2016-2017学年黑龙江省大庆四中高二上学期期中数学试卷（理科）
一、选择题
1．（2016高二上·黑龙江期中）“x＞3”是“x2﹣5x+6＞0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
2．（2016高二上·黑龙江期中）设命题p：a，b都是偶数，则￢p为（ ）
A．a，b都不是偶数 B．a，b不都是偶数
C．a，b都是奇数 D．a，b一个是奇数一个是偶数
3．（2016高二上·黑龙江期中）命题“如果a=4，那么方程 =1表示焦点在x轴上的椭圆”的逆命题（ ）
A．是真命题 B．是假命题
C．没有逆命题 D．无法确定真假
4．（2016高二上·黑龙江期中）已知命题p，q都是假命题，则下列命题为真命题的是（ ）
A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧q D．p∨（￢q）
5．（2016高二上·黑龙江期中）设命题p： n∈N，n2＞2n，则￢p为（ ）
A． n∈N，n2＞2n B． n∈N，n2≤2n
C． n∈N，n2≤2n D． n∈N，n2=2n
6．（2016高二上·黑龙江期中）下列说法中正确的是（ ）
A．如果两条直线l1与l2垂直，那么它们的斜率之积一定等于﹣1
B．“a＞0，b＞0”是“ + ≥2”的充分必要条件
C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题
D．“a≠﹣5或b≠5”是“a+b≠0”的充分不必要条件
7．（2016高二上·黑龙江期中）在椭圆4x2+y2=4上任取一点P，设P在x轴上的正投影为点D，当点P在椭圆上运动时，动点MM满足 =2 ，则动点M的轨迹是（ ）
A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在y轴上的椭圆
C．圆 D．无法确定
8．（2016高二上·黑龙江期中）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若实轴长度为8，则△ABF2的周长是（ ）
A．26 B．21 C．18 D．16
9．（2016高二上·黑龙江期中）设F1、F2是椭圆E： =1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x= 上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．（2016高二上·黑龙江期中）已知抛物线C：y2=16x，焦点为F，直线l：x=﹣1，点A∈l，线段AF与抛物线C的交点为B，若|FA|=5|FB|，则|FA|=（ ）
A． B．35 C． D．40
11．（2016高二上·黑龙江期中）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=9，直线l：y=kx+3与圆C相交于A、B两点，M为弦AB上一动点，以M为圆心，1为半径的圆与圆C总有公共点，则实数k的取值范围（ ）
A．（﹣∞，0] B．[ ，+∞）
C．[0， ] D．（0， ]
12．（2016高二上·黑龙江期中）如图，F1，F2是双曲线C： （a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2016高二上·黑龙江期中）抛物线y=4x2的焦点坐标是 ．
14．（2016高二上·黑龙江期中）双曲线的离心率为2，则双曲线的两条渐近线所成的锐角是 ．
15．（2016高二上·黑龙江期中）若直线：x﹣y+2=0与圆C：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4相交于A，B两点，则 的值为 ．
16．（2016高二上·黑龙江期中）已知P是曲线 =1（xy≠0）上的动点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且 =0，则| |的取值范围是 ．
三、解答题
17．（2016高二上·黑龙江期中）已知圆C1：（x+3）2+y2=1和圆C2：（x﹣3）2+y2=9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
18．（2016高二上·黑龙江期中）有两个命题，p：关于x的不等式ax＞1（a＞0，且a≠1）的解集是{x|x＜0}；q：函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．
19．（2016高二上·黑龙江期中）已知定点A（﹣1，1），动点P在抛物线C：y2=﹣8x上，F为抛物线C的焦点．
（1）求|PA|+|PF|最小值；
（2）求以A为中点的弦所在的直线方程．
20．（2016高二上·黑龙江期中）已知点A（1， ）在椭圆E： =1上，若斜率为 的直线l与椭圆E交于B，C两点，当△ABC的面积最大时，求直线l的方程．
21．（2016高二上·黑龙江期中）已知圆O：x2+y2=4与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求 的取值范围．
22．（2016高二上·黑龙江期中）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点 为短轴的一个端点，∠OF2B=60°．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如图，过右焦点F2，且斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于D，E两点，A为椭圆的右顶点，直线AE，AD分别交直线x=3于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k′．试问k k′是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：x2﹣5x+6＞0的解集A：（6，+∞）∪（﹣∞，﹣1），B：（3，+∞），
∵B A∴“x＞3”是“x2﹣5x+6＞0”的充分不必要条件；故选A
【分析】由题意，可以根据充要条件的定义进行判断．
2．【答案】B
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：∵命题p：a，b都是偶数，
∴￢p：a，b不都是偶数，
故选：B
【分析】根据命题的否定的定义进行判断即可．
3．【答案】B
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：“如果a=4，那么方程 =1表示焦点在x轴上的椭圆”的逆命题是
“如果方程 =1表示焦点在x轴上的椭圆，那么a=4”，
程 =1表示焦点在x轴上的椭圆 a2＞4 a＜﹣2，或a＞2，
故“如果方程 =1表示焦点在x轴上的椭圆，那么a=4”是假命题，
故选：B．
【分析】写出原命题的逆命题，进而根据椭圆的标准方程，判断真假．
4．【答案】D
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：∵命题p，q都是假命题，
∴命题p∨q，p∧q，（￢p）∧q都是假命题，
命题p∨（￢q）是真命题，
故选：D．
【分析】根据已知中命题p，q都是假命题，结合复合命题真假判断的真值表，可得答案．
5．【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题的否定是： n∈N，n2≤2n，
故选：C．
【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．
6．【答案】C
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：若两条直线的斜率一条为0，一条不存在，则两直线也垂直，故A错误；
“ + ≥2” “a＞0，b＞0，或a＜0，b＜0”，
故“a＞0，b＞0”是“ + ≥2”的充分不必要条件，故B错误；
命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题，故其逆否命题为真命题，故C正确；
“a=﹣5且b=5” “a+b=0”，即“a=﹣5且b=5”是“a+b=0”的充分不必要条件，
故“a+b≠0”是“a≠﹣5或b≠5”的充分不必要条件，
即“a≠﹣5或b≠5”是“a+b≠0”的必要不充分条件，
故D错误；
故选：C．
【分析】根据l1与l2垂直的充要条件，可判断A，根据充要条件的定义，可判断BD，判断原命题的真假，可得其逆否命题的真假，可判断C．
7．【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由椭圆 ，可知焦点在y轴上，
设P（x0，y0），D（x0，0），M（x，y），
由题意可知： =（0，﹣y0）， =（x﹣x0，﹣y），
由 =2 ，即（0，﹣y0）=2（x﹣x0，﹣y），
则 ，
∴ ，
由P（x0，y0）在 上，则 ，
∴x2+y2=1，
动点M的轨迹是圆，
故选：C．
【分析】由题意可知：P（x0，y0），D（x0，0），M（x，y），则 =（0，﹣y0）， =（x﹣x0，﹣y），由 =2 ，即（0，﹣y0）=2（x﹣x0，﹣y），因此 ，整理可得 ，代入椭圆 ，即可求得动点M的轨迹方程x2+y2=1，因此动点M的轨迹是圆．
8．【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可得2a=8，由双曲线的定义可得
AF2﹣AF1=2a，BF2 ﹣BF1=2a，
∴AF2+BF2 ﹣AB=4a=16，即AF2+BF2 ﹣5=16，AF2+BF2 =21．
△ABF2（F2为右焦点）的周长是
（ AF1 +AF2 ）+（ BF1+BF2 ）=（AF2+BF2 ）+AB=21+5=26．
故选A．
【分析】由双曲线方程求得a=4，由双曲线的定义可得 AF2+BF2 =21，△ABF2的周长是（ AF1 +AF2 ）+（ BF1+BF2 ）=（AF2+BF2 ）+AB，计算可得答案．
9．【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，
∴|PF2|=|F2F1|
∵P为直线x= 上一点
∴
∴
故选C．
【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x= 上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．
10．【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由抛物线C：y2=16x，可得F（4，0），
设A（﹣1，a），B（m，n），且n2=16m，
∵|FA|=5|FB|，
∴﹣1﹣4=5（m﹣4），∴m=3，
∴n=±4 ，
∵a=5n，∴a=±20 ，
∴|FA|= =35．
故选：B．
【分析】设A（﹣1，a），B（m，n），且n2=16m，由|FA|=5|FB|，确定A，B的坐标，即可求得|FA|．
11．【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：以M为圆心，1为半径的圆与圆C总有公共点，只要求点M在弦的中点上满足，其它的点都满足，
即圆心C到直线的距离d+1≥3，
所以 +1≥3，
所以0 ，
故选：C．
【分析】M为圆心，1为半径的圆与圆C总有公共点，只要求点M在弦的中点上满足，其它的点都满足，即圆心C到直线的距离+1≥3，从而可得实数k的取值范围．
12．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由△BAF2为等边三角形，
设A为右支上一点，且AF2=t，则AB=BF2=t，
由双曲线的定义可得，
AF2﹣AF1=2a，BF1﹣BF2=2a，BF1=AB+AF1，
即有t+2a=2t﹣2a，
解得，t=4a，
AF1=6a，AF2=4a，F1F2=2c，
由余弦定理可得，
F1F22=AF12+AF22﹣2AF1 AF2cos60°，
即有4c2=36a2+16a2﹣2×6a×4a× ，
即为4c2=28a2，
则有e= = ．
故选D．
【分析】由△BAF2为等边三角形，设AF2=t，则AB=BF2=t，再由双曲线的定义，求得t=4a，再由余弦定理可得a，c的关系，结合离心率公式即可计算得到．
13．【答案】
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可知 ∴p=
∴焦点坐标为
故答案为
【分析】先化简为标准方程，进而可得到p的值，即可确定答案．
14．【答案】60°
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设该双曲线的实半轴为a，虚半轴为b，半焦距为c，
∵离心率e= =2，
∴c=2a，c2=4a2，
又b2+a2=c2，
∴b2=c2﹣a2=3a2，
∴b= a，
当双曲线的焦点在x轴时，双曲线的两条渐近线方程为y=± x=± x，
而y= x的倾斜角为60°，y=﹣ x的倾斜角为120°，
∴双曲线的两条渐近线所成的锐角是60°；
当双曲线的焦点在y轴时，同理可得，双曲线的两条渐近线所成的锐角是60°；
故答案为：60°．
【分析】设该双曲线的实半轴为a，虚半轴为b，半焦距为c，由离心率e= =2，b2+a2=c2可求得b= a，从而可求双曲线的两条渐近线所成的锐角．
15．【答案】0
【知识点】平面向量的数量积运算；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：由圆的标准方程可知，圆心C（3，3），半径r=2，
∵圆心C（3，3）到直线x﹣y+2=0的距离为
CD= ，
∴AD= ，即AB=2 ，
∴△ACB为直角三角形，
∴∠ACD= ，
即AC⊥BC，
∴ =0，
故答案为：0．
【分析】求出圆心C（3，3）到直线x﹣y+2=0的距离为CD，以及cosACB的值，利用数量积的公式即可得到结论．
16．【答案】（0，2）
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由椭圆方程： =1（xy≠0），a=3，b= ，则c= =2，
如图所示．∵M是∠F1PF2的角平分线上的一点，
∵ =0，
∴ ⊥ ，
∴点M是底边F1N的中点，
又点O是线段F1F2的中点，
∴|OM|= 丨 丨，
∵|PF1|=|PN|，
∴∠F2NM＞∠F2F1N，
∴|F1F2|＞|F2N|，
∴0＜|OM| ×2c=c=2．
∴则|OM|的取值范围是（0，2）．
故答案为：（0，2）．
【分析】椭圆方程： =1（xy≠0），a=3，b= ，则c= =2，如图所示．M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且F1M⊥MP，可得点M是底边F1N的中点．又点O是线段F1F2的中点，|OM|= 丨 丨，|PF1|=|PN|，可得∠F2NM＞∠F2F1N，可得|F1F2|＞|F2N|，即可得出．
17．【答案】解：设动圆圆心M（x，y），动圆M与C1、C2的切点分别为A、B，则|MC1|﹣|AC1|=|MA|，|MC2|﹣|BC2|=|MB|．
又∵|MA|=|MB|，
∴|MC2|﹣|MC1|=|BC2|﹣|AC1|=3﹣1=2，
即|MC2|﹣|MC1|=2，又∵|C1C2|=6，
由双曲线定义知：动点M的轨迹是以C1、C2为焦点，中心在原点的双曲线的左支．
∵2a=2，2c=6，∴a=1，c=3，
∴b2=8．
∴动点M的轨迹方程为x2﹣ =1（x≤﹣1）．
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【分析】设动圆圆心M（x，y），动圆M与C1、C2的切点分别为A、B，则|MC1|﹣|AC1|=|MA|，|MC2|﹣|BC2|=|MB|，从而可得|MC2|﹣|MC1|=2，利用双曲线的定义，即可求动圆圆心M的轨迹方程．
18．【答案】解：p：关于x的不等式ax＞1（a＞0，且a≠1）的解集是{x|x＜0}，∴0＜a＜1．
q：函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R．等价于 x∈R，ax2﹣x+a＞0．
如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．
（i）a=0 不成立．
（ii）a≠0 时， ，解得 ，即q： ．
如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p真q假，或p假q真，
∴ 或 ，
解得 ，或a≥1．
∴实数a的取值范围是 ，或a≥1．
【知识点】复合命题的真假
【解析】【分析】对于命题p：利用指数函数的单调性可得：0＜a＜1．
对于命题q：函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R．等价于 x∈R，ax2﹣x+a＞0．对a分类讨论，利用函数的图象与性质即可得出．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p真q假，或p假q真，即可得出．
19．【答案】（1）解：设抛物线C的准线为l，所以l的方程为x=2，
设P到准线的距离为d，垂足为E．由抛物线的定义知|PA|+|PF|=|PA|+|PE|，
当A，P，E三点共线时最小，|PA|+|PF|最小值为3．
（2）解：设以A为中点的弦所在的直线交抛物线C于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，
所以x1+x2=﹣2，y1+y2=2，
又因为M，N在抛物线C上，
则有y12=﹣8x1，y22=﹣8x2，做差化简得 kMN=﹣4
又直线MN过点A（﹣1，1），所以有y﹣1=﹣4（x+1），
即以A为中点的弦所在的直线方程为4x+y+3=0．
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义知|PA|+|PF|=|PA|+|PE|，当A，P，E三点共线时最小，|PA|+|PF|取得最小值；（2）利用点差法，求斜率，即可求以A为中点的弦所在的直线方程．
20．【答案】解：设直线l的方程为y= x+m，设B（x1，y1），C（x2，y2），
由 ，消去y，整理得4x2+2 mx+m2﹣4=0，
则△=8m2﹣16（m2﹣4）=8（8﹣m2）＞0，解得：0≤m2＜8，
由韦达定理可知：x1+x2=﹣ ，x1 x2= ，
由弦长公式可知：丨BC丨= = ，
又点A到l的距离为d= = ，
故S△ABC= 丨BC丨 d= = ≤ = ，
当且仅当 m2=8﹣m2，即m=±2时取等号，此时满足0≤m2＜8，
故直线l的方程为y= x±2．
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【分析】由题意可知：设直线l的方程为y= x+m，代入椭圆方程，由△＞0，求得0≤m2＜8，根据韦达定理及弦长公式求得丨BC丨，由点到直线的距离公式点A到l的距离为d，再利用三角形的面积公式求得S△ABC= 丨BC丨 d，利用基本不等式的性质即可求得△ABC的面积最大值时，m的取值，即可求得直线l的方程．
21．【答案】解：不妨设A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2．由x2=4即得A（﹣2，0），B（2，0）．
设P（x，y），由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，得 ，
两边平方，可得（x2+y2+4）2﹣16x2=（x2+y2）2，
化简整理可得，x2﹣y2=2．
=（﹣2﹣x，﹣y） （2﹣x，﹣y）=x2﹣4+y2=2（y2﹣1）．
由于点P在圆O内，故 ，
由此得y2＜1．
所以 的取值范围为[﹣2，0）．
【知识点】平面向量的数量积运算；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】根据圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，列出方程，再根据点P在圆内求出取值范围．
22．【答案】解：（1）由条件可知 ，故所求椭圆方程为 ．（2）设过点F2（1，0）的直线l方程为：y=k（x﹣1）．
由 可得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0
因为点F2（1，0）在椭圆内，所以直线l和椭圆都相交，即△＞0恒成立．
设点E（x1，y1），D（x2，y2），
则 ．
因为直线AE的方程为： ，直线AD的方程为： ，
令x=3，可得 ， ，所以点P的坐标 ．
直线PF2的斜率为 = = = =
= ，
所以k k'为定值 ．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由条件可知 ，故求的椭圆方程．（2）设过点F2（1，0）的直线l方程为：y=k（x﹣1）．由 可得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．因为直线AE的方程为： ，直线AD的方程为： ，从而列式求解即可．
2016-2017学年黑龙江省大庆四中高二上学期期中数学试卷（理科）
一、选择题
1．（2016高二上·黑龙江期中）“x＞3”是“x2﹣5x+6＞0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：x2﹣5x+6＞0的解集A：（6，+∞）∪（﹣∞，﹣1），B：（3，+∞），
∵B A∴“x＞3”是“x2﹣5x+6＞0”的充分不必要条件；故选A
【分析】由题意，可以根据充要条件的定义进行判断．
2．（2016高二上·黑龙江期中）设命题p：a，b都是偶数，则￢p为（ ）
A．a，b都不是偶数 B．a，b不都是偶数
C．a，b都是奇数 D．a，b一个是奇数一个是偶数
【答案】B
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：∵命题p：a，b都是偶数，
∴￢p：a，b不都是偶数，
故选：B
【分析】根据命题的否定的定义进行判断即可．
3．（2016高二上·黑龙江期中）命题“如果a=4，那么方程 =1表示焦点在x轴上的椭圆”的逆命题（ ）
A．是真命题 B．是假命题
C．没有逆命题 D．无法确定真假
【答案】B
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：“如果a=4，那么方程 =1表示焦点在x轴上的椭圆”的逆命题是
“如果方程 =1表示焦点在x轴上的椭圆，那么a=4”，
程 =1表示焦点在x轴上的椭圆 a2＞4 a＜﹣2，或a＞2，
故“如果方程 =1表示焦点在x轴上的椭圆，那么a=4”是假命题，
故选：B．
【分析】写出原命题的逆命题，进而根据椭圆的标准方程，判断真假．
4．（2016高二上·黑龙江期中）已知命题p，q都是假命题，则下列命题为真命题的是（ ）
A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧q D．p∨（￢q）
【答案】D
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：∵命题p，q都是假命题，
∴命题p∨q，p∧q，（￢p）∧q都是假命题，
命题p∨（￢q）是真命题，
故选：D．
【分析】根据已知中命题p，q都是假命题，结合复合命题真假判断的真值表，可得答案．
5．（2016高二上·黑龙江期中）设命题p： n∈N，n2＞2n，则￢p为（ ）
A． n∈N，n2＞2n B． n∈N，n2≤2n
C． n∈N，n2≤2n D． n∈N，n2=2n
【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题的否定是： n∈N，n2≤2n，
故选：C．
【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．
6．（2016高二上·黑龙江期中）下列说法中正确的是（ ）
A．如果两条直线l1与l2垂直，那么它们的斜率之积一定等于﹣1
B．“a＞0，b＞0”是“ + ≥2”的充分必要条件
C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题
D．“a≠﹣5或b≠5”是“a+b≠0”的充分不必要条件
【答案】C
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：若两条直线的斜率一条为0，一条不存在，则两直线也垂直，故A错误；
“ + ≥2” “a＞0，b＞0，或a＜0，b＜0”，
故“a＞0，b＞0”是“ + ≥2”的充分不必要条件，故B错误；
命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题，故其逆否命题为真命题，故C正确；
“a=﹣5且b=5” “a+b=0”，即“a=﹣5且b=5”是“a+b=0”的充分不必要条件，
故“a+b≠0”是“a≠﹣5或b≠5”的充分不必要条件，
即“a≠﹣5或b≠5”是“a+b≠0”的必要不充分条件，
故D错误；
故选：C．
【分析】根据l1与l2垂直的充要条件，可判断A，根据充要条件的定义，可判断BD，判断原命题的真假，可得其逆否命题的真假，可判断C．
7．（2016高二上·黑龙江期中）在椭圆4x2+y2=4上任取一点P，设P在x轴上的正投影为点D，当点P在椭圆上运动时，动点MM满足 =2 ，则动点M的轨迹是（ ）
A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在y轴上的椭圆
C．圆 D．无法确定
【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由椭圆 ，可知焦点在y轴上，
设P（x0，y0），D（x0，0），M（x，y），
由题意可知： =（0，﹣y0）， =（x﹣x0，﹣y），
由 =2 ，即（0，﹣y0）=2（x﹣x0，﹣y），
则 ，
∴ ，
由P（x0，y0）在 上，则 ，
∴x2+y2=1，
动点M的轨迹是圆，
故选：C．
【分析】由题意可知：P（x0，y0），D（x0，0），M（x，y），则 =（0，﹣y0）， =（x﹣x0，﹣y），由 =2 ，即（0，﹣y0）=2（x﹣x0，﹣y），因此 ，整理可得 ，代入椭圆 ，即可求得动点M的轨迹方程x2+y2=1，因此动点M的轨迹是圆．
8．（2016高二上·黑龙江期中）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若实轴长度为8，则△ABF2的周长是（ ）
A．26 B．21 C．18 D．16
【答案】A
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可得2a=8，由双曲线的定义可得
AF2﹣AF1=2a，BF2 ﹣BF1=2a，
∴AF2+BF2 ﹣AB=4a=16，即AF2+BF2 ﹣5=16，AF2+BF2 =21．
△ABF2（F2为右焦点）的周长是
（ AF1 +AF2 ）+（ BF1+BF2 ）=（AF2+BF2 ）+AB=21+5=26．
故选A．
【分析】由双曲线方程求得a=4，由双曲线的定义可得 AF2+BF2 =21，△ABF2的周长是（ AF1 +AF2 ）+（ BF1+BF2 ）=（AF2+BF2 ）+AB，计算可得答案．
9．（2016高二上·黑龙江期中）设F1、F2是椭圆E： =1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x= 上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，
∴|PF2|=|F2F1|
∵P为直线x= 上一点
∴
∴
故选C．
【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x= 上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．
10．（2016高二上·黑龙江期中）已知抛物线C：y2=16x，焦点为F，直线l：x=﹣1，点A∈l，线段AF与抛物线C的交点为B，若|FA|=5|FB|，则|FA|=（ ）
A． B．35 C． D．40
【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由抛物线C：y2=16x，可得F（4，0），
设A（﹣1，a），B（m，n），且n2=16m，
∵|FA|=5|FB|，
∴﹣1﹣4=5（m﹣4），∴m=3，
∴n=±4 ，
∵a=5n，∴a=±20 ，
∴|FA|= =35．
故选：B．
【分析】设A（﹣1，a），B（m，n），且n2=16m，由|FA|=5|FB|，确定A，B的坐标，即可求得|FA|．
11．（2016高二上·黑龙江期中）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=9，直线l：y=kx+3与圆C相交于A、B两点，M为弦AB上一动点，以M为圆心，1为半径的圆与圆C总有公共点，则实数k的取值范围（ ）
A．（﹣∞，0] B．[ ，+∞）
C．[0， ] D．（0， ]
【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：以M为圆心，1为半径的圆与圆C总有公共点，只要求点M在弦的中点上满足，其它的点都满足，
即圆心C到直线的距离d+1≥3，
所以 +1≥3，
所以0 ，
故选：C．
【分析】M为圆心，1为半径的圆与圆C总有公共点，只要求点M在弦的中点上满足，其它的点都满足，即圆心C到直线的距离+1≥3，从而可得实数k的取值范围．
12．（2016高二上·黑龙江期中）如图，F1，F2是双曲线C： （a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由△BAF2为等边三角形，
设A为右支上一点，且AF2=t，则AB=BF2=t，
由双曲线的定义可得，
AF2﹣AF1=2a，BF1﹣BF2=2a，BF1=AB+AF1，
即有t+2a=2t﹣2a，
解得，t=4a，
AF1=6a，AF2=4a，F1F2=2c，
由余弦定理可得，
F1F22=AF12+AF22﹣2AF1 AF2cos60°，
即有4c2=36a2+16a2﹣2×6a×4a× ，
即为4c2=28a2，
则有e= = ．
故选D．
【分析】由△BAF2为等边三角形，设AF2=t，则AB=BF2=t，再由双曲线的定义，求得t=4a，再由余弦定理可得a，c的关系，结合离心率公式即可计算得到．
二、填空题
13．（2016高二上·黑龙江期中）抛物线y=4x2的焦点坐标是 ．
【答案】
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可知 ∴p=
∴焦点坐标为
故答案为
【分析】先化简为标准方程，进而可得到p的值，即可确定答案．
14．（2016高二上·黑龙江期中）双曲线的离心率为2，则双曲线的两条渐近线所成的锐角是 ．
【答案】60°
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设该双曲线的实半轴为a，虚半轴为b，半焦距为c，
∵离心率e= =2，
∴c=2a，c2=4a2，
又b2+a2=c2，
∴b2=c2﹣a2=3a2，
∴b= a，
当双曲线的焦点在x轴时，双曲线的两条渐近线方程为y=± x=± x，
而y= x的倾斜角为60°，y=﹣ x的倾斜角为120°，
∴双曲线的两条渐近线所成的锐角是60°；
当双曲线的焦点在y轴时，同理可得，双曲线的两条渐近线所成的锐角是60°；
故答案为：60°．
【分析】设该双曲线的实半轴为a，虚半轴为b，半焦距为c，由离心率e= =2，b2+a2=c2可求得b= a，从而可求双曲线的两条渐近线所成的锐角．
15．（2016高二上·黑龙江期中）若直线：x﹣y+2=0与圆C：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4相交于A，B两点，则 的值为 ．
【答案】0
【知识点】平面向量的数量积运算；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：由圆的标准方程可知，圆心C（3，3），半径r=2，
∵圆心C（3，3）到直线x﹣y+2=0的距离为
CD= ，
∴AD= ，即AB=2 ，
∴△ACB为直角三角形，
∴∠ACD= ，
即AC⊥BC，
∴ =0，
故答案为：0．
【分析】求出圆心C（3，3）到直线x﹣y+2=0的距离为CD，以及cosACB的值，利用数量积的公式即可得到结论．
16．（2016高二上·黑龙江期中）已知P是曲线 =1（xy≠0）上的动点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且 =0，则| |的取值范围是 ．
【答案】（0，2）
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由椭圆方程： =1（xy≠0），a=3，b= ，则c= =2，
如图所示．∵M是∠F1PF2的角平分线上的一点，
∵ =0，
∴ ⊥ ，
∴点M是底边F1N的中点，
又点O是线段F1F2的中点，
∴|OM|= 丨 丨，
∵|PF1|=|PN|，
∴∠F2NM＞∠F2F1N，
∴|F1F2|＞|F2N|，
∴0＜|OM| ×2c=c=2．
∴则|OM|的取值范围是（0，2）．
故答案为：（0，2）．
【分析】椭圆方程： =1（xy≠0），a=3，b= ，则c= =2，如图所示．M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且F1M⊥MP，可得点M是底边F1N的中点．又点O是线段F1F2的中点，|OM|= 丨 丨，|PF1|=|PN|，可得∠F2NM＞∠F2F1N，可得|F1F2|＞|F2N|，即可得出．
三、解答题
17．（2016高二上·黑龙江期中）已知圆C1：（x+3）2+y2=1和圆C2：（x﹣3）2+y2=9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
【答案】解：设动圆圆心M（x，y），动圆M与C1、C2的切点分别为A、B，则|MC1|﹣|AC1|=|MA|，|MC2|﹣|BC2|=|MB|．
又∵|MA|=|MB|，
∴|MC2|﹣|MC1|=|BC2|﹣|AC1|=3﹣1=2，
即|MC2|﹣|MC1|=2，又∵|C1C2|=6，
由双曲线定义知：动点M的轨迹是以C1、C2为焦点，中心在原点的双曲线的左支．
∵2a=2，2c=6，∴a=1，c=3，
∴b2=8．
∴动点M的轨迹方程为x2﹣ =1（x≤﹣1）．
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【分析】设动圆圆心M（x，y），动圆M与C1、C2的切点分别为A、B，则|MC1|﹣|AC1|=|MA|，|MC2|﹣|BC2|=|MB|，从而可得|MC2|﹣|MC1|=2，利用双曲线的定义，即可求动圆圆心M的轨迹方程．
18．（2016高二上·黑龙江期中）有两个命题，p：关于x的不等式ax＞1（a＞0，且a≠1）的解集是{x|x＜0}；q：函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．
【答案】解：p：关于x的不等式ax＞1（a＞0，且a≠1）的解集是{x|x＜0}，∴0＜a＜1．
q：函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R．等价于 x∈R，ax2﹣x+a＞0．
如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．
（i）a=0 不成立．
（ii）a≠0 时， ，解得 ，即q： ．
如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p真q假，或p假q真，
∴ 或 ，
解得 ，或a≥1．
∴实数a的取值范围是 ，或a≥1．
【知识点】复合命题的真假
【解析】【分析】对于命题p：利用指数函数的单调性可得：0＜a＜1．
对于命题q：函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R．等价于 x∈R，ax2﹣x+a＞0．对a分类讨论，利用函数的图象与性质即可得出．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p真q假，或p假q真，即可得出．
19．（2016高二上·黑龙江期中）已知定点A（﹣1，1），动点P在抛物线C：y2=﹣8x上，F为抛物线C的焦点．
（1）求|PA|+|PF|最小值；
（2）求以A为中点的弦所在的直线方程．
【答案】（1）解：设抛物线C的准线为l，所以l的方程为x=2，
设P到准线的距离为d，垂足为E．由抛物线的定义知|PA|+|PF|=|PA|+|PE|，
当A，P，E三点共线时最小，|PA|+|PF|最小值为3．
（2）解：设以A为中点的弦所在的直线交抛物线C于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，
所以x1+x2=﹣2，y1+y2=2，
又因为M，N在抛物线C上，
则有y12=﹣8x1，y22=﹣8x2，做差化简得 kMN=﹣4
又直线MN过点A（﹣1，1），所以有y﹣1=﹣4（x+1），
即以A为中点的弦所在的直线方程为4x+y+3=0．
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义知|PA|+|PF|=|PA|+|PE|，当A，P，E三点共线时最小，|PA|+|PF|取得最小值；（2）利用点差法，求斜率，即可求以A为中点的弦所在的直线方程．
20．（2016高二上·黑龙江期中）已知点A（1， ）在椭圆E： =1上，若斜率为 的直线l与椭圆E交于B，C两点，当△ABC的面积最大时，求直线l的方程．
【答案】解：设直线l的方程为y= x+m，设B（x1，y1），C（x2，y2），
由 ，消去y，整理得4x2+2 mx+m2﹣4=0，
则△=8m2﹣16（m2﹣4）=8（8﹣m2）＞0，解得：0≤m2＜8，
由韦达定理可知：x1+x2=﹣ ，x1 x2= ，
由弦长公式可知：丨BC丨= = ，
又点A到l的距离为d= = ，
故S△ABC= 丨BC丨 d= = ≤ = ，
当且仅当 m2=8﹣m2，即m=±2时取等号，此时满足0≤m2＜8，
故直线l的方程为y= x±2．
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【分析】由题意可知：设直线l的方程为y= x+m，代入椭圆方程，由△＞0，求得0≤m2＜8，根据韦达定理及弦长公式求得丨BC丨，由点到直线的距离公式点A到l的距离为d，再利用三角形的面积公式求得S△ABC= 丨BC丨 d，利用基本不等式的性质即可求得△ABC的面积最大值时，m的取值，即可求得直线l的方程．
21．（2016高二上·黑龙江期中）已知圆O：x2+y2=4与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求 的取值范围．
【答案】解：不妨设A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2．由x2=4即得A（﹣2，0），B（2，0）．
设P（x，y），由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，得 ，
两边平方，可得（x2+y2+4）2﹣16x2=（x2+y2）2，
化简整理可得，x2﹣y2=2．
=（﹣2﹣x，﹣y） （2﹣x，﹣y）=x2﹣4+y2=2（y2﹣1）．
由于点P在圆O内，故 ，
由此得y2＜1．
所以 的取值范围为[﹣2，0）．
【知识点】平面向量的数量积运算；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】根据圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，列出方程，再根据点P在圆内求出取值范围．
22．（2016高二上·黑龙江期中）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点 为短轴的一个端点，∠OF2B=60°．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如图，过右焦点F2，且斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于D，E两点，A为椭圆的右顶点，直线AE，AD分别交直线x=3于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k′．试问k k′是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
【答案】解：（1）由条件可知 ，故所求椭圆方程为 ．（2）设过点F2（1，0）的直线l方程为：y=k（x﹣1）．
由 可得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0
因为点F2（1，0）在椭圆内，所以直线l和椭圆都相交，即△＞0恒成立．
设点E（x1，y1），D（x2，y2），
则 ．
因为直线AE的方程为： ，直线AD的方程为： ，
令x=3，可得 ， ，所以点P的坐标 ．
直线PF2的斜率为 = = = =
= ，
所以k k'为定值 ．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由条件可知 ，故求的椭圆方程．（2）设过点F2（1，0）的直线l方程为：y=k（x﹣1）．由 可得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．因为直线AE的方程为： ，直线AD的方程为： ，从而列式求解即可．
