2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.4 解直角三角形
一、选择题
1．在△ABC中，∠C=90°，BC=4， ，则边AC的长是（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，BC=4， ，
∴AB= =6，
根据勾股定理，得AC= = =2 ．
故答案为：A．
【分析】根据解直角三角形的定义求出AB的值，再根据勾股定理求出AC的值.
2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC=，则BC的长是（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，
∴BD=AD，
∴CD+BD=8，
∵cos∠BDC= ，
∴，
解得：CD=3，BD=5，
∴BC=4．
故选A．
【分析】根据垂直平分线的性质得出BD=AD，再利用cos∠BDC=，即可求出CD的长，再利用勾股定理求出BC的长．
3．（2017·三台模拟）如图，已知AD是等腰△ABC底边BC上的高，sinB= ，点E在AC上，且AE：EC=2：3，则tan∠ADE=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图．作EF∥CD交AD于F点．
∵sinB=sinC= = ，
∴设AD=4x，则AC=5x，CD=3x，
∵ = = ，
∴FD= x，AF= x．
∵ = = ，
∴EF= x．
∴tan∠ADE= = ，
故选：B．
【分析】作EF∥CD，根据sinB=sinC= 设AD=4x、AC=5x，知CD=3x，再由AE：EC=2：3分别表示出DF、AF、EF的长，继而可得∠ADE的正切值．
4．如何求tan75°的值？按下列方法作图可解决问题，如图，在Rt△ABC中，AC=k，∠ACB=90°，∠ABC=30°，延长CB至点M，在射线BM上截取线段BD，使BD=AB，连接AD，依据此图可求得tan75°的值为（ ）
A．2 B．2+ C．1+ D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AC=k，∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴AB=BD=2k，∠BAD=∠BDA=15°，BC= k，
∴∠CAD=∠CAB+∠BAD=75°，
在Rt△ACD中，CD=CB+BD= k+2k，
则tan75°=tan∠CAD= = =2+ ，
故答案为：B
【分析】根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半和勾股定理，得到各个边之间的关系，再根据三角函数的定义求出tan75°的值.
5．已知在△ABC中，AB=14，BC=13，tanB= ，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
在Rt△BCD中，∵tanB= = ，
∴设CD=12x，BD=5x，
∵BC=13，
∴由BC2=BD2+CD2可得132=（5x）2+（12x）2，
解得：x=﹣1（舍）或x=1，
则BD=5，CD=12，
∵AB=14，
∴AD=9，
∴AC= = =15，
∴sinA= = = ，
故答案为：B．
【分析】根据tanB的值建立直角三角形，由勾股定理求出AC的值，再由正弦的定义得到sinA的值的值.
6．设a、b、c分别为△ABC中∠A，∠B和∠C的对边，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作b边上的高AD，
则Rt△ACD中，
AD=AC sinC=bsinC，
△ABC的面积等于 absinC．
故答案为：C．
【分析】如图过点A作b边上的高AD，则在直角三角形ACD中，AD=AC sinC=bsinC，所以△ABC的面积等于 absinC．
7．在△ABC中，∠C=90°，tanA= ，△ABC的周长为60，那么△ABC的面积为（ ）
A．60 B．30 C．240 D．120
【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，由tanA= ，
设BC=12x，AC=5x，根据勾股定理得：AB=13x，
由题意得：12x+5x+13x=60，
解得：x=2，
∴BC=24，AC=10，
则△ABC面积为120，
故选D
【分析】由tanA的值，利用锐角三角函数定义设出BC与AC，进而利用勾股定理表示出AB，由周长为60求出x的值，确定出两直角边，即可求出三角形面积．
8．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA= ，则AD的长为（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：作DE⊥AB于E，如图，
∵∠C=90°，AC=BC=6，
∴△ACB为等腰直角三角形，AB= AC=6 ，
∴∠A=45°，
在Rt△ADE中，设AE=x，则DE=x，AD=x，
在Rt△BED中，tan∠DBE= = ，
∴BE=5x，
∴x+5x=6 ，解得x= ，
∴AD= × =2．
故答案为：A．
【分析】由已知条件得到△ACB为等腰直角三角形，根据解直角三角形中正切的定义和勾股定理，求出AD的值.
9．（2016·绵阳）如图，△ABC中AB=AC=4，∠C=72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵△ABC中，AB=AC=4，∠C=72°，
∴∠ABC=∠C=72°，∠A=36°，
∵D是AB中点，DE⊥AB，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=36°，
∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=36°，
∠BEC=180°﹣∠EBC﹣∠C=72°，
∴∠BEC=∠C=72°，
∴BE=BC，
∴AE=BE=BC．
设AE=x，则BE=BC=x，EC=4﹣x．
在△BCE与△ABC中，
，
∴△BCE∽△ABC，
∴ = ，即 = ，
解得x=﹣2±2 （负值舍去），
∴AE=﹣2+2 ．
在△ADE中，∵∠ADE=90°，
∴cosA= = = ．
故选C．
【分析】先根据等腰三角形的性质与判定以及三角形内角和定理得出∠EBC=36°，∠BEC=72°，AE=BE=BC．再证明△BCE∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式 = ，求出AE，然后在△ADE中利用余弦函数定义求出cosA的值．
10．如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C= ，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（ ）
A．18cm2 B．12cm2 C．9cm2 D．3cm2
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵tan∠C= ，AB=6cm，
∴ = ，
∴BC=8，
由题意得：AP=t，BP=6﹣t，BQ=2t，
设△PBQ的面积为S，
则S= ×BP×BQ= ×2t×（6﹣t），
S=﹣t2+6t=﹣（t2﹣6t+9﹣9）=﹣（t﹣3）2+9，
P：0≤t≤6，Q：0≤t≤4，
∴当t=3时，S有最大值为9，
即当t=3时，△PBQ的最大面积为9cm2；
故答案为：C．
【分析】根据解直角三角形中正切的定义，求出BC的值，由三角形的面积公式得到二次函数，由顶点式得到最大面积.
二、填空题
11．△ABC中，AB=12，AC= ，∠B=30°，则△ABC的面积是 ．
【答案】21 或15
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：①如图1，作AD⊥BC，垂足为点D，
在Rt△ABD中，∵AB=12、∠B=30°，
∴AD= AB=6，BD=ABcosB=12× =6 ，
在Rt△ACD中，CD= = = ，
∴BC=BD+CD=6 + =7 ，
则S△ABC= ×BC×AD= ×7 ×6=21 ；
②如图2，作AD⊥BC，交BC延长线于点D，
由①知，AD=6、BD=6 、CD= ，
则BC=BD﹣CD=5 ，
∴S△ABC= ×BC×AD= ×5 ×6=15 ，
故答案为：21 或15 ．
【分析】由在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半和余弦的定义，求出AD、BD=ABcosB的值，再由勾股定理求出BC=BD+CD的值，得到S△ABC的面积.
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinB= ，D是BC上一点，DE⊥AB于E，CD=DE，AC+CD=9．则BC= ．
【答案】8
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：设DE为x，则CD=x，AC=9﹣x，
∵sinB= ，
∴BD= x，
tanB= ，
∴ = ，
= ，
解得x=3，
∴BC=x+ x=8，
故答案为8．
【分析】根据解直角三角形中正弦和正切的定义，求出BC的值.
13．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在Rt△ABC中，∠C=90°，若Rt△ABC是“好玩三角形”，则tanA= ．
【答案】 或
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：分两种情况：
①如图1，
BD是AC边上的中线，BD=AC．
设AD=DC=k，则BD=AC=2k．
在Rt△BCD中，∵∠C=90°，
∴BC= = k，
∴tanA= = = ；
②如图2，
AD是BC边上的中线，AD=BC．
设BD=DC=k，则AD=BC=2k．
在Rt△ACD中，∵∠C=90°，
∴AC= = k，
∴tanB= = = ，
∵∠CAB+∠B=90°，
∴tan∠CAB= = = ．
综上可知，所求值为 或 ．
故答案为 或 ．
【分析】由“好玩三角形”的定义、勾股定理和正切的定义，得到tanA的值.
14．（2017·平房模拟）如图所示，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=2，CD=8，AC⊥CD，若sin∠ACB= ，则cos∠ADC= ．
【答案】
【知识点】勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠B=90°，sin∠ACB= ，
∴ = ，
∵AB=2，
∴AC=6，
∵AC⊥CD，
∴∠ACD=90°，
∴AD= = =10，
∴cos∠ADC= = ．
故答案为： ．
【分析】首先在△ABC中，根据三角函数值计算出AC的长，再利用勾股定理计算出AD的长，然后根据余弦定义可算出cos∠ADC．
15．（2017·应城模拟）如图，AD⊥CD，∠ABD=60°，AB=4m，∠ACB=45°，则AC= ．
【答案】2 m
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABD中，∠D=90°，∠ABD=60°，AB=4m，
∴BD= AB=2m，AD= =2 m．
在Rt△ACD中，∠D=90°，∠ACD=45°，AD=2 m，
∴CD=AD=2 m，AC= =2 m．
故答案为：2 m．
【分析】在Rt△ABD中，由∠ABD=60°、AB=4m，即可求出BD、AD的长度，在Rt△ACD中，由∠ACD=45°，利用等腰三角形的性质结合勾股定理，即可求出AC的长度，此题得解．
16．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点D在AB上，点E在CA的延长线上，连接DC、DE，∠EDC=45°，BD=EC，DE=5 ，tan∠DCE= ，则CE= ．
【答案】10
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过E作EF⊥CD于F，
∵∠EDC=45°，
∴EF=DF= DE，
∵DE=5 ，
∴EF=5，
∵tan∠DCE= = ，
∴CF= ，
∴CE= = =10 ，
故答案为：10 ．
【分析】建立直角三角形，由已知条件和勾股定理，求出EF的值，再由正切tan∠DCE的值，得到CF的值，由勾股定理求出CE的值.
三、解答题
17．某游乐场部分平面图如图所示，C、E、A在同一直线上，D、E、B在同一直线上，测得A处与E处的距离为80 米，C处与D处的距离为34米，∠C=90°，∠ABE=90°，∠BAE=30°．（ ≈1.4， ≈1.7）
（1）求旋转木马E处到出口B处的距离；
（2）求海洋球D处到出口B处的距离（结果保留整数）．
【答案】（1）解：∵在Rt△ABE中，∠BAE=30°，
∴BE= AE= ×80=40（米）
（2）解：∵在Rt△ABE中，∠BAE=30°，
∴∠AEB=90°﹣30°=60°，
∴∠CED=∠AEB=60°，
∴在Rt△CDE中，DE= ≈ =40（米），
则BD=DE+BE=40+40=80（米）
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）由在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，求出BE= AE÷2的值；（2）根据解直角三角形中正弦的定义和特殊角的三角函数值，求出BD=DE+BE的值.
18．如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA= ，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．
（1）求线段CD的长；
（2）求cos∠ABE的值．
【答案】（1）解：在△ABC中，∵∠ACB=90°，
∴sinA= = ，
而BC=8，
∴AB=10，
∵D是AB中点，
∴CD= AB=5
（2）解：在Rt△ABC中，∵AB=10，BC=8，∴AC= =6，∵D是AB中点，∴BD=5，S△BDC=S△ADC，∴S△BDC= S△ABC，即 CD BE= AC BC，∴BE= = ，在Rt△BDE中，cos∠DBE= = = ，
即cos∠ABE的值为
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据解直角三角形中正弦的定义，求出AB的值，得到CD的值；（2）根据勾股定理和三角形的面积公式，求出BE的值，再由余弦的定义得到cos∠ABE的值.
2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：1.4 解直角三角形
一、选择题
1．在△ABC中，∠C=90°，BC=4， ，则边AC的长是（ ）
A． B．6 C． D．
2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC=，则BC的长是（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
3．（2017·三台模拟）如图，已知AD是等腰△ABC底边BC上的高，sinB= ，点E在AC上，且AE：EC=2：3，则tan∠ADE=（ ）
A． B． C． D．
4．如何求tan75°的值？按下列方法作图可解决问题，如图，在Rt△ABC中，AC=k，∠ACB=90°，∠ABC=30°，延长CB至点M，在射线BM上截取线段BD，使BD=AB，连接AD，依据此图可求得tan75°的值为（ ）
A．2 B．2+ C．1+ D．
5．已知在△ABC中，AB=14，BC=13，tanB= ，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
6．设a、b、c分别为△ABC中∠A，∠B和∠C的对边，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．在△ABC中，∠C=90°，tanA= ，△ABC的周长为60，那么△ABC的面积为（ ）
A．60 B．30 C．240 D．120
8．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA= ，则AD的长为（ ）
A．2 B． C． D．1
9．（2016·绵阳）如图，△ABC中AB=AC=4，∠C=72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C= ，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（ ）
A．18cm2 B．12cm2 C．9cm2 D．3cm2
二、填空题
11．△ABC中，AB=12，AC= ，∠B=30°，则△ABC的面积是 ．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinB= ，D是BC上一点，DE⊥AB于E，CD=DE，AC+CD=9．则BC= ．
13．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在Rt△ABC中，∠C=90°，若Rt△ABC是“好玩三角形”，则tanA= ．
14．（2017·平房模拟）如图所示，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=2，CD=8，AC⊥CD，若sin∠ACB= ，则cos∠ADC= ．
15．（2017·应城模拟）如图，AD⊥CD，∠ABD=60°，AB=4m，∠ACB=45°，则AC= ．
16．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点D在AB上，点E在CA的延长线上，连接DC、DE，∠EDC=45°，BD=EC，DE=5 ，tan∠DCE= ，则CE= ．
三、解答题
17．某游乐场部分平面图如图所示，C、E、A在同一直线上，D、E、B在同一直线上，测得A处与E处的距离为80 米，C处与D处的距离为34米，∠C=90°，∠ABE=90°，∠BAE=30°．（ ≈1.4， ≈1.7）
（1）求旋转木马E处到出口B处的距离；
（2）求海洋球D处到出口B处的距离（结果保留整数）．
18．如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA= ，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．
（1）求线段CD的长；
（2）求cos∠ABE的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，BC=4， ，
∴AB= =6，
根据勾股定理，得AC= = =2 ．
故答案为：A．
【分析】根据解直角三角形的定义求出AB的值，再根据勾股定理求出AC的值.
2．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，
∴BD=AD，
∴CD+BD=8，
∵cos∠BDC= ，
∴，
解得：CD=3，BD=5，
∴BC=4．
故选A．
【分析】根据垂直平分线的性质得出BD=AD，再利用cos∠BDC=，即可求出CD的长，再利用勾股定理求出BC的长．
3．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图．作EF∥CD交AD于F点．
∵sinB=sinC= = ，
∴设AD=4x，则AC=5x，CD=3x，
∵ = = ，
∴FD= x，AF= x．
∵ = = ，
∴EF= x．
∴tan∠ADE= = ，
故选：B．
【分析】作EF∥CD，根据sinB=sinC= 设AD=4x、AC=5x，知CD=3x，再由AE：EC=2：3分别表示出DF、AF、EF的长，继而可得∠ADE的正切值．
4．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AC=k，∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴AB=BD=2k，∠BAD=∠BDA=15°，BC= k，
∴∠CAD=∠CAB+∠BAD=75°，
在Rt△ACD中，CD=CB+BD= k+2k，
则tan75°=tan∠CAD= = =2+ ，
故答案为：B
【分析】根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半和勾股定理，得到各个边之间的关系，再根据三角函数的定义求出tan75°的值.
5．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
在Rt△BCD中，∵tanB= = ，
∴设CD=12x，BD=5x，
∵BC=13，
∴由BC2=BD2+CD2可得132=（5x）2+（12x）2，
解得：x=﹣1（舍）或x=1，
则BD=5，CD=12，
∵AB=14，
∴AD=9，
∴AC= = =15，
∴sinA= = = ，
故答案为：B．
【分析】根据tanB的值建立直角三角形，由勾股定理求出AC的值，再由正弦的定义得到sinA的值的值.
6．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作b边上的高AD，
则Rt△ACD中，
AD=AC sinC=bsinC，
△ABC的面积等于 absinC．
故答案为：C．
【分析】如图过点A作b边上的高AD，则在直角三角形ACD中，AD=AC sinC=bsinC，所以△ABC的面积等于 absinC．
7．【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，由tanA= ，
设BC=12x，AC=5x，根据勾股定理得：AB=13x，
由题意得：12x+5x+13x=60，
解得：x=2，
∴BC=24，AC=10，
则△ABC面积为120，
故选D
【分析】由tanA的值，利用锐角三角函数定义设出BC与AC，进而利用勾股定理表示出AB，由周长为60求出x的值，确定出两直角边，即可求出三角形面积．
8．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：作DE⊥AB于E，如图，
∵∠C=90°，AC=BC=6，
∴△ACB为等腰直角三角形，AB= AC=6 ，
∴∠A=45°，
在Rt△ADE中，设AE=x，则DE=x，AD=x，
在Rt△BED中，tan∠DBE= = ，
∴BE=5x，
∴x+5x=6 ，解得x= ，
∴AD= × =2．
故答案为：A．
【分析】由已知条件得到△ACB为等腰直角三角形，根据解直角三角形中正切的定义和勾股定理，求出AD的值.
9．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵△ABC中，AB=AC=4，∠C=72°，
∴∠ABC=∠C=72°，∠A=36°，
∵D是AB中点，DE⊥AB，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=36°，
∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=36°，
∠BEC=180°﹣∠EBC﹣∠C=72°，
∴∠BEC=∠C=72°，
∴BE=BC，
∴AE=BE=BC．
设AE=x，则BE=BC=x，EC=4﹣x．
在△BCE与△ABC中，
，
∴△BCE∽△ABC，
∴ = ，即 = ，
解得x=﹣2±2 （负值舍去），
∴AE=﹣2+2 ．
在△ADE中，∵∠ADE=90°，
∴cosA= = = ．
故选C．
【分析】先根据等腰三角形的性质与判定以及三角形内角和定理得出∠EBC=36°，∠BEC=72°，AE=BE=BC．再证明△BCE∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式 = ，求出AE，然后在△ADE中利用余弦函数定义求出cosA的值．
10．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵tan∠C= ，AB=6cm，
∴ = ，
∴BC=8，
由题意得：AP=t，BP=6﹣t，BQ=2t，
设△PBQ的面积为S，
则S= ×BP×BQ= ×2t×（6﹣t），
S=﹣t2+6t=﹣（t2﹣6t+9﹣9）=﹣（t﹣3）2+9，
P：0≤t≤6，Q：0≤t≤4，
∴当t=3时，S有最大值为9，
即当t=3时，△PBQ的最大面积为9cm2；
故答案为：C．
【分析】根据解直角三角形中正切的定义，求出BC的值，由三角形的面积公式得到二次函数，由顶点式得到最大面积.
11．【答案】21 或15
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：①如图1，作AD⊥BC，垂足为点D，
在Rt△ABD中，∵AB=12、∠B=30°，
∴AD= AB=6，BD=ABcosB=12× =6 ，
在Rt△ACD中，CD= = = ，
∴BC=BD+CD=6 + =7 ，
则S△ABC= ×BC×AD= ×7 ×6=21 ；
②如图2，作AD⊥BC，交BC延长线于点D，
由①知，AD=6、BD=6 、CD= ，
则BC=BD﹣CD=5 ，
∴S△ABC= ×BC×AD= ×5 ×6=15 ，
故答案为：21 或15 ．
【分析】由在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半和余弦的定义，求出AD、BD=ABcosB的值，再由勾股定理求出BC=BD+CD的值，得到S△ABC的面积.
12．【答案】8
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：设DE为x，则CD=x，AC=9﹣x，
∵sinB= ，
∴BD= x，
tanB= ，
∴ = ，
= ，
解得x=3，
∴BC=x+ x=8，
故答案为8．
【分析】根据解直角三角形中正弦和正切的定义，求出BC的值.
13．【答案】 或
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：分两种情况：
①如图1，
BD是AC边上的中线，BD=AC．
设AD=DC=k，则BD=AC=2k．
在Rt△BCD中，∵∠C=90°，
∴BC= = k，
∴tanA= = = ；
②如图2，
AD是BC边上的中线，AD=BC．
设BD=DC=k，则AD=BC=2k．
在Rt△ACD中，∵∠C=90°，
∴AC= = k，
∴tanB= = = ，
∵∠CAB+∠B=90°，
∴tan∠CAB= = = ．
综上可知，所求值为 或 ．
故答案为 或 ．
【分析】由“好玩三角形”的定义、勾股定理和正切的定义，得到tanA的值.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠B=90°，sin∠ACB= ，
∴ = ，
∵AB=2，
∴AC=6，
∵AC⊥CD，
∴∠ACD=90°，
∴AD= = =10，
∴cos∠ADC= = ．
故答案为： ．
【分析】首先在△ABC中，根据三角函数值计算出AC的长，再利用勾股定理计算出AD的长，然后根据余弦定义可算出cos∠ADC．
15．【答案】2 m
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABD中，∠D=90°，∠ABD=60°，AB=4m，
∴BD= AB=2m，AD= =2 m．
在Rt△ACD中，∠D=90°，∠ACD=45°，AD=2 m，
∴CD=AD=2 m，AC= =2 m．
故答案为：2 m．
【分析】在Rt△ABD中，由∠ABD=60°、AB=4m，即可求出BD、AD的长度，在Rt△ACD中，由∠ACD=45°，利用等腰三角形的性质结合勾股定理，即可求出AC的长度，此题得解．
16．【答案】10
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过E作EF⊥CD于F，
∵∠EDC=45°，
∴EF=DF= DE，
∵DE=5 ，
∴EF=5，
∵tan∠DCE= = ，
∴CF= ，
∴CE= = =10 ，
故答案为：10 ．
【分析】建立直角三角形，由已知条件和勾股定理，求出EF的值，再由正切tan∠DCE的值，得到CF的值，由勾股定理求出CE的值.
17．【答案】（1）解：∵在Rt△ABE中，∠BAE=30°，
∴BE= AE= ×80=40（米）
（2）解：∵在Rt△ABE中，∠BAE=30°，
∴∠AEB=90°﹣30°=60°，
∴∠CED=∠AEB=60°，
∴在Rt△CDE中，DE= ≈ =40（米），
则BD=DE+BE=40+40=80（米）
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）由在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，求出BE= AE÷2的值；（2）根据解直角三角形中正弦的定义和特殊角的三角函数值，求出BD=DE+BE的值.
18．【答案】（1）解：在△ABC中，∵∠ACB=90°，
∴sinA= = ，
而BC=8，
∴AB=10，
∵D是AB中点，
∴CD= AB=5
（2）解：在Rt△ABC中，∵AB=10，BC=8，∴AC= =6，∵D是AB中点，∴BD=5，S△BDC=S△ADC，∴S△BDC= S△ABC，即 CD BE= AC BC，∴BE= = ，在Rt△BDE中，cos∠DBE= = = ，
即cos∠ABE的值为
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据解直角三角形中正弦的定义，求出AB的值，得到CD的值；（2）根据勾股定理和三角形的面积公式，求出BE的值，再由余弦的定义得到cos∠ABE的值.
