姜堰四中八年级数学第一次学情了解检测
一、单选题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
1．下列图形中，可以被看作是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，，点与与分别是对应顶点，且测得，则长为( )
A． B． C． D．
3．如图，在三角形纸片中， cm， cm， cm，将沿过点B的直线折叠，使顶点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长为（ ）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
4．如图，在和中，点E、F在上，，，添加下列一个条件后能用“”判定的是（ ）
A． B． C． D．
5．某地兴建的幸福小区的三个出口、、的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在（ ）
A．三条高线的交点处 B．三条中线的交点处
C．三个角的平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处
6．如图，在中，是的中线，是边的中垂线，且与相交于点G，连接，若四边形与四边形的面积分别为7和11，则的面积为（ ）
A．18 B．20 C．22 D．36
二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
7．一个等腰三角形的两边长分别是、，则它的周长为 ．
8．从镜子中看到汽车的车辆的号码如图所示，则该汽车的号码是 ．
9．如图，已知在中，CD是AB边上的高线，BE平分，交CD于点E，，，则的面积等于 ．
10．如图，在中，，，的垂直平分线分别交于点D，E，连接，则的度数为 ．
11．如图，△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为 .
12．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为 ．
13．如图，在的边、上取点、，连接，平分，平分，若，的面积是2，的面积是8，则的长是 ．
14．如图，点为内任一点，，分别为点关于，的对称点.若，则 .
15．有三条两两相交的公路，要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，那么加油站可建的地点有 个．
16．如图，在中，，，，为边上的高，点E从点B出发在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动 s时，．
三、解答题（本大题共10小题，共102分）
17．如图，在中，，，D为延长线上一点，点E在边上，且，连接、、．求证：；
18．作图题
①如图，在正方形网格中，点都在格点上，作关于直线对称的图形
②在直线上找一点，使得最小
19．作图题（保留作图痕迹）如图，电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇P，Q的距离必须相等，到两条高速公路m，n的距离也必须相等，请问发射塔应该建在什么位置？请用尺规作图在图中标记出发射塔所在的位置．
20．如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE=DE，BE=CE．
（1）求证：ABEDCE；
（2）当AB=5时，求CD的长．
21．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．
（1）求∠ECD的度数；
（2）若CE＝5，求BC长．
22．已知：如图，E为△ABC的外角平分线上的一点，AE∥BC，，求证：
(1)△ABC是等腰三角形；
(2)．
23．如图，在中，DM、EN分别垂直平分AC和BC交AB于M、N．
(1)若，求的周长；
(2)若，求的度数．
24．如图，在中，，P为的中点，D，E分别为，上的点，且．
(1)求证：．
(2)若，，求的度数．
25．已知：如图，，点D． E分别在、上，且，、交于点O，
(1)求证：；
(2)求证：点O在线段的垂直平分线上．
26．（1）如图①，，射线在这个角的内部，点B、C分别在的边、上，且，于点F，于点D．，．的长为 ．
（2）探索证明：如图②，点B，C在的边、上，，点E，F在内部的射线上，且．求证：．
（3）拓展应用：如图③，在中，，．点D在边BC上，，点E、F在线段AD上，．若的面积为15，求与的面积之和．
27．阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
在中，，，边上的中线的取值范围．
(1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：
①延长到Q使得；
②再连接把集中在中；
③利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是____．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
(2)请写出图1中与的关系并证明；
(3)思考：已知，如图2，是的中线，，，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．
参考答案与解析
1．C
【分析】利用轴对称图形定义进行解答即可．
【详解】解：A、不可以看作轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不可以看作轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、可以看作轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不可以看作轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2．C
【分析】全等三角形的对应边相等，据此求解．
【详解】解：，点与与分别是对应顶点，，
，
，
，
，
故选C．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应边相等．
3．B
【分析】根据翻折变换的性质可得，，然后求出，再根据三角形的周长列式求解即可．
【详解】解：沿折叠点落在边上的点处，
，，
，，
，
的周长
．
故答案为：B．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，熟记翻折前后两个图形能够完全重合得到相等的线段是解题的关键．
4．A
【分析】先根据得到，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可．
【详解】解：∵，
∴，
即，
A选项，因为，，，满足“”判定，符合题意；
B选项，因为，，，是用“”判定，不符合题意；
C选项，因为，，，是用“”判定，不符合题意；
D选项，因为，，，不能判定，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．
5．D
【分析】根据线段的垂直平分线的性质解答即可．
【详解】解：电动车充电桩到三个出口的距离都相等，
充电桩应该在三条边的垂直平分线的交点处，
故选：D．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质的应用，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
6．B
【分析】由中线，中垂线得，相应的得到三角形面积之间的关系，求得.进而得，.从而求解．
【详解】解：∵是的中线，是边的中垂线，
∴.
∴.
∵四边形与四边形的面积分别为7和11，
∴.
∴.
∴.
∴.
故选：B
【点睛】本题考查三角形中线、垂直平分线的性质，由三角形的位置关系得到面积之间的关系是解题的关键．
7．
【分析】需要分两种情况讨论：当等腰三角形的三边长分别为、、时；当等腰三角形的三边长分别为、、时．
【详解】当等腰三角形的三边长分别为、、时，可以构成三角形，等腰三角形的周长．
当等腰三角形的三边长分别为、、时，不可以构成三角形．
综上所述，等腰三角形的周长为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，能根据题意分类讨论是解题的关键．
8．B9365
【分析】根据抽对称的性质即可得出答案．
【详解】根据镜面对称的性质，题中显示的图片中的数字“”成对称，则该汽车的号码为B9365．
故答案为：B9365．
【点睛】本题主要考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解决本题的关键．
9．5
【分析】过作于点，由角平分线的性质可求得，则可求得的面积．
【详解】解：过作于点，
是边上的高，平分，
，
，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
10．30度##
【分析】由线段的垂直平分线交于D，交于E，可得，继而求得的度数，再由三角形的外角性质和三角形的内角和即可求得答案．
【详解】∵线段的垂直平分线交于D，交于E，
∴，
∴，
∵
∴，
∵,
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和以及等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
11．65°
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再由线段垂直平分线的性质得出∠C＝∠CAD，进而可得出结论.
【详解】解：∵△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣55°﹣30°＝95°.
∵直线MN是线段AC的垂直平分线，
∴∠C＝∠CAD＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝95°﹣30°＝65°.
故答案为：65°.
【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
12．3
【分析】由垂线段最短可知，当PQ与OM垂直的时候，PQ的值最小．
【详解】解：由垂线段最短可知，当PQ与OM垂直的时候，
PQ的值最小，
根据角平分线的性质可知，
此时PA=PQ=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，解题的关键是掌握垂线段距离最短．
13．10
【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接，利用角平分线的性质可得，然后根据三角形的面积求出，再利用的面积的面积的面积，进行计算即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接，
是外角平分线的交点，
，
，的面积是2，
，
，
，
的面积是8，
的面积的面积的面积，
，
，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
14．149
【分析】连接，根据对称的性质得出，再根据四边形内角和是得出的度数，即可得出结论
【详解】解：连接，如图所示：
根据对称知，，，，，
，
，
故答案为：149．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，得出．
15．4
【分析】根据“要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等”可知加油站需建在题目所给的图形的角平分线的交点上，故问题得解．
【详解】解：
如图所示作出角的平分线包括外角的角平分线，共有4个交点，所以由三条两两相交的公路，要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，则加油站需满足在角平分线的交点上，故可建的地点有4个．
故答案为4．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
16．2或4
【分析】先证明，得出，①当点E在射线上移动时，，即可求出E移动了；②当点E在射线上移动时，，即可求出E移动了．
【详解】解：∵，
∴，
∵为边上的高，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵过点E作的垂线交直线于点F，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
①如图，当点E在射线上移动时，，
∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动，
∴E移动了：；
②当点E在射线上移动时，，
∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动，
∴E移动了：（s）；
综上所述，当点E在射线CB上移动或时，；
故答案为：2或4．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练正确全等三角形的判定和性质是解题的关键．
17．见解析
【分析】根据即可求证．
【详解】证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了证明三角形全等，解题的关键是根据题意，得出判定三角形全等的条件．
18．见解析
【分析】①分别作点关于直线的对称点，然后连接，即可画出；
②作点关于直线的对称点，连接交于点，即可解答．
【详解】解：①分别作点关于直线的对称点，然后连接，如图所示：
②作点关于直线的对称点，连接交于点，则此时最小，如图如下：
【点睛】本题考查了作图—轴对称变换，轴对称—最短路线问题，解题的关键是掌握两点之间线段最短，找出点的位置．
19．见解析
【分析】连接，作出线段的垂直平分线，作出直线m，n夹角的角平分线，与线段的垂直平分线相交于点M，则点M即为所求．
【详解】解：如图所示，点M或点R为发射塔所在的位置，
【点睛】此题考查了角平分线和线段垂直平分线的作图，熟练掌握作图方法是解题的关键．
20．（1）证明见解析 （2）5
【分析】（1）根据，，和是对顶角，利用证明即可;（2）根据全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】（1）证明：在和中，
，
．
（2）解：，
，
，
．
【点睛】本题考查了学生对全等三角形的判定与性质这一知识点的理解和掌握，此题难度不大，要求学生应熟练掌握．
21．（1）∠ECD=36°；（2）BC长是5．
【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=CE，然后根据等边对等角可得∠ECD=∠A；
（2）根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠B=∠ACB=72°，由外角和定理求出∠BEC＝∠A+∠ECD＝72°，继而得∠BEC=∠B，推出BC=CE即可．
【详解】解：（1）∵DE垂直平分AC，
∴CE＝AE，
∴∠ECD＝∠A＝36°；
（2）∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠B＝∠ACB＝72°，
∴∠BEC＝∠A+∠ECD＝72°，
∴∠BEC＝∠B，
∴BC＝EC＝5．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
22．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由AE//BC可得，由AE平分得，从而，故可得结论；
（2）根据SAS证明即可证明AF=CE．
【详解】（1）∵AE//BC
∴
∵AE平分
∴
∴
∴，即△ABC是等腰三角形；
（2）由（1）可得，
∵
∴
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判断与性质，能判断出等角对等边是解答本题的关键．
23．(1)12cm；
(2)．
【分析】（1）根据垂平分线的性质定理得出AM=MC，BN=CN，故的周长等于AB得解；
（2）根据三角形的内角和定理求出，根据等腰三角形的性质得出，进而求出．
【详解】（1）解：DM、EN分别垂直平分AC和BC交AB于M、N．
，
的周长=MC+MN+CN=AM+MN+BM=AB，
∵AB=12cm，
的周长=12cm．
（2）解：，
，
，
，
，
，
=
=．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质等知识点，能熟练运用相关性质进行推理运算是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据，P为的中点，得出，即可求证；
（2）根据等边对等角得出，则，结合全等的性质得出，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，P为的中点，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握等腰三角形等边对等角，直角三角形两直角边互余，全等三角形对应角相等．
25．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据，即可由求证；
（2）等边对等角得出，根据全等的性质得出，
进而得出，则，即可求证点O在线段的垂直平分线上．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴点O在线段的垂直平分线上．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，全等三角形对应角相等，等腰三角形等边对等角．
26．（1），（2）见解析，（3）5
【分析】（1）根据，，得出，则，进而得出，则，最后根据，即可求解；
（2）根据，推出，，即可求证；
（3）用和（2）相同的方法证明，得出，则，根据，的面积为15，即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，的面积为15，
∴，
即与的面积之和为5．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和，全等三角形对应边相等，对应角相等．
27．(1)
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）由且即可求解；
（2）证可推出即可求解；
（3）延长到Q使得，连接，延长交于点，证、即可求解．
【详解】（1）解：∵且
∴
故答案为：
（2）解：，理由如下：
∵是边上的中线
∴
∴
（3）解：，理由如下：
延长到Q使得，连接，延长交于点
∵是边上的中线
∴
【点睛】本题考查全等三角形的常见模型：倍长中线模型．熟记相关几何模型和结论是解题的关键．
