为 ,故它们不是同一个函数,故排除C；
函数 与函数 ,具有相同的定义域、值域、对应关系,故它们是同一个函数,
故答案为：D
【分析】若两个函数是同一个函数,则两个函数必须具有相同的定义域、值域、对应关系,由此依次判断选项即可
4．（2019高一上·嘉兴月考）已知 ，则 的值为（ ）
A． －1 B． ＋1 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】由题 ，令 得 ，
所以 .
故答案为：C
【分析】令 得 ，代入即可求解.
5．（2019高一上·嘉兴月考）已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b
【答案】B
【知识点】指数式与对数式的互化；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由题： ， ， ，
所以 .
故答案为：B
【分析】将三个指数转化为对数形式，结合对数函数性质利用0,1作为中间值进行比较即可求解.
6．（2019高一上·嘉兴月考）已知 是定义在 上的偶函数，且当 时， 单调递增，则关于 的不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．随a的值变化而变化
【答案】B
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】由题：函数定义在 上的偶函数，所以 ，
当 时， 单调递增，所以当 时， 单调递减，
关于 的不等式 即 ，且 定义在 上，
所以 或 ，
解得： 或 ，
所以原不等式解集为： .
故答案为：B
【分析】函数定义在 上的偶函数，可求出 ，当 时， 单调递增，根据偶函数得出 的单调性即可求解.
7．（2019高一上·嘉兴月考）已知 是定义在 上的函数且 是偶函数，当 时， ，则（ ）
A．f（3）＜f（4）＜f（－1） B．f（4）＜f（－1）＜f（3）
C．f（－1）＜f（3）＜f（4） D．f（3）＜f（－1）＜f（4）
【答案】A
【知识点】奇偶函数图象的对称性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】 定义在 上的函数， 是偶函数，即关于直线 对称，
所以 关于 对称，
当 时， ，函数单调递减，
所以当 时，函数单调递增， .
故答案为：A
【分析】 定义在 上的函数， 是偶函数关于直线 对称，通过平移则 关于 对称，结合当 时， 分析单调性即可求解.
8．（2019高一上·嘉兴月考）关于 的不等式 的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是（ ）
A．｛a｜4＜a＜5｝ B．｛a｜4＜a＜5或－3＜a＜－2｝
C．｛a｜4＜a≤5｝ D．｛a｜4＜a≤5或－3≤a＜－2｝
【答案】D
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】由题当 时，无解；
当 时，不等式的解集为 ，解集内恰有三个整数，即 ，
所以 ；
当 时，不等式的解集为 ，解集内恰有三个整数，即 ，
所以 ，
综上所述，a的取值范围是 或 .
故答案为：D
【分析】分别讨论 和 两种情况的解集中，恰有3个整数即可得出 的范围.
9．（2016·中山模拟）设函数f（x）= ，则满足f（f（a））=2f（a）的a的取值范围是（ ）
A．[ ，1] B．[0，1]
C．[ ，+∞） D．[1，+∞）
【答案】C
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】解：令f（a）=t，
则f（t）=2t，
当t＜1时，3t﹣1=2t，
由g（t）=3t﹣1﹣2t的导数为g′（t）=3﹣2tln2，
在t＜1时，g′（t）＞0，g（t）在（﹣∞，1）递增，
即有g（t）＜g（1）=0，
则方程3t﹣1=2t无解；
当t≥1时，2t=2t成立，
由f（a）≥1，即3a﹣1≥1，解得a≥ ，且a＜1；
或a≥1，2a≥1解得a≥0，即为a≥1．
综上可得a的范围是a≥ ．
故选C．
【分析】令f（a）=t，则f（t）=2t，讨论t＜1，运用导数判断单调性，进而得到方程无解，讨论t≥1时，以及a＜1，a≥1，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围．
10．（2019高一上·嘉兴月考）已知函数 在区间［－1,2］上的最大值为2，则 的值等于（ ）
A．2或3 B．－1或3 C．1 D．3
【答案】A
【知识点】函数的最大（小）值；绝对值不等式
【解析】【解答】由题函数 ， ，
的最大值为 ，或
当 时，即 时，最大值 解得： ；
当 时，即 时，最大值 解得：
综上所述： 的值等于2或3.
故答案为：A
【分析】函数 ， ，根据绝对值的最大值为2进行分类讨论检验即可.
二、填空题
11．（2019高一上·嘉兴月考）计算： ．若 ， ，则 ．
【答案】0；
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】① ；
②
故答案为：0，
【分析】①根据指数幂的运算性质逐一化简计算即可得解，注意 ；
②对 进行恰当的拆分成 和 进行计算.
12．（2019高一上·嘉兴月考）已知函数 且 恒经过定点A，则点A的坐标是 ，若点A在函数 上，则 的单调递增区间是 ．
【答案】；
【知识点】二次函数的性质；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】①函数 且 恒经过定点，即 时， ，所以定点 ；
②根据第一问 在函数 上，即 ， ，
所以 其单调递增区间为：
故答案为： ，
【分析】①函数 且 恒经过定点即 时对应点；
②根据第一问 ，求得 ，即可得出 的单调递增区间.
13．（2019高一上·嘉兴月考）已知函数 ，则 的单调递增区间是 ，值域是 ．
【答案】；
【知识点】复合函数的单调性；二次函数的性质；指数函数单调性的应用
【解析】【解答】 是减函数， 在 单调递减，在 单调递增，根据同增异减法则，函数 在 单调递增，在 单调递减，
令 ， 的值域即求：
的值域，根据指数函数图象性质 是减函数，
其值域为 .
故答案为： ，
【分析】①根据同增异减法则求出函数的单调区间；
②通过换元法求出函数值域.
14．（2019高一上·嘉兴月考）已知函数 ，当 时， ，若 在 上单调递增，则a的取值范围是 ．
【答案】8；
【知识点】函数单调性的性质；函数的值；分段函数的应用
【解析】【解答】①当 时， ， ；
② 在 上单调递增，则 ，解得 .
故答案为：8，
【分析】①当 时，先求出 ，再求 ；
②分段函数 在 上单调递增，必须满足两段函数递增，且在 处附近满足 小于等于右极限.
15．（2019高一上·嘉兴月考）已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 在 上的解析式为 ．
【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】由题： 是定义在 上的奇函数， ，
当 时， ，
所以当 时， ， ，
所以 .
故答案为：
【分析】根据奇函数的性质 ，当 时， ， 补齐解析式.
16．（2019高一上·嘉兴月考）若函数 在 单调递减，则 的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】复合函数的单调性；函数恒成立问题；二次函数的性质
【解析】【解答】由题：函数 在 单调递减，
考虑函数 在 单调递减，即 所以 ；
且 在 恒成立，已得 ，
只需 ，即
综上所述： .
故答案为：
【分析】函数 在 单调递减， 必满足两个条件，一是单调递减，二是 在 恒成立.
17．（2019高一上·嘉兴月考）已知函数 ，若 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】由题 是偶函数，考虑复合函数 单调递增，
在 单调递增，且 ，
所以 在 单调递增，在 单调递减，
解不等式 ，即 ， ，
，解得：
故答案为：
【分析】 是偶函数且在 单调递增，根据单调性求解不等式.
三、解答题
18．（2019高一上·嘉兴月考）已知集合 ，集合 ，集合 ．
（1）求集合 ，集合 ；
（2）若集合 ，求 的取值范围．
【答案】（1）解：解不等式 即 ，
所以 ；
解不等式 ， 或 ，
所以 或 ；
， 或 ；
（2）解： ，即 ， ，由第一问 ，
当 时， ，即 时，符合题意；
当 ， ，即 解得：
综上： 或
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；交集及其运算
【解析】【分析】（1）解不等式得出集合 ，即可求解；（2） 即 ，分类讨论结合数轴求解.
19．（2019高一上·嘉兴月考）已知函数 是定义在R上的奇函数，且 ．
（1）求实数a，b的值，并求函数 的值域；
（2）判断 在区间 上的单调性，并用定义证明．
【答案】（1）解：由题函数 是定义在R上的奇函数， ，
， ，
当 时， ，
当 时， ，由对勾函数性质：设 ，
所以当 时， 的值域即：求 的值域，根据反比例函数性质可得其值域为 ，
综上所述： 的值域为
（2）解： 在区间 上单调递增，
证明：任取 ， ， ，
，
所以 在区间 上单调递增.
【知识点】函数的值域；函数单调性的判断与证明；奇函数与偶函数的性质
【解析】【分析】（1）定义在R上的奇函数必有 ，且 ，解方程组即可求解；（2）根据定义作差法证明函数单调递增.
20．（2019高一上·嘉兴月考）已知函数 满足 ，且 ．
（1）求函数 的解析式；
（2）讨论方程 在 的解的个数．
【答案】（1）解：函数 ，
，所以 ，
，
，即 ，
所以 ；
（2）解： ，令 ，根据对勾函数单调性可得
单调递减， 单调递增，
方程 在 的解的个数，即函数 与 公共点的个数，
函数图象：
当 或 时，无解；
当 或 时，一个解；
当 时，两个解
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1） 求出 ，根据 求出 ；（2）根据对勾函数得 的图象，数形结合得解.
21．（2019高一上·嘉兴月考）已知 ，函数 ．
（1）当 时，写出 的单调递增区间；
（2）当 时，求 在区间 上的最小值．
【答案】（1）解：当 时， ，
作图：
的单调递增区间为 ， ；
（2）解：当 时， ，作图如下：
当 ，即 时，最小值 ；
当 ，即 时， ：
若 ， ，最小值
若 ， ，最小值 ；
当 时，最小值为0；
当 时，最小值为
综上所述，当 时，最小值 ，
当 ，最小值 ，
当 时，最小值为0，
当 时，最小值 .
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；二次函数在闭区间上的最值；分段函数的应用
【解析】【分析】（1）当 时 ，即可写出单调递增区间；（2）当 时， ，分类讨论即可求出最小值.
22．（2019高一上·嘉兴月考）已知函数 （ 且 ）是定义在 上的奇函数．
（1）求 的值；
（2）若 ，且 对于任意 恒成立，求 的取值范围．
【答案】（1）解：函数 （ 且 ）是定义在 上的奇函数，
；
（2）解：因为 且 ， ，解得： ，
所以 在 上单调递增，
对于任意 恒成立，即
对于任意 恒成立，
即 对于任意 恒成立，
即 对于任意 恒成立，根据对勾函数性质 单调递减， 单调递增，所以 在 最小值为4，
，
所以 .
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）定义在 上的奇函数必有 即可求解 的值；（2）根据 ，确定 的范围，得出 的单调性和奇偶性， 对于任意 恒成立，根据奇偶性可转化变形求解 的取值范围.
浙江省嘉兴市桐乡高级中学2019-2020学年高一上学期数学10月月考试卷
一、单选题
1．（2019高一上·嘉兴月考）已知集合 ，集合 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
2．（2019高一上·嘉兴月考）下列函数中在定义域上既是奇函数又是增函数的为（ ）
A．y＝x＋1 B．y＝－x2 C．y＝x3 D．
3．（2019高一上·嘉兴期中）下列各组表示同一函数的是（ ）
A． B． ,
C． D．
4．（2019高一上·嘉兴月考）已知 ，则 的值为（ ）
A． －1 B． ＋1 C．3 D．2
5．（2019高一上·嘉兴月考）已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b
6．（2019高一上·嘉兴月考）已知 是定义在 上的偶函数，且当 时， 单调递增，则关于 的不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．随a的值变化而变化
7．（2019高一上·嘉兴月考）已知 是定义在 上的函数且 是偶函数，当 时， ，则（ ）
A．f（3）＜f（4）＜f（－1） B．f（4）＜f（－1）＜f（3）
C．f（－1）＜f（3）＜f（4） D．f（3）＜f（－1）＜f（4）
8．（2019高一上·嘉兴月考）关于 的不等式 的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是（ ）
A．｛a｜4＜a＜5｝ B．｛a｜4＜a＜5或－3＜a＜－2｝
C．｛a｜4＜a≤5｝ D．｛a｜4＜a≤5或－3≤a＜－2｝
9．（2016·中山模拟）设函数f（x）= ，则满足f（f（a））=2f（a）的a的取值范围是（ ）
A．[ ，1] B．[0，1]
C．[ ，+∞） D．[1，+∞）
10．（2019高一上·嘉兴月考）已知函数 在区间［－1,2］上的最大值为2，则 的值等于（ ）
A．2或3 B．－1或3 C．1 D．3
二、填空题
11．（2019高一上·嘉兴月考）计算： ．若 ， ，则 ．
12．（2019高一上·嘉兴月考）已知函数 且 恒经过定点A，则点A的坐标是 ，若点A在函数 上，则 的单调递增区间是 ．
13．（2019高一上·嘉兴月考）已知函数 ，则 的单调递增区间是 ，值域是 ．
14．（2019高一上·嘉兴月考）已知函数 ，当 时， ，若 在 上单调递增，则a的取值范围是 ．
15．（2019高一上·嘉兴月考）已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 在 上的解析式为 ．
16．（2019高一上·嘉兴月考）若函数 在 单调递减，则 的取值范围是 ．
17．（2019高一上·嘉兴月考）已知函数 ，若 ，则 的取值范围是 ．
三、解答题
18．（2019高一上·嘉兴月考）已知集合 ，集合 ，集合 ．
（1）求集合 ，集合 ；
（2）若集合 ，求 的取值范围．
19．（2019高一上·嘉兴月考）已知函数 是定义在R上的奇函数，且 ．
（1）求实数a，b的值，并求函数 的值域；
（2）判断 在区间 上的单调性，并用定义证明．
20．（2019高一上·嘉兴月考）已知函数 满足 ，且 ．
（1）求函数 的解析式；
（2）讨论方程 在 的解的个数．
21．（2019高一上·嘉兴月考）已知 ，函数 ．
（1）当 时，写出 的单调递增区间；
（2）当 时，求 在区间 上的最小值．
22．（2019高一上·嘉兴月考）已知函数 （ 且 ）是定义在 上的奇函数．
（1）求 的值；
（2）若 ，且 对于任意 恒成立，求 的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】因为 ，所以 = .
故答案为：D
【分析】利用一元二次不等式求解集的方法求出集合B，再利用交集的运算法则，借助数轴求出集合。
2．【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】y＝x＋1是非奇非偶函数，
y＝－x2是偶函数，
y＝x3由幂函数的性质，是定义在R上的奇函数，且为单调递增，
在在定义域为 ，不是定义域上的单调增函数，
故答案为：C
【分析】依据奇偶性和单调性依次判断每个选项即可.
3．【答案】D
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解： 函数 的定义域为 ,而函数 的定义域为 ,故它们不是同一个函数,故排除A；
函数 的定义域为 , 的定义域为 ,故它们不是同一个函数，故排除B；
函数 的值域为 ,函数 的值域为 ,故它们不是同一个函数,故排除C；
函数 与函数 ,具有相同的定义域、值域、对应关系,故它们是同一个函数,
故答案为：D
【分析】若两个函数是同一个函数,则两个函数必须具有相同的定义域、值域、对应关系,由此依次判断选项即可
4．【答案】C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】由题 ，令 得 ，
所以 .
故答案为：C
【分析】令 得 ，代入即可求解.
5．【答案】B
【知识点】指数式与对数式的互化；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由题： ， ， ，
所以 .
故答案为：B
【分析】将三个指数转化为对数形式，结合对数函数性质利用0,1作为中间值进行比较即可求解.
6．【答案】B
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】由题：函数定义在 上的偶函数，所以 ，
当 时， 单调递增，所以当 时， 单调递减，
关于 的不等式 即 ，且 定义在 上，
所以 或 ，
解得： 或 ，
所以原不等式解集为： .
故答案为：B
【分析】函数定义在 上的偶函数，可求出 ，当 时， 单调递增，根据偶函数得出 的单调性即可求解.
7．【答案】A
【知识点】奇偶函数图象的对称性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】 定义在 上的函数， 是偶函数，即关于直线 对称，
所以 关于 对称，
当 时， ，函数单调递减，
所以当 时，函数单调递增， .
故答案为：A
【分析】 定义在 上的函数， 是偶函数关于直线 对称，通过平移则 关于 对称，结合当 时， 分析单调性即可求解.
8．【答案】D
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】由题当 时，无解；
当 时，不等式的解集为 ，解集内恰有三个整数，即 ，
所以 ；
当 时，不等式的解集为 ，解集内恰有三个整数，即 ，
所以 ，
综上所述，a的取值范围是 或 .
故答案为：D
【分析】分别讨论 和 两种情况的解集中，恰有3个整数即可得出 的范围.
9．【答案】C
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】解：令f（a）=t，
则f（t）=2t，
当t＜1时，3t﹣1=2t，
由g（t）=3t﹣1﹣2t的导数为g′（t）=3﹣2tln2，
在t＜1时，g′（t）＞0，g（t）在（﹣∞，1）递增，
即有g（t）＜g（1）=0，
则方程3t﹣1=2t无解；
当t≥1时，2t=2t成立，
由f（a）≥1，即3a﹣1≥1，解得a≥ ，且a＜1；
或a≥1，2a≥1解得a≥0，即为a≥1．
综上可得a的范围是a≥ ．
故选C．
【分析】令f（a）=t，则f（t）=2t，讨论t＜1，运用导数判断单调性，进而得到方程无解，讨论t≥1时，以及a＜1，a≥1，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围．
10．【答案】A
【知识点】函数的最大（小）值；绝对值不等式
【解析】【解答】由题函数 ， ，
的最大值为 ，或
当 时，即 时，最大值 解得： ；
当 时，即 时，最大值 解得：
综上所述： 的值等于2或3.
故答案为：A
【分析】函数 ， ，根据绝对值的最大值为2进行分类讨论检验即可.
11．【答案】0；
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】① ；
②
故答案为：0，
【分析】①根据指数幂的运算性质逐一化简计算即可得解，注意 ；
②对 进行恰当的拆分成 和 进行计算.
12．【答案】；
【知识点】二次函数的性质；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】①函数 且 恒经过定点，即 时， ，所以定点 ；
②根据第一问 在函数 上，即 ， ，
所以 其单调递增区间为：
故答案为： ，
【分析】①函数 且 恒经过定点即 时对应点；
②根据第一问 ，求得 ，即可得出 的单调递增区间.
13．【答案】；
【知识点】复合函数的单调性；二次函数的性质；指数函数单调性的应用
【解析】【解答】 是减函数， 在 单调递减，在 单调递增，根据同增异减法则，函数 在 单调递增，在 单调递减，
令 ， 的值域即求：
的值域，根据指数函数图象性质 是减函数，
其值域为 .
故答案为： ，
【分析】①根据同增异减法则求出函数的单调区间；
②通过换元法求出函数值域.
14．【答案】8；
【知识点】函数单调性的性质；函数的值；分段函数的应用
【解析】【解答】①当 时， ， ；
② 在 上单调递增，则 ，解得 .
故答案为：8，
【分析】①当 时，先求出 ，再求 ；
②分段函数 在 上单调递增，必须满足两段函数递增，且在 处附近满足 小于等于右极限.
15．【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】由题： 是定义在 上的奇函数， ，
当 时， ，
所以当 时， ， ，
所以 .
故答案为：
【分析】根据奇函数的性质 ，当 时， ， 补齐解析式.
16．【答案】
【知识点】复合函数的单调性；函数恒成立问题；二次函数的性质
【解析】【解答】由题：函数 在 单调递减，
考虑函数 在 单调递减，即 所以 ；
且 在 恒成立，已得 ，
只需 ，即
综上所述： .
故答案为：
【分析】函数 在 单调递减， 必满足两个条件，一是单调递减，二是 在 恒成立.
17．【答案】
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】由题 是偶函数，考虑复合函数 单调递增，
在 单调递增，且 ，
所以 在 单调递增，在 单调递减，
解不等式 ，即 ， ，
，解得：
故答案为：
【分析】 是偶函数且在 单调递增，根据单调性求解不等式.
18．【答案】（1）解：解不等式 即 ，
所以 ；
解不等式 ， 或 ，
所以 或 ；
， 或 ；
（2）解： ，即 ， ，由第一问 ，
当 时， ，即 时，符合题意；
当 ， ，即 解得：
综上： 或
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；交集及其运算
【解析】【分析】（1）解不等式得出集合 ，即可求解；（2） 即 ，分类讨论结合数轴求解.
19．【答案】（1）解：由题函数 是定义在R上的奇函数， ，
， ，
当 时， ，
当 时， ，由对勾函数性质：设 ，
所以当 时， 的值域即：求 的值域，根据反比例函数性质可得其值域为 ，
综上所述： 的值域为
（2）解： 在区间 上单调递增，
证明：任取 ， ， ，
，
所以 在区间 上单调递增.
【知识点】函数的值域；函数单调性的判断与证明；奇函数与偶函数的性质
【解析】【分析】（1）定义在R上的奇函数必有 ，且 ，解方程组即可求解；（2）根据定义作差法证明函数单调递增.
20．【答案】（1）解：函数 ，
，所以 ，
，
，即 ，
所以 ；
（2）解： ，令 ，根据对勾函数单调性可得
单调递减， 单调递增，
方程 在 的解的个数，即函数 与 公共点的个数，
函数图象：
当 或 时，无解；
当 或 时，一个解；
当 时，两个解
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1） 求出 ，根据 求出 ；（2）根据对勾函数得 的图象，数形结合得解.
21．【答案】（1）解：当 时， ，
作图：
的单调递增区间为 ， ；
（2）解：当 时， ，作图如下：
当 ，即 时，最小值 ；
当 ，即 时， ：
若 ， ，最小值
若 ， ，最小值 ；
当 时，最小值为0；
当 时，最小值为
综上所述，当 时，最小值 ，
当 ，最小值 ，
当 时，最小值为0，
当 时，最小值 .
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；二次函数在闭区间上的最值；分段函数的应用
【解析】【分析】（1）当 时 ，即可写出单调递增区间；（2）当 时， ，分类讨论即可求出最小值.
22．【答案】（1）解：函数 （ 且 ）是定义在 上的奇函数，
；
（2）解：因为 且 ， ，解得： ，
所以 在 上单调递增，
对于任意 恒成立，即
对于任意 恒成立，
即 对于任意 恒成立，
即 对于任意 恒成立，根据对勾函数性质 单调递减， 单调递增，所以 在 最小值为4，
，
所以 .
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）定义在 上的奇函数必有 即可求解 的值；（2）根据 ，确定 的范围，得出 的单调性和奇偶性， 对于任意 恒成立，根据奇偶性可转化变形求解 的取值范围.
