2018-2019学年数学华师大版九年级上册22.2.4 一元二次方程根的判别式 同步练习
一、选择题
1．下列方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣4x+4=0 B．x2﹣2x+5=0 C．x2﹣2x=0 D．x2﹣2x﹣3=0
2．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（ ）
A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
3．（2017九上·商水期末）若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，则c的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4
4．若关于x的方程x2+x﹣a+ =0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥2 B．a≤2 C．a＞2 D．a＜2
5．（2017·乌鲁木齐模拟）若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是（ ）
A．1 B．0，1 C．1，2 D．1，2，3
6．判断一元二次方程式x2﹣8x﹣a=0中的a为下列哪一个数时，可使得此方程式的两根均为整数？（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
7．（2016九下·大庆期末）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．若a满足不等式组 ，则关于x的方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+ =0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．以上三种情况都有可能
二、填空题
9．关于x的方程kx2﹣4x﹣ =0有实数根，则k的取值范围是 ．
10．若一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0没有实数根，则m的取值范围是 ．
11．关于x的方程mx2+x﹣m+1=0，有以下三个结论：①当m=0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是 （填序号）．
12．（2017·高唐模拟）关于x的方程kx2﹣4x﹣4=0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为 ．
13．等腰三角形三边长分别为 ，且是关于 的一元二次方程 的两根，则n的值为
14．若关于x的方程x2－mx＋m＝0有两个相等实根，则代数式2m2－8m＋1的值为 ．
15．已知a，b，c是△ABC的三边长，若方程(a－c)x2＋2bx＋a＋c=0有两个相等的实数根，则△ABC是 三角形．
16．从3，0，﹣1，﹣2，﹣3这五个数中抽取一个数，作为函数y=（5﹣m2）x和关于x的一元二次方程（m+1）x2+mx+1=0中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是 ．
三、解答题
17．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
18．已知：关于x的方程x2+2mx+m2-1=0
（1）不解方程，判别方程根的情况；
（2）若方程有一个根为3，求m的值．
19．（2018·仙桃）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2=0．
（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2=21，求m的值．
20．已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）已知方程的一个根为x=0，求代数式（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5的值（要求先化简再求值）．
21．已知关于x的一元二次方程(a+b)x2+2cx+(b-a)=0，其中a、b、c分别为 三边的长.
（1）如果 是方程的根，试判断 的形状，并说明理由.
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断 的形状，并说明理由.
（3）如果 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、x2﹣4x+4=0，△=16﹣16=0有相同的根；
B、x2﹣2x+5=0，△=4﹣20＜0没有实数根；
C、x2﹣2x=0，△=4﹣0＞0有两个不等实数根；
D、x2﹣2x﹣3=0，△=4+12＞0有两个不等实数根．
故答案为：B
【分析】由题意计算的值，若，一元二次方程有两个不相等的实数根；若，一元二次方程有两个相等的实数根；若，一元二次方程没有实数根。
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故答案为：B
【分析】由题意计算-4ac 的值，若-4ac>0 ，一元二次方程有两个不相等的实数根；若-4ac=0 ，一元二次方程有两个相等的实数根；若-4ac<0 ，一元二次方程没有实数根。
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，
∴△=42﹣4×4c=0，
∴c=1，
故选B．
【分析】根据判别式的意义得到△=42﹣4×4c=0，然后解一次方程即可．
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得△=12﹣4（﹣a+ ）＞0，
解得a＞2．
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程的根的判别式可得，将a、b、c的值代入不等式并解不等式即可求解。
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得：△=16﹣12k≥0，且k≠0，
解得：k≤ ，
则k的非负整数值为1或0．
∵k≠0，
∴k=1．
故选：A．
【分析】根据方程有实数根，由一元二次方程的根的判别式可得，列出关于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范围，即可确定出k的非负整数值．
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程式x2﹣8x﹣a=0的两个根均为整数，
∴△=64+4a，△的值若可以被开平方即可，
A、△=64+4×12=102， = ，不符合题意；
B、△=64+4×16=128， ，不符合题意；
C、△=64+4×20=144， =12，符合题意；
D、△=64+4×24=160， ，不符合题意，
故答案为：C．
【分析】由题意将四个选项中的值分别代入计算，若的值是一个非负整数的平方，即符合题意，反之不符合题意。
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=4﹣4（kb+1）＞0，
解得kb＜0，
A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确；
B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确；
C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确；
D．k＜0，b=0，即kb=0，故D不正确；
故选：B．
【分析】根据一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，得到判别式大于0，求出kb的符号，对各个图象进行判断即可．
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：解不等式组 得a＜﹣3，
∵△=（2a﹣1）2﹣4（a﹣2）（a+ ）=2a+5，
∵a＜﹣3，
∴△=2a+5＜0，
∴方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+ =0没有实数根，
故答案为：C．
【分析】由题意解不等式组可得a的范围，再根据一元二次方程的根的判别式的值即可判断。
9．【答案】k≥﹣6
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：当k=0时，﹣4x﹣ =0，解得x=﹣ ，
当k≠0时，方程kx2﹣4x﹣ =0是一元二次方程，
根据题意可得：△=16﹣4k×（﹣ ）≥0，
解得k≥﹣6，k≠0，
综上k≥﹣6，
故答案为k≥﹣6
【分析】因为关于x的方程kx2﹣4x﹣ =0有实数根，所以根据一元二次方程的根的判别式可得，将a、b、c的值代入即可求解。
10．【答案】m＜
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0没有实数根，
∴△=16﹣4（m﹣1）×（﹣5）＜0，且m﹣1≠0，
∴m＜ ．
故答案为：m＜
【分析】因为一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0没有实数根，根据一元二次方程的根的判别式可得，，将a、b、c的值代入即可求解。
11．【答案】①③
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：当m=0时，x=﹣1，方程只有一个解，①正确；
当m≠0时，方程mx2+x﹣m+1=0是一元二次方程，△=1﹣4m（1﹣m）=1﹣4m+4m2=（2m﹣1）2≥0，方程有两个实数解，②错误；
把mx2+x﹣m+1=0分解为（x+1）（mx﹣m+1）=0，
当x=﹣1时，m﹣1﹣m+1=0，即x=﹣1是方程mx2+x﹣m+1=0的根，③正确；
故答案为①③
【分析】①当m=0时，关于x的方程时一个一元一次方程，方程只有一个解；
②当m≠0时，计算的值，结合已学的知识可判断符号，再根据一元二次方程的根的判别式即可求解；
③用公式法或因式分解法可求得一元二次方程的两个根，其中一个根是-1，即可得无论m取何值，方程都有一个负数解。
12．【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程kx2﹣4x﹣4=0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且b2﹣4ac＞0，即 ，解得k＞﹣1且k≠0，
∴k的最小整数值为：1．
故答案为：1．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且b2﹣4ac＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
13．【答案】10
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】当a=2或b=2时，把x=2代入x2-6x+n-1=0得4-12+n-1=0，解得n=9，此时方程的根为2和4，而2+2=4，故舍去；
当a=b时，△=（-6）2-4×（n-1）=0，解得n=10，
所以n为10．
【分析】根据等腰三角形的性质可得：a=2，或b=2或a=b，①a=2，或b=2时，将x=2代入方程可求得n的值；
②当a=b时，根据一元二次方程的根的判别式可得，将a、b、c的值代入即可求解。
14．【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵关于x的方程x2－mx＋m＝0有两个相等实数根，
∴△＝(－m)2－4m＝m2－4m＝0，
∴2m2－8m＋1＝2(m2－4m)＋1＝1．
故答案为：1．
【分析】因为关于x的方程x2－mx＋m＝0有两个相等实数根，所以根据一元二次方程的根的判别式可得，将a、b、c的值代入即可求解。
15．【答案】直角
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵方程由两个相等的实数根，∴Δ=b2－4ac=0，∴（2b）2－4（a－c）（a+c）=0，整理可得a2=b2+c2，所以△ABC是直角三角形.
故答案为直角
【分析】因为方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程的根的判别式可得，代入可得（2b）2－4（a－c）（a+c）=0，整理可得a2=b2+c2，根据勾股定理的逆定理即可判断。
16．【答案】-2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵函数y=（5﹣m2）x的图象经过第一、三象限，
∴5﹣m2＞0，
解得：﹣ ＜m＜ ，
∵关于x的一元二次方程（m+1）x2+mx+1=0有实数根，
∴m2﹣4（m+1）≥0，
∴m≥2+2 或m≤2﹣2 ，
∴使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根的m的值有为﹣2，
故答案为：﹣2
【分析】由题意知，函数图象过第一、三象限，所以5，解不等式得m的范围；再根据一元二次方程有实数根可得，又可得m的范围；根据这两个m的范围和已知的5个数即可求解。
17．【答案】（1）证明：△=（m+2）2﹣8m
=m2﹣4m+4
=（m﹣2）2，
∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，
∴△≥0，
∴方程总有实数根
（2）解：解方程得，x= ，
x1= ，x2=1，
∵方程有两个不相等的正整数根，
∴m=1或2，m=2不合题意，
∴m=1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）要证方程总有两个不相等的实数根，由一元二次方程的根的判别式可知，只需证 即可；
（2）结合（1）中的结论，用公式法求得一元二次方程的解，再根据方程有两个不相等的正整数根的意义即可求得m的值。
18．【答案】（1）解：∵a=1，b=2m，c= m2-1，
∵△=b2-4ac=（2m）2-4×1×（m2-1）=4＞0，
∴方程x2+2mx+m2-1=0有两个不相等的实数根
（2）解：∵x2+2mx+m2-1=0有一个根是3，
∴32+2m×3+ m2-1=0，
解得，m=-4或m=-2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）由题意计算的值，根据一元二次方程的根的判别式，若，方程有两个不相等的实数根；若，方程有两个相等的实数根；若，方程没有实数根；
（2）由题意把x=3代入方程即可求解。
19．【答案】（1）解：根据题意得△=（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，
解得m≥﹣ ，
所以m的最小整数值为﹣2
（2）解：根据题意得x1+x2=﹣（2m+1），x1x2=m2﹣2，
∵（x1﹣x2）2+m2=21，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2=21，
∴（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2=21，
整理得m2+4m﹣12=0，解得m1=2，m2=﹣6，
∵m≥﹣ ，
∴m的值为2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据关于x的一元二次方程有两个实数根，故判别式的值应该大于等于0，从而得出不等式，然后解不等式得到m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2=﹣（2m+1），x1x2=m2﹣2，再利用（x1﹣x2)2+m2=21，g根据完全平方公式的恒等变形得到（x1+x2）2﹣4x1x2+m2=21，再整体代入得出关于m的方程，接着解关于m的方程，然后利用（1）中m的范围确定m的值．
20．【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．
∴△=（2m+1）2﹣4m（m+1）=1＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根
（2）解：∵x=0是此方程的一个根，
∴把x=0代入方程中得到m（m+1）=0，
∴m=0或m=﹣1，
∵（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5=4m2﹣4m+1+9﹣m2+7m﹣5=3m2+3m+5，
把m=0代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=5；
把m=﹣1代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=3×1﹣3+5=5
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）要证方程总有两个不相等的实数根，由一元二次方程的根的判别式可知，只需证即可；
（2）由题意把x=0代入方程中得到关于m的方程，解这个方程即可求得m的值，再将m的值代入所求代数式即可求解。
21．【答案】（1）解：△ABC是等腰三角形，理由：当x=-1时，（a+b）-2c+（b-a）=0，∴b=c，
∴△ABC是等腰三角形
（2）解：△ABC是直角三角形，理由：∵方程有两个相等的实数根，∴△=（2c）2-4（a+b）（b-a）=0，
∴a2+c2=b2，
∴△ABC是直角三角形
（3）解：∵△ABC是等边三角形，∴a=b=c，
∴原方程可化为：2ax2+2ax=0，
即：x2+x=0，∴x（x+1）=0，
∴x1=0，x2=-1，
即：这个一元二次方程的根为x1=0，x2=-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）由题意将x=-1代入方程可得（a+b）-2c+（b-a）=0，整理得b=c，根据等腰三角形的定义可知，△ABC是等腰三角形；
（2）由一元二次方程的根的判别式可得，方程有两个相等的实数根，则，即（2c）2-4（a+b）（b-a）=0，整理得a2+c2=b2，根据勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形；
（3）由等边三角形的性质可知，a=b=c，代入方程可得2ax2+2ax=0，解得x1=0，x2=-1。
2018-2019学年数学华师大版九年级上册22.2.4 一元二次方程根的判别式 同步练习
一、选择题
1．下列方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣4x+4=0 B．x2﹣2x+5=0 C．x2﹣2x=0 D．x2﹣2x﹣3=0
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、x2﹣4x+4=0，△=16﹣16=0有相同的根；
B、x2﹣2x+5=0，△=4﹣20＜0没有实数根；
C、x2﹣2x=0，△=4﹣0＞0有两个不等实数根；
D、x2﹣2x﹣3=0，△=4+12＞0有两个不等实数根．
故答案为：B
【分析】由题意计算的值，若，一元二次方程有两个不相等的实数根；若，一元二次方程有两个相等的实数根；若，一元二次方程没有实数根。
2．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（ ）
A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故答案为：B
【分析】由题意计算-4ac 的值，若-4ac>0 ，一元二次方程有两个不相等的实数根；若-4ac=0 ，一元二次方程有两个相等的实数根；若-4ac<0 ，一元二次方程没有实数根。
3．（2017九上·商水期末）若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，则c的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，
∴△=42﹣4×4c=0，
∴c=1，
故选B．
【分析】根据判别式的意义得到△=42﹣4×4c=0，然后解一次方程即可．
4．若关于x的方程x2+x﹣a+ =0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥2 B．a≤2 C．a＞2 D．a＜2
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得△=12﹣4（﹣a+ ）＞0，
解得a＞2．
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程的根的判别式可得，将a、b、c的值代入不等式并解不等式即可求解。
5．（2017·乌鲁木齐模拟）若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是（ ）
A．1 B．0，1 C．1，2 D．1，2，3
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得：△=16﹣12k≥0，且k≠0，
解得：k≤ ，
则k的非负整数值为1或0．
∵k≠0，
∴k=1．
故选：A．
【分析】根据方程有实数根，由一元二次方程的根的判别式可得，列出关于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范围，即可确定出k的非负整数值．
6．判断一元二次方程式x2﹣8x﹣a=0中的a为下列哪一个数时，可使得此方程式的两根均为整数？（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程式x2﹣8x﹣a=0的两个根均为整数，
∴△=64+4a，△的值若可以被开平方即可，
A、△=64+4×12=102， = ，不符合题意；
B、△=64+4×16=128， ，不符合题意；
C、△=64+4×20=144， =12，符合题意；
D、△=64+4×24=160， ，不符合题意，
故答案为：C．
【分析】由题意将四个选项中的值分别代入计算，若的值是一个非负整数的平方，即符合题意，反之不符合题意。
7．（2016九下·大庆期末）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=4﹣4（kb+1）＞0，
解得kb＜0，
A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确；
B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确；
C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确；
D．k＜0，b=0，即kb=0，故D不正确；
故选：B．
【分析】根据一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，得到判别式大于0，求出kb的符号，对各个图象进行判断即可．
8．若a满足不等式组 ，则关于x的方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+ =0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．以上三种情况都有可能
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：解不等式组 得a＜﹣3，
∵△=（2a﹣1）2﹣4（a﹣2）（a+ ）=2a+5，
∵a＜﹣3，
∴△=2a+5＜0，
∴方程（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a+ =0没有实数根，
故答案为：C．
【分析】由题意解不等式组可得a的范围，再根据一元二次方程的根的判别式的值即可判断。
二、填空题
9．关于x的方程kx2﹣4x﹣ =0有实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】k≥﹣6
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：当k=0时，﹣4x﹣ =0，解得x=﹣ ，
当k≠0时，方程kx2﹣4x﹣ =0是一元二次方程，
根据题意可得：△=16﹣4k×（﹣ ）≥0，
解得k≥﹣6，k≠0，
综上k≥﹣6，
故答案为k≥﹣6
【分析】因为关于x的方程kx2﹣4x﹣ =0有实数根，所以根据一元二次方程的根的判别式可得，将a、b、c的值代入即可求解。
10．若一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0没有实数根，则m的取值范围是 ．
【答案】m＜
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0没有实数根，
∴△=16﹣4（m﹣1）×（﹣5）＜0，且m﹣1≠0，
∴m＜ ．
故答案为：m＜
【分析】因为一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0没有实数根，根据一元二次方程的根的判别式可得，，将a、b、c的值代入即可求解。
11．关于x的方程mx2+x﹣m+1=0，有以下三个结论：①当m=0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是 （填序号）．
【答案】①③
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：当m=0时，x=﹣1，方程只有一个解，①正确；
当m≠0时，方程mx2+x﹣m+1=0是一元二次方程，△=1﹣4m（1﹣m）=1﹣4m+4m2=（2m﹣1）2≥0，方程有两个实数解，②错误；
把mx2+x﹣m+1=0分解为（x+1）（mx﹣m+1）=0，
当x=﹣1时，m﹣1﹣m+1=0，即x=﹣1是方程mx2+x﹣m+1=0的根，③正确；
故答案为①③
【分析】①当m=0时，关于x的方程时一个一元一次方程，方程只有一个解；
②当m≠0时，计算的值，结合已学的知识可判断符号，再根据一元二次方程的根的判别式即可求解；
③用公式法或因式分解法可求得一元二次方程的两个根，其中一个根是-1，即可得无论m取何值，方程都有一个负数解。
12．（2017·高唐模拟）关于x的方程kx2﹣4x﹣4=0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为 ．
【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的方程kx2﹣4x﹣4=0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且b2﹣4ac＞0，即 ，解得k＞﹣1且k≠0，
∴k的最小整数值为：1．
故答案为：1．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且b2﹣4ac＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
13．等腰三角形三边长分别为 ，且是关于 的一元二次方程 的两根，则n的值为
【答案】10
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】当a=2或b=2时，把x=2代入x2-6x+n-1=0得4-12+n-1=0，解得n=9，此时方程的根为2和4，而2+2=4，故舍去；
当a=b时，△=（-6）2-4×（n-1）=0，解得n=10，
所以n为10．
【分析】根据等腰三角形的性质可得：a=2，或b=2或a=b，①a=2，或b=2时，将x=2代入方程可求得n的值；
②当a=b时，根据一元二次方程的根的判别式可得，将a、b、c的值代入即可求解。
14．若关于x的方程x2－mx＋m＝0有两个相等实根，则代数式2m2－8m＋1的值为 ．
【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵关于x的方程x2－mx＋m＝0有两个相等实数根，
∴△＝(－m)2－4m＝m2－4m＝0，
∴2m2－8m＋1＝2(m2－4m)＋1＝1．
故答案为：1．
【分析】因为关于x的方程x2－mx＋m＝0有两个相等实数根，所以根据一元二次方程的根的判别式可得，将a、b、c的值代入即可求解。
15．已知a，b，c是△ABC的三边长，若方程(a－c)x2＋2bx＋a＋c=0有两个相等的实数根，则△ABC是 三角形．
【答案】直角
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵方程由两个相等的实数根，∴Δ=b2－4ac=0，∴（2b）2－4（a－c）（a+c）=0，整理可得a2=b2+c2，所以△ABC是直角三角形.
故答案为直角
【分析】因为方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程的根的判别式可得，代入可得（2b）2－4（a－c）（a+c）=0，整理可得a2=b2+c2，根据勾股定理的逆定理即可判断。
16．从3，0，﹣1，﹣2，﹣3这五个数中抽取一个数，作为函数y=（5﹣m2）x和关于x的一元二次方程（m+1）x2+mx+1=0中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是 ．
【答案】-2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵函数y=（5﹣m2）x的图象经过第一、三象限，
∴5﹣m2＞0，
解得：﹣ ＜m＜ ，
∵关于x的一元二次方程（m+1）x2+mx+1=0有实数根，
∴m2﹣4（m+1）≥0，
∴m≥2+2 或m≤2﹣2 ，
∴使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根的m的值有为﹣2，
故答案为：﹣2
【分析】由题意知，函数图象过第一、三象限，所以5，解不等式得m的范围；再根据一元二次方程有实数根可得，又可得m的范围；根据这两个m的范围和已知的5个数即可求解。
三、解答题
17．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
【答案】（1）证明：△=（m+2）2﹣8m
=m2﹣4m+4
=（m﹣2）2，
∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，
∴△≥0，
∴方程总有实数根
（2）解：解方程得，x= ，
x1= ，x2=1，
∵方程有两个不相等的正整数根，
∴m=1或2，m=2不合题意，
∴m=1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）要证方程总有两个不相等的实数根，由一元二次方程的根的判别式可知，只需证 即可；
（2）结合（1）中的结论，用公式法求得一元二次方程的解，再根据方程有两个不相等的正整数根的意义即可求得m的值。
18．已知：关于x的方程x2+2mx+m2-1=0
（1）不解方程，判别方程根的情况；
（2）若方程有一个根为3，求m的值．
【答案】（1）解：∵a=1，b=2m，c= m2-1，
∵△=b2-4ac=（2m）2-4×1×（m2-1）=4＞0，
∴方程x2+2mx+m2-1=0有两个不相等的实数根
（2）解：∵x2+2mx+m2-1=0有一个根是3，
∴32+2m×3+ m2-1=0，
解得，m=-4或m=-2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）由题意计算的值，根据一元二次方程的根的判别式，若，方程有两个不相等的实数根；若，方程有两个相等的实数根；若，方程没有实数根；
（2）由题意把x=3代入方程即可求解。
19．（2018·仙桃）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2=0．
（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2=21，求m的值．
【答案】（1）解：根据题意得△=（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，
解得m≥﹣ ，
所以m的最小整数值为﹣2
（2）解：根据题意得x1+x2=﹣（2m+1），x1x2=m2﹣2，
∵（x1﹣x2）2+m2=21，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2=21，
∴（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2=21，
整理得m2+4m﹣12=0，解得m1=2，m2=﹣6，
∵m≥﹣ ，
∴m的值为2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据关于x的一元二次方程有两个实数根，故判别式的值应该大于等于0，从而得出不等式，然后解不等式得到m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2=﹣（2m+1），x1x2=m2﹣2，再利用（x1﹣x2)2+m2=21，g根据完全平方公式的恒等变形得到（x1+x2）2﹣4x1x2+m2=21，再整体代入得出关于m的方程，接着解关于m的方程，然后利用（1）中m的范围确定m的值．
20．已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）已知方程的一个根为x=0，求代数式（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5的值（要求先化简再求值）．
【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．
∴△=（2m+1）2﹣4m（m+1）=1＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根
（2）解：∵x=0是此方程的一个根，
∴把x=0代入方程中得到m（m+1）=0，
∴m=0或m=﹣1，
∵（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5=4m2﹣4m+1+9﹣m2+7m﹣5=3m2+3m+5，
把m=0代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=5；
把m=﹣1代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=3×1﹣3+5=5
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）要证方程总有两个不相等的实数根，由一元二次方程的根的判别式可知，只需证即可；
（2）由题意把x=0代入方程中得到关于m的方程，解这个方程即可求得m的值，再将m的值代入所求代数式即可求解。
21．已知关于x的一元二次方程(a+b)x2+2cx+(b-a)=0，其中a、b、c分别为 三边的长.
（1）如果 是方程的根，试判断 的形状，并说明理由.
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断 的形状，并说明理由.
（3）如果 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
【答案】（1）解：△ABC是等腰三角形，理由：当x=-1时，（a+b）-2c+（b-a）=0，∴b=c，
∴△ABC是等腰三角形
（2）解：△ABC是直角三角形，理由：∵方程有两个相等的实数根，∴△=（2c）2-4（a+b）（b-a）=0，
∴a2+c2=b2，
∴△ABC是直角三角形
（3）解：∵△ABC是等边三角形，∴a=b=c，
∴原方程可化为：2ax2+2ax=0，
即：x2+x=0，∴x（x+1）=0，
∴x1=0，x2=-1，
即：这个一元二次方程的根为x1=0，x2=-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）由题意将x=-1代入方程可得（a+b）-2c+（b-a）=0，整理得b=c，根据等腰三角形的定义可知，△ABC是等腰三角形；
（2）由一元二次方程的根的判别式可得，方程有两个相等的实数根，则，即（2c）2-4（a+b）（b-a）=0，整理得a2+c2=b2，根据勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形；
（3）由等边三角形的性质可知，a=b=c，代入方程可得2ax2+2ax=0，解得x1=0，x2=-1。
