第四章 曲线运动
万有引力与宇宙航行
【考点预测】
1.开普勒行星三大运动定律
2. 万有引力定律的应用
3. 万有引力理论的成就
4. 宇宙速度
5.航天器发射、变轨、回收
【方法技巧与总结】
1.天体运动问题分析
(1)将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供．
(2)基本公式：
G＝ma＝
2.星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
(1)地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝G，得g＝.
(2)地球上空的重力加速度g′
地球上空距离地球中心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝，得g′＝.所以＝.
【题型归纳目录】
题型一：开普勒行星三大定律及其应用
题型二：万有引力定律及其应用
题型三：天体质量和密度的计算
题型四：宇宙航行
【题型一】开普勒行星三大定律及其应用
【典型例题】
例1．（2023·湖南·模拟预测）我国的第一颗卫星“东方红一号”于1970年4月24日在酒泉卫星发射中心由长征一号运载火箭送入工作轨道（近地点距地球表面的距离、远地点距地球表面的距离），它开创了中国航天史的新纪元。1984年，“东方红二号”卫星发射成功，这是一颗地球同步卫星，距离地心大约。已知地球半径为，可以估算“东方红一号”卫星的周期约为（ ）
A．80分钟 B．102分钟 C．114分钟 D．120分钟
【答案】C
【解析】设“东方红一号”卫星周期为，其半长轴为
“东方红二号”卫星周期，工作轨道半径，根据开普勒第三定律，可得
代入数据解得
分钟
ABD错误，C正确。
故选C。
【方法技巧与总结】
开普勒行星运动规律的理解及应用
1．行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理．
2.由开普勒第二定律可得Δl1r1＝Δl2r2，v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小．
3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间．
练1． （2023·福建·模拟预测）某国际团队使用望远镜上安装的暗能量相机，发现了3颗隐藏在太阳强光中的近地小行星，将其中一颗命名为2021PH27。在一年中的前5个节气间该小行星的位置如图所示。已知该小行星近日点到太阳的距离为日地距离的，一年近似取360天，可近似认为24个节气在一年内均匀分布。可能用到的数据：，，。则该小行星经过近日点和远日点时的动能之比约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】一年共有24个节气，则相邻两节气的间隔约15天，故立春到清明总共相差约60天，又小行星2021PH27在椭圆轨道上绕太阳运动，则小行星的运动周期约为120天。
小行星2021PH27和地球均绕太阳运动，设小行星轨道的半长轴为a，地球的轨道半径为R，由开普勒第三定律有
可得
已知该小行星近日点到太阳的距离为日地距离的，即
则小行星2021PH27远日点到太阳的距离约为
由开普勒第二定律可知，小行星经过近日点和远日点时的速度之比为
则该小行星经过近日点和远日点时的动能之比约为
故选C。
【题型二】万有引力定律及其应用
【典型例题】
例2．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）2023年4月14日我国首颗综合性太阳探测卫星“夸父一号”准实时观测部分数据完成了国内外无差别开放，实现了数据共享，体现了大国担当。如图所示，“夸父一号”卫星和另一颗卫星分别沿圆轨道、椭圆轨道绕地球逆时针运动，圆的半径与椭圆的半长轴相等，两轨道相交于A、B两点，某时刻两卫星与地球在同一直线上，下列说法中正确的是（ ）
A．两卫星在图示位置的速度 B．两卫星在A处的万有引力大小相等
C．两颗卫星在A或B点处可能相遇 D．两颗卫星的运动周期不相等
【答案】A
【解析】A.为椭圆轨道的远地点，速度比较小，表示匀速圆周运动的速度，故
故A正确；
B.由于两卫星的质量未知，所以两卫星在A处的万有引力无法比较，故B错误；
CD.椭圆的半长轴与圆轨道的半径相同，根据开普勒第三定律可知，两卫星的运动周期相等，则不会相遇，故CD错误。
故选A。
【方法技巧与总结】
1．万有引力的“两点理解”和“两个推论”
(1)两点理解
①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力．
②地球上的物体(两极除外)受到的重力只是万有引力的一个分力．
(2)星体内部万有引力的两个推论
①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0.
②推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的万有引力，即F＝G.
练2．（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考模拟预测）如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星（轨道半径约等于地球半径），c为地球的同步卫星。下列关于a、b、c的说法中正确的是（ ）
A．地球同步卫星都与c在同一个轨道上，并且它们受到的万有引力大小相等
B．a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为
C．a物体与地球的万有引力全部提供给a物体随地球自转的向心力
D．a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为
【答案】D
【解析】A．由万有引力定律可知，地球同步卫星都与c在同一个轨道上，轨道半径相等，但是卫星的质量不相等，所以它们受到的万有引力大小不相等，A错误；
B．对于卫星b、c，由万有引力提供向心力
解得
其中
所以
由于卫星a、c绕地球运动的周期相等，所以
其中
可得
所以a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为
B错误；
C．a物体与地球的万有引力一部分提供给a物体随地球自转的向心力，一部分为物体的重力，C错误；
D．对于卫星a、c，其周期相等，所以
对于卫星b、c，由万有引力提供向心力
解得
其中
所以
即a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为
D正确。
故选D。
【题型三】天体质量和密度的计算
【典型例题】
例3．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）2022年8月10日，我国在太原卫星发射中心用长征六号运载火箭成功将“吉林一号”组网星中的16颗卫星发射升空，卫星顺利进入预定的环绕地球运动轨道，发射任务取得圆满成功。这16颗卫星的轨道平面各异，高度不同，通过测量发现，它们的轨道半径的三次方与运动周期的二次方成正比，且比例系数为。已知万有引力常量为，由此可知地球的质量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，有
又由开普勒第三定律可知
联立解得
C项正确。
故选C。
【方法技巧与总结】
求天体质量和密度常用的估算方法
使用方法 已知量 利用公式 表达式 备注
质 量 的 计 算 利用运行天体 r、T G＝mr M＝ 只能得到中心天体的质量
r、v G＝m M＝
v、T G＝m T＝ M＝
利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ M＝
密 度 的 计 算 利用运行天体 r、T、 R G＝mr M＝ρπR3 ρ＝ 当r＝R时 ρ＝ 利用近地卫星只需测出其运行周期
利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ M＝ρπR3 ρ＝
练3．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）某同学利用直径为d的不透光圆形纸板估测太阳的密度，如图所示，调整圆纸板到人眼的距离L，使其刚好挡住太阳光，并测出L，已知万有引力常量为G，地球公转周期为T，则太阳密度约为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】令地球到太阳的间距为r，太阳的半径为R，根据几何关系近似有
对地球绕太阳公转有
太阳的密度为
解得
故选A。
【题型四】宇宙航行
【典型例题】
例4．（2022·浙江绍兴·统考一模）2022年11月12日，天舟5号货运飞船搭载“澳科一号”小卫星与中国空间站成功对接。航天员可以直接通过梦天实验舱货物气闸舱发射小卫星，它专门用于检测空间站周围环境的变化情况。下列说法正确的是（ ）
A．发射小卫星的速度必须大于
B．发射后的小卫星绕空间站做匀速圆周运动
C．小卫星和空间站可以在同一轨道以相同周期运行
D．小卫星发射后调整到空间站正上方一定高度，并与空间站保持相对静止
【答案】C
【解析】A．第一宇宙速度是地球上的最小发射速度，最大近地环绕速度，若要不脱离地球引力的束缚，发射速度可介于第一宇宙速度与第二宇宙速度之间，即
但梦天实验舱货物气闸舱发射小卫星属于在轨发射卫星，该小卫星在发射之前本身就具有与实验舱相同的环绕速度，为满足不同的任务要求，应具有不同的发射速度，因此可知发射小卫星的速度不必大于，故A错误；
B．发射后的小卫星仍受地球引力的束缚，其中心天体仍然是地球，因此发射后的小卫星环绕地球运动，故B错误；
CD．根据万有引力充当向心力有
解得
，
可知，小卫星与空间站在同一轨道上运行时，其周期相同，但若将小卫星发射后调整到空间站正上方一定高度，则小卫星的轨道半径将大于空间站的轨道半径，可知小卫星的线速度将小于空间站的线速度，因此小卫星不能与空间站保持相对静止，故C正确，D错误。
故选C。
【方法技巧与总结】
星运行参数的分析
1．线速度：G＝m v＝
2．角速度：G＝mω2r ω＝
3．周期：G＝m2r T＝2π
4．向心加速度：G＝ma a＝
结论：r越大，v、ω、a越小，T越大．
练4．（2023·北京海淀·中关村中学校考三模）设地球是质量分布均匀的半径为R的球体。已知引力常量G，地球表面的重力加速度g，忽略地球自转。下列说法正确的是（ ）
A．地球质量
B．地球第一宇宙速度
C．若地球的密度为ρ，地球的同步卫星的周期为T，则有
D．由万有引力提供向心力，所以赤道上物体的加速度大于同步卫星的加速度
【答案】A
【解析】A．忽略地球自转，地球表面万有引力等于重力，即
可得
故A正确；
B．设地球第一宇宙速度为v，在地球表面有
解得
故B错误；
C．若地球的密度为ρ，地球的同步卫星的周期为T，设地球同步卫星轨道半径为r，则
可得
由于地球同步卫星轨道半径大于地球半径，故C错误；
D．赤道上物体与同步卫星的周期相同，因此角速度相同，根据
可知赤道上物体的加速度小于同步卫星的加速度，故D错误。
故选A。
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）“海王星冲日”是指地球处在太阳与海王星之间，2018年9月7日出现过一次海王星冲日。已知地球和海王星绕太阳公转的方向相同，轨迹都可近似为圆，海王星公转周期约为16年，则（ ）
A．地球的公转轨道半径比海王星的大
B．地球的公转线速度速度比海王星的小
C．2019年不会出现海王星冲日
D．2017年出现过海王星冲日
【答案】D
【解析】A．根据开普勒第三定律
因为海王星的公转周期大于地球的公转周期，所以地球的公转轨道半径比海王星的小，故A错误；
B．根据万有引力提供向心力
解得
因为地球的公转轨道半径比海王星的小，所以地球的公转线速度速度比海王星的大，故B错误；
CD．至少每经t时间再次出现海王星冲日，则有
解得
因为在2018年出现冲日现象，则在2019年、2017年均会出现冲日现象，故C错误，D正确。
故选D。
2．（2023·河南开封·统考三模）2022年10月15日我国成功将遥感三十六号卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道。如图所示为某卫星的发射过程示意图，Ⅱ为椭圆轨道，且与圆形轨道I和III分别相切于点，两圆形轨道的半径之比为，则下列说法正确的是（ ）
A．卫星在轨道Ⅰ、II上运行周期之比为
B．卫星在轨道Ⅱ、Ⅲ上运行周期之比为
C．卫星在轨道Ⅱ上经过两点时的速度大小之比为
D．卫星在轨道Ⅱ上经过两点时的加速度大小之比为
【答案】B
【解析】AB．由开普勒第三定律得
解得
故A错误，B正确；
C．由开普勒第二定律得
解得
故C错误；
D．由牛顿第二定律得
联立解得
故D错误。
故选B。
3．（2023·江苏扬州·统考三模）如图所示，哈雷彗星在近日点与太阳中心的距离为，线速度大小为，加速度大小为；在远日点与太阳中心的距离为，线速度大小为，加速度大小为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】AB．由于哈雷彗星做的不是圆周运动，在近日点做离心运动，在远日点做近心运动，因此不能通过万有引力充当向心力计算其在近日点和远日点的线速度之比，需通过开普勒第二定律求解，设在极短时间内，在近日点和远日点哈雷彗星与太阳中心的连线扫过的面积相等，即有
可得
故
故A正确，B错误；
CD．对近日点，根据牛顿第二定律有
对远日点，根据牛顿第二定律有
联立解得
故CD错误。
故选A。
4．如图，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )
A．甲的向心加速度比乙的小
B．甲的运行周期比乙的小
C．甲的角速度比乙的大
D．甲的线速度比乙的大
【答案】A
【解析】
根据G＝ma可得a＝G，则a1∶a2＝1∶2，故A正确；根据公式G＝m可得T＝2π，则T1∶T2＝∶1，故B错误；根据公式G＝mω2r可得ω＝，则ω1∶ω2＝1∶，故C错误；根据G＝m，可得v＝，则v1∶v2＝1∶，故D错误．
5．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）假定地球为密度均匀分布的球体，球半径为。某单摆在地面处做简谐运动的周期与在某矿井底部做简谐运动的周期之间满足。忽略地球的自转，已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的万有引力为零，则该矿井底部离地面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】球壳部分对物体的万有引力0，则矿井内重力加速度
其中
则
又地面处重力加速度
则
根据单摆周期公式可知
，
且
解得
故选A。
6．（2023·全国·校联考模拟预测）近日，某天文学家团队利用空间望远镜，发现了4个迄今已知最古老的星系，其中一个星系形成于宇宙大爆炸后亿年，当时宇宙尚处于“婴儿”阶段。该星系内每个星球贴近其表面运行的卫星的周期用T表示，被环绕的星球的平均密度用ρ表示，若ρ与的关系图像为直线，斜率为k，则引力常量可表示为（ ）
A．3kπ B． C． D．
【答案】C
【解析】设被环绕的星球的半径为，则该星球的体积
设该星球的质量为，卫星的质量为m，有
可得
所以
解得
故选C。
7．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）我国计划在年发射“嫦娥六号”，它是嫦娥探月工程计划中嫦娥系列的第六颗人造探月卫星，主要任务是更深层次、更加全面的科学探测月球地理、资源等方面的信息，进一步完善月球档案资料。已知月球的半径为，月球表面的重力加速度为，引力常量为，嫦娥六号的质量为，离月球中心的距离为。根据以上信息可求出（ ）
A．月球的第一宇宙速度为
B．“嫦娥六号”绕月运行的动能为
C．月球的平均密度为
D．“嫦娥六号”绕月运行的周期为
【答案】B
【解析】A．地球表面，忽略自转有
解得
根据万有引力提供向心力，有
可得月球的第一宇宙速度为
故A错误；
B．“嫦娥六号”绕月运行时根据万有引力提供向心力，有
解得
“嫦娥六号”绕月运行的动能为
故B正确；
C．月球的质量为
月球的平均密度为
故C错误；
D．“嫦娥六号”绕月运行时根据万有引力提供向心力，有
“嫦娥六号”绕月运行的周期为
故D错误。
故选B。
8．（2024·山西大同·统考模拟预测）2023年春节，《流浪地球2》震撼登场，影片中的太空电梯给人留下了深刻的印象。设想在赤道上建造垂直于水平面的“太空电梯”（如图），宇航员就可以通过电梯直通太空站。设r为宇航员到地心的距离，R为地球半径，下列说法正确的是（ ）
A．搭乘电梯上升的过程中，宇航员的线速度增大
B．在r = R处，宇航员的线速度约为7.9km/s
C．随着r的增大，宇航员感受到的“重力”也在增大
D．宇航员乘坐电梯上升的过程中，始终处于完全失重状态
【答案】A
【解析】A．宇航员线速度，宇航员随地球自转角速度不变，电梯上升，增大，所以增大，故A正确；
B．时，宇航员刚好在地面上，除了地球对他的引力之外还受到地面对他的支持力，故在处的线速度小于第一宇宙速度，故B错误；
C．由于处在赤道上，物体的重力与万有引力相等，即，随着的增大，重力越来越小，故C错误；
D．宇航员乘坐电梯上升的过程中不只受到地球引力作用，还受到电梯表面对宇航员的支持力，所以不是始终处于完全失重的状态，只有上升到同步轨道高度时才会处于完全失重状态，故D错误。
故选A。
二、多选题
9．（2023·甘肃·统考三模）如图所示，在进行火星考查时，火星探测器对火星完成了“绕、着、巡”三项目标。经考查已知火星表面的重力加速度为g火，火星的平均密度为ρ，火星可视为均匀球体，火星探测器离火星表面的高度为h，引力常量G。根据以上信息能求出的物理量是（ ）
A．火星的半径 B．火星探测器的质量
C．火星探测器的周期 D．火星的第一宇宙速度
【答案】ACD
【解析】AD．在火星表面，有
解得
，，
故AD正确；
BC．对探测器，有
解得
由于火星的半径和火星的质量可以求出，所以探测器的周期也可以求出，但不可求出探测器的质量，故B错误，C正确。
故选ACD。
10．（2023·湖北·华中师大一附中校联考模拟预测）2022年10月31日，梦天实验舱在我国文昌航天发射场发射，于11月1日与天和核心舱对接成功，中国空间站完成在轨建造，三个舱段形成T字基本构型，如图所示，在距地球中心为r的圆形轨道上以速率v运行。已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，则（ ）
A．梦天实验舱的发射速度大于天和核心舱的环绕速度
B．漂浮在空间站中的宇航员不受地球的引力
C．地球的平均密度为
D．空间站绕地球运动的向心加速度大小为
【答案】AC
【解析】A．第一宇宙速度是环绕地球做圆周运动的最大速度，同时也是发射卫星的最小发射速度，由此可知天和核心舱的环绕速度小于第一宇宙速度，梦天实验舱的发射速度大于天和核心舱的环绕速度，故A正确；
B．漂浮在空间站中的宇航员依然受地球的引力，所受引力提供向心力做匀速圆周运动，故B错误；
C．空间站绕地球飞行，根据万有引力提供向心力，则有
又
联立解得
故C正确；
D．由
联立解得
D错误。
故选AC。
11．（2023·湖南郴州·郴州一中校联考模拟预测）截至2023年2月10日，“天问一号”环绕器已经在火星工作整整两年。如图所示，火星探测器在着陆过程中，当探测器下降到距离火星表面100m时，探测器悬停在空中进行观察，若下方火星表面不适合着陆，需沿水平方向调整悬停位置，调整过程的初始阶段可视为匀加速直线运动，悬停及调整时都由反冲发动机提供作用力。悬停时，反冲发动机的作用力为，调整过程的初始阶段的加速度大小为，此时反冲发动机的作用力为，与竖直方向的夹角为。若同一探测器在地球表面做测试，悬停时反冲发动机的作用力为，在调整过程的初始阶段，加速度大小也为a，此时反冲发动机的作用力为，与竖直方向的夹角为。已知火星表面重力加速度小于地球表面加速度，与均为锐角，两种情况下均不计空气阻力的影响，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】A．悬停时，根据平衡条件可知，在火星表面和地球表面分别有
、
由于火星表面重力加速度小于地球表面加速度，可知
故A错误；
B．在火星表面，水平方向加速时有
同理，在地球表面有
火星表面重力加速度小于地球表面加速度，则有
故B正确；
C．根据分析有
同理有
可得
即有
故C错误；
D．根据上述有
同理有
由于，则有
解得
故D正确。
故选BD。
12．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）2022年11月30日，神舟十五号航天员乘组顺利进驻“天宫”空间站，与早早守在“家门口”等待他们的神舟十四号航天员乘组热情相拥。我国“天宫”空间站实现了长期有人值守，这标志着我国迈入了太空站时代。已知“天宫”空间站离地球表面高度约为400km，约96分钟绕地球一周。引力常，地球平均半径约为6400km以下估算正确的是（ ）
A．空间站的运行速率约为km/s
B．空间站的运行速率约为km/s
C．地球平均密度约为
D．地球平均密度约为
【答案】BD
【解析】AB．由
，
解得
故A错误，B正确；
CD．由
解得
故C错误，D正确。
故选BD。
13．（2023·湖北·模拟预测）2021年5月，天问一号探测器软着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步。火星与地球公转轨道近似为圆，两轨道平面近似重合，且火星与地球公转方向相同。火星与地球每隔约26个月相距最近，地球公转周期为12个月。由以上条件可以近似得出（ ）
A．地球与火星的自转周期之比
B．火星的公转周期大约为3月
C．地球与火星轨道半径之比
D．地球与火星表面重力加速度大小之比
【答案】BC
【解析】AB．地球和火星的角速度分别为
由题意知火星和地球每隔约26个月相距最近一次，又火星的轨道半径大于地球的轨道半径，则
由以上可解得
月
即火星的公转周期大约为月，则地球与火星绕太阳的公转周期之比
但不能求出两星球自转周期之比，故A错误，B正确；
C．设地球和火星的公转周期分别为T1、T2，轨道半径分别为r1、r2，由开普勒第三定律可得
可求得地球与火星的轨道半径之比
故C正确；
D．由物体在地球和火星表面的重力等于各自对物体的引力，则有
得
由于地球和火星的质量关系以及半径关系均未知，则两星球表面重力加速度的关系不可求，地球与火星绕太阳运动的向心加速度由太阳对地球和火星的引力产生，所以向心加速度大小则有
得
由于两星球的轨道半径之比已知，则地球与火星绕太阳运动的向心加速度大小之比
故D错误。
故选BC。
14．（2023·云南昆明·云南师大附中校考模拟预测）如图所示，人造卫星围绕地球做圆周运动，和与地球相切，，称为地球对卫星的张角。现有甲、乙两颗人造卫星，轨道平面相同，以相同方向绕地球公转。已知地球对甲、乙的张角分别为和，且，甲、乙公转角速度分别为和，万有引力常量为。则以下说法正确的是（ ）
A．由题目所给条件，可以算出地球的质量
B．由题目所给条件，可以算出地球的密度
C．每隔时间，两卫星可以恢复直接通信
D．每隔时间，两卫星可以恢复直接通信
【答案】BD
【解析】AB．根据题意，由万有引力提供向心力有
由几何关系有
解得
由于不知道地球半径，也无法求出轨道半径，则无法求出地球质量，又有
联立解得
即地球的密度为
故A错误，B正确；
CD．根据题述条件画出几何关系图，如图所示
可知当甲进入弧，则甲、乙无法直接通信，当甲的公转比乙多转
两者可恢复直接通信，则有
解得
故C错误，D正确。
故选BD。第四章 曲线运动
万有引力与宇宙航行
【考点预测】
1.开普勒行星三大运动定律
2. 万有引力定律的应用
3. 万有引力理论的成就
4. 宇宙速度
5.航天器发射、变轨、回收
【方法技巧与总结】
1.天体运动问题分析
(1)将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供．
(2)基本公式：
G＝ma＝
2.星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
(1)地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝G，得g＝.
(2)地球上空的重力加速度g′
地球上空距离地球中心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝，得g′＝.所以＝.
【题型归纳目录】
题型一：开普勒行星三大定律及其应用
题型二：万有引力定律及其应用
题型三：天体质量和密度的计算
题型四：宇宙航行
【题型一】开普勒行星三大定律及其应用
【典型例题】
例1．（2023·湖南·模拟预测）我国的第一颗卫星“东方红一号”于1970年4月24日在酒泉卫星发射中心由长征一号运载火箭送入工作轨道（近地点距地球表面的距离、远地点距地球表面的距离），它开创了中国航天史的新纪元。1984年，“东方红二号”卫星发射成功，这是一颗地球同步卫星，距离地心大约。已知地球半径为，可以估算“东方红一号”卫星的周期约为（ ）
A．80分钟 B．102分钟 C．114分钟 D．120分钟
【方法技巧与总结】
开普勒行星运动规律的理解及应用
1．行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理．
2.由开普勒第二定律可得Δl1r1＝Δl2r2，v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小．
3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间．
练1． （2023·福建·模拟预测）某国际团队使用望远镜上安装的暗能量相机，发现了3颗隐藏在太阳强光中的近地小行星，将其中一颗命名为2021PH27。在一年中的前5个节气间该小行星的位置如图所示。已知该小行星近日点到太阳的距离为日地距离的，一年近似取360天，可近似认为24个节气在一年内均匀分布。可能用到的数据：，，。则该小行星经过近日点和远日点时的动能之比约为（ ）
A． B． C． D．
【题型二】万有引力定律及其应用
【典型例题】
例2．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）2023年4月14日我国首颗综合性太阳探测卫星“夸父一号”准实时观测部分数据完成了国内外无差别开放，实现了数据共享，体现了大国担当。如图所示，“夸父一号”卫星和另一颗卫星分别沿圆轨道、椭圆轨道绕地球逆时针运动，圆的半径与椭圆的半长轴相等，两轨道相交于A、B两点，某时刻两卫星与地球在同一直线上，下列说法中正确的是（ ）
A．两卫星在图示位置的速度 B．两卫星在A处的万有引力大小相等
C．两颗卫星在A或B点处可能相遇 D．两颗卫星的运动周期不相等
【方法技巧与总结】
1．万有引力的“两点理解”和“两个推论”
(1)两点理解
①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力．
②地球上的物体(两极除外)受到的重力只是万有引力的一个分力．
(2)星体内部万有引力的两个推论
①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0.
②推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的万有引力，即F＝G.
练2．（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考模拟预测）如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星（轨道半径约等于地球半径），c为地球的同步卫星。下列关于a、b、c的说法中正确的是（ ）
A．地球同步卫星都与c在同一个轨道上，并且它们受到的万有引力大小相等
B．a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为
C．a物体与地球的万有引力全部提供给a物体随地球自转的向心力
D．a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为
【题型三】天体质量和密度的计算
【典型例题】
例3．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）2022年8月10日，我国在太原卫星发射中心用长征六号运载火箭成功将“吉林一号”组网星中的16颗卫星发射升空，卫星顺利进入预定的环绕地球运动轨道，发射任务取得圆满成功。这16颗卫星的轨道平面各异，高度不同，通过测量发现，它们的轨道半径的三次方与运动周期的二次方成正比，且比例系数为。已知万有引力常量为，由此可知地球的质量为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
求天体质量和密度常用的估算方法
使用方法 已知量 利用公式 表达式 备注
质 量 的 计 算 利用运行天体 r、T G＝mr M＝ 只能得到中心天体的质量
r、v G＝m M＝
v、T G＝m T＝ M＝
利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ M＝
密 度 的 计 算 利用运行天体 r、T、 R G＝mr M＝ρπR3 ρ＝ 当r＝R时 ρ＝ 利用近地卫星只需测出其运行周期
利用天体表面重力加速度 g、R mg＝ M＝ρπR3 ρ＝
练3．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）某同学利用直径为d的不透光圆形纸板估测太阳的密度，如图所示，调整圆纸板到人眼的距离L，使其刚好挡住太阳光，并测出L，已知万有引力常量为G，地球公转周期为T，则太阳密度约为（ ）
A． B．
C． D．
【题型四】宇宙航行
【典型例题】
例4．（2022·浙江绍兴·统考一模）2022年11月12日，天舟5号货运飞船搭载“澳科一号”小卫星与中国空间站成功对接。航天员可以直接通过梦天实验舱货物气闸舱发射小卫星，它专门用于检测空间站周围环境的变化情况。下列说法正确的是（ ）
A．发射小卫星的速度必须大于
B．发射后的小卫星绕空间站做匀速圆周运动
C．小卫星和空间站可以在同一轨道以相同周期运行
D．小卫星发射后调整到空间站正上方一定高度，并与空间站保持相对静止
【方法技巧与总结】
星运行参数的分析
1．线速度：G＝m v＝
2．角速度：G＝mω2r ω＝
3．周期：G＝m2r T＝2π
4．向心加速度：G＝ma a＝
结论：r越大，v、ω、a越小，T越大．
练4．（2023·北京海淀·中关村中学校考三模）设地球是质量分布均匀的半径为R的球体。已知引力常量G，地球表面的重力加速度g，忽略地球自转。下列说法正确的是（ ）
A．地球质量
B．地球第一宇宙速度
C．若地球的密度为ρ，地球的同步卫星的周期为T，则有
D．由万有引力提供向心力，所以赤道上物体的加速度大于同步卫星的加速度
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）“海王星冲日”是指地球处在太阳与海王星之间，2018年9月7日出现过一次海王星冲日。已知地球和海王星绕太阳公转的方向相同，轨迹都可近似为圆，海王星公转周期约为16年，则（ ）
A．地球的公转轨道半径比海王星的大
B．地球的公转线速度速度比海王星的小
C．2019年不会出现海王星冲日
D．2017年出现过海王星冲日
2．（2023·河南开封·统考三模）2022年10月15日我国成功将遥感三十六号卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道。如图所示为某卫星的发射过程示意图，Ⅱ为椭圆轨道，且与圆形轨道I和III分别相切于点，两圆形轨道的半径之比为，则下列说法正确的是（ ）
A．卫星在轨道Ⅰ、II上运行周期之比为
B．卫星在轨道Ⅱ、Ⅲ上运行周期之比为
C．卫星在轨道Ⅱ上经过两点时的速度大小之比为
D．卫星在轨道Ⅱ上经过两点时的加速度大小之比为
3．（2023·江苏扬州·统考三模）如图所示，哈雷彗星在近日点与太阳中心的距离为，线速度大小为，加速度大小为；在远日点与太阳中心的距离为，线速度大小为，加速度大小为，则（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )
A．甲的向心加速度比乙的小
B．甲的运行周期比乙的小
C．甲的角速度比乙的大
D．甲的线速度比乙的大
5．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）假定地球为密度均匀分布的球体，球半径为。某单摆在地面处做简谐运动的周期与在某矿井底部做简谐运动的周期之间满足。忽略地球的自转，已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的万有引力为零，则该矿井底部离地面的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·校联考模拟预测）近日，某天文学家团队利用空间望远镜，发现了4个迄今已知最古老的星系，其中一个星系形成于宇宙大爆炸后亿年，当时宇宙尚处于“婴儿”阶段。该星系内每个星球贴近其表面运行的卫星的周期用T表示，被环绕的星球的平均密度用ρ表示，若ρ与的关系图像为直线，斜率为k，则引力常量可表示为（ ）
A．3kπ B． C． D．
7．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）我国计划在年发射“嫦娥六号”，它是嫦娥探月工程计划中嫦娥系列的第六颗人造探月卫星，主要任务是更深层次、更加全面的科学探测月球地理、资源等方面的信息，进一步完善月球档案资料。已知月球的半径为，月球表面的重力加速度为，引力常量为，嫦娥六号的质量为，离月球中心的距离为。根据以上信息可求出（ ）
A．月球的第一宇宙速度为
B．“嫦娥六号”绕月运行的动能为
C．月球的平均密度为
D．“嫦娥六号”绕月运行的周期为
8．（2024·山西大同·统考模拟预测）2023年春节，《流浪地球2》震撼登场，影片中的太空电梯给人留下了深刻的印象。设想在赤道上建造垂直于水平面的“太空电梯”（如图），宇航员就可以通过电梯直通太空站。设r为宇航员到地心的距离，R为地球半径，下列说法正确的是（ ）
A．搭乘电梯上升的过程中，宇航员的线速度增大
B．在r = R处，宇航员的线速度约为7.9km/s
C．随着r的增大，宇航员感受到的“重力”也在增大
D．宇航员乘坐电梯上升的过程中，始终处于完全失重状态
二、多选题
9．（2023·甘肃·统考三模）如图所示，在进行火星考查时，火星探测器对火星完成了“绕、着、巡”三项目标。经考查已知火星表面的重力加速度为g火，火星的平均密度为ρ，火星可视为均匀球体，火星探测器离火星表面的高度为h，引力常量G。根据以上信息能求出的物理量是（ ）
A．火星的半径 B．火星探测器的质量
C．火星探测器的周期 D．火星的第一宇宙速度
10．（2023·湖北·华中师大一附中校联考模拟预测）2022年10月31日，梦天实验舱在我国文昌航天发射场发射，于11月1日与天和核心舱对接成功，中国空间站完成在轨建造，三个舱段形成T字基本构型，如图所示，在距地球中心为r的圆形轨道上以速率v运行。已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，则（ ）
A．梦天实验舱的发射速度大于天和核心舱的环绕速度
B．漂浮在空间站中的宇航员不受地球的引力
C．地球的平均密度为
D．空间站绕地球运动的向心加速度大小为
11．（2023·湖南郴州·郴州一中校联考模拟预测）截至2023年2月10日，“天问一号”环绕器已经在火星工作整整两年。如图所示，火星探测器在着陆过程中，当探测器下降到距离火星表面100m时，探测器悬停在空中进行观察，若下方火星表面不适合着陆，需沿水平方向调整悬停位置，调整过程的初始阶段可视为匀加速直线运动，悬停及调整时都由反冲发动机提供作用力。悬停时，反冲发动机的作用力为，调整过程的初始阶段的加速度大小为，此时反冲发动机的作用力为，与竖直方向的夹角为。若同一探测器在地球表面做测试，悬停时反冲发动机的作用力为，在调整过程的初始阶段，加速度大小也为a，此时反冲发动机的作用力为，与竖直方向的夹角为。已知火星表面重力加速度小于地球表面加速度，与均为锐角，两种情况下均不计空气阻力的影响，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）2022年11月30日，神舟十五号航天员乘组顺利进驻“天宫”空间站，与早早守在“家门口”等待他们的神舟十四号航天员乘组热情相拥。我国“天宫”空间站实现了长期有人值守，这标志着我国迈入了太空站时代。已知“天宫”空间站离地球表面高度约为400km，约96分钟绕地球一周。引力常，地球平均半径约为6400km以下估算正确的是（ ）
A．空间站的运行速率约为km/s
B．空间站的运行速率约为km/s
C．地球平均密度约为
D．地球平均密度约为
13．（2023·湖北·模拟预测）2021年5月，天问一号探测器软着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步。火星与地球公转轨道近似为圆，两轨道平面近似重合，且火星与地球公转方向相同。火星与地球每隔约26个月相距最近，地球公转周期为12个月。由以上条件可以近似得出（ ）
A．地球与火星的自转周期之比
B．火星的公转周期大约为3月
C．地球与火星轨道半径之比
D．地球与火星表面重力加速度大小之比
14．（2023·云南昆明·云南师大附中校考模拟预测）如图所示，人造卫星围绕地球做圆周运动，和与地球相切，，称为地球对卫星的张角。现有甲、乙两颗人造卫星，轨道平面相同，以相同方向绕地球公转。已知地球对甲、乙的张角分别为和，且，甲、乙公转角速度分别为和，万有引力常量为。则以下说法正确的是（ ）
A．由题目所给条件，可以算出地球的质量
B．由题目所给条件，可以算出地球的密度
C．每隔时间，两卫星可以恢复直接通信
D．每隔时间，两卫星可以恢复直接通信
