2018-2019学年数学华师大版九年级上册22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习
一、选择题
1．若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则x1 x2的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣3
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，
∴x1 x2=﹣3．
故答案为：D
【分析】由根与系数的关系可得，.
2．若关于x一元二次方程x2-x-m+2=0的两根x1，x2满足（x1-1）（x2-1）=-1，则m的值为（ ）
A．3 B．-3 C．2 D．-2
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】根据题意得x1+ x2=1，x1 x2=-m+2，
∵（x1-1）（x2-1）=-1，
∴x1 x2-（x1+ x2）+1=-1，
∴-m+2-1+1=-1，
∴m=3．
故选A．
【分析】根据根与系数的关系得到答案即可
3．已知x1，x2是一元二次方程x2-4x+1=0的两个实数根，则x1x2-x1-x2的值等于（ ）
A．-3 B．0 C．3 D．5
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵x1，x2是一元二次方程x2-4x+1=0的两个实数根，
∴x1 x2=1，x1+ x2=4，
∴x1 x2- x1- x2= x1
x2-（x1+ x2）=1-4=-3．
故选：A．
【分析】本题考查了根与系数的关系．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法
4．（2016·广州）定义运算：a b=a（1﹣b）．若a，b是方程x2﹣x+ m=0（m＜0）的两根，则b b﹣a a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．与m有关
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：（方法一）∵a，b是方程x2﹣x+ m=0（m＜0）的两根，
∴a+b=1，
∴b b﹣a a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a）=b（a+b﹣b）﹣a（a+b﹣a）=ab﹣ab=0．
（方法二）∵a，b是方程x2﹣x+ m=0（m＜0）的两根，
∴a+b=1．
∵b b﹣a a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a）=b﹣b2﹣a+a2=（a2﹣b2）+（b﹣a）=（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）=（a﹣b）（a+b﹣1），a+b=1，
∴b b﹣a a=（a﹣b）（a+b﹣1）=0．
（方法三）∵a，b是方程x2﹣x+ m=0（m＜0）的两根，
∴a2﹣a=﹣ m，b2﹣b=﹣ m，
∴b b﹣a a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a）=﹣（b2﹣b）+（a2﹣a）= m﹣ m=0．
故选A．
【分析】（方法一）由根与系数的关系可找出a+b=1，根据新运算找出b b﹣a a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a），将其中的1替换成a+b，即可得出结论．
（方法二）由根与系数的关系可找出a+b=1，根据新运算找出b b﹣a a=（a﹣b）（a+b﹣1），代入a+b=1即可得出结论．
（方法三）由一元二次方程的解可得出a2﹣a=﹣ m、b2﹣b=﹣ m，根据新运算找出b b﹣a a=﹣（b2﹣b）+（a2﹣a），代入后即可得出结论．
5．已知一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则 + 的值为（ ）
A．2 B．﹣1 C． D．﹣2
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得x1+x2=2，x1x2=﹣1，
所以 + = = =﹣2．
故答案为：D
【分析】由一元二次方程的根与系数的关系可得，；将所求代数式通分再整体代换即可求解。
6．设a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．2014 B．2015 C．2012 D．2013
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根，
∴a+b=﹣1；
又∵a2+a﹣2014=0，
∴a2+a=2014，
∴a2+2a+b
=（a2+a）+（a+b）
=2014+（﹣1）
=2013
即a2+2a+b的值为2013．
故选：D．
【分析】首先根据根与系数的关系，求出a+b=﹣1；然后根据a是方程x2+x﹣2014=0的实数根，可得a2+a﹣2014=0，据此求出a2+2a+b的值为多少即可．
7．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（ ）
A．x1≠x2 B．x1+x2＞0
C．x1 x2＞0 D．x1＜0，x2＜0
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：A∵△=（﹣a）2﹣4×1×（﹣2）=a2+8＞0，
∴x1≠x2，结论A符合题意；
B、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，
∴x1+x2=a，
∵a的值不确定，
∴B结论不一定正确；
C、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，
∴x1 x2=﹣2，结论C不符合题意；
D、∵x1 x2=﹣2，
∴x1＜0，x2＞0，结论D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】（1）由一元二次方程的根的判别式可得，则方程有两个不相等的实数根，即≠；
（2）由一元二次方程的根与系数的关系可得，而a的符号不能确定，即B的结论不一定成立；
（3）由一元二次方程的根与系数的关系可得，结论错误；
（4）由（3）知，与异号，故结论错误。
8．若 是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根，且x1+x2=1﹣x1x2，则m的值为（ ）
A．-1或2 B．1或-2 C．-2 D．1
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根，
∴x1+x2=2m，x1 x2=m2﹣m﹣1．
∵x1+x2=1﹣x1x2，
∴2m=1﹣（m2﹣m﹣1），即m2+m﹣2=（m+2）（m﹣1）=0，
解得：m1=﹣2，m2=1．
∵方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0有实数根，
∴△=（﹣2m）2﹣4（m2﹣m﹣1）=4m+4≥0，
解得：m≥﹣1．
∴m=1．
故答案为：D．
【分析】由一元二次方程 的根与系数的欢喜可得=2m，=m2﹣m﹣1，将和代入x1+x2=1﹣x1x2即可求解。
二、填空题
9．已知方程x ＋mx＋3=0的一个根是1，则它的另一个根是 ，m的值是 ．
【答案】3；-4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程的另一个解是a，则1+a=﹣m，1×a=3，
解得：m=﹣4，a=3．
故答案是：3，﹣4
【分析】由一元二次方程的根与系数的关系，即可求解。
10．已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．
∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，
∴a+b=4，ab=3.5；
根据勾股定理可得：c2=a2+b2=（a+b）2-2ab=16-7=9，
∴c=3
【分析】设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．由题意根据一元二次方程的根与系数的关系可得a+b=4，ab=3.5；由勾股定理结合完全平方式的意义将a2+b2转化为a+b和ab的形式即可求解。
11．设x1、x2是方程5x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，则 + 的值为 ．
【答案】﹣
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵方程x1、x2是方程5x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，
∴x1+x2= ，x1x2=﹣ ，
∴ + = = =﹣ ．
故答案为：﹣
【分析】由一元二次方程的根与系数的关系可得：，，把所求代数式通分后，再将根与系数的关系所得的值整体代入即可求解。
12．（2017九上·三明期末）设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，则m2+3m+n=
【答案】5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，
∴m+n=﹣2，
∵m是原方程的根，
∴m2+2m﹣7=0，即m2+2m=7，
∴m2+3m+n=m2+2m+m+n=7﹣2=5，
故答案为：5．
【分析】根据根与系数的关系可知m+n=﹣2，又知m是方程的根，所以可得m2+2m﹣7=0，最后可将m2+3m+n变成m2+2m+m+n，最终可得答案．
13．（2018·达州）已知：m2﹣2m﹣1=0，n2+2n﹣1=0且mn≠1，则 的值为 ．
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由n2+2n-1=0可知n≠0．
∴1+ - =0．
∴ ，
又m2-2m-1=0，且mn≠1，即m≠ ．
∴m， 是方程x2-2x-1=0的两根．
∴m+ =2．
∴ =2+1=3，
故答案为：3．
【分析】由题意知m， 是方程x2-2x-1=0的两根．根据根与系数的关系，m+ =2．再将代数式利用多项式除以单项式化简后整体代入即可得出答案。
14．如果 、 是两个不相等的实数，且满足 ， ，那么代数式 = .
【答案】2020
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：如果 、 是两个不相等的实数，且满足 ， ，
则 、 是关于 的一元二次方程 的两根，
∴ ， ，
＝ ＝
＝2020
【分析】由题意 m 、 n 是两个不相等的实数，且满足 m = 3 ， n = 3，可知，m 、 n 是关于 x 的一元二次方程 x = 3 的两根，由根与系数的关系得，m + n = 1 ， m n = 3 ，代入所求代数式即可求解。
三、解答题
15．先化简，再求值：
（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）2﹣（2a2﹣ab），其中a，b是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根．
【答案】解：原式=a2﹣b2+a2﹣2ab+b2﹣2a2+ab
=﹣ab，
∵a，b是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，
∴ab=﹣2，
则原式=﹣ab=2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】首先用平方差公式和完全平方公式将所求的代数式化简；由题意根据一元二次方程的根与系数的关系可得ab=-2，代入化简后的代数式即可求解。
16．已知关于 的方程（ 的两根之和为-1，两根之差为1，其中 是 的三边长．
（1）求方程的根；
（2）试判断 的形状．
【答案】（1）解：设方程的两根为 ，
则
解得
（2）解：当 时， ，
所以 .
当 时，
所以 .
所以 .所以 为等边三角形
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）设方程的两根为 ， ( >) ，由一元二次方程的根与系数的关系可得，，解这个方程组即可求解；
（2）将（1）中求得的方程的两个根代入一元二次方程，即可求得 a = b = c ，根据等边三角形的判定可得△ABC为等边三角形。
17．已知关于x的方程x2+（4k+1）x+2k﹣1=0．
（1）求证：此方程一定有两个不相等的实数根；
（2）若x1，x2是方程的两个实数根，且（x1﹣2）（x2﹣2）=2k﹣3，求k的值．
【答案】（1）证明：△=b2﹣4ac
=（4k+1）2﹣4（2k﹣1）
=16k2+8k+1﹣8k+4=16k2+5，
∵k2≥0，∴16k2≥0，∴16k2+5＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根
（2）解：根据题意，得x1+x2=﹣（4k+1），x1x2=2k﹣1，
∴（x1﹣2）（x2﹣2）=x1x2﹣2（x1+x2）+4
=（2k﹣1）+2（4k+1）+4=2k﹣1+8k+2+4=10k+5
即10k+5=2k﹣3，
∴k=﹣1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）由一元二次方程的根的判别式可知，只需证得即可得证；
（2）由一元二次方程的根与系数的关系可得 ：=﹣（4k+1），=2k﹣1，代入已知的代数式即可求解。
18．已知关于x的一元二次方程（x-1）（x-4）=p2，p为实数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）
【答案】（1）解：原方程可化为x2-5x+4- p2=0，
∵△=（-5）2-4×（4- p2）=4 p2+9＞0，
∴不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根
（2）解：∵方程有整数解，
∴x1 x2=4- p2为整数即可，
∴当p=0，±2时，方程有整数解
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）将原方程转化为一元二次方程的一般形式，再证明△＞0，即可解答。
（2）根据方程有整数解，可得出4- p2为整数，可得出k的值。
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当x12+x22=6x1x2时，求m的值．
【答案】（1）解：∵原方程有两个实数根，
∴△=（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0，
整理得：4﹣4m+4≥0，
解得：m≤2
（2）解：∵x1+x2=2，x1 x2=m﹣1，x12+x22=6x1x2，∴（x1+x2）2﹣2x1 x2=6x1 x2，即4=8（m﹣1），
解得：m=．
∵m= ＜2，
∴符合条件的m的值为
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据方程由两个实数根，可得出b2-4ac≥0，建立关于m的不等式，求解即可。
（2）利用一元二次方程根与系数的关系，求出x1+x2=2，x1 x2=m﹣1，可得出x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1 x2，再根据x12+x22=6x1x2建立关于m的方程，然后求出符合条件的m的值。
20．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0
（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【答案】（1）解：将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0得，1+a+a﹣2=0，解得，a= ；
方程为x2+ x﹣ =0，即2x2+x﹣3=0，设另一根为x1，则x1=1，x1=﹣ -1=- .
（2）解：∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4≥0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）由题意将x=1代入方程可得关于a的方程，解这个方程即可求得a的值；设另一根为x1，由一元二次方程的根与系数的关系可求得该方程的另一根；
（2）根据一元二次方程的根的判别式可知，只需证得即可。
21．设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x 1，x2．
（1）若 ，求 的值；
（2）求 的最大值．
【答案】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=b2-4ac=4（m-2）2-4（m2-3m+3）=-4m+4＞0，
∴m＜1，
结合题意知：-1≤m＜1．
∵x1+x2=-2（m-2），x1x2=m2-3m+3，
解得：m1= ，m2= （不合题意，舍去）
∴
（2）解：
=-2（m-1）-m2
=-（m+1）2+3．
当m=-1时，最大值为3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】由一元二次方程的根与系数的关系得：=-2(m-2)，=；
（1）因为方程有两个不相等的实数根，由根的判别式可得可求得m的范围，再将所求代数式通分，把的值和的值代入即可求解；
（2）将所求代数式通分，把的值和的值代入即可求解。
2018-2019学年数学华师大版九年级上册22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习
一、选择题
1．若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则x1 x2的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣3
2．若关于x一元二次方程x2-x-m+2=0的两根x1，x2满足（x1-1）（x2-1）=-1，则m的值为（ ）
A．3 B．-3 C．2 D．-2
3．已知x1，x2是一元二次方程x2-4x+1=0的两个实数根，则x1x2-x1-x2的值等于（ ）
A．-3 B．0 C．3 D．5
4．（2016·广州）定义运算：a b=a（1﹣b）．若a，b是方程x2﹣x+ m=0（m＜0）的两根，则b b﹣a a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．与m有关
5．已知一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则 + 的值为（ ）
A．2 B．﹣1 C． D．﹣2
6．设a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．2014 B．2015 C．2012 D．2013
7．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（ ）
A．x1≠x2 B．x1+x2＞0
C．x1 x2＞0 D．x1＜0，x2＜0
8．若 是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根，且x1+x2=1﹣x1x2，则m的值为（ ）
A．-1或2 B．1或-2 C．-2 D．1
二、填空题
9．已知方程x ＋mx＋3=0的一个根是1，则它的另一个根是 ，m的值是 ．
10．已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是
11．设x1、x2是方程5x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，则 + 的值为 ．
12．（2017九上·三明期末）设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，则m2+3m+n=
13．（2018·达州）已知：m2﹣2m﹣1=0，n2+2n﹣1=0且mn≠1，则 的值为 ．
14．如果 、 是两个不相等的实数，且满足 ， ，那么代数式 = .
三、解答题
15．先化简，再求值：
（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）2﹣（2a2﹣ab），其中a，b是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根．
16．已知关于 的方程（ 的两根之和为-1，两根之差为1，其中 是 的三边长．
（1）求方程的根；
（2）试判断 的形状．
17．已知关于x的方程x2+（4k+1）x+2k﹣1=0．
（1）求证：此方程一定有两个不相等的实数根；
（2）若x1，x2是方程的两个实数根，且（x1﹣2）（x2﹣2）=2k﹣3，求k的值．
18．已知关于x的一元二次方程（x-1）（x-4）=p2，p为实数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当x12+x22=6x1x2时，求m的值．
20．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0
（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
21．设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x 1，x2．
（1）若 ，求 的值；
（2）求 的最大值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，
∴x1 x2=﹣3．
故答案为：D
【分析】由根与系数的关系可得，.
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】根据题意得x1+ x2=1，x1 x2=-m+2，
∵（x1-1）（x2-1）=-1，
∴x1 x2-（x1+ x2）+1=-1，
∴-m+2-1+1=-1，
∴m=3．
故选A．
【分析】根据根与系数的关系得到答案即可
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵x1，x2是一元二次方程x2-4x+1=0的两个实数根，
∴x1 x2=1，x1+ x2=4，
∴x1 x2- x1- x2= x1
x2-（x1+ x2）=1-4=-3．
故选：A．
【分析】本题考查了根与系数的关系．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：（方法一）∵a，b是方程x2﹣x+ m=0（m＜0）的两根，
∴a+b=1，
∴b b﹣a a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a）=b（a+b﹣b）﹣a（a+b﹣a）=ab﹣ab=0．
（方法二）∵a，b是方程x2﹣x+ m=0（m＜0）的两根，
∴a+b=1．
∵b b﹣a a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a）=b﹣b2﹣a+a2=（a2﹣b2）+（b﹣a）=（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）=（a﹣b）（a+b﹣1），a+b=1，
∴b b﹣a a=（a﹣b）（a+b﹣1）=0．
（方法三）∵a，b是方程x2﹣x+ m=0（m＜0）的两根，
∴a2﹣a=﹣ m，b2﹣b=﹣ m，
∴b b﹣a a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a）=﹣（b2﹣b）+（a2﹣a）= m﹣ m=0．
故选A．
【分析】（方法一）由根与系数的关系可找出a+b=1，根据新运算找出b b﹣a a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a），将其中的1替换成a+b，即可得出结论．
（方法二）由根与系数的关系可找出a+b=1，根据新运算找出b b﹣a a=（a﹣b）（a+b﹣1），代入a+b=1即可得出结论．
（方法三）由一元二次方程的解可得出a2﹣a=﹣ m、b2﹣b=﹣ m，根据新运算找出b b﹣a a=﹣（b2﹣b）+（a2﹣a），代入后即可得出结论．
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得x1+x2=2，x1x2=﹣1，
所以 + = = =﹣2．
故答案为：D
【分析】由一元二次方程的根与系数的关系可得，；将所求代数式通分再整体代换即可求解。
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根，
∴a+b=﹣1；
又∵a2+a﹣2014=0，
∴a2+a=2014，
∴a2+2a+b
=（a2+a）+（a+b）
=2014+（﹣1）
=2013
即a2+2a+b的值为2013．
故选：D．
【分析】首先根据根与系数的关系，求出a+b=﹣1；然后根据a是方程x2+x﹣2014=0的实数根，可得a2+a﹣2014=0，据此求出a2+2a+b的值为多少即可．
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：A∵△=（﹣a）2﹣4×1×（﹣2）=a2+8＞0，
∴x1≠x2，结论A符合题意；
B、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，
∴x1+x2=a，
∵a的值不确定，
∴B结论不一定正确；
C、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，
∴x1 x2=﹣2，结论C不符合题意；
D、∵x1 x2=﹣2，
∴x1＜0，x2＞0，结论D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】（1）由一元二次方程的根的判别式可得，则方程有两个不相等的实数根，即≠；
（2）由一元二次方程的根与系数的关系可得，而a的符号不能确定，即B的结论不一定成立；
（3）由一元二次方程的根与系数的关系可得，结论错误；
（4）由（3）知，与异号，故结论错误。
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根，
∴x1+x2=2m，x1 x2=m2﹣m﹣1．
∵x1+x2=1﹣x1x2，
∴2m=1﹣（m2﹣m﹣1），即m2+m﹣2=（m+2）（m﹣1）=0，
解得：m1=﹣2，m2=1．
∵方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0有实数根，
∴△=（﹣2m）2﹣4（m2﹣m﹣1）=4m+4≥0，
解得：m≥﹣1．
∴m=1．
故答案为：D．
【分析】由一元二次方程 的根与系数的欢喜可得=2m，=m2﹣m﹣1，将和代入x1+x2=1﹣x1x2即可求解。
9．【答案】3；-4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程的另一个解是a，则1+a=﹣m，1×a=3，
解得：m=﹣4，a=3．
故答案是：3，﹣4
【分析】由一元二次方程的根与系数的关系，即可求解。
10．【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．
∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根，
∴a+b=4，ab=3.5；
根据勾股定理可得：c2=a2+b2=（a+b）2-2ab=16-7=9，
∴c=3
【分析】设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．由题意根据一元二次方程的根与系数的关系可得a+b=4，ab=3.5；由勾股定理结合完全平方式的意义将a2+b2转化为a+b和ab的形式即可求解。
11．【答案】﹣
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵方程x1、x2是方程5x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，
∴x1+x2= ，x1x2=﹣ ，
∴ + = = =﹣ ．
故答案为：﹣
【分析】由一元二次方程的根与系数的关系可得：，，把所求代数式通分后，再将根与系数的关系所得的值整体代入即可求解。
12．【答案】5
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，
∴m+n=﹣2，
∵m是原方程的根，
∴m2+2m﹣7=0，即m2+2m=7，
∴m2+3m+n=m2+2m+m+n=7﹣2=5，
故答案为：5．
【分析】根据根与系数的关系可知m+n=﹣2，又知m是方程的根，所以可得m2+2m﹣7=0，最后可将m2+3m+n变成m2+2m+m+n，最终可得答案．
13．【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由n2+2n-1=0可知n≠0．
∴1+ - =0．
∴ ，
又m2-2m-1=0，且mn≠1，即m≠ ．
∴m， 是方程x2-2x-1=0的两根．
∴m+ =2．
∴ =2+1=3，
故答案为：3．
【分析】由题意知m， 是方程x2-2x-1=0的两根．根据根与系数的关系，m+ =2．再将代数式利用多项式除以单项式化简后整体代入即可得出答案。
14．【答案】2020
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：如果 、 是两个不相等的实数，且满足 ， ，
则 、 是关于 的一元二次方程 的两根，
∴ ， ，
＝ ＝
＝2020
【分析】由题意 m 、 n 是两个不相等的实数，且满足 m = 3 ， n = 3，可知，m 、 n 是关于 x 的一元二次方程 x = 3 的两根，由根与系数的关系得，m + n = 1 ， m n = 3 ，代入所求代数式即可求解。
15．【答案】解：原式=a2﹣b2+a2﹣2ab+b2﹣2a2+ab
=﹣ab，
∵a，b是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，
∴ab=﹣2，
则原式=﹣ab=2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】首先用平方差公式和完全平方公式将所求的代数式化简；由题意根据一元二次方程的根与系数的关系可得ab=-2，代入化简后的代数式即可求解。
16．【答案】（1）解：设方程的两根为 ，
则
解得
（2）解：当 时， ，
所以 .
当 时，
所以 .
所以 .所以 为等边三角形
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）设方程的两根为 ， ( >) ，由一元二次方程的根与系数的关系可得，，解这个方程组即可求解；
（2）将（1）中求得的方程的两个根代入一元二次方程，即可求得 a = b = c ，根据等边三角形的判定可得△ABC为等边三角形。
17．【答案】（1）证明：△=b2﹣4ac
=（4k+1）2﹣4（2k﹣1）
=16k2+8k+1﹣8k+4=16k2+5，
∵k2≥0，∴16k2≥0，∴16k2+5＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根
（2）解：根据题意，得x1+x2=﹣（4k+1），x1x2=2k﹣1，
∴（x1﹣2）（x2﹣2）=x1x2﹣2（x1+x2）+4
=（2k﹣1）+2（4k+1）+4=2k﹣1+8k+2+4=10k+5
即10k+5=2k﹣3，
∴k=﹣1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）由一元二次方程的根的判别式可知，只需证得即可得证；
（2）由一元二次方程的根与系数的关系可得 ：=﹣（4k+1），=2k﹣1，代入已知的代数式即可求解。
18．【答案】（1）解：原方程可化为x2-5x+4- p2=0，
∵△=（-5）2-4×（4- p2）=4 p2+9＞0，
∴不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根
（2）解：∵方程有整数解，
∴x1 x2=4- p2为整数即可，
∴当p=0，±2时，方程有整数解
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）将原方程转化为一元二次方程的一般形式，再证明△＞0，即可解答。
（2）根据方程有整数解，可得出4- p2为整数，可得出k的值。
19．【答案】（1）解：∵原方程有两个实数根，
∴△=（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0，
整理得：4﹣4m+4≥0，
解得：m≤2
（2）解：∵x1+x2=2，x1 x2=m﹣1，x12+x22=6x1x2，∴（x1+x2）2﹣2x1 x2=6x1 x2，即4=8（m﹣1），
解得：m=．
∵m= ＜2，
∴符合条件的m的值为
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据方程由两个实数根，可得出b2-4ac≥0，建立关于m的不等式，求解即可。
（2）利用一元二次方程根与系数的关系，求出x1+x2=2，x1 x2=m﹣1，可得出x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1 x2，再根据x12+x22=6x1x2建立关于m的方程，然后求出符合条件的m的值。
20．【答案】（1）解：将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0得，1+a+a﹣2=0，解得，a= ；
方程为x2+ x﹣ =0，即2x2+x﹣3=0，设另一根为x1，则x1=1，x1=﹣ -1=- .
（2）解：∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4≥0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）由题意将x=1代入方程可得关于a的方程，解这个方程即可求得a的值；设另一根为x1，由一元二次方程的根与系数的关系可求得该方程的另一根；
（2）根据一元二次方程的根的判别式可知，只需证得即可。
21．【答案】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=b2-4ac=4（m-2）2-4（m2-3m+3）=-4m+4＞0，
∴m＜1，
结合题意知：-1≤m＜1．
∵x1+x2=-2（m-2），x1x2=m2-3m+3，
解得：m1= ，m2= （不合题意，舍去）
∴
（2）解：
=-2（m-1）-m2
=-（m+1）2+3．
当m=-1时，最大值为3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】由一元二次方程的根与系数的关系得：=-2(m-2)，=；
（1）因为方程有两个不相等的实数根，由根的判别式可得可求得m的范围，再将所求代数式通分，把的值和的值代入即可求解；
（2）将所求代数式通分，把的值和的值代入即可求解。
