等腰三角形
一．选择题
1．已知等腰三角形的两边长分别和，则它的周长为
A． B． C． D．或
2．如图，在中，，为中点，，则的度数为
A． B． C． D．
3．如图，在中，，的垂直平分线交于，连结，若的周长为23，则的长为
A．6 B．7 C．8 D．9
4．已知等腰三角形的一个内角为，则它的顶角为
A． B． C．或 D．或
5．如图，，，平分外角，则与的关系是
A． B． C． D．
6．如图，，若，则的度数是
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，在直线或上取一点，使得为等腰三角形，则符合条件的点的个数有
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，在正方形网格中，点，在格点上，若点也在格点上，且是等腰三角形，则符合条件的点的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
9．由下列长度的三条线段，能构成等腰三角形的是
A．，， B．，， C．，， D．，，
10．如图所示，共有等腰三角形
A．4个 B．5个 C．3个 D．2个
11．如图，在中，平分，平分，经过点，与、相交于点、，且，周长为25，，则的长为
A．6 B．12 C．13 D．14
12．如图，为内一点，平分，，垂足为，交于点，，，，则的长为
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
二．填空题
13．在中，，垂直平分，若，，则的周长是 ．
14．如图，中，，是上任意一点，过作于，于，若，则 ．
15．如图，，是的中线，点、是中线上的两点，若，则图中阴影部分的面积为 ．
16．如图，在中，为边上一点，且平分，过作于点．若，，，，则 ．
17．如图，点是的内角和外角的两条角平分线的交点，过点作，交于点，交于点，若，则线段的长度为 ．
三．解答题
18．如图，在中，点为边上一点，连结并延长到点，过点作交于点，交于点．
（1）若，求证：；
（2）若，，，求的度数．
19．如图，在中，，是边上的中线．
（1）求证：；
（2）若的周长为33，，求的长．
20．如图，在中，平分交于点，点为延长线上一点，过点作分别交、于、两点．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）过点作交延长线于点，，请直接写出图形中所有的等腰三角形除外）．
21．已知：如图，中，，垂直平分交于点，平分，且于，与相交于点．
（1）求证：；
（2）求证：．
22．（1）如图1，已知：在中，，平分，平分，过点作，分别交、于、两点，则图中共有 个等腰三角形；与、之间的数量关系是 ，的周长是
（2）如图2，若将（1）中“中，”改为“若为不等边三角形，，”其余条件不变，则图中共有 个等腰三角形；与、之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出的周长
（3）已知：如图3，在外，，且平分，平分的外角，过点作，分别交、于、两点，则与、之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明．
参考答案
1．
解：根据题意，
①当腰长为时，，符合三角形三边关系，周长；
②当腰长为时，，符合三角形三边关系，周长．
故选：．
2．
解：，为中点，
是的平分线，，
，
．
故选：．
3．
解：是线段的垂直平分线，
，
，
的周长为23，，
．
故选：．
4．
解：如图所示，中，．
有两种情况：
①顶角；
②当底角是时，
，
，
，
，
这个等腰三角形的顶角为和．
故选：．
5．
解：，
，
，
，
平分外角，
，
，
故选：．
6．
解：，
，，
，
，
，
，
．
故选：．
7．
解：如图，以为腰，为顶角的顶点的等腰三角形有，，，
以为腰，为顶角的顶点的等腰三角形有，，，
以为底边，为顶角的顶点的等腰三角形有△，
符合条件的点的个数有6个，
故选：．
8．
解：以为腰的等腰三角形有两个，以为底的等腰三角形有一个，如图：
所以符合条件的点的个数为3个，
故选：．
9．
解：根据三角形的三边关系，知
、，不能组成三角形；
、，能够组成三角形，但不是等腰三角形；
、，不能组成三角形；
、，能组成三角形，且是等腰三角形．
故选：．
10．解：根据三角形的内角和定理，得：，
根据三角形的外角的性质，得
．
再根据等角对等边，得
等腰三角形有，，，和．
故选：．
11．
解：平分，平分，
，，
，
，，
，，
，，
周长为25，，
，
，
，
，
，
故选：．
12．
解：平分，
，
，
，
又，
，
，，即为等腰三角形，
，
又，
，
，
故选：．
13．．
解：垂直平分，
，
的周长，
，
的周长，
故答案为：．
14．6．
解：连接，
由图可得，，
于，于，，
，
．
故答案为：6．
15．5．
解：，是的中线，
与关于对称，，
图中阴影部分的面积，
故答案为：5．
16．3．
解：如图，延长交于点．
平分，
．
在和中，
，
，
，，
．
，
，
，
．
，
，
，
．
故答案为：3．
17．6．
解：平分，
，
，
，
，
，
同理，，
，
，
故答案为：6．
18．（1）见解析；
（2）．
（1）证明：，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，
，
由（1）知，
，
．
19．（1）见解答；
（2）12．
（1）证明：，，
，
；
（2）解：，
可设，则，
是腰上的中线，
，
的周长为33，
，
，
．
20．（1）证明见解答过程；
（2），，，．
（1）证明：平分，
，
，
，，
，
是等腰三角形；
（2）解：，
是等腰三角形，
，
，，
，
，
，
是等腰三角形，
，，
，
是等腰三角形，
，
，
，
是等腰三角形，
故图形中的等腰三角形有，，，．
21．（1）见解析；
（2）见解析．
证明：（1）垂直平分，且，
，且，
，，
，
在和中，
，
，
．
（2）由（1）得，
平分，且，
在和中，
，
，
．
．
22．解：（1）．
理由如下：
，
，
平分，平分，
，，
，
，
，，，，
，，
，，，
等腰三角形有，，，，共5个，
，
即，
的周长．
故答案为：5；；20；
（2），
平分，平分，
，，
，
，，
，，
，，
等腰三角形有，，
，即．
可得的周长为18．
（3），
由（1）知，
，
，
，
又，
．
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