【压轴攻略】2023-2024年高一数学上学期期中期末常考压轴题专练
专题10指数及指数函数
一、单选题
1．已知函数是上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
2．已知，若对，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，若，则的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
4．已知定义在上的函数满足，的图像关于轴对称．当时，对任意，满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．下列结论中，正确的是（ ）
A．设则 B．若，则
C．若，则 D．
6．已知函数，若对任意、、，总有、、为某一个三角形的边长，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
7．已知函数，其中，给出以下关于函数的结论：
①②当时，函数值域为③当时方程恰有四个实根④当时，若恒成立，则．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知函数的图像与过点的直线有3个不同的交点，，，则（ ）
A．8 B．10 C．13 D．18
9．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：.已知函数，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
10．设实数，满足，，则，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法比较
11．已知对任意正数a、b、c，当时，都有成立，则实数m的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
12．已知函数，．若，，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
13．设，表示不超过的最大整数，若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
14．已知函数图像与函数图像的交点为，，…，，则（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
15．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
16．已知函数，存在实数使得成立，若正整数的最大值为6，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
17．设，函数满足，若，则的最小值为
A． B． C． D．
18．已知，，则与之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法比较
二、多选题
19．已知函数，若，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
20．已知函数，若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是 ．
21．已知函数，若，使得不等式成立，则实数的取值范围是 .
四、解答题
22．计算：
(1)；
(2)．
(3)；
(4)；
23．设，若，试求:
(1)的值；
(2)的值.
24．定义：若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增函数.
(1)若，试判断是否为“1距”增函数，并说明理由；
(2)若是“距”增函数，求的取值范围；
(3)若，其中，且为“2距”增函数，求的最小值.
25．我们知道，函数图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．
(1)利用上述结论，证明：函数的图像关于成中心对称图形；
(2)判断函数的单调性（无需证明），并解关于x的不等式：．
26．已知函数（a为常数，）．
(1)讨论函数的奇偶性，并说明理由；
(2)当为偶函数时，若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
27．若函数满足：对于任意正数s、t，都有，，，则称函数为“L函数”．
(1)试判断函数是否是“L函数”；
(2)若函数为“L函数”，求实数a的取值范围；
(3)若函数为“L函数”，且，求证：对任意，都有．
28．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”.
(1)判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；
(2)若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围；
(3)已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数：，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值.
29．已知函数的定义域为，为大于的常数，对任意，都满足，则称函数在上具有“性质”．
(1)试判断函数和函数是否具有“性质”（无需证明）；
(2)若函数具有“性质”，且，求证：对任意，都有；
(3)若函数的定义域为，且具有“性质”，试判断下列命题的真假，并说明理由，
①若在区间上是严格增函数，则此函数在上也是严格增函数；
②若在区间上是严格减函数，则此函数在上也是严格减函数．
30．已知函数，函数．
(1)若，求函数的最小值；
(2)若对，都存在，使得，求的取值范围．
31．已知函数是奇函数．
(1)求b的值；
(2)证明在R上为减函数；
(3)若不等式成立，求实数t的取值范围．
32．已知函数是R上的偶函数.
（1）求常数m的值；
（2）若，求x的值；
（3）求证：对任意，都有.
33．（1）计算
（2）化简：.
参考答案：
1．C
【分析】由函数的图像关于点对称得到，结合是偶函数得到，进一步得到的周期是4，再利用周期性计算即可得到答案.
【详解】因为是上的偶函数，所以，
又的图象关于点对称，则，
所以，则，得，
即，所以是周期函数，且周期，
由时，，则，，，，
则，
则.
故选：C
2．D
【分析】由题意可知的值域是的值域的子集，所以求出两函数的值域，再根据子集的关系列不等式组，从而可求出的取值范围.
【详解】因为，，
所以在上递减，在上递增，
所以的最小值为，
因为，，所以的最大值为，
所以的值域为，
因为在上递增，
所以的值域为，
因为对，使得，
所以是的子集，
所以，解得，
即的取值范围
故选：D
3．B
【分析】根据分段函数的解析式依次求，，，即可.
【详解】因为当时，，
所以
，
又，所以，
所以，，，
所以若，则n的最大值为10，
故选：B.
4．C
【分析】由已知可推得，，进而得出.令，结合已知条件可求得，即可得出答案.
【详解】由已知可得，.
因为的图像关于轴对称，
所以，所以.
所以有，
所以，，
所以，函数的周期为，
所以，.
令，由已知可得，.
因为，所以，
所以，，则.
故选：C.
【点睛】方法点睛：已知函数的对称性，根据等量关系，推得函数的周期，进而利用周期性求解函数值.
5．B
【分析】根据分式指数幂及根式的运算法则，正确运算，即可判断出正误．
【详解】对于A，根据分式指数幂的运算法则，可得，选项A错误；
对于B，，故，选项B正确；
对于 C，， ，因为，所以，选项C错误；
对于D，，选项D错误.
故选：B．
6．D
【分析】依题意可得到对任意的、、恒成立，将函数的解析式用分离常数法变形，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论转化为的最小值与的最大值的不等式，进而求出实数的取值范围.
【详解】由题意可得，对任意的、、恒成立，
.
当时，函数是上的减函数，该函数的值域为，
故，，，此时，.
当时，，则对任意的、、恒成立；
当时，函数是上的增函数，该函数的值域为，
故，，，则.，此时，；
综上所述，实数的取值范围是.
故选D.
【点睛】本题考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时也考查了分类讨论的思想，属于难题.
7．C
【分析】由题可画函数图象，结合图象可解.
【详解】当时，，是把向右平移2个单位变成后，再把纵坐标变为原来的2倍，得到的图象，如图：
∵，故①正确；
由题知函数在上函数值域为，在上函数值域为，在上函数值域为，在上函数值域为，故当时，函数值域为，故②正确；
当时有无数个实数根，故③错误；
当时，函数的图象与的图象交于点，结合图象，即，故④正确,
故选：C
8．D
【分析】分析函数的对称性，再借助对称性的性质计算作答.
【详解】函数定义域为R，且，即点在函数图象上，
，，因此，函数的图象关于点对称，
依题意，不妨令，则点与关于点对称，即且，
所以.
故选：D
【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，存在常数a，b使得
或者，则函数图象关于点对称.
9．A
【分析】依题意可得，再根据指数函数的性质讨论，和时，函数的单调性与值域，即可得出答案.
【详解】因为，定义域为，
因为在定义域上单调递增，则在定义域上单调递减，
所以在定义域上单调递减，
时，，
时，；
则时，
时，，
时，.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题解题关键在于理解题中高斯函数的定义，才能通过研究的性质来研究的值域，突破难点.
10．C
【分析】先假设，再推理导出矛盾结果或成立的结果即可得解.
【详解】假设，则，，
由得，
因函数在上单调递减，又，则，所以；
由得，
因函数在上单调递减，又，则，所以；
即有与假设矛盾，所以，
故选：C
11．C
【分析】根据给定条件，把化为，并将它视为a的函数，利用对勾函数的性质求得，再构造函数，利用对勾函数求解作答.
【详解】由，，得，，于是，
，令，
函数在上递减，在上递增，显然，
因此，令函数，，
令，在上单调递减，在上单调递增，
而，即，于是，
因为对任意正数a、b、c，当时，都有成立，则，
所以实数m的取值范围是.
故选：C
【点睛】思路点睛：涉及多变量函数，结合给定条件采用消元、以其中的某个变量为自变量，另外的变量为参数，依次推理求解即可.
12．C
【分析】根据题意，将问题转化为的值域是的值域的子集，然后分与讨论，即可得到结果.
【详解】设函数在上的值域为，函数在上的值域为，
因为若，，使得成立，所以，
因为，，所以在上的值域为，
因为，
当时，在上单调递减，所以在上的值域为，
因为，所以，解得，又，所以此时不符合题意，
当时，图像是将下方的图像翻折到轴上方，
令得，即，
①当时，即时，在，上单调递减，
，，所以的值域，
又，所以，解得，
②当时，即时，在上单调递减，在
上单调递增，
，或，
所以的值域或，又，所以或，
当时，解得或，又，所以，
当时，解得或，又，所以，所以的取值范围．
③当时，时，在上单调递增，
所以，，所以在上的值域，
又，所以，解得，综上所述，的取值范围为.
故选：C
13．A
【分析】根据取整函数的定义，分别求出满足条件，， ，，的的范围，研究它们的交集即可确定的最大值.
【详解】，，，，
当时，，，
因为，所以，即
当时，，，，
因为，所以，
当时，，，，，
因为，所以，所以若则，此时，，故不存在满足，， ，，同时成立，
正整数的最大值为4，
故选：A．
14．A
【分析】分析函数，的性质，再探求它们的图象交点个数，利用性质计算作答.
【详解】函数定义域为，
其图象是4条曲线组成，在区间，，，上都单调递减，
当时，，当或时，取一切实数，当时，，
，即的图象关于点对称，
函数定义域为R，在R上单调递增，值域为，其图象夹在二平行直线之间，
，的图象关于点对称，
因此，函数的图象与的图象有4个交点，即，它们关于点对称，
不妨令点与相互对称，与相互对称，则，，
所以.
故选：A
【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，存在常数a，b使得，
则函数图象关于点对称.
15．A
【分析】由指数式的取值范围可得且，通过构造函数证明不成立，可得到正确选项.
【详解】因为，所以，所以，，所以，所以，若，则，设在上单调递增，所以，即，不合题意.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于，由，，构造函数，通过单调性证明若则存在矛盾.
16．C
【分析】分类讨论的值域，然后根据值域端点的倍数关系可解.
【详解】记
因为，所以，所以
当时，，所以，
取，
则对任意正整数，总有成立，故舍.
当时，，所以
要使正整数的最大值为6，则，解得；
当时，，所以
显然存在任意正整数，使得成立；
当时，，所以
要使正整数的最大值为6，则，解得
综上，的取值范围为
故选：C
17．A
【分析】由已知，先求解出函数的解析式，再由找到与之间的等量关系，然后代入的表达式中，消掉，然后使用基本不等式求解最小值即可.
【详解】∵，∴，
∴，
∴
，
∵，∴，
当且仅当时，等号成立，
即的最小值是，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了函数解析式的求法和求函数的最值，单调性法是求函数最值的通法．求函数最值时，首先考虑讨论函数的单调性，除非某些特殊函数可以用其他方法求最值，如图象法，基本不等式法，配方法，导数法等．
18．B
【分析】构造函数，得到，然后利用不等式的性质，由与的大小判断.
【详解】设，则，
所以，
，
而，
所以，即，
故选：B
19．AC
【分析】根据指数运算法则判断A，B选项，利用作差法结合函数的单调性与基本不等式可判断选项C，D.
【详解】A选项：成立，A选项正确；
B选项：，，B选项错误；
C选项：由，故在上单调递增，假设，则，故，即，C选项正确；
D选项：，又，由基本不等式可知，且当时，当时，故当时，原式，即成立，当时，原式，即，故D选项错误；
故选：AC.
20．
【分析】判断函数的单调性，利用其解析式推出，则可将不等式对恒成立，转化为，即对恒成立，即可求得答案.
【详解】由题意知单调递增，故在R上单调递增，
又，
故不等式对恒成立，
即对恒成立，
所以，即对恒成立，
当时，，
故，即实数a的取值范围是，
故答案为：
【点睛】本题考查了函数不等式恒成立求解参数范围问题，解答时要注意判断函数的单调性以及函数满足的性质，因而解答的关键是利用函数满足的性质脱去函数符号“f”,将问题转化为，即对恒成立，即可解决.
21．
【分析】设，证明其为奇函数，减函数，不等式化为，再由奇偶性与单调性变形为，分离参数为，然后求得的最大值，即可得结论．
【详解】令，
则，是奇函数，
设，则，，，
，∴，从而，
所以在上是减函数，又是奇函数，所以它在上也是减函数，
所以在上是减函数，
不等式可化为，
即，，
所以，，
令
设，，
，
当时，，，，递减，
当时，，，，递增，
所以，，∴在上的最大值为，
故答案为：．
【点睛】结论点睛：不等式恒成立与能成立问题：
的定义域是，的定义域是，
（1）对任意，任意，总有成立等价于，
（2）对任意，存在，使得成立等价于，
（3）存在，对任意，使得成立等价于．
22．(1)12
(2)
(3)
(4)100
【分析】（1）由指数幂的运算，代入计算，即可得到结果；
（2）由指数幂的运算，代入计算，即可得到结果；
（3）由指数幂的运算，代入计算，即可得到结果；
（4）由指数幂的运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）
（2）
（3）原式
（4）原式==
23．(1)1
(2)500
【分析】（1）将所求式子代入函数通分化简即可求出结果；
（2）将所求函数值进行分组，利用（1）的结论即可求出结果.
【详解】（1），
所以.
（2）原式，
所以.
24．(1)是“1距”增函数，理由见解析
(2)
(3)当时，，当时，.
【分析】(1)根据定义检验即可；
(2)由定义列不等式求的取值范围；
(3)由条件结合定义列不等式求的范围，再求函数的最值.
【详解】（1）对任意的，
故是“1距”增函数；
（2），
又为“距”增函数，
所以恒成立，
因为，
所以恒成立，
所以，所以，故；
（3）因为，
其中，且为“2距”增函数，
所以当时，恒成立，
增函数，
当时，，
即恒成立，
，解得，
当时，，
即恒成立，
所以，解得，
所以.
令，则.
①当时，即时，
当时，
②当时，即时，
当时，
综上，当时，
当时，
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
25．(1)证明见解析
(2)为减函数，答案见解析
【分析】（1）由题，证明为奇函数即可；
（2）由题可得为减函数，又结合（1）结论可知
，后分类讨论的值解不等式即可.
【详解】（1）证明：由题意，只需证明为奇函数，
又，
易知函数定义域为.，所以为奇函数，所以的图像关于成中心对称图形．
（2）易知为增函数，且，对任意的恒成立，
所以为减函数. 又由（1）知，点与点关于点成中心对称，即，
所以原不等式等价于，
所以，即，
由解得，
当时，原不等式解集为或；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为或．
【点睛】关键点点睛：本题涉及函数新定义，以及利用新定义结合函数单调性解决问题.
本题关键是读懂信息，第一问将证明函数对称性转化为证明函数奇偶性，第二问则利用所得结论将函数不等式转化为含参二次不等式.
26．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求出和时的具体值，即可判断奇偶；
（2）由（1）可得，题意可转化成对恒成立，设，，利用单调性的定义判断在上为减函数，即可求解
【详解】（1）函数的定义域为，，
当时，即，解得，
所以时，函数是偶函数，
当时，即，解得，
所以时，函数是奇函数，
综上所述，当时，函数是奇函数；
当时，函数是偶函数；
当时，函数是非奇非偶函数
（2）为偶函数，根据（1）可知
对于任意的，都有成立，故即，
因为，所以对恒成立，
设，，
任取，且，即，
则 ，
因为，所以，可得，即
所以在上为减函数，，故
所以实数m的取值范围是
【点睛】方法点睛：函数存在性和恒成立问题，构造新函数并利用新函数的性质是解答此类问题的关键，并注意把握下述结论：
①存在解；恒成立；
②存在解；恒成立；
③存在解；恒成立；
④存在解；恒成立
27．(1)是“L函数”
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据“L函数”的定义，利用作差法即可得出结论；
（2）根据“L函数”的定义，可得当时，，，转化为函数不等式恒成立问题，利用分离参数法求解即可；
（3）根据“L函数”的定义，令，可得，从而可得，再结合即可得证.
【详解】（1）对于，当时，，，
因为，
所以，
所以是“L函数”；
（2）当时，由是“L函数”，
得，即对一切正数恒成立，
因为，所以对一切正数恒成立，
又因为，所以，
由，得，
所以，
因为，所以，
由对一切正数恒成立，，
所以，即，
综上可知，实数a的取值范围为；
（3）因为函数f（x）为“L函数”，
所以对于任意正数都有，，且，
令，可知，即，
所以对于正整数与正数都有，
对任意，可得，
因为，
所以.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于理解“L函数”的定义，考查了不等式恒成立问题及转化思想.
28．(1)不是“ 赖函数"，理由见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据“依赖函数”的定义，由时不存在使，即可判断；
（2）由题设可得，进而有且，结合二次函数的性质求范围；
（3）根据“依赖函数”的定义易得，结合的区间单调性求得，再将题设恒(能)成立转化为上，即可求的最大值.
【详解】（1）对于函数的定义域内存在此时无解，故不是“依赖函数".
（2）因为在上递增，故，即，
由，故，得，
从而在上单调递增，故.
（3）①若，故在上最小值为0，此时不存在使，舍；
②若，故在上单调递减，从而，解得（舍）或，
从而存在，使得对任意的有恒成立，即恒成立，
由，得.
由，可得，又在单调递减，
故当时，，从而，解得，
综上，实数的最大值为.
【点睛】关键点点睛：第三问，根据二次函数的性质及“依赖函数”的定义求出参数a，再将不等式转化为关于t的一元二次不等式恒成立，判别式、参变分离法进一步化为上.
29．(1)函数不具有“性质”，函数具有“性质”
(2)证明见解析
(3)命题①为假命题，命题②为真命题，理由见解析
【分析】（1）利用作差法结合“性质”的定义判断可得出结论；
（2）利用“性质”的定义结合不等式可推导出，，利用不等式的基本性质可证得结论成立；
（3）取可判断命题①为假命题，对命题②，对任意的、且，取，根据“性质”的定义结合基本不等式的性质、单调性的定义证得，即可证得结论成立.
【详解】（1）解：函数不具有“性质”，函数具有“性质”，理由如下：
设，，
对任意的，
，
所以，，所以，函数不具有“性质”，
对任意的，，
所以，，所以，函数具有“性质”.
（2）证明：因为函数具有“性质”，对任意的，，
所以，，
又因为，所以，
，
所以，，由不等式的可加性可得，
故对任意的，.
（3）解：命题①是假命题，命题②是真命题，理由如下：
对于命题①，取函数，由（1）可知，函数具有“性质”，
函数在区间上是严格增函数，但该函数在上不单调；
对于命题②，对任意的，对任意的，，
所以，，
对任意的、且，取，
必存在且，满足，
因为函数在区间上是严格减函数，
所以，，即，
所以，，
故，即，
故函数在上是严格减函数.
所以，命题②为真命题.
【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
30．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意利用换元结合对勾函数分析求解；
（2）由题意分析可得：在上的值域是在上的值域A的子集，结合二次函数的性质分析求解.
【详解】（1）若，则，
因为，令，则，
又因为在上单调递增，且，
所以函数的最小值．
（2）设在上的值域为A，在上的值域为，由题意可知：，
由（1）可知：，
因为，解得或，
当时，且，则，
可得，
可知：的最大值为，最小值为，
即，可得，解得；
当时，且，则，
可得，
可知：的最大值为，最小值为，
即，可得，解得；
综上所述：的取值范围为.
【点睛】关键点睛：取特值，缩小的取值范围，进而分析求解.
31．(1)
(2)证明见解析
(3)或
【分析】（1）利用奇函数定义和奇函数中求b的值；
（2）按取点，作差，变形，判断的过程来即可；
（3）通过函数的单调性，然后结合奇函数的性质把转化为一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出t的取值范围．
【详解】（1）∵的定义域为R，
又∵为奇函数，∴由得，
此时，∴为奇函数，
所以．
（2）任取，，且，则，
∵，∴，∴．
又∵，∴，即，
故为R上的减函数．
（3）因为为奇函数，所以，
可化为，
又由（2）知为减函数，所以，所以或．
32．（1）（2）或.（3）见解析
【解析】（1）是偶函数，则有，根据这个等式可解得m的值；（2）将代入函数，解关于x的方程，即得；（2）若对任意，都有，等价于，将代入，进行化简验证即得。
【详解】解：（1）由是R上的偶函数.
∴，即：，解得.
（2）由，得，解得或，即或.
（3）因为
所以，
即.
【点睛】本题考查通过函数的奇偶性求参数，以及证明不等式成立，需要掌握指数函数的运算性质。
33．（1）
（2）
【分析】（1）根据指数的运算法则化简求值即可（2）化根式为分数指数幂，运用指数的云算法化简求值.
【详解】（1）
；
（2）原式.
【点睛】本题主要考查了根式化分数指数幂，指数的运算法则，属于中档题.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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