期中复习与测试（3）（第1~4章）
选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符号题目要求）
1．下列各组数中，是勾股数的为（ ）．
A．1，1，2 B．1.5，2，2.5 C．17，8，15 D．6，12，13
2．的平方根是（ ）
A．4 B． C． D．2
3．点在平面直角坐标系中所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．下列各式中，计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A．8米 B．9米 C．10米 D．12米
6．对于一次函数的图象及性质，下列结论正确的是（ ）
A．图象与的图象平行 B．随的增大而增大
C．图象经过第一、二、三象限 D．图象必过点
7．在同一坐标系中，函数与的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是1，于点B，且，以点A为圆心，的长为半径画弧交数轴正半轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A． B． C． D．
9．对于每个x，函数y是，，这三个函数中的最小值，则函数y的最大值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．
10．如图，△ABC中，AC＝4，BC＝3，AB＝5，AD为△ABC的角平分线，则CD的长度为（ ）
A．1 B． C． D．
填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．的平方根是 ；的立方根是 ．
12．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
13．如果点在一、三象限的角平分线上，那么这个点的坐标为 ．
14．在平面直角坐标系中，点关于直线的对称点的坐标是 ．
15．如图，直线经过原点，若、、，为线段上一动点．当取最小值时， ．
16．如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到三角形1、2、3、4…．则三角形2016的直角顶点坐标为 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点分别在x轴、y轴上，，，连接．点P在第一象限，若以点P、A、B为顶点的三角形与全等，则点P的坐标为 ．
18．计算机可以帮助我们又快又准地画出函数的图象．用“几何画板”软件画出的函数和的图象如图所示．根据图象可知方程的解的个数为 ；若m，n分别为方程和的解，则m，n的大小关系是 ．
三、解答题（本大题共6个小题，每小题4分，共58分）
19.（本小题满分10分，每题5分）计算：
（1）； （2）．
20.（本小题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画，使与关于x轴对称；
（2）求的面积．
21.（本小题满分8分）如图，，，，垂足分别为，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
22.（本小题满分10分）如图直线l：与x轴、y轴分别交于点B、C，点B的坐标是，点A的坐标是，点P是直线l上的一个动点．
（1）求k的值．
（2）若在第二象限内，试写出的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）当点P运动到什么位置时，的面积为9，并说明理由．
23.（本小题满分10分）公元前6世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了直角三角形三边之间的数量关系：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，这个结论称之为“勾股定理”．
（1）如图1，将等腰直角三角板顶点放在直线上，过点作，过点作，垂足分别为，设，请结合此图证明勾股定理．
（2）如图2，朵朵同学把四个直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓（实线）的周长为48，，求这个图案的面积．
24.（本小题满分12分）如图1，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）求直线的函数解析式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q．
①若的面积为，求点M的坐标；
②连接，如图2，若，求点P的坐标．
参考答案
1．C
【分析】根据勾股定理的逆定理分别对各组数据进行检验即可．
解：A、∵，∴不是勾股数，此选项错误；
B、1.5和2.5不是整数，此选项错误；
C、∵，∴是勾股数，此选项正确；
D、∵，∴不是勾股数，此选项错误．
故选C．
【分析】本题考查勾股数，注意：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
2．C
【分析】先求得，再根据平方根的定义求解即可．
解：∵，4的平方根是，
∴的平方根是，
故选：C．
【分析】本题考查平方根、算术平方根，熟知一个正数的平方根有两个，且互为相反数是解答的关键，此题容易错解为B．
3．B
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
解：点在第二象限，故B正确．
故选：B．
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
4．B
【分析】根据二次根式的加减乘除混合运算法则即可求解．
解：、与不是同类二次根式，不能合并，故原选项错误，不符合题意；
、，故原选项正确，符合题意；
、与不是同类二次根式，不能合并，故原选项错误，不符合题意；
、，故原选项错误，不符合题意；
故选：．
【分析】本题主要考查二次根式的四则混合运算，掌握其运算法则是解题的关键．
5．C
【分析】根据勾股定理解答即可．
解：如图：由题意可得AB=10-4=6米，BC=6米，
AC==10米．
故选：C．
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
6．A
【分析】根据一次函数图象的性质，即可求解；
解：、∵与的，
∴函数图象平行，故原选项正确，符合题意；
、∵，
∴随的增大而减小，故原选项错误，不符合题意；
、∵，
∴函数图象经过第一、二、四象限，故原选项错误，不符合题意；
、当时，，
∴故原选项错误，不符合题意；
故选：．
【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，理解并掌握一次函数图象的性质是解题的关键．
7．B
【分析】分情况讨论的取值范围，根据正比例函数图象的性质及一次函数图象与坐标轴交点的坐标特征进行判断，即可得出答案．
解：当时，的图象过原点并经过第一、第三象限，的图象过第一、第三象限且与轴交点的纵坐标小于0，无选项符合题意；
当时，的图象过原点并经过第二、第四象限，的图象过第一、第三象限且与轴交点的纵坐标大于0，选项B符合题意；
故选：B．
【分析】本题考查了正比例函数的图象和性质及一次函数图象与坐标轴交点的坐标特征，熟练掌握正比例函数及一次函数的图象和性质是解题关键．
8．C
【分析】先运用勾股定理求得线段的长，再计算出此题结果即可．
解：由题意得，，
∴，
∴点D表示的数，
故答案为：C．
【分析】此题考查了用数轴上的点表示实数的能力，关键是能准确理解并运用该知识和勾股定理进行求解．
9．B
【分析】分别联立三个函数中任意两函数，求出函数的交点坐标，根据此交点坐标即可求解．
解：分别联立得：；；，
解得：；；，
如图所示：可知的交点；的交点；的交点，
∵函数y是，，这三个函数中的最小值，
∴当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
∴y的最大值为6．
故选：B．
【分析】本题考查的是一次函数的性质，根据题意得出任意两函数的交点坐标是解答此题的关键．
10．D
【分析】过D作DP⊥AP于P，根据角平分线的性质可知∠CAD=∠BAD，利用AAS定理可知△ACD≌△APD.在Rt△ABC中根据勾股定理得出AB的长，设DP=x，则DP=x，BD=3-x，在Rt△DPB中，利用勾股定理即可得出结论.
解：∵AC＝4，BC＝3，AB＝5，
∴BC2+AC2＝32+42＝52＝AB2，
∴∠C＝90°，
过D作DP⊥AP于P，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD．
又∵DC⊥AC、DP⊥AB，
∴∠C＝∠APD．
在△ACD与APD中，
∵
∴△ACD≌APD（AAS），
∴AP＝AC＝4，CD＝PD，
设DP=x，则CD＝x，BD＝3﹣x，
在Rt△DPB中，∠DPB＝90°，
∴DP2+PB2＝DB2，
即x2+12＝（3﹣x）2，
解得
∴
故选：D．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键.
11．
【分析】根据平方根和立方根的定义进行解答即可．
解：∵，
∴的平方根是，
∵，
∴的立方根是．
故答案为：，．
【分析】本题主要考查了立方根和平方根的定义，熟练掌握立方根和平方根的定义，是解题的关键．
12．
【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．
解：∵在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
13．
【分析】一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相等，据此可得关于m的方程，求出m即可得出答案．
解：因为点在一、三象限的角平分线上，
所以，
解得：，
∴这个点的坐标为；
故答案为：．
【分析】本题考查了坐标与图形，熟知一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相等是解题的关键．
14．
【分析】先求出点到直线的距离，再根据对称性求出对称点到直线的距离，从而得到点的横坐标，即可得解．
解：点，
点到直线的距离为，
点关于直线的对称点到直线的距离为1，
点的横坐标为，
对称点的坐标为，
故答案为：．
【分析】本题考查了坐标与图形变化—对称，根据轴对称性求出对称点到直线的距离，从而得到横坐标是解题的关键．
15．8
【分析】分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为点E、点F，得出，，，最后利用代入求解即可．
解：如图，分别过点A、B作y轴的垂线，垂足分别为点E、点F，
∵、、，
∴，，，
∵当时，取最小值，
∵，
∴，即
解得，，
故答案为：8．
【分析】本题考查了坐标与图形性质及三角形的面积，掌握：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是解题的关键．
16．
【分析】先利用勾股定理计算出，从而得到的周长为12，根据旋转变换可得的旋转变换为每3次一个循环，由于，于是可判断三角形2016与三角形①的状态一样，然后计算即可得到三角形2016的直角顶点坐标．
解：∵，，
∴，，
∴，
∴的周长，
∵每连续3次后与原来的状态一样，
∵，
∴三角形2016与三角形①的状态一样，
∴三角形2016的直角顶点的横坐标，
∴三角形2016的直角顶点坐标为．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转，勾股定理，解题的关键是根据旋转变换得出三角形2016与三角形①的状态一样．
17．或
【分析】由条件可知为两三角形的公共边，且为直角三角形，当和全等时，则可知为直角三角形，再分两种情况进行讨论，可得出P点的坐标．
解：如图所示：
①若，
∴
∴四边形是平行四边形，
又
∴四边形是矩形，
∴；
②若，则有
连接，交于点，过点E作于点F，
∴是的垂直平分线，点E是的中点，
∵，
由勾股定理得，
又，即：,
∴
在中，，
又，即，
解得，，
由勾股定理得，
∴
∴，
故答案为：或．
【分析】本题考查了全等三角形的性质及坐标与图形的性质，勾股定理以及面积法等知识，做这种题要求对全等三角形的判定方法熟练掌握．
18． 3
【分析】利用函数和的图象交点个数判断方程的解的个数，作出直线，然后通过比较直线与函数和的图象的交点位置判断m、n的大小．
解：由函数图象可知，函数和的图象有三个交点，
所以方程的解的个数为3；
作直线，如图，函数的图象与直线的交点在的图象与直线的交点的右侧，
则．
故答案为3；．
【分析】本题考查图象法解方程和不等式，解题的关键是利用图象的交点，解方程和不等式．
19．（1）；（2）
【分析】（1）利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可得到答案；
（2）先计算括号里面的，再计算乘除法即可得到答案．
（1）解：
；
（2）解：
．
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用完全平方公式和平方差公式进行计算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
20．（1）见分析；（2）
【分析】（1）根据网格结构找出点、、关于x轴的对称点、、的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论．
解：（1）如图所示；即为所求；
（2）的面积．
【分析】本题考查了根据轴对称变换作图及求三角形的面积，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接．
21．（1）见分析；（2）
【分析】（1）利用“”可证明；
（2）先利用全等三角形的性质得到，再利用勾股定理计算出，从而得到的长，然后计算即可．
解：（1）证明：，，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
在中，，
，
．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
22．（1）；（2）；（3）点P运动到或，的面积为9．
【分析】（1）将B点坐标代入中，可求k的值；
（2）用的长以及y分别表示的底和高，用三角形的面积公式求S与x的函数关系式；
（3）将代入的面积公式，可得y的值，得出P点位置．
（1）解：将代入中，得，
解得；
（2）解：由（1）得，又，
∴；
（3）解：当时，，
∴，
∴，
当时，，解得，
当时，，解得，
∴或．
【分析】本题考查了一次函数的综合运用，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积的求法．关键是将面积问题转化为线段的长，点的坐标来表示．
23．（1）见分析；（2）
【分析】（1）先根据证明，得到，，再由进行证明即可；
（2）由图形的周长为48，得，由图可知，根据勾股定理求得，进而得到，再根据图案的面积可求得答案．
解：（1）证明：由已知，得，，．
又，，
，，
，
，
，
．
又，
，
．
（2）图形的周长为48，由图可知，
．
由图可知，
在中，，
即，
解得，
，
图案的面积．
【分析】本题是勾股定理的探究与应用，主要考查了勾股定理的性质及应用，全等三角形的判定与性质，解题关键是通过面积法来探究勾股定理．
24．（1）；（2）①或；②或
【分析】（1）分别求出、、三点坐标，用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）①设，则，，求出，再由，求出的值后即可求点坐标；
②分两种情况讨论：当点在线段上时，利用角的关系推导出，再由勾股定理得，求出的值即可求点的坐标；当点在线段上时，同理可求点的另一个坐标．
解：（1）在中，令得，
，
令得，
，
点与点关于轴对称，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的函数解析式为；
（2）①设，
轴，
，，
，
，
解得，
的坐标为或；
②点在线段上运动，
，
当点在线段上时，如图：
点与点关于轴对称，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
解得，
；
当点在线段上时，如图：
同理可得，
综上所述：点的坐标为或．
【分析】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，勾股定理及应用等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
