2016-2017学年辽宁省沈阳市和平区东北育才学校高二上学期期中数学试卷
一、选择题
1．（2016高二上·和平期中）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B．ab＜b2 C．﹣ab＜﹣a2 D．
2．（2016高二上·和平期中）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
3．（2016高二上·和平期中）不等式log2 ≥1的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣1] B．[﹣1，+∞）
C．[﹣1，0） D．（﹣∞，﹣1]∪（0，+∞）
4．（2016高二上·和平期中）设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，且a1＞0．若S2＞2a3，则q的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2016高二上·和平期中）设变量x，y满足约束条件 ，则目标函数z=y﹣2x的最小值为（ ）
A．﹣7 B．﹣4 C．1 D．2
6．（2016高二上·和平期中）已知{an}为等差数列，a4+a7=2，a5a6=﹣3，则a1a10=（ ）
A．﹣99 B．﹣323 C．﹣3 D．2
7．（2016高二上·和平期中）已知方程x2﹣（3m+2）x+2（m+6）=0的两个实根都大于3，则m的取值范围是（ ）
A．（ ，﹣2] B．（﹣∞，﹣2]
C．[2， ） D．[2，+∞）
8．（2016高二上·和平期中）设第一象限内的点（x，y）满足约束条件 ，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为40，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．4
9．（2016高二上·和平期中）已知正实数a，b满足a+2b=1，则 的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
10．（2016高二上·和平期中）等差数列{an}前n项和为Sn， ， （p≠q），则Sp+q的值是（ ）
A．大于4 B．小于4 C．等于4 D．不确定
11．（2016高二上·和平期中）变量x，y满足约束条件 ，若z=2x﹣y的最大值为2，则实数m等于（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
12．（2016高二上·弋阳期中）若a，b，c＞0且 ，则2a+b+c的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2016高二上·和平期中）在数列{an}中，a1=2，an+1=2an，Sn为{an}的前n项和，若Sn=126，则n= ．
14．（2016高二上·和平期中）设a，b＞0，a+b=5，则 + 的最大值为
15．（2016高二上·普陀期中）设Sn是数列{an}的前n项和，a1=﹣1，an+1=SnSn+1，则Sn=
16．（2016高二上·和平期中）已知不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题
17．（2016高一下·蓟县期中）已知函数f（x）=x2+ax+6．
（1）当a=5时，解不等式f（x）＜0；
（2）若不等式f（x）＞0的解集为R，求实数a的取值范围．
18．（2016高二上·和平期中）今年的国庆假期是实施免收小型客车高速通行费后的第一个重大节假日，有一个群名为“天狼星”的自驾游车队．该车队是由31辆车身长都约为5m（以5m计算）的同一车型组成的，行程中经过一个长为2725m的隧道（通过该隧道的车速不能超过25m/s），匀
速通过该隧道，设车队的速度为xm/s，根据安全和车流的需要，当0＜x≤12时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（ ）m的距离．自第1辆车车头进入隧道至第31辆车车尾离开隧道所用的时间为y（s）．
（1）将y表示为x的函数；
（2）求该车队通过隧道时间y的最小值及此时车队的速度．
19．（2016高二上·和平期中）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn=an+12﹣4n﹣1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．
（1）证明：a2= ；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n，有 ．
20．（2016高二上·和平期中）解关于x的不等式（a2﹣4）x2+4x﹣1＞0．
21．（2016高二上·和平期中）已知数列{an}是首项为a1= ，公比q= 的等比数列，设bn+2=3log an（n∈N*），数列{cn}满足cn=an bn．
（1）求证：{bn}是等差数列；
（2）求数列{cn}的前n项和Sn；
（3）若cn≤ +m﹣1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．
22．（2016高二上·和平期中）设函数f（x）= （x＞0），数列{an}满足 （n∈N*，且n≥2）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设Tn=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+（﹣1）n﹣1anan+1，若Tn≥tn2对n∈N*恒成立，求实数t的取值范围；
（3）是否存在以a1为首项，公比为q（0＜q＜5，q∈N*）的数列{a }，k∈N*，使得数列{a }中每一项都是数列{an}中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列{nk}的通项公式；若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，可得 ， =﹣1，∴ ，故A不正确．
可得ab=2，b2=1，∴ab＞b2，故B不正确．
可得﹣ab=﹣2，﹣a2=﹣4，∴﹣ab＞﹣a2，故C不正确．
故选D．
【分析】由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，代入各个选项检验，只有D正确，从而得出结论．
2．【答案】A
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：由等差数列{an}的性质，及a1+a3+a5=3，
∴3a3=3，
∴a3=1，
∴S5= =5a3=5．
故选：A．
【分析】由等差数列{an}的性质，及a1+a3+a5=3，可得3a3=3，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．
3．【答案】C
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：原不等式同解于
即
解得﹣1≤x＜0
故答案为C
【分析】利用对数函数的单调性将对数不等式中的对数符号脱去，移项，利用穿根法求出解集．
4．【答案】B
【知识点】数列的函数特性；等比数列的性质
【解析】【解答】解：由题意可得a1＞0，且 a1+a1q＞2a1q2，即 2q2﹣q﹣1＜0，即 （2q+1）（q﹣1）＜0．
解得﹣ ＜q＜1，又 q≠0，∴q的取值范围是 ，
故选B．
【分析】由题意可得a1＞0，且 a1+a1q＞2a1q2，解一元二次不等式求得q的取值范围，注意 q≠0这个隐藏条件．
5．【答案】A
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：设变量x、y满足约束条件 ，
在坐标系中画出可行域三角形，
平移直线y﹣2x=0经过点A（5，3）时，y﹣2x最小，最小值为：﹣7，
则目标函数z=y﹣2x的最小值为﹣7．
故选A．
【分析】先根据条件画出可行域，设z=y﹣2x，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最小，只需求出直线z=y﹣2x，过可行域内的点B（5，3）时的最小值，从而得到z最小值即可．
6．【答案】B
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：由等差数列的性质可知，a4+a7=a5+a6=2，
∵a5a6=﹣3，
∴ 或
∴ 或
∴则a1a10=a1（a1+9d）=﹣19×17=﹣323
故选B
【分析】由等差数列的性质可知，a4+a7=a5+a6=2，结合a5a6=﹣3，可求a5，a6，从而可求a1，d，结合等差数列的通项公式代入可求
7．【答案】C
【知识点】二次函数的性质
【解析】【解答】解：令x2﹣（3m+2）x+2（m+6）=f（x），由题意可得 ，
解得2≤m＜ ，
故选C．
【分析】由题意可得 ，解不等式组求得m的取值范围．
8．【答案】B
【知识点】简单线性规划的应用
【解析】【解答】解：不等式表示的平面区域阴影部分，
当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）
过直线x﹣y+2=0与直线2x﹣y﹣6=0的交点（8，10）时，
目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大40，
即8a+10b=40，即4a+5b=20，
而 = ．
故选B．
【分析】先根据条件画出可行域，设z=ax+by，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=ax+by，过可行域内的点（4，6）时取得最大值，从而得到一个关于a，b的等式，最后利用基本不等式求最小值即可．
9．【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：∵已知正实数a，b满足a+2b=1，∴1=a+2b≥2 ，当且仅当a=2b时，取等号．解得ab≤ ，即 ab∈（0， ]．
再由 （a+2b）2=a2+4b2+4ab=1，故 =1﹣4ab+ ．
把ab当做自变量，则1﹣4ab+ 在（0， ]上是减函数，故当ab= 时，1﹣4ab+ 取得最小值为 1﹣ +8= ，
故选D．
【分析】由条件利用基本不等式可得 ab∈（0， ]，再由 =1﹣4ab+ ，且1﹣4ab+ 在（0， ]上是减函数，求得它的最小值．
10．【答案】A
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵ ， （p≠q），
∴pa1+ d= ，qa1+ d= ，
∴（p﹣q）a1+ d= ，
∴a1+ d= ，可得a1=﹣ d+ ，
则Sp+q=（p+q）a1+ d=（p+q）×（﹣ d+ ）+ d= ≥ =4，当且仅当p=q∈N*时取等号．
故选：A．
【分析】利用等差数列的求和公式、重要不等式的性质即可得出．
11．【答案】C
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，
联立 ，解得A（ ），
化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，
由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为 ，
解得：m=1．
故选：C．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得m的值．
12．【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：若a，b，c＞0且 ，
所以 ，
∴ ，
则（2a+b+c）≥ ，
故选项为D．
【分析】已知条件中出现bc，待求式子中有b+c，引导找b，c的不等式
13．【答案】6
【知识点】等比数列的前n项和；等比关系的确定
【解析】【解答】解：∵an+1=2an，
∴ ，
∵a1=2，
∴数列{an}是a1=2为首项，以2为公比的等比数列，
∴Sn= = =2n+1﹣2=126，
∴2n+1=128，
∴n+1=7，
∴n=6．
故答案为：6
【分析】由an+1=2an，结合等比数列的定义可知数列{an}是a1=2为首项，以2为公比的等比数列，代入等比数列的求和公式即可求解．
14．【答案】3
【知识点】函数最值的应用
【解析】【解答】解：由题意，（ ）2≤（1+1）（a+1+b+3）=18，
∴ 的最大值为3 ，
故答案为：3 ．
【分析】利用柯西不等式，即可求出 的最大值．
15．【答案】﹣
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】解：∵an+1=SnSn+1，∴Sn+1﹣Sn=SnSn+1，
∴ =﹣1，
∴数列 是等差数列，首项为﹣1，公差为﹣1．
∴ =﹣1﹣（n﹣1）=﹣n，
解得Sn=﹣ ．
故答案为：﹣ ．
【分析】an+1=SnSn+1，可得Sn+1﹣Sn=SnSn+1， =﹣1，再利用等差数列的通项公式即可得出．
16．【答案】[﹣1，+∞）
【知识点】不等式的综合
【解析】【解答】解：由题意可知：不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，
即： ，对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，
令 ，则1≤t≤3，
∴a≥t﹣2t2在[1，3]上恒成立，
∵
∴ymax=﹣1，
∴a≥﹣1
故答案为：[﹣1，+∞）．
【分析】本题考查的是不等式与恒成立的综合类问题．在解答时，首先可以分离参数将问题转化为： 对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，然后解答此恒成立问题即可获得问题的解答．
17．【答案】（1）解：∵当a=5时，不等式f（x）＜0即
x2+5x+6＜0，
∴（x+2）（x+3）＜0，
∴﹣3＜x＜﹣2．
∴不等式f（x）＜0的解集为{x|﹣3＜x＜﹣2}
（2）解：不等式f（x）＞0的解集为R，
∴x的一元二次不等式x2+ax+6＞0的解集为R，
∴△=a2﹣4×6＜0 ﹣2 ＜a＜2
∴实数a的取值范围是（﹣2 ，2 ）
【知识点】二次函数的性质；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）首先把一元二次不等式变为x2+5x+6＜0，然后运用因式分解即可解得不等式的解集；（2）要使一元二次不等式x2+ax+6＞0的解集为R，只需△＜0，求出实数a的取值范围即可．
18．【答案】（1）解：∵当0＜x≤12时，相邻两车之间保持20m的距离；
当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（ ）m的距离，
∴当0＜x≤12时，y= = ；
当12＜x≤25时，y= =5x+ +10
∴y=
（2）解：当0＜x≤12时，y= ，∴x=12m/s时，ymin=290s；
当12＜x≤25时，y=5x+ +10≥2 +10=250s
当且仅当5x= ，即x=24m/s时取等号，即x=24m/s时，ymin=250s
∵290＞250，∴x=24m/s时，ymin=250s．
答：该车队通过隧道时间y的最小值为250s及此时该车队的速度为24m/s
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）利用当0＜x≤12时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（ ）m的距离，可得分段函数；（2）分段求出函数的最小值，即可得到分段函数的最小值．
19．【答案】（1）解：当n=1时， ，
∵
（2）解：当n≥2时，满足 ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∵an＞0，∴an+1=an+2，
∴当n≥2时，{an}是公差d=2的等差数列．
∵a2，a5，a14构成等比数列，∴ ， ，解得a2=3，
由（1）可知， ，∴a1=1∵a2﹣a1=3﹣1=2，
∴{an}是首项a1=1，公差d=2的等差数列．
∴数列{an}的通项公式an=2n﹣1
（3）解：由（2）可得式 = ．
∴
【知识点】数列与不等式的综合；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）对于 ，令n=1即可证明；（2）利用 ，且 ，（n≥2），两式相减即可求出通项公式．（3）由（2）可得 = ．利用“裂项求和”即可证明．
20．【答案】解：①当a=±2时，4x﹣1＞0， ；
②当a＞2时，（a2﹣4）x2+4x﹣1＞0，即[（a+2）x﹣1][（a﹣2）x+1]＞0，解得 或 ；
③当a＜﹣2时，（a2﹣4）x2+4x﹣1＞0，即[（a+2）x﹣1][（a﹣2）x+1]＞0，解得 或 ；
④当﹣2＜a＜2时，（a2﹣4）x2+4x﹣1＞0，即[（a+2）x﹣1][（a﹣2）x+1]＞0，解得 ．
∴不等式（a2﹣4）x2+4x﹣1＞0的解集为：（ ，+∞）；（﹣∞， ）∪（ ，+∞）；（﹣∞， ）∪（ ，+∞）；（ ， ）
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】分类讨论：当a=±2时，当a＞2时，当a＜﹣2时，当﹣2＜a＜2时，分别求解一元二次不等式即可得答案．
21．【答案】（1）解：由题意知，an=（ ）n．
∵ ，
∴b1=1
∴bn+1﹣bn=3 log an+1﹣3 log an=3 log =3 log q=3
∴数列{bn}是首项为1，公差为3的等差数列
（2）解：由（1）知，an=（ ）n．bn=3n﹣2
∴Cn=（3n﹣2）×（ ）n．
∴Sn=1× +4×（ ）2+…+（3n﹣2）×（ ）n，
于是 Sn=1×（ ）2+4×（ ）3+…（3n﹣2）×（ ）n+1，
两式相减得 Sn= +3×[（ ）2+（ ）3+…+（ ）n）﹣（3n﹣2）×（ ）n+1，
= ﹣（3n+2）×（ ）n+1，
∴Sn= ﹣ （ ）n
（3）解：∵Cn+1﹣Cn=（3n+1）×（ ）n+1﹣（3n﹣2）×（ ）n=9（1﹣n）×（ ）n+1，
∴当n=1时，C2=C1=
当n≥2时，Cn+1＜Cn，即C2=C1＞C3＞C4＞…＞Cn
∴当n=1时，Cn取最大值是
又
∴ ≥
即m2+4m﹣5≥0解得m≥1或m≤﹣5
【知识点】函数恒成立问题；等差关系的确定；数列的求和
【解析】【分析】（1）根据等比数列的通项公式可求得an，代入 求得bn+1﹣bn为常数，进而判断出数列{bn}是等差数列．（2）由（1）可分别求得an和bn，进而求得Cn进而用错位相减法进行求和．（3）把（2）中的Cn，代入Cn+1﹣Cn结果小于0，进而判断出当n≥2时，Cn+1＜Cn，进而可推断出当n=1时，Cn取最大值，问题转化为 ≥ ，求得m的取值范围．
22．【答案】（1）解：因为 ，（n∈N*，且n≥2），
所以an﹣an﹣1= ．
因为a1=1，
所以数列{an}是以1为首项，公差为 的等差数列．
所以an=
（2）解：①当n=2m，m∈N*时，Tn=T2m=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5++（﹣1）2m﹣1a2ma2m+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）++a2m（a2m﹣1﹣a2m+1）=﹣ =﹣ =﹣ ．
②当n=2m﹣1，m∈N*时，Tn=T2m﹣1=T2m﹣（﹣1）2m﹣1a2ma2m+1=﹣ = ．
所以Tn=
要使Tn≥tn2对n∈N*恒成立，
只要使﹣ ，（n为偶数）恒成立．
只要使﹣ ，对n为偶数恒成立，
故实数t的取值范围为
（3）解：由an= ，知数列{an}中每一项都不可能是偶数．
①如存在以a1为首项，公比q为2或4的数列{ank}，k∈N*，
此时{ank}中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以a1为首项，公比为偶数的数列{ank}．
②当q=1时，显然不存在这样的数列{ank}．
当q=3时，若存在以a1为首项，公比为3的数列{ank}，k∈N*．
则 =1，n1=1， = ，nk= ．
所以满足条件的数列{nk}的通项公式为nk=
【知识点】数列与函数的综合
【解析】【分析】（1）由 ，（n∈N*，且n≥2），知 ．再由a1=1，能求出数列{an}的通项公式；（2）当n=2m，m∈N*时，Tn=T2m=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5++（﹣1）2m﹣1a2ma2m+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）++a2m（a2m﹣1﹣a2m+1）= = = ．当n=2m﹣1，m∈N*时，Tn=T2m﹣1=T2m﹣（﹣1）2m﹣1a2ma2m+1= = ．由此入手能求出实数t的取值范围．（3）由 ，知数列{an}中每一项都不可能是偶数．如存在以a1为首项，公比q为2或4的数列{ank}，k∈N*，此时{ank}中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以a1为首项，公比为偶数的数列{ank}．当q=1时，显然不存在这样的数列{ank}．当q=3时， ，n1=1， ， ．所以满足条件的数列{nk}的通项公式为 ．
2016-2017学年辽宁省沈阳市和平区东北育才学校高二上学期期中数学试卷
一、选择题
1．（2016高二上·和平期中）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B．ab＜b2 C．﹣ab＜﹣a2 D．
【答案】D
【知识点】不等关系与不等式
【解析】【解答】解：由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，可得 ， =﹣1，∴ ，故A不正确．
可得ab=2，b2=1，∴ab＞b2，故B不正确．
可得﹣ab=﹣2，﹣a2=﹣4，∴﹣ab＞﹣a2，故C不正确．
故选D．
【分析】由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，代入各个选项检验，只有D正确，从而得出结论．
2．（2016高二上·和平期中）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】A
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：由等差数列{an}的性质，及a1+a3+a5=3，
∴3a3=3，
∴a3=1，
∴S5= =5a3=5．
故选：A．
【分析】由等差数列{an}的性质，及a1+a3+a5=3，可得3a3=3，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．
3．（2016高二上·和平期中）不等式log2 ≥1的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣1] B．[﹣1，+∞）
C．[﹣1，0） D．（﹣∞，﹣1]∪（0，+∞）
【答案】C
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：原不等式同解于
即
解得﹣1≤x＜0
故答案为C
【分析】利用对数函数的单调性将对数不等式中的对数符号脱去，移项，利用穿根法求出解集．
4．（2016高二上·和平期中）设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，且a1＞0．若S2＞2a3，则q的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】数列的函数特性；等比数列的性质
【解析】【解答】解：由题意可得a1＞0，且 a1+a1q＞2a1q2，即 2q2﹣q﹣1＜0，即 （2q+1）（q﹣1）＜0．
解得﹣ ＜q＜1，又 q≠0，∴q的取值范围是 ，
故选B．
【分析】由题意可得a1＞0，且 a1+a1q＞2a1q2，解一元二次不等式求得q的取值范围，注意 q≠0这个隐藏条件．
5．（2016高二上·和平期中）设变量x，y满足约束条件 ，则目标函数z=y﹣2x的最小值为（ ）
A．﹣7 B．﹣4 C．1 D．2
【答案】A
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：设变量x、y满足约束条件 ，
在坐标系中画出可行域三角形，
平移直线y﹣2x=0经过点A（5，3）时，y﹣2x最小，最小值为：﹣7，
则目标函数z=y﹣2x的最小值为﹣7．
故选A．
【分析】先根据条件画出可行域，设z=y﹣2x，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最小，只需求出直线z=y﹣2x，过可行域内的点B（5，3）时的最小值，从而得到z最小值即可．
6．（2016高二上·和平期中）已知{an}为等差数列，a4+a7=2，a5a6=﹣3，则a1a10=（ ）
A．﹣99 B．﹣323 C．﹣3 D．2
【答案】B
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：由等差数列的性质可知，a4+a7=a5+a6=2，
∵a5a6=﹣3，
∴ 或
∴ 或
∴则a1a10=a1（a1+9d）=﹣19×17=﹣323
故选B
【分析】由等差数列的性质可知，a4+a7=a5+a6=2，结合a5a6=﹣3，可求a5，a6，从而可求a1，d，结合等差数列的通项公式代入可求
7．（2016高二上·和平期中）已知方程x2﹣（3m+2）x+2（m+6）=0的两个实根都大于3，则m的取值范围是（ ）
A．（ ，﹣2] B．（﹣∞，﹣2]
C．[2， ） D．[2，+∞）
【答案】C
【知识点】二次函数的性质
【解析】【解答】解：令x2﹣（3m+2）x+2（m+6）=f（x），由题意可得 ，
解得2≤m＜ ，
故选C．
【分析】由题意可得 ，解不等式组求得m的取值范围．
8．（2016高二上·和平期中）设第一象限内的点（x，y）满足约束条件 ，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为40，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．4
【答案】B
【知识点】简单线性规划的应用
【解析】【解答】解：不等式表示的平面区域阴影部分，
当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）
过直线x﹣y+2=0与直线2x﹣y﹣6=0的交点（8，10）时，
目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大40，
即8a+10b=40，即4a+5b=20，
而 = ．
故选B．
【分析】先根据条件画出可行域，设z=ax+by，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=ax+by，过可行域内的点（4，6）时取得最大值，从而得到一个关于a，b的等式，最后利用基本不等式求最小值即可．
9．（2016高二上·和平期中）已知正实数a，b满足a+2b=1，则 的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：∵已知正实数a，b满足a+2b=1，∴1=a+2b≥2 ，当且仅当a=2b时，取等号．解得ab≤ ，即 ab∈（0， ]．
再由 （a+2b）2=a2+4b2+4ab=1，故 =1﹣4ab+ ．
把ab当做自变量，则1﹣4ab+ 在（0， ]上是减函数，故当ab= 时，1﹣4ab+ 取得最小值为 1﹣ +8= ，
故选D．
【分析】由条件利用基本不等式可得 ab∈（0， ]，再由 =1﹣4ab+ ，且1﹣4ab+ 在（0， ]上是减函数，求得它的最小值．
10．（2016高二上·和平期中）等差数列{an}前n项和为Sn， ， （p≠q），则Sp+q的值是（ ）
A．大于4 B．小于4 C．等于4 D．不确定
【答案】A
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵ ， （p≠q），
∴pa1+ d= ，qa1+ d= ，
∴（p﹣q）a1+ d= ，
∴a1+ d= ，可得a1=﹣ d+ ，
则Sp+q=（p+q）a1+ d=（p+q）×（﹣ d+ ）+ d= ≥ =4，当且仅当p=q∈N*时取等号．
故选：A．
【分析】利用等差数列的求和公式、重要不等式的性质即可得出．
11．（2016高二上·和平期中）变量x，y满足约束条件 ，若z=2x﹣y的最大值为2，则实数m等于（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【答案】C
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，
联立 ，解得A（ ），
化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，
由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为 ，
解得：m=1．
故选：C．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得m的值．
12．（2016高二上·弋阳期中）若a，b，c＞0且 ，则2a+b+c的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：若a，b，c＞0且 ，
所以 ，
∴ ，
则（2a+b+c）≥ ，
故选项为D．
【分析】已知条件中出现bc，待求式子中有b+c，引导找b，c的不等式
二、填空题
13．（2016高二上·和平期中）在数列{an}中，a1=2，an+1=2an，Sn为{an}的前n项和，若Sn=126，则n= ．
【答案】6
【知识点】等比数列的前n项和；等比关系的确定
【解析】【解答】解：∵an+1=2an，
∴ ，
∵a1=2，
∴数列{an}是a1=2为首项，以2为公比的等比数列，
∴Sn= = =2n+1﹣2=126，
∴2n+1=128，
∴n+1=7，
∴n=6．
故答案为：6
【分析】由an+1=2an，结合等比数列的定义可知数列{an}是a1=2为首项，以2为公比的等比数列，代入等比数列的求和公式即可求解．
14．（2016高二上·和平期中）设a，b＞0，a+b=5，则 + 的最大值为
【答案】3
【知识点】函数最值的应用
【解析】【解答】解：由题意，（ ）2≤（1+1）（a+1+b+3）=18，
∴ 的最大值为3 ，
故答案为：3 ．
【分析】利用柯西不等式，即可求出 的最大值．
15．（2016高二上·普陀期中）设Sn是数列{an}的前n项和，a1=﹣1，an+1=SnSn+1，则Sn=
【答案】﹣
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】解：∵an+1=SnSn+1，∴Sn+1﹣Sn=SnSn+1，
∴ =﹣1，
∴数列 是等差数列，首项为﹣1，公差为﹣1．
∴ =﹣1﹣（n﹣1）=﹣n，
解得Sn=﹣ ．
故答案为：﹣ ．
【分析】an+1=SnSn+1，可得Sn+1﹣Sn=SnSn+1， =﹣1，再利用等差数列的通项公式即可得出．
16．（2016高二上·和平期中）已知不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，则实数a的取值范围是 ．
【答案】[﹣1，+∞）
【知识点】不等式的综合
【解析】【解答】解：由题意可知：不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，
即： ，对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，
令 ，则1≤t≤3，
∴a≥t﹣2t2在[1，3]上恒成立，
∵
∴ymax=﹣1，
∴a≥﹣1
故答案为：[﹣1，+∞）．
【分析】本题考查的是不等式与恒成立的综合类问题．在解答时，首先可以分离参数将问题转化为： 对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，然后解答此恒成立问题即可获得问题的解答．
三、解答题
17．（2016高一下·蓟县期中）已知函数f（x）=x2+ax+6．
（1）当a=5时，解不等式f（x）＜0；
（2）若不等式f（x）＞0的解集为R，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：∵当a=5时，不等式f（x）＜0即
x2+5x+6＜0，
∴（x+2）（x+3）＜0，
∴﹣3＜x＜﹣2．
∴不等式f（x）＜0的解集为{x|﹣3＜x＜﹣2}
（2）解：不等式f（x）＞0的解集为R，
∴x的一元二次不等式x2+ax+6＞0的解集为R，
∴△=a2﹣4×6＜0 ﹣2 ＜a＜2
∴实数a的取值范围是（﹣2 ，2 ）
【知识点】二次函数的性质；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）首先把一元二次不等式变为x2+5x+6＜0，然后运用因式分解即可解得不等式的解集；（2）要使一元二次不等式x2+ax+6＞0的解集为R，只需△＜0，求出实数a的取值范围即可．
18．（2016高二上·和平期中）今年的国庆假期是实施免收小型客车高速通行费后的第一个重大节假日，有一个群名为“天狼星”的自驾游车队．该车队是由31辆车身长都约为5m（以5m计算）的同一车型组成的，行程中经过一个长为2725m的隧道（通过该隧道的车速不能超过25m/s），匀
速通过该隧道，设车队的速度为xm/s，根据安全和车流的需要，当0＜x≤12时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（ ）m的距离．自第1辆车车头进入隧道至第31辆车车尾离开隧道所用的时间为y（s）．
（1）将y表示为x的函数；
（2）求该车队通过隧道时间y的最小值及此时车队的速度．
【答案】（1）解：∵当0＜x≤12时，相邻两车之间保持20m的距离；
当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（ ）m的距离，
∴当0＜x≤12时，y= = ；
当12＜x≤25时，y= =5x+ +10
∴y=
（2）解：当0＜x≤12时，y= ，∴x=12m/s时，ymin=290s；
当12＜x≤25时，y=5x+ +10≥2 +10=250s
当且仅当5x= ，即x=24m/s时取等号，即x=24m/s时，ymin=250s
∵290＞250，∴x=24m/s时，ymin=250s．
答：该车队通过隧道时间y的最小值为250s及此时该车队的速度为24m/s
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）利用当0＜x≤12时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（ ）m的距离，可得分段函数；（2）分段求出函数的最小值，即可得到分段函数的最小值．
19．（2016高二上·和平期中）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn=an+12﹣4n﹣1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．
（1）证明：a2= ；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n，有 ．
【答案】（1）解：当n=1时， ，
∵
（2）解：当n≥2时，满足 ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∵an＞0，∴an+1=an+2，
∴当n≥2时，{an}是公差d=2的等差数列．
∵a2，a5，a14构成等比数列，∴ ， ，解得a2=3，
由（1）可知， ，∴a1=1∵a2﹣a1=3﹣1=2，
∴{an}是首项a1=1，公差d=2的等差数列．
∴数列{an}的通项公式an=2n﹣1
（3）解：由（2）可得式 = ．
∴
【知识点】数列与不等式的综合；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）对于 ，令n=1即可证明；（2）利用 ，且 ，（n≥2），两式相减即可求出通项公式．（3）由（2）可得 = ．利用“裂项求和”即可证明．
20．（2016高二上·和平期中）解关于x的不等式（a2﹣4）x2+4x﹣1＞0．
【答案】解：①当a=±2时，4x﹣1＞0， ；
②当a＞2时，（a2﹣4）x2+4x﹣1＞0，即[（a+2）x﹣1][（a﹣2）x+1]＞0，解得 或 ；
③当a＜﹣2时，（a2﹣4）x2+4x﹣1＞0，即[（a+2）x﹣1][（a﹣2）x+1]＞0，解得 或 ；
④当﹣2＜a＜2时，（a2﹣4）x2+4x﹣1＞0，即[（a+2）x﹣1][（a﹣2）x+1]＞0，解得 ．
∴不等式（a2﹣4）x2+4x﹣1＞0的解集为：（ ，+∞）；（﹣∞， ）∪（ ，+∞）；（﹣∞， ）∪（ ，+∞）；（ ， ）
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】分类讨论：当a=±2时，当a＞2时，当a＜﹣2时，当﹣2＜a＜2时，分别求解一元二次不等式即可得答案．
21．（2016高二上·和平期中）已知数列{an}是首项为a1= ，公比q= 的等比数列，设bn+2=3log an（n∈N*），数列{cn}满足cn=an bn．
（1）求证：{bn}是等差数列；
（2）求数列{cn}的前n项和Sn；
（3）若cn≤ +m﹣1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：由题意知，an=（ ）n．
∵ ，
∴b1=1
∴bn+1﹣bn=3 log an+1﹣3 log an=3 log =3 log q=3
∴数列{bn}是首项为1，公差为3的等差数列
（2）解：由（1）知，an=（ ）n．bn=3n﹣2
∴Cn=（3n﹣2）×（ ）n．
∴Sn=1× +4×（ ）2+…+（3n﹣2）×（ ）n，
于是 Sn=1×（ ）2+4×（ ）3+…（3n﹣2）×（ ）n+1，
两式相减得 Sn= +3×[（ ）2+（ ）3+…+（ ）n）﹣（3n﹣2）×（ ）n+1，
= ﹣（3n+2）×（ ）n+1，
∴Sn= ﹣ （ ）n
（3）解：∵Cn+1﹣Cn=（3n+1）×（ ）n+1﹣（3n﹣2）×（ ）n=9（1﹣n）×（ ）n+1，
∴当n=1时，C2=C1=
当n≥2时，Cn+1＜Cn，即C2=C1＞C3＞C4＞…＞Cn
∴当n=1时，Cn取最大值是
又
∴ ≥
即m2+4m﹣5≥0解得m≥1或m≤﹣5
【知识点】函数恒成立问题；等差关系的确定；数列的求和
【解析】【分析】（1）根据等比数列的通项公式可求得an，代入 求得bn+1﹣bn为常数，进而判断出数列{bn}是等差数列．（2）由（1）可分别求得an和bn，进而求得Cn进而用错位相减法进行求和．（3）把（2）中的Cn，代入Cn+1﹣Cn结果小于0，进而判断出当n≥2时，Cn+1＜Cn，进而可推断出当n=1时，Cn取最大值，问题转化为 ≥ ，求得m的取值范围．
22．（2016高二上·和平期中）设函数f（x）= （x＞0），数列{an}满足 （n∈N*，且n≥2）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设Tn=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+（﹣1）n﹣1anan+1，若Tn≥tn2对n∈N*恒成立，求实数t的取值范围；
（3）是否存在以a1为首项，公比为q（0＜q＜5，q∈N*）的数列{a }，k∈N*，使得数列{a }中每一项都是数列{an}中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列{nk}的通项公式；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：因为 ，（n∈N*，且n≥2），
所以an﹣an﹣1= ．
因为a1=1，
所以数列{an}是以1为首项，公差为 的等差数列．
所以an=
（2）解：①当n=2m，m∈N*时，Tn=T2m=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5++（﹣1）2m﹣1a2ma2m+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）++a2m（a2m﹣1﹣a2m+1）=﹣ =﹣ =﹣ ．
②当n=2m﹣1，m∈N*时，Tn=T2m﹣1=T2m﹣（﹣1）2m﹣1a2ma2m+1=﹣ = ．
所以Tn=
要使Tn≥tn2对n∈N*恒成立，
只要使﹣ ，（n为偶数）恒成立．
只要使﹣ ，对n为偶数恒成立，
故实数t的取值范围为
（3）解：由an= ，知数列{an}中每一项都不可能是偶数．
①如存在以a1为首项，公比q为2或4的数列{ank}，k∈N*，
此时{ank}中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以a1为首项，公比为偶数的数列{ank}．
②当q=1时，显然不存在这样的数列{ank}．
当q=3时，若存在以a1为首项，公比为3的数列{ank}，k∈N*．
则 =1，n1=1， = ，nk= ．
所以满足条件的数列{nk}的通项公式为nk=
【知识点】数列与函数的综合
【解析】【分析】（1）由 ，（n∈N*，且n≥2），知 ．再由a1=1，能求出数列{an}的通项公式；（2）当n=2m，m∈N*时，Tn=T2m=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5++（﹣1）2m﹣1a2ma2m+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）++a2m（a2m﹣1﹣a2m+1）= = = ．当n=2m﹣1，m∈N*时，Tn=T2m﹣1=T2m﹣（﹣1）2m﹣1a2ma2m+1= = ．由此入手能求出实数t的取值范围．（3）由 ，知数列{an}中每一项都不可能是偶数．如存在以a1为首项，公比q为2或4的数列{ank}，k∈N*，此时{ank}中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以a1为首项，公比为偶数的数列{ank}．当q=1时，显然不存在这样的数列{ank}．当q=3时， ，n1=1， ， ．所以满足条件的数列{nk}的通项公式为 ．
