陈经纶中学 2023-2024 第一学期 初三数学 期中检测
时间： 90 分钟 满分： 100 分
班级： 姓名： 学号：
一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 3分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，
有且只有一项是符合题目要求的.
1．二次函数 y (x 1)2 2的最小值是（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
2．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）是由四个图案构成，这四个图案中，是中心对称图形的
是 ( )
A． B． C． D．
3 2．方程 x 5x 7 0的根的情况是（ ）
A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 有一个实数根
4 1．将抛物线 y x2 的图象向下平移 3 个单位长度，则平移后抛物线的解析式为 ( )
2
A y 1 x2 3 B y 1． ． x2 3 C 1． y x2 3 D y 1 ． x2 3
2 2 2 2
5．用配方法解一元二次方程 x2 8x 2 0 ，此方程可化为的正确形式是 ( )
A． (x 4)2 14 B． (x 4)2 18 C． (x 4)2 14 D． (x 4)2 18
6．如图，在平面直角坐标系 xOy中，四边形OABC 是矩形，点 A(3,0) ，C(0,2) ，
将矩形OABC 绕点O 逆时针旋转 90 ，则旋转后点 B的对应点坐标为
( )
A． ( 2,3) B． ( 2,0)
C． (0,3) D． (2,3)
7．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点 C顺时
针旋转α 角（0°＜α＜180°）至△A′B′C，使得点 A′恰好落在 AB边上，则
α等于（ ）
A．150° B．90°
C．30° D．60°
8．某农业基地现有杂交水稻种植面积 36 公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增加到
48 公顷，设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为 x，则可列方程为（ ）
A． 4（8 1 x）2 36 B． 4（8 1 x）2 36
C．3（6 1 x）2 48 D．3（6 1 x）2 48
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9．某超市一种干果现在的售价是每袋 30 元，每星期可卖出 100 袋．经市场调研发现，如果在一定
范围内调整价格，每涨价 1 元，每星期就少卖出 5 袋．已知这种干果的进价为每袋 20 元，设每袋
涨价 x（元），每星期的销售量为 y（袋），每星期销售这种干果的利润为 z（元）．则 y与 x，z与 x
满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系
C．二次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系
10．抛物线 y＝ax2+bx+c的顶点为 A（2，m），且经过点 B（5，0），其部分
图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①ac＜0；②a﹣b+c＞0；
③m+9a＝0；④若此抛物线经过点 C（t，n），则 t+4 一定是方程 ax2+bx+c＝n
的一个根．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③
C．③④ D．①④
二、填空题：本大题共 8个小题，每小题 2分，共 16 分.
11．在平面直角坐标系中，点 (3,2) 关于原点对称的点的坐标是 ．
12．已知 x 2是关于 x的一元二次方程 x2 bx 5 0 的一个根，则 b的值是 ．
13．写出一个开．口．向．下．，顶．点．在．x．轴．上．的二次函数的表达式 ．
14．如图，P是正方形 ABCD内一点，将 PCD绕点C逆时针方向旋转后与△ P CB重合，若 PC 2，
则 PP ．
15 2．如图，直线 y mx n与抛物线 y x bx c交于 A, B两点，其中点 A 2, 3 ，点B 5,0 ，
则不等式 x2 bx c mx n的解集为_______________．
第 14 题图 第 15 题图 第 18 题图
16．已知关于 x的方程 (m 1)x2 2x 1 0 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
17. 2飞机着陆后滑行的距离 s（单位：m）与滑行的时间 t（单位：s）的函数解析式是 s 60t 1.5t ，
那么飞机着陆后滑行________秒才能停下来.
18. 如图，已知 Rt△ACB， ACB 90 ， B 60 ，AC 4 3 ，点D在CB所在直线上运动，以 AD
为边作等边三角形 ADE ，则CB ．在点 D运动过程中，CE 的最小值 ．
三．解答题：共 54 分，第 19-24 题，每题 5 分，第 25-28 题，每题 6 分. 解答应写出
文字说明、演算步骤或证明过程．
1
19 x2．解方程： 3x 5 0 ．
2
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20．如图，在正方形 ABCD中，点 E在边 AB上，将点 E绕点 D逆时针旋转得到点 F，若点 F恰好
落在边 BC的延长线上，连接 DE，DF，EF．
（1）判断△DEF的形状，并说明理由；
（2）若 EF＝ 4 2 ，则△DEF的面积为 ．
21．已知关于 x的一元二次方程 x2 4mx m2 0．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若 x 1是该方程的一个实数根，求代数式 (m 2)2 3的值.
22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的
坐标分别为 A(5，4)，B(0，3)，C(2，1).
（1）画出△ABC关于原点中心对称的△A1B1C1，并写出
点 C1 的坐标： ；
（2）画出将△A1B1C1 绕点 C1 按顺时针方向旋转 90°所
得的△A2B2C1.
23．已知：二次函数 y ax2 bx c(a 0) 中的 x和 y满足下表：
x 0 1 2 3 4 5
y 3 0 1 0 m 8
（1）m的值为 ；
（2）求出这个二次函数的解析式；
（3）当 1 x 3时，则 y的取值范围为 ．
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24．如图，有一块长为 21m，宽为 10m 的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿
地之间及周边留有宽度相等的人行通道，且人行通道的宽度不能超过 3 米.
(1）如果两块绿地的面积之和为 90m2，求人行通道的宽度;
(2）能否设计人行通道的宽度，使得每块绿地的宽与长之比等于 3:5，请说明理由﹒
10m
21m
25．下面给出六个函数解析式：
y 1 1 x2 y 3x2， 1 y x2 x y 2x2， ， 3 x 1 ， y x2 2 x 1 ，
2 2
y 3x2 x 4．
小明根据学习二次函数的经验，分析了上面这些函数解析式的特点，研究了它们的图象和性质．下
面是小明的分析和研究过程，请补充完整：
（1）观察上面这些函数解析式，它们都具有共同的特点，可以表示为形如：y＝ ，
其中 x为自变量；
2
（2）如图，在平面直角坐标系 xOy中，画出了函数 y x 2 x 1的部分图象，用描点法将
这个函数的图象补充完整；
（3）对于上面这些函数，下列四个结论：
①函数图象关于 y轴对称
②有些函数既有最大值，同时也有最小值
③存在某个函数，当 x＞m（m为正数）时，y随 x的增大而增大，当 x＜-m时，y随 x的增
大而减小
④函数图象与 x轴公共点的个数只可能是 0 个或 2 个或 4 个
所有正确结论的序号是 ；
（4）结合函数图象，解决问题：
若关于 x的方程 x2 2 x 1 x k有一个实数根为 3，则该方程其它的实数根为 ．
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26．在平面直角坐标系 xOy中，点 A x1, y1 ,B x , y y x2 22 2 在抛物线 2a 2 x a +2a上，
其中 x1＜x2 .
（1）求抛物线的对称轴（用含 a的式子表示）；
（2） ①当 x a时，求 y的值；
②若 y1 y2 0 ，求 x1的值（用含 a的式子表示）；
（3）若对于 x1+x2＜-4，都有 y1＜y2 ， 求 a的取值范围.
27．如图，在△ABC中，∠A=α（0°＜α≤90°），将 BC边绕点 C逆时针旋转（180°-α）得到线段 CD.
（1）判断∠B与∠ACD的数量关系并证明；
（2）将 AC边绕点 C顺时针旋转α得到线段 CE，连接 DE与 AC边交于点 M（不与点 A，C重合）.
①用等式表示线段 DM，EM之间的数量关系，并证明.
②若 AB=a,AC=b,直接写出 AM的长.（用含 a，b的式子表示）
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28．对于某一函数给出如下定义：若存在实数 p，当其自变量的值为 p时，其函数值等于 p，则称 p
为这个函数的不变值. 在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差 q称为这个函
数的不变长度.特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度 q为零.例如，下图中的函数有 0，1
两个不变值，其不变长度 q等于 1.
1 2（ ）函数① y 2x，② y x2 1，③ y x 2x中存在不变值的是 (填序号) ；
2
（2）函数 y 2x bx .
①若其不变长度为 0，则 b的值为 ；
②若1 b 3，求其不变长度 q的取值范围；
2
（3）记函数 y x 2x(x m) 的图象为G1 ，将G1 沿 x=m翻折后得到的函数图象记为G2 .函数 G
的图象由G1 和G2两部分组成，若其不变长度 q满足 0 q 3 ，则 m的取值范围为 .
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