2023-2024学年苏科版八年级数学上《3.3勾股定理的简单应用》提优训练（一）
（时间：90分钟 满分：120分）
一．选择题(30分）
1．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使点C落在AB边上的点E处，AD是折痕，则△BDE的周长为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．14
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
2．如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在AB边上的E处，EQ与BC相交于点F，若AD＝8，AE＝4，AB＝6，则△EBF周长的大小为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．6
3.如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺.突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，则水深是( )尺
A.3.5 B.4 C.4.5 D.5
4.如图，一个高1.5米，宽3.6米的大门，需要在相对的顶点间用一条木板加固，则这条木板的长度是( )
A.3.8米 B.3.9米 C.4米 D.4.4米
5.如图，A，B两个村庄分别在两条公路MN和EF的边上，且MN∥EF，某施工队在A，B，C三个村之间修了三条笔直的路.若∠MAB=65°，∠CBE=25°，AB=160km，BC=120km，则A，C两村之间的距离为( )
A.250km B.240km C.200km D.180km
6.一艘轮船以16海里∕时的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另一艘轮船以12海里∕时从港口A出发向东南方向航行.离开港口1小时后，两船相距( )
A.12海里 B.16海里 C.20海里 D.28海里
7．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别在AC、BC上且DE∥AB，将△ABC沿DE折叠，使C点落在斜边AB上的F处，则AF的长是（ ）
A．3.6 B．4 C．4.8 D．6.4
第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
8．如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝15，AC＝12．沿过点D的直线折叠这个三角形，使点A落在BC边上的点E处，折痕为CD，则△BDE的周长是（ ）
A．15 B．12 C．9 D．6
9．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角时，BE的长为（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．3或1.5
10．如图，AD是△ABC的角平分线，∠C＝20°，AB+BD＝AC，将△ABD沿AD所在直线翻折，点B在AC边上的落点记为点E，那么∠AED等于（ ）
A．80° B．60° C．40° D．30°
二．填空题(30分)
11.有诗曰:“平地秋千未起,踏板一尺离地.送行二岁与人齐,五尺人高曾记.仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉,良工高士好奇,算出索长有__________.”(注:一步等于5尺,图示如图)
12.《九章算术》是我国古代数学的典著,书中有一个“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何 ”意思是:一根竹子,原来高一丈(一丈为十尺),虫伤有病,一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离原竹子根部三尺远,问:原处还有___高的竹子.
第12题图 第13题图 第14题图 第15题图
13．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使点C落在AB边上的点E处，AD是折痕，则△BDE的周长为 ．
14．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，D为BC上一点，将AC沿AD折叠，使点C落在AB上点C1处，则CD的长为 ．
15．如图将直角△ABC沿AD对折，使点C落在AB上的E处，若AC＝6，AB＝10，则DB＝ ．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且∠CDE＝∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB上的F处，若CD＝4，CE＝3，则AB的长为 ．
第16题图 第17题图 第18题图 第20题图
17．如图，三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10．在AC边上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则CE的长为 ．
18．如图，把长方形纸片ABCD沿折痕EF折叠，使点B与点D重合，点A落在点G处，∠DFG＝68°，则∠BEF的度数为 °．
19．观察：①3、4、5，②5、12、13，③7、24、25，……，发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过．根据以上规律，请写出第8组勾股数：______．
20.如图,有一长方形的仓库，一边长为5m,现要将它改建为简易住房,改建后的住房分为客厅、卧室和卫生间三部分，其中客厅和卧室都为正方形,且卧室的面积大于卫生间的面积,若改建后卫生间的面积为6m2，则长方形仓库另一边的长是 ．
三。解答题（60分）
21．（8分）如图，在直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，折叠纸片使AC边落在AB边上，点C落在点E处，展开纸片得折痕AD．
（1）求AB的长；
（2）求CD的长．
22．（8分）（1）如图1，已知AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD所在直线对折，点C落在点E的位置（如图1），则∠EBC等于 度．
（2）如图2，有一直角三角形纸片，两直角边AC＝3，BC＝4，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．
23．（8分）如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B'处，点A落在点A'处．
（1）试说明B'E＝BF；
（2）设AE＝a，AB＝b，BF＝c，试猜想a，b，c之间的关系，并说明理由．
24．（12分）我们知道，图形的运动只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小，运动前后的两个图形全等，翻折就是这样．如图1，将△ABC沿AD翻折，使点C落在AB边上的点C'处，则△ADC≌△ADC'．
尝试解决：
（1）如图2，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC沿AD翻折，使点C落在AB边上的点C'处，求CD的长．
（2）如图3，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点P在边AD上，连接BP，将△ABP沿BP翻折，使点A落在点E处，PE、BE分别与CD交于点G、F，且DG＝EG．
①求证：PE＝DF；②求AP的长。
25．（12分）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”如图1，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①请叙述勾股定理；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请利用图二证明该定理；
S大正方形=_____，还可以表示为_____，
所以可得到_______=______，
化简后最终得到____．
(2)如图4，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则，，满足的关系是______．
(3)如图5，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月形图案（阴影部分）的面积为______．
26．（12分）如图①，是四边形ABCD的一个外角，，，点F在CD的延长线上，，，垂足为G．
（1）求证：①DC平分；②．
（2）如图②，若，，．
①求的度数； ②直接写出四边形ABCF的面积．
教师样卷
一．选择题(30分）
1．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使点C落在AB边上的点E处，AD是折痕，则△BDE的周长为（ C ）
A．6 B．8 C．12 D．14
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
2．如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在AB边上的E处，EQ与BC相交于点F，若AD＝8，AE＝4，AB＝6，则△EBF周长的大小为（ A ）
A．8 B．10 C．12 D．6
3.如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺.突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，则水深是( C )尺
A.3.5 B.4 C.4.5 D.5
4.如图，一个高1.5米，宽3.6米的大门，需要在相对的顶点间用一条木板加固，则这条木板的长度是( B )
A.3.8米 B.3.9米 C.4米 D.4.4米
5.如图，A，B两个村庄分别在两条公路MN和EF的边上，且MN∥EF，某施工队在A，B，C三个村之间修了三条笔直的路.若∠MAB=65°，∠CBE=25°，AB=160km，BC=120km，则A，C两村之间的距离为( C )
A.250km B.240km C.200km D.180km
6.一艘轮船以16海里∕时的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另一艘轮船以12海里∕时从港口A出发向东南方向航行.离开港口1小时后，两船相距( C )
A.12海里 B.16海里 C.20海里 D.28海里
7．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别在AC、BC上且DE∥AB，将△ABC沿DE折叠，使C点落在斜边AB上的F处，则AF的长是（ A ）
A．3.6 B．4 C．4.8 D．6.4
第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
8．如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝15，AC＝12．沿过点D的直线折叠这个三角形，使点A落在BC边上的点E处，折痕为CD，则△BDE的周长是（ B ）
A．15 B．12 C．9 D．6
9．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角时，BE的长为（ D ）
A．2 B．3 C．2或3 D．3或1.5
10．如图，AD是△ABC的角平分线，∠C＝20°，AB+BD＝AC，将△ABD沿AD所在直线翻折，点B在AC边上的落点记为点E，那么∠AED等于（ C ）
A．80° B．60° C．40° D．30°
二．填空题(30分)
11.有诗曰:“平地秋千未起,踏板一尺离地.送行二岁与人齐,五尺人高曾记.仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉,良工高士好奇,算出索长有__10尺________.”(注:一步等于5尺,图示如图)
12.《九章算术》是我国古代数学的典著,书中有一个“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何 ”意思是:一根竹子,原来高一丈(一丈为十尺),虫伤有病,一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离原竹子根部三尺远,问:原处还有_4.55尺__高的竹子.
第12题图 第13题图 第14题图 第15题图
13．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使点C落在AB边上的点E处，AD是折痕，则△BDE的周长为 12 ．
14．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，D为BC上一点，将AC沿AD折叠，使点C落在AB上点C1处，则CD的长为 3 ．
15．如图将直角△ABC沿AD对折，使点C落在AB上的E处，若AC＝6，AB＝10，则DB＝ 5 ．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且∠CDE＝∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB上的F处，若CD＝4，CE＝3，则AB的长为 9.6 ．
第16题图 第17题图 第18题图 第20题图
17．如图，三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10．在AC边上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则CE的长为 3 ．
18．如图，把长方形纸片ABCD沿折痕EF折叠，使点B与点D重合，点A落在点G处，∠DFG＝68°，则∠BEF的度数为 56 °．
19．观察：①3、4、5，②5、12、13，③7、24、25，……，发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过．根据以上规律，请写出第8组勾股数：__17，144，145____．
20.如图,有一长方形的仓库，一边长为5m,现要将它改建为简易住房,改建后的住房分为客厅、卧室和卫生间三部分，其中客厅和卧室都为正方形,且卧室的面积大于卫生间的面积,若改建后卫生间的面积为6m2，则长方形仓库另一边的长是 8 ．
三。解答题（60分）
21．（8分）如图，在直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，折叠纸片使AC边落在AB边上，点C落在点E处，展开纸片得折痕AD．
（1）求AB的长；
（2）求CD的长．
解：（1）∵直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB=10，
（2）由折叠的性质可知，AD是∠CAB的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，AC＝AE，∴DC＝DE，
∵AC＝6，AB＝10，∴AE＝6，BE＝4，设CD＝x，则BD＝8﹣x，DE＝x，∵DE⊥BE，∴x2+42＝（8﹣x）2，解得，x＝3，即CD的长是3．
22．（8分）（1）如图1，已知AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD所在直线对折，点C落在点E的位置（如图1），则∠EBC等于 度．
（2）如图2，有一直角三角形纸片，两直角边AC＝3，BC＝4，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．
解：（1）依题意，得∠EDA＝∠ADC＝45°，即∠EDC＝90°，又∵DC＝DE，AD为△ABC的中线，∴BD＝DC，即BD＝DE，△BDE为等腰直角三角形，∴∠EBC＝45°；
（2）令CD＝x，则DB＝4﹣x，由于是直角三角形且是折叠，所以AB＝5，AE＝AC＝3，DE＝x，EB＝2，因为∠AED＝∠C＝90°，故在Rt△BDE中运用勾股定理得：
（4﹣x）2＝22+x2，16﹣8x＝4，解得x=1.5，即CD=1.5．
23．（8分）如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B'处，点A落在点A'处．
（1）试说明B'E＝BF；
（2）设AE＝a，AB＝b，BF＝c，试猜想a，b，c之间的关系，并说明理由．
解：（1）证明：由折叠的性质得：B'F＝BF，∠B'FE＝∠BFE，在长方形纸片ABCD中，AD∥BC，∴∠B'EF＝∠BFE，∴∠B'FE＝∠B'EF，∴B'F＝B'E，∴B'E＝BF．
（2）a，b，c之间的关系是a2+b2＝c2．理由如下：由（1）知B'E＝BF＝c，由折叠的性质得：∠A'＝∠A＝90°，A'E＝AE＝a，A'B'＝AB＝b．在△A'B'E中，∵∠A'＝90°，
∴A'E2+A'B'2＝B'E2，∴a2+b2＝c2．
24．（12分）我们知道，图形的运动只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小，运动前后的两个图形全等，翻折就是这样．如图1，将△ABC沿AD翻折，使点C落在AB边上的点C'处，则△ADC≌△ADC'．
尝试解决：
（1）如图2，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC沿AD翻折，使点C落在AB边上的点C'处，求CD的长．
（2）如图3，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点P在边AD上，连接BP，将△ABP沿BP翻折，使点A落在点E处，PE、BE分别与CD交于点G、F，且DG＝EG．
①求证：PE＝DF；②求AP的长。
解：（1）∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB=10，∵将△ABC沿AD翻折，使点C落在AB边上的点C'处，∴△ADC≌△ADC'．∴CD＝C'D，∠AC'D＝∠ACD＝90°，即∠DC'B＝180°﹣∠AC'D＝180°﹣90°＝90°，AC＝AC'＝6，∴BC'＝AB﹣AC'＝10﹣6＝4，∴△DC'B为直角三角形，且∠DC'B＝90°，∴C'D2+C'B2＝DB2，即CD2+42＝（8﹣CD）2，∴CD＝3；
（2）①由折叠可知△PAB≌△PEB，∴PE＝PE，∠A＝∠E＝90°，在△DPG和△EFG中，
，∴△DPG≌△EFG（ASA），∴PG＝FG，∴PG+GE＝FG+GD，即PE＝DF；
②∵△PAB≌△PEB，△DPG≌△EFG，AB＝8，AD＝6，∴PE＝DF＝PA，即CF＝8﹣DF＝8﹣AP，
∴EF＝DP＝AD﹣AP，即BF＝8﹣EF＝8﹣（6﹣AP）＝2+AP，∵∠C＝90°，∴BC2+CF2＝BF2，
即62+（8﹣AP）2＝（2+AP）2，∴AP=4.8
25．（12分）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”如图1，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①请叙述勾股定理；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请利用图二证明该定理；
S大正方形=_____，还可以表示为_____，
所以可得到_______=______，
化简后最终得到____．
(2)如图4，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则，，满足的关系是______．
(3)如图5，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月形图案（阴影部分）的面积为______．
解：①直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（如果用，和分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么）；故答案为：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；②图2：大正方形的面积为，
还可以表示为：四个小直角三角形的面积与小正方形的面积的和为，
所以可得到，化简后最终得到：；
故答案为：；；；；；
（2）解：设对应的直角边长为，对应的直角边长为，对应的斜边长为，
由圆的面积公式得：，，，由勾股定理得：，则，即，故答案为：；
（3）解：设直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，
由（2）可知，，则阴影部分的面积为
，故答案为：．
26．（12分）如图①，是四边形ABCD的一个外角，，，点F在CD的延长线上，，，垂足为G．
（1）求证：①DC平分；②．
（2）如图②，若，，．
①求的度数； ②直接写出四边形ABCF的面积．
解：（1）①证明：∵，∴，∵，∴，
∴，∴DC平分；
②证明：如图①，过点F作，垂足为H，∵，又，，∴，∵，，∴，
∵，∴（AAS），∴，．∵，
∴．∴（LH），∴=．∴；
（2）①如图②，AD，BF的交点记为O．由（1）知，，，,∵，，∴,
在中，，，∴．∴．
∵，又，．∴．∵，又，
∴．∵，又，
∴．∴．∵，
∴∴．
∴；
②过B作BM⊥AD于M，∵∠ABD=90°，AB=4，BD=BC=3，AD=5，∴ ，
∵AD∥BC，∴△BCD边BC上的高为，∴，
∵∠AFD=90°，FG⊥AE，∴，，
∵DG=1，，AD=4+1=5，∴，，
解得：，，∴，∴FG=2，
∴，∴四边形ABCF的面积为=．
