2017年西藏山南二中高考数学三模试卷（理科）
一、选择题
1．（2017·山南模拟）若A={x|2＜2x＜16，x∈Z}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B中元素个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2017·山南模拟）若（1+2ai） i=1﹣bi，其中a，b∈R，则|a+bi|=（ ）
A． B． C． D．
3．（2016高一下·海南期中）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a4+a6=12，则S7的值是（ ）
A．21 B．24 C．28 D．7
4．（2017·山南模拟）已知函数y=sin（ωx﹣2）（ω＞0）的最小正周期为 ，要得到y=sin（ωx﹣2）的图象，只要将函数y=sinωx的图象（ ）
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
5．（2017·荆州模拟）抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2﹣ =1的渐近线的距离是（ ）
A． B． C．1 D．
6．（2017·山南模拟）已知O是坐标原点，点A（﹣2，1），若点M（x，y）为平面区域 上的一个动点，则 的取值范围是（ ）
A．[﹣1，0] B．[﹣1，2] C．[0，1] D．[0，2]
7．（2017·山南模拟）三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．16
8．（2017·山南模拟）程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（ ）
A． B．﹣3 C． D．2
9．（2017·山南模拟）设偶函数f（x）的定义域为R，f（2）=﹣3，对于任意的x≥0，都有f′（x）＞2x，则不等式f（x）＜x2﹣7的解集为（ ）
A．（﹣2，+∞） B．（﹣2，2）
C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，+∞）
10．（2017·山南模拟）已知正项等比数列{an}满足：a7=a6+2a5，若存在两项am、an使得 =4a1，则 + 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2017·山南模拟）已知函数f（x）=x2+2x+1﹣2x，则y=f（x）的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
12．（2017·山南模拟）已知向量 ， 满足| |=2| |≠0，且关于x的函数f（x）= x3+ | |x2+ x在R上有极值，则 与 的夹角的取值范围为（ ）
A．（ ，π] B．[ ，π]
C．（0， ] D．（ ， ]
二、填空题
13．（2017·山南模拟）已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6= ．
14．（2017·山南模拟）设a= cosxdx，则二项式（x2+ ）6展开式中的x3项的系数为 ．
15．（2017·山南模拟）已知F是椭圆 + =1（a＞b＞0）的右焦点，过点F作斜率为2的直线l使它与圆x2+y2=b2相切，则椭圆离心率是 ．
16．（2017·山南模拟）函数f（x）= ，若方程f（x）=mx﹣ 恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ．
三、解答题
17．（2017·山南模拟）已知函数f（x）=sin（2x﹣ ）+2cos2x﹣1．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a=1，b+c=2，f（A）= ，求△ABC的面积．
18．（2017·山南模拟）如图，在四棱锥中S﹣ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB=3，
平面SAD⊥平面ABCD，E是线段AD上一点，AE=ED= ，SE⊥AD．
（1）证明：平面SBE⊥平面SEC
（2）若SE=1，求直线CE与平面SBC所成角的正弦值．
19．（2017·山南模拟）为了推进国家“民生工程”，某市政府现提供一批经济适用房来保障居民住房．现有条件相同的甲、乙、丙、丁4套住房供A，B，C3人申请，且他们的申请是相互独立的．
（1）求A，B两人不申请同一套住房的概率；
（2）设3名申请人中申请甲套住房的人数为X，求X的分布列和数学期望．
20．（2017·山南模拟）已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的一个顶点为（0，1），且离心率为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）从x2+y2=16上一点P向椭圆C引两条切线，切点分别为A，B，当直线AB与x轴、y轴分别交于M、N两点时，求|MN|的最小值．
21．（2017·山南模拟）已知函数 ．
（1）若曲线y=f（x）在P（1，y0）处的切线平行于直线y=﹣x+1，求函数y=f（x）的单调区间；
（2）若a＞0，且对x∈（0，2e]时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．
22．（2017·山南模拟）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为 ，（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=4cosθ．
（Ⅰ）求圆C在直角坐标系中的方程；
（Ⅱ）若圆C与直线l相切，求实数a的值．
23．（2017·山南模拟）已知函数f（x）=|x﹣m|﹣2|x﹣1|（m∈R）
（1）当m=3时，求函数f（x）的最大值；
（2）解关于x的不等式f（x）≥0．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：∵2＜2x＜16
解得：1＜x＜4，
∴A={x|1＜x＜4，x∈Z}={2，3}，
∵B={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，
∴A∩B={2}，
故选B
【分析】首先化简集合A和B，然后求出A∩B，即可得出答案．
2．【答案】C
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：∵（1+2ai） i=1﹣bi，其中a，b∈R，
∴i﹣2a=1﹣bi，
∴﹣2a=1，﹣b=1，
解得a=﹣ ，b=﹣1，
则|a+bi|=|﹣ ﹣i|= = ．
故选：C．
【分析】利用复数的运算法则、复数相等、模的计算公式即可得出．
3．【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：∵a2+a4+a6=12，
∴a2+a4+a6=12=3a4=12，
即a4=4，
则S7= ，
故选：C．
【分析】根据等差数列的性质由a2+a4+a6=12得到a4=4，然后根据等差数列的前n项和公式，即可得到结论．
4．【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：∵函数y=sin（ωx﹣2）（ω＞0）的最小正周期为 ，
∴ = ，解得ω=3，
∵y=sin（3x﹣2）=sin3（x﹣ ），
∴要得到y=sin（3x﹣2）的图象，只要将函数y=sin3x的图象向右平移 个单位即可．
故选：D．
【分析】由条件利用三角函数周期公式可求ω，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
5．【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：∵抛物线方程为y2=4x
∴2p=4，可得 =1，抛物线的焦点F（1，0）
又∵双曲线的方程为
∴a2=1且b2=3，可得a=1且b= ，
双曲线的渐近线方程为y=± ，即y=± x，
化成一般式得： ．
因此，抛物线y2=4x的焦点到双曲线渐近线的距离为d= =
故选：B
【分析】根据抛物线的标准方程，算出抛物线的焦点F（1，0）．由双曲线标准方程，算出它的渐近线方程为y=± x，化成一般式得： ，再用点到直线的距离公式即可算出所求距离．
6．【答案】B
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
z= ，
∵A（﹣2，1），M（x，y），
∴z= =﹣2x+y，
即y=2x+z，
平移直线y=2x+z，由图象可知当y=2x+z，经过点A（1，1）时，直线截距最小，此时z最小为z=﹣2+1=﹣1．
经过点B（0，2）时，直线截距最大，此时z最大．此时z=2，
即﹣1≤z≤2，
故选：B．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z= ，求出z的表达式，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．
7．【答案】B
【知识点】简单空间图形的三视图
【解析】【解答】解：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，
且底面△ABC为等腰三角形，
在△ABC中AC=4，AC边上的高为2 ，
故BC=4，
在Rt△SBC中，由SC=4，
可得SB=4 ，
故选B
【分析】由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，底面△ABC为等腰三角形，SC=4，△ABC中AC=4，AC边上的高为2 ，进而根据勾股定理得到答案．
8．【答案】C
【知识点】程序框图
【解析】【解答】解：模拟执行程序框图，可得
S=2，i=1
满足条件i≤2014，S=﹣3，i=2
满足条件i≤2014，S=﹣ ，i=3
满足条件i≤2014，S= ，i=4
满足条件i≤2014，S=2，i=5
满足条件i≤2014，S=﹣3，i=6
…
观察可得S的取值周期为4，由2014=503×4+2，可得
满足条件i≤2014，S=﹣3，i=2014
满足条件i≤2014，S=﹣ ，i=2015
不满足条件i≤2014，退出循环，输出S的值为﹣ ．
故选：C．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S的值，当i=2015时，不满足条件i≤2014，退出循环，输出S的值为﹣ ．
9．【答案】B
【知识点】奇偶性与单调性的综合；函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】解：构造函数g（x）=f（x）﹣x2，则g（2）=f（2）﹣4=﹣7，
∵g′（x）=f′（x）﹣2x，对于任意的x≥0，都有f′（x）＞2x，
∴g（x）在[0，+∞）上单调递增，
∵f（x）是偶函数，
∴g（x）是偶函数，
f（x）＜x2﹣7可化为g（x）＜g（2），
∴|x|＜2，
∴﹣2＜x＜2，
故选：B．
【分析】构造函数g（x）=f（x）﹣x2，确定g（x）是偶函数，g（x）在[0，+∞）上单调递增，f（x）＜x2﹣7可化为g（x）＜g（2），即可得出结论．
10．【答案】A
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：设正项等比数列{an}的公比为q＞0，∵满足：a7=a6+2a5，∴q2=q+2，解得q=2．
∵存在两项am、an使得 =4a1，∴ =4a1，∴m+n=6．
m，n的取值分别为（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）．
则 + 的最小值为 = ．
故选：A．
【分析】设正项等比数列{an}的公比为q＞0，由满足：a7=a6+2a5，可得q2=q+2，解得q=2．根据存在两项am、an使得 =4a1，可得 =4a1，m+n=6．对m，n分类讨论即可得出．
11．【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：f（x）=x2+2x+1﹣2x=（x+1）2﹣2x，令g（x）=（x+1）2，h（x）=2x，则f（x）=g（x）﹣h（x），在同一坐标系下作出两个函数的简图，
根据函数图象的变化趋势可以发现g（x）与h（x）共有三个交点，横坐标从小到大依次令为x1，x2，x3，
在（﹣∞，x1）区间上有g（x）＞h（x），即f（x）＞0；在区间（x1，x2）有g（x）＜h（x），即f（x）＜0；
在区间（x2，x3）上有g（x）＞h（x），即f（x）＞0；
在区间（x3，+∞）有有g（x）＜h（x），即f（x）＜0．
故选：A．
【分析】由题设，可构造两个函数g（x）=（x+1）2，h（x）=2x，作出它们的图象，根据两者的位置关系研究函数f（x）的图象的位置关系，从而得出正确选项．
12．【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：∵关于x的函数f（x）= x3+ | |x2+ x在R上有极值，
∴ =0，
△=| |2﹣4 ＞0，
∴| |2﹣4| | | |cosθ＞0，
由| |=2| |≠0，得cosθ ，
∴ ．
故选：A．
【分析】由已知条件得 =0中，△=| |2﹣4 ＞0，由此能求出 与 的夹角的取值范围．
13．【答案】63
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：解方程x2﹣5x+4=0，得x1=1，x2=4．
因为数列{an}是递增数列，且a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，
所以a1=1，a3=4．
设等比数列{an}的公比为q，则 ，所以q=2．
则 ．
故答案为63．
【分析】通过解方程求出等比数列{an}的首项和第三项，然后求出公比，直接利用等比数列前n项和公式求前6项和．
14．【答案】-160
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：∵a= cosxdx=sinx =﹣2，则二项式（x2+ ）6=（x2 ﹣ ）6 ，
二项式（x2+ ）6展开式式的通项公式为Tr+1= x12﹣2r =（﹣2）r x12﹣3r，
令12﹣3r=3，求得r=3，可得展开式中的x3项的系数为﹣8 =﹣160，
故答案为：﹣160．
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中的x3项的系数．
15．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设椭圆的右焦点为F（﹣c，0），c= ，∵直线PF的斜率为2，
则直线l的方程为y﹣0=2（x﹣c），即 2x﹣y﹣2c=0．
再根据直线l与圆x2+y2=b2相切，可得圆心（0，0）到直线l的距离等于半径b，
即 =b，求得 b2= c2．
再根据a2﹣b2=c2，可得a2﹣ c2=c2，求得 = ．
故答案为： ．
【分析】用点斜式求得直线l的方程为2x﹣y﹣2c=0．再根据圆心（0，0）到直线l的距离等于半径b，求得 b2= c2．再根据a2﹣b2=c2，求得离心率 的值．
16．【答案】（ ， ）
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：方程f（x）=mx﹣ 恰有四个不相等的实数根可化为
函数f（x）= 与函数y=mx﹣ 有四个不同的交点，
作函数f（x）= 与函数y=mx﹣ 的图象如下，
由题意，C（0，﹣ ），B（1，0）；
故kBC = ，
当x＞1时，f（x）=lnx，f′（x）= ；
设切点A的坐标为（x1，lnx1），
则 = ；
解得，x1= ；
故kAC = ；
结合图象可得，
实数m的取值范围是（ ， ）．
故答案为：（ ， ）．
【分析】方程f（x）=mx﹣ 恰有四个不相等的实数根可化为函数f（x）= 与函数y=mx﹣ 有四个不同的交点，作函数f（x）= 与函数y=mx﹣ 的图象，由数形结合求解．
17．【答案】解：（Ⅰ）因为 =
=
=
所以函数f（x）的单调递增区间是〔 〕（k∈Z）
（Ⅱ）因为f（A）= ，所以
又0＜A＜π所以
从而 故A=
在△ABC中，∵a=1，b+c=2，A=
∴1=b2+c2﹣2bccosA，即1=4﹣3bc．
故bc=1
从而S△ABC=
【知识点】正弦函数的性质；余弦定理
【解析】【分析】（Ⅰ）函数f（x）展开后，利用两角和的公式化简为一个角的一个三角函数的形式，结合正弦函数的单调增区间求函数f（x）的单调增区间．（Ⅱ）利用f（A）= ，求出A的大小，利用余弦定理求出bc的值，然后求出△ABC的面积．
18．【答案】（1）证明：∵平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，SE 平面SAD，SE⊥AD，
∴SE⊥平面ABCD，
∵BE 平面ABCD，∴SE⊥BE．∵CD=3AB=3，AE=ED= ，∴∠AEB=30°，∠CED=60°．
所以∠BEC=90°即BE⊥CE．
结合SE∩CE=E得BE⊥平面SEC，∵BE 平面SBE，∴平面SBE⊥平面SEC
（2）由（1）知，直线ES，EB，EC两两垂直．
如图，以EB为x轴，以EC为y轴，以ES为z轴，建立空间直角坐标系．
则 ，
∴ ．
设平面SBC的法向量为 ，
则
解得一个法向量 ，
设直线CE与平面SBC所成角为θ，
又 ，
则 ．
所以直线CE与平面SBC所成角的正弦值
【知识点】平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）证明SE⊥AD，SE⊥BE．推出BE⊥CE．证明BE⊥平面SEC，然后证明平面SBE⊥平面SEC．（2）以EB为x轴，以EC为y轴，以ES为z轴，建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，求出平面SBC的法向量，设直线CE与平面SBC所成角为θ，通过向量的数量积求解直线CE与平面SBC所成角的正弦值即可．
19．【答案】（1）设“A，B两人申请同一套住房”为事件N，P（N）=4× × = ，
所以A，B两人不申请同一套住房的概率是P=1﹣P（N）=
（2）法一、随机变量X可能取的值为0，1，2，3，那么
P（X=0）=C03（ ）3= ，
P（X=1）= × ×（ ）2= ，
P（X=2）= ×（ ）2× = ，
P（X=3）= ×（ ）3= ，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E（X）=0× +1× +2× +3× = ．
法二、依题意得X～B（3， ），
所以X的分布列为P（X=k）= ×（ ）k×（ ）3﹣k= × ，k=0，1，2，3．即
X 0 1 2 3
P
所以E（X）=3× =
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）设“A，B两人选择同一套住房”为事件N，先求出事件N的概率，再求A，B两人不选择同一套住房的概率．（2）法一：随机变量ξ可能取的值为0，1，2，3，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和Eξ．法二：依题意得ξ～B（3， ），由此能求出ξ的分布列和Eξ．
20．【答案】（1）解：由题意可得b=1，e= = ，
又a2﹣b2=c2，解得a=2，b=1，
即有椭圆C方程为 +y2=1
（2）解：先证： + =1（m＞n＞0）上一点Q（x0，y0）的切线方程为 + =1．
当斜率存在时，设切线方程为y=kx+t，联立椭圆方程 + =1，
可得n2x2+m2（kx+t）2=m2n2，化简可得：
（n2+m2k2）x2+2m2ktx+m2（t2﹣n2）=0，①
由题可得：△=4m4k2t2﹣4m2（n2+m2k2）（t2﹣n2）=0
化简可得：t2=m2k2+n2，①式只有一个根，记作x0，
x0=﹣ =﹣ ，x0为切点的横坐标，
切点的纵坐标y0=kx0+t= ，
所以 =﹣ ，所以k=﹣ ，
所以切线方程为：y﹣y0=k（x﹣x0）
=﹣ （x﹣x0），
化简得： + =1．
当切线斜率不存在时，切线为x=±m，也符合方程 + =1，
设点P（xP，yP）为圆x2+y2=16上一点，
PA，PB是椭圆 +y2=1的切线，
切点A（x1，y1），B（x2，y2），过点A的椭圆的切线为 +y1y=1，
过点B的椭圆的切线为 +y2y=1．
由两切线都过P点， +y1yP=1， +y2yP=1，
即有切点弦AB所在直线方程为 +yyP=1．
M（0， ），N（ ，0），
|MN|2= + =（ + ）
= （17+ + ）≥ （17+2 ）= ，
当且仅当 = 即xP2= ，yP2= 时取等，
则|MN|≥ ，即|MN|的最小值为
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）运用离心率公式和椭圆的a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；（2）讨论直线的斜率不存在和存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用判别式为0，解得方程的一个跟，得到切点坐标和切线的斜率，进而得到切线方程；设点P（xP，yP）为圆x2+y2=16上一点，求得切线PA，PB的方程，进而得到切点弦方程，再由两点的距离公式可得|MN|，结合基本不等式，即可得到最小值．
21．【答案】（1）解：
（2）解：∵a＞0，f（x）＞0，对x∈（0，2e]恒成立，
设a＞x（1﹣lnx）=x﹣xlnx，x∈（0，2e]，
g′（x）=1﹣lnx﹣1=﹣lnx
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，
当1＜x＜2e，g′（x）＜0，g（x）为减函数，
∴当x=1时，函数在（0，2e]上取得最大值，
∴g（x）≤g（1）=1
∴a的取值范围是（1，+∞）
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）根据曲线y=f（x）在P（1，y0）处的切线平行于直线y=﹣x+1，求出函数的字母系数，对函数求导，使得导函数大于0，在定义域中求出函数的单调区间．（2）现出函数的最大值，对函数求导求出函数的单调区间，看出函数的最大值，根据在自变量的定义域内函数大于0恒成立，根据函数的思想求出a的值．
22．【答案】解：（Ⅰ）由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ，
结合极坐标与直角坐标的互化公式得x2+y2=4x，
即（x﹣2）2+y2=4
（Ⅱ）由直线l的参数方程为 ，化为普通方程，得x﹣ y﹣a=0．
结合圆C与直线l相切，得 =2，解得a=﹣2或6
【知识点】参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（I）利用 x=ρcosθ，y=ρsinθ可将圆C的极坐标方程ρ=4cosθ化为普通方程；（II）据点到直线的距离公式即可求出答案．
23．【答案】（1）解：当m=3时，f（x）=|x﹣3|﹣2|x﹣1|，
即f（x）= ，
∴当x=1时，函数f（x）的最大值f（1）=1+1=2
（2）解：∵f（x）≥0，
∴|x﹣m|≥2|x﹣1|，
两边平方，化简得[x﹣（2﹣m）][3x﹣（2+m）]≤0，
令2﹣m= ，解得m=1，
下面分情况讨论：
①当m＞1时，不等式的解集为[2﹣m， ]；
②当m=1时，不等式的解集为{x|x=1}；
③当m＜1时，不等式的解集为[ ，2﹣m]
【知识点】函数的最大（小）值；含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）通过令m=3，然后去绝对值符号，对于分段函数取最大值即可；（2）通过对|x﹣m|≥2|x﹣1|两边平方，化简得[x﹣（2﹣m）][3x﹣（2+m）]≤0，比较2﹣m与 的大小，分类讨论即可．
2017年西藏山南二中高考数学三模试卷（理科）
一、选择题
1．（2017·山南模拟）若A={x|2＜2x＜16，x∈Z}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B中元素个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：∵2＜2x＜16
解得：1＜x＜4，
∴A={x|1＜x＜4，x∈Z}={2，3}，
∵B={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，
∴A∩B={2}，
故选B
【分析】首先化简集合A和B，然后求出A∩B，即可得出答案．
2．（2017·山南模拟）若（1+2ai） i=1﹣bi，其中a，b∈R，则|a+bi|=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：∵（1+2ai） i=1﹣bi，其中a，b∈R，
∴i﹣2a=1﹣bi，
∴﹣2a=1，﹣b=1，
解得a=﹣ ，b=﹣1，
则|a+bi|=|﹣ ﹣i|= = ．
故选：C．
【分析】利用复数的运算法则、复数相等、模的计算公式即可得出．
3．（2016高一下·海南期中）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a4+a6=12，则S7的值是（ ）
A．21 B．24 C．28 D．7
【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：∵a2+a4+a6=12，
∴a2+a4+a6=12=3a4=12，
即a4=4，
则S7= ，
故选：C．
【分析】根据等差数列的性质由a2+a4+a6=12得到a4=4，然后根据等差数列的前n项和公式，即可得到结论．
4．（2017·山南模拟）已知函数y=sin（ωx﹣2）（ω＞0）的最小正周期为 ，要得到y=sin（ωx﹣2）的图象，只要将函数y=sinωx的图象（ ）
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：∵函数y=sin（ωx﹣2）（ω＞0）的最小正周期为 ，
∴ = ，解得ω=3，
∵y=sin（3x﹣2）=sin3（x﹣ ），
∴要得到y=sin（3x﹣2）的图象，只要将函数y=sin3x的图象向右平移 个单位即可．
故选：D．
【分析】由条件利用三角函数周期公式可求ω，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
5．（2017·荆州模拟）抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2﹣ =1的渐近线的距离是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：∵抛物线方程为y2=4x
∴2p=4，可得 =1，抛物线的焦点F（1，0）
又∵双曲线的方程为
∴a2=1且b2=3，可得a=1且b= ，
双曲线的渐近线方程为y=± ，即y=± x，
化成一般式得： ．
因此，抛物线y2=4x的焦点到双曲线渐近线的距离为d= =
故选：B
【分析】根据抛物线的标准方程，算出抛物线的焦点F（1，0）．由双曲线标准方程，算出它的渐近线方程为y=± x，化成一般式得： ，再用点到直线的距离公式即可算出所求距离．
6．（2017·山南模拟）已知O是坐标原点，点A（﹣2，1），若点M（x，y）为平面区域 上的一个动点，则 的取值范围是（ ）
A．[﹣1，0] B．[﹣1，2] C．[0，1] D．[0，2]
【答案】B
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
z= ，
∵A（﹣2，1），M（x，y），
∴z= =﹣2x+y，
即y=2x+z，
平移直线y=2x+z，由图象可知当y=2x+z，经过点A（1，1）时，直线截距最小，此时z最小为z=﹣2+1=﹣1．
经过点B（0，2）时，直线截距最大，此时z最大．此时z=2，
即﹣1≤z≤2，
故选：B．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z= ，求出z的表达式，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．
7．（2017·山南模拟）三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．16
【答案】B
【知识点】简单空间图形的三视图
【解析】【解答】解：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，
且底面△ABC为等腰三角形，
在△ABC中AC=4，AC边上的高为2 ，
故BC=4，
在Rt△SBC中，由SC=4，
可得SB=4 ，
故选B
【分析】由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，底面△ABC为等腰三角形，SC=4，△ABC中AC=4，AC边上的高为2 ，进而根据勾股定理得到答案．
8．（2017·山南模拟）程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（ ）
A． B．﹣3 C． D．2
【答案】C
【知识点】程序框图
【解析】【解答】解：模拟执行程序框图，可得
S=2，i=1
满足条件i≤2014，S=﹣3，i=2
满足条件i≤2014，S=﹣ ，i=3
满足条件i≤2014，S= ，i=4
满足条件i≤2014，S=2，i=5
满足条件i≤2014，S=﹣3，i=6
…
观察可得S的取值周期为4，由2014=503×4+2，可得
满足条件i≤2014，S=﹣3，i=2014
满足条件i≤2014，S=﹣ ，i=2015
不满足条件i≤2014，退出循环，输出S的值为﹣ ．
故选：C．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S的值，当i=2015时，不满足条件i≤2014，退出循环，输出S的值为﹣ ．
9．（2017·山南模拟）设偶函数f（x）的定义域为R，f（2）=﹣3，对于任意的x≥0，都有f′（x）＞2x，则不等式f（x）＜x2﹣7的解集为（ ）
A．（﹣2，+∞） B．（﹣2，2）
C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，+∞）
【答案】B
【知识点】奇偶性与单调性的综合；函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】解：构造函数g（x）=f（x）﹣x2，则g（2）=f（2）﹣4=﹣7，
∵g′（x）=f′（x）﹣2x，对于任意的x≥0，都有f′（x）＞2x，
∴g（x）在[0，+∞）上单调递增，
∵f（x）是偶函数，
∴g（x）是偶函数，
f（x）＜x2﹣7可化为g（x）＜g（2），
∴|x|＜2，
∴﹣2＜x＜2，
故选：B．
【分析】构造函数g（x）=f（x）﹣x2，确定g（x）是偶函数，g（x）在[0，+∞）上单调递增，f（x）＜x2﹣7可化为g（x）＜g（2），即可得出结论．
10．（2017·山南模拟）已知正项等比数列{an}满足：a7=a6+2a5，若存在两项am、an使得 =4a1，则 + 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：设正项等比数列{an}的公比为q＞0，∵满足：a7=a6+2a5，∴q2=q+2，解得q=2．
∵存在两项am、an使得 =4a1，∴ =4a1，∴m+n=6．
m，n的取值分别为（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）．
则 + 的最小值为 = ．
故选：A．
【分析】设正项等比数列{an}的公比为q＞0，由满足：a7=a6+2a5，可得q2=q+2，解得q=2．根据存在两项am、an使得 =4a1，可得 =4a1，m+n=6．对m，n分类讨论即可得出．
11．（2017·山南模拟）已知函数f（x）=x2+2x+1﹣2x，则y=f（x）的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：f（x）=x2+2x+1﹣2x=（x+1）2﹣2x，令g（x）=（x+1）2，h（x）=2x，则f（x）=g（x）﹣h（x），在同一坐标系下作出两个函数的简图，
根据函数图象的变化趋势可以发现g（x）与h（x）共有三个交点，横坐标从小到大依次令为x1，x2，x3，
在（﹣∞，x1）区间上有g（x）＞h（x），即f（x）＞0；在区间（x1，x2）有g（x）＜h（x），即f（x）＜0；
在区间（x2，x3）上有g（x）＞h（x），即f（x）＞0；
在区间（x3，+∞）有有g（x）＜h（x），即f（x）＜0．
故选：A．
【分析】由题设，可构造两个函数g（x）=（x+1）2，h（x）=2x，作出它们的图象，根据两者的位置关系研究函数f（x）的图象的位置关系，从而得出正确选项．
12．（2017·山南模拟）已知向量 ， 满足| |=2| |≠0，且关于x的函数f（x）= x3+ | |x2+ x在R上有极值，则 与 的夹角的取值范围为（ ）
A．（ ，π] B．[ ，π]
C．（0， ] D．（ ， ]
【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：∵关于x的函数f（x）= x3+ | |x2+ x在R上有极值，
∴ =0，
△=| |2﹣4 ＞0，
∴| |2﹣4| | | |cosθ＞0，
由| |=2| |≠0，得cosθ ，
∴ ．
故选：A．
【分析】由已知条件得 =0中，△=| |2﹣4 ＞0，由此能求出 与 的夹角的取值范围．
二、填空题
13．（2017·山南模拟）已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6= ．
【答案】63
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：解方程x2﹣5x+4=0，得x1=1，x2=4．
因为数列{an}是递增数列，且a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，
所以a1=1，a3=4．
设等比数列{an}的公比为q，则 ，所以q=2．
则 ．
故答案为63．
【分析】通过解方程求出等比数列{an}的首项和第三项，然后求出公比，直接利用等比数列前n项和公式求前6项和．
14．（2017·山南模拟）设a= cosxdx，则二项式（x2+ ）6展开式中的x3项的系数为 ．
【答案】-160
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：∵a= cosxdx=sinx =﹣2，则二项式（x2+ ）6=（x2 ﹣ ）6 ，
二项式（x2+ ）6展开式式的通项公式为Tr+1= x12﹣2r =（﹣2）r x12﹣3r，
令12﹣3r=3，求得r=3，可得展开式中的x3项的系数为﹣8 =﹣160，
故答案为：﹣160．
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中的x3项的系数．
15．（2017·山南模拟）已知F是椭圆 + =1（a＞b＞0）的右焦点，过点F作斜率为2的直线l使它与圆x2+y2=b2相切，则椭圆离心率是 ．
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设椭圆的右焦点为F（﹣c，0），c= ，∵直线PF的斜率为2，
则直线l的方程为y﹣0=2（x﹣c），即 2x﹣y﹣2c=0．
再根据直线l与圆x2+y2=b2相切，可得圆心（0，0）到直线l的距离等于半径b，
即 =b，求得 b2= c2．
再根据a2﹣b2=c2，可得a2﹣ c2=c2，求得 = ．
故答案为： ．
【分析】用点斜式求得直线l的方程为2x﹣y﹣2c=0．再根据圆心（0，0）到直线l的距离等于半径b，求得 b2= c2．再根据a2﹣b2=c2，求得离心率 的值．
16．（2017·山南模拟）函数f（x）= ，若方程f（x）=mx﹣ 恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ．
【答案】（ ， ）
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：方程f（x）=mx﹣ 恰有四个不相等的实数根可化为
函数f（x）= 与函数y=mx﹣ 有四个不同的交点，
作函数f（x）= 与函数y=mx﹣ 的图象如下，
由题意，C（0，﹣ ），B（1，0）；
故kBC = ，
当x＞1时，f（x）=lnx，f′（x）= ；
设切点A的坐标为（x1，lnx1），
则 = ；
解得，x1= ；
故kAC = ；
结合图象可得，
实数m的取值范围是（ ， ）．
故答案为：（ ， ）．
【分析】方程f（x）=mx﹣ 恰有四个不相等的实数根可化为函数f（x）= 与函数y=mx﹣ 有四个不同的交点，作函数f（x）= 与函数y=mx﹣ 的图象，由数形结合求解．
三、解答题
17．（2017·山南模拟）已知函数f（x）=sin（2x﹣ ）+2cos2x﹣1．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a=1，b+c=2，f（A）= ，求△ABC的面积．
【答案】解：（Ⅰ）因为 =
=
=
所以函数f（x）的单调递增区间是〔 〕（k∈Z）
（Ⅱ）因为f（A）= ，所以
又0＜A＜π所以
从而 故A=
在△ABC中，∵a=1，b+c=2，A=
∴1=b2+c2﹣2bccosA，即1=4﹣3bc．
故bc=1
从而S△ABC=
【知识点】正弦函数的性质；余弦定理
【解析】【分析】（Ⅰ）函数f（x）展开后，利用两角和的公式化简为一个角的一个三角函数的形式，结合正弦函数的单调增区间求函数f（x）的单调增区间．（Ⅱ）利用f（A）= ，求出A的大小，利用余弦定理求出bc的值，然后求出△ABC的面积．
18．（2017·山南模拟）如图，在四棱锥中S﹣ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB=3，
平面SAD⊥平面ABCD，E是线段AD上一点，AE=ED= ，SE⊥AD．
（1）证明：平面SBE⊥平面SEC
（2）若SE=1，求直线CE与平面SBC所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：∵平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，SE 平面SAD，SE⊥AD，
∴SE⊥平面ABCD，
∵BE 平面ABCD，∴SE⊥BE．∵CD=3AB=3，AE=ED= ，∴∠AEB=30°，∠CED=60°．
所以∠BEC=90°即BE⊥CE．
结合SE∩CE=E得BE⊥平面SEC，∵BE 平面SBE，∴平面SBE⊥平面SEC
（2）由（1）知，直线ES，EB，EC两两垂直．
如图，以EB为x轴，以EC为y轴，以ES为z轴，建立空间直角坐标系．
则 ，
∴ ．
设平面SBC的法向量为 ，
则
解得一个法向量 ，
设直线CE与平面SBC所成角为θ，
又 ，
则 ．
所以直线CE与平面SBC所成角的正弦值
【知识点】平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）证明SE⊥AD，SE⊥BE．推出BE⊥CE．证明BE⊥平面SEC，然后证明平面SBE⊥平面SEC．（2）以EB为x轴，以EC为y轴，以ES为z轴，建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，求出平面SBC的法向量，设直线CE与平面SBC所成角为θ，通过向量的数量积求解直线CE与平面SBC所成角的正弦值即可．
19．（2017·山南模拟）为了推进国家“民生工程”，某市政府现提供一批经济适用房来保障居民住房．现有条件相同的甲、乙、丙、丁4套住房供A，B，C3人申请，且他们的申请是相互独立的．
（1）求A，B两人不申请同一套住房的概率；
（2）设3名申请人中申请甲套住房的人数为X，求X的分布列和数学期望．
【答案】（1）设“A，B两人申请同一套住房”为事件N，P（N）=4× × = ，
所以A，B两人不申请同一套住房的概率是P=1﹣P（N）=
（2）法一、随机变量X可能取的值为0，1，2，3，那么
P（X=0）=C03（ ）3= ，
P（X=1）= × ×（ ）2= ，
P（X=2）= ×（ ）2× = ，
P（X=3）= ×（ ）3= ，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E（X）=0× +1× +2× +3× = ．
法二、依题意得X～B（3， ），
所以X的分布列为P（X=k）= ×（ ）k×（ ）3﹣k= × ，k=0，1，2，3．即
X 0 1 2 3
P
所以E（X）=3× =
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）设“A，B两人选择同一套住房”为事件N，先求出事件N的概率，再求A，B两人不选择同一套住房的概率．（2）法一：随机变量ξ可能取的值为0，1，2，3，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和Eξ．法二：依题意得ξ～B（3， ），由此能求出ξ的分布列和Eξ．
20．（2017·山南模拟）已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的一个顶点为（0，1），且离心率为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）从x2+y2=16上一点P向椭圆C引两条切线，切点分别为A，B，当直线AB与x轴、y轴分别交于M、N两点时，求|MN|的最小值．
【答案】（1）解：由题意可得b=1，e= = ，
又a2﹣b2=c2，解得a=2，b=1，
即有椭圆C方程为 +y2=1
（2）解：先证： + =1（m＞n＞0）上一点Q（x0，y0）的切线方程为 + =1．
当斜率存在时，设切线方程为y=kx+t，联立椭圆方程 + =1，
可得n2x2+m2（kx+t）2=m2n2，化简可得：
（n2+m2k2）x2+2m2ktx+m2（t2﹣n2）=0，①
由题可得：△=4m4k2t2﹣4m2（n2+m2k2）（t2﹣n2）=0
化简可得：t2=m2k2+n2，①式只有一个根，记作x0，
x0=﹣ =﹣ ，x0为切点的横坐标，
切点的纵坐标y0=kx0+t= ，
所以 =﹣ ，所以k=﹣ ，
所以切线方程为：y﹣y0=k（x﹣x0）
=﹣ （x﹣x0），
化简得： + =1．
当切线斜率不存在时，切线为x=±m，也符合方程 + =1，
设点P（xP，yP）为圆x2+y2=16上一点，
PA，PB是椭圆 +y2=1的切线，
切点A（x1，y1），B（x2，y2），过点A的椭圆的切线为 +y1y=1，
过点B的椭圆的切线为 +y2y=1．
由两切线都过P点， +y1yP=1， +y2yP=1，
即有切点弦AB所在直线方程为 +yyP=1．
M（0， ），N（ ，0），
|MN|2= + =（ + ）
= （17+ + ）≥ （17+2 ）= ，
当且仅当 = 即xP2= ，yP2= 时取等，
则|MN|≥ ，即|MN|的最小值为
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）运用离心率公式和椭圆的a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；（2）讨论直线的斜率不存在和存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用判别式为0，解得方程的一个跟，得到切点坐标和切线的斜率，进而得到切线方程；设点P（xP，yP）为圆x2+y2=16上一点，求得切线PA，PB的方程，进而得到切点弦方程，再由两点的距离公式可得|MN|，结合基本不等式，即可得到最小值．
21．（2017·山南模拟）已知函数 ．
（1）若曲线y=f（x）在P（1，y0）处的切线平行于直线y=﹣x+1，求函数y=f（x）的单调区间；
（2）若a＞0，且对x∈（0，2e]时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：
（2）解：∵a＞0，f（x）＞0，对x∈（0，2e]恒成立，
设a＞x（1﹣lnx）=x﹣xlnx，x∈（0，2e]，
g′（x）=1﹣lnx﹣1=﹣lnx
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，
当1＜x＜2e，g′（x）＜0，g（x）为减函数，
∴当x=1时，函数在（0，2e]上取得最大值，
∴g（x）≤g（1）=1
∴a的取值范围是（1，+∞）
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）根据曲线y=f（x）在P（1，y0）处的切线平行于直线y=﹣x+1，求出函数的字母系数，对函数求导，使得导函数大于0，在定义域中求出函数的单调区间．（2）现出函数的最大值，对函数求导求出函数的单调区间，看出函数的最大值，根据在自变量的定义域内函数大于0恒成立，根据函数的思想求出a的值．
22．（2017·山南模拟）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为 ，（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=4cosθ．
（Ⅰ）求圆C在直角坐标系中的方程；
（Ⅱ）若圆C与直线l相切，求实数a的值．
【答案】解：（Ⅰ）由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ，
结合极坐标与直角坐标的互化公式得x2+y2=4x，
即（x﹣2）2+y2=4
（Ⅱ）由直线l的参数方程为 ，化为普通方程，得x﹣ y﹣a=0．
结合圆C与直线l相切，得 =2，解得a=﹣2或6
【知识点】参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（I）利用 x=ρcosθ，y=ρsinθ可将圆C的极坐标方程ρ=4cosθ化为普通方程；（II）据点到直线的距离公式即可求出答案．
23．（2017·山南模拟）已知函数f（x）=|x﹣m|﹣2|x﹣1|（m∈R）
（1）当m=3时，求函数f（x）的最大值；
（2）解关于x的不等式f（x）≥0．
【答案】（1）解：当m=3时，f（x）=|x﹣3|﹣2|x﹣1|，
即f（x）= ，
∴当x=1时，函数f（x）的最大值f（1）=1+1=2
（2）解：∵f（x）≥0，
∴|x﹣m|≥2|x﹣1|，
两边平方，化简得[x﹣（2﹣m）][3x﹣（2+m）]≤0，
令2﹣m= ，解得m=1，
下面分情况讨论：
①当m＞1时，不等式的解集为[2﹣m， ]；
②当m=1时，不等式的解集为{x|x=1}；
③当m＜1时，不等式的解集为[ ，2﹣m]
【知识点】函数的最大（小）值；含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）通过令m=3，然后去绝对值符号，对于分段函数取最大值即可；（2）通过对|x﹣m|≥2|x﹣1|两边平方，化简得[x﹣（2﹣m）][3x﹣（2+m）]≤0，比较2﹣m与 的大小，分类讨论即可．
