2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团九年级第一学期月考数学试卷（10月份）
一.选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．习近平主席在2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道．下列有关环保的四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．端午节是我国传统节日，这天小颖的妈妈买了3只红豆粽和6只红枣粽，这些粽子除了内部馅料不同外其他均相同．小颖从中随意选一个，她选到红豆粽的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．已知二次函数y＝﹣3（x﹣4）2﹣5，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为x＝﹣4 B．顶点坐标为（4，5）
C．函数的最大值是﹣5 D．函数的最小值是﹣5
4．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中（ ）
A．两锐角都大于45° B．有一个锐角小于45°
C．有一个锐角大于45° D．两锐角都小于45°
5．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，且AB∥CD，则添加下列一个条件能判定四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．AC＝BD B．∠ADB＝∠CDB C．∠ABC＝∠DCB D．AD＝BC
6．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+a和y＝﹣ax2+3x+3（a是常数，且a≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，△ABC中，∠BAD＝∠CAD，BE＝CE，AD⊥BD，DE＝，AB＝4，则AC的值为（ ）
A．6 B． C．7 D．8
8．已知函数y＝2﹣（x﹣m）（x﹣n），并且a，b是方程2﹣（x﹣m）（x﹣n）＝0的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（ ）
A．m＜n＜b＜a B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．a＜m＜n＜b
9．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BE⊥AC于点E，且AC＝4CE，若OC＝4，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．12 B．20 C． D．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c，当y＞n时，x的取值范围是m﹣3＜x＜1﹣m，且该二次函数的图象经过点P（3，t2+5），Q（d，4t）两点，则d的值可能是（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣4 D．﹣6
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分．
11．抛物线y＝﹣4（x+1）2﹣3的对称轴是 ．
12．掷一枚六个面分别标有1，2，3，4，5，6的正方形骰子，则向上一面的数不大于5的概率是 ．
13．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD＝120°，连接BD，作AE∥BD交CD延长线于点E．过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，且AB＝2，则EF的长是 ．
14．公园草坪上，自动浇水喷头喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠与喷头的水平距离x（米）的函数解析式是．水珠可以达到的最大高度是 米．
15．若实数a、b满足a+b2＝2，则a满足的范围 ，a2+5b2的最小值为 ．
16．已知抛物线y＝2x2+bx+c与直线y＝﹣2只有一个公共点，且过点A（m﹣2，n），B（m+4，n），过点A，B分别作x轴的垂线，垂足为M，N，则四边形AMNB的周长为 ．
三、解答题：本大题有8个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．请在6×6的正方形网格中，各画出一个不同类型的特殊平行四边形，并分别求出所画特殊平行四边形的面积．
（1）图1：AB为菱形的一条边；
（2）图2：AB为正方形的一条对角线．
18．在一个不透明的布袋中装有8个红球和16个白球，它们除颜色不同外其余都相同．
（1）求从布袋中摸出一个球是红球的概率；
（2）现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从布袋中摸出一个球是红球的概率是，问取走了多少个白球？
19．如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若∠B＝30°，AE平分∠BAC，，求AD的长．
20．某农场拟建三间矩形牛饲养室，饲养室的一面全部靠现有墙（墙长为40m），饲养室之间用一道用建筑材料做的墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为60m，设三间饲养室合计长x（m），总占地面积为y（m2）．
（1）求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围．
（2）x为何值时，三间饲养室占地总面积最大？最大为多少？
21．如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx﹣b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．
（1）求二次函数与一次函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出满足（x+2）2+m＜kx﹣b的x的取值范围．
22．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点（AE＞CE），连接BE，DE．
（1）求证：BE＝DE；
（2）过点E作EF⊥AC交BC于点F，延长BC至点G，使得CG＝BF，连接DG、EG．
①依题意补全图形；
②若，求DG的长．
23．已知二次函数y＝mx2+2mx+3，其中m≠0．
（1）若二次函数的图象经过（1，0），求二次函数表达式；
（2）若该二次函数图象开口向下，当﹣2≤x≤2时，二次函数图象的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为5，求点M和点N的坐标；
（3）在二次函数图象上任取两点（x1，y1），（x2，y2），当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，求a的取值范围．
24．（1）【探究发现】如图①，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F．求证：四边形AFCE是菱形；
（2）【类比应用】如图②，直线EF分别交矩形ABCD的边AD，BC于点E，F，将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D′，若AB＝6，BC＝8，求四边形ABFE的周长；
（3）【拓展延伸】如图③，直线EF分别交平行四边形ABCD的边AD，BC于点E，F，将平行四边形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D′，若，BC＝12，∠C＝45°，求EF的长．
参考答案
一.选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．习近平主席在2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道．下列有关环保的四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）逐项判断即可得．
解：选项A、B、C的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．端午节是我国传统节日，这天小颖的妈妈买了3只红豆粽和6只红枣粽，这些粽子除了内部馅料不同外其他均相同．小颖从中随意选一个，她选到红豆粽的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据概率公式计算即可．
解：小颖的妈妈买了3只红豆粽和6只红枣粽，共9只粽子，
其中红豆粽有3只，
∴选到红豆粽的概率为＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
3．已知二次函数y＝﹣3（x﹣4）2﹣5，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为x＝﹣4 B．顶点坐标为（4，5）
C．函数的最大值是﹣5 D．函数的最小值是﹣5
【分析】根据二次函数的性质和二次函数的解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
解：∵二次函数y＝﹣3（x﹣4）2﹣5，
∴该函数的对称轴为直线x＝4，故选项A错误，不符合题意；
顶点坐标为（4，﹣5），故选项B错误，不符合题意；
该函数的最大值是﹣5，故选项C正确，符合题意，选项D错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中（ ）
A．两锐角都大于45° B．有一个锐角小于45°
C．有一个锐角大于45° D．两锐角都小于45°
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
解：反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中两锐角都大于45°，
故选：A．
【点评】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
5．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，且AB∥CD，则添加下列一个条件能判定四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．AC＝BD B．∠ADB＝∠CDB C．∠ABC＝∠DCB D．AD＝BC
【分析】根据菱形的判定方法分别对各个选项进行判定，即可得出结论．
解：∵AB∥CD，
∴∠BAO＝∠DCO，∠ABO＝∠CDO，
∵OA＝OC，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
A、当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形；故选项A不符合题意；
B、∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵∠ADB＝∠CDB，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AD＝AB，
∴四边形ABCD为菱形，故选项B符合题意；
C、∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠DCB
∴∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；故选项C不符合题意；
D、当AD＝BC时，不能判定四边形ABCD为菱形；故选项D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
6．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+a和y＝﹣ax2+3x+3（a是常数，且a≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
解：A、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝﹣ax2+3x+3的图象应该开口向上，对称轴x＝﹣＜0，故不符合题意；
B、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝﹣ax2+3x+3的图象应该开口向上，对称轴x＝﹣＜0，故选项符合题意；
C、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝﹣ax2+3x+3的图象应该开口向下，故选项符合题意；
D、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝﹣ax2+3x+3的图象应该开口向上，故选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数、一次函数的图象和性质，熟知函数与系数的关系，一次函数、二次函数的性质是解题的关键．
7．如图，△ABC中，∠BAD＝∠CAD，BE＝CE，AD⊥BD，DE＝，AB＝4，则AC的值为（ ）
A．6 B． C．7 D．8
【分析】延长BD交AC于F，可证得△ABD≌△AFD，从而AF＝AB＝4，可证得DE是△BCF的中位线，从而得出CF的值，进一步可得出结果．
解：如图，
延长BD，交AC于F，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝∠ADF＝90°，
在△ABD和△AFD中，
，
∴△ABD≌△AFD（ASA），
∴BD＝DF，AF＝AB＝4，
∵BE＝CE，
∴CF＝2DE＝3，
∴AC＝AF+CF＝4+3＝7，
故答案为：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
8．已知函数y＝2﹣（x﹣m）（x﹣n），并且a，b是方程2﹣（x﹣m）（x﹣n）＝0的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（ ）
A．m＜n＜b＜a B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．a＜m＜n＜b
【分析】根据抛物线与x轴的交点情况和方程的解的关系求解．
解：由题意得：a、b是函数y＝2﹣（x﹣m）（x﹣n）与x轴的两个交点的横坐标，
而m、n是函数y＝﹣（x﹣m）（x﹣n）与x轴的两个交点的横坐标，
y＝2﹣（x﹣m）（x﹣n）与y＝﹣（x﹣m）（x﹣n）的形状相同，开口向下，
且y＝2﹣（x﹣m）（x﹣n）的图象向下平移2个单位得到y＝﹣（x﹣m）（x﹣n），
∴a＜m＜n＜b，
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，理解抛物线与x轴的交点情况和方程的解的关系是解题的关键．
9．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BE⊥AC于点E，且AC＝4CE，若OC＝4，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．12 B．20 C． D．
【分析】根据矩形的性质得到BO＝OD，AO＝OC＝4，BD＝AC，求得OC＝OB＝4，根据勾股定理得到BE＝＝，根据三角形的面积公式即可得到结论．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BO＝OD，AO＝OC＝4，BD＝AC，
∴OC＝OB＝4，
∵AC＝4CE，
∴OC＝2CE，
∴OE＝，
∵BE⊥AC，
∴BE＝＝，
∴矩形ABCD的面积＝2S△ABC＝2×AC BE＝2×＝16．
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，30°直角三角形性质等知识点，熟练掌握并运用等边三角形性质和判定并求出∠DBA＝30°是本题解题的关键．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c，当y＞n时，x的取值范围是m﹣3＜x＜1﹣m，且该二次函数的图象经过点P（3，t2+5），Q（d，4t）两点，则d的值可能是（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣4 D．﹣6
【分析】由题意可知该抛物线的对称轴和开口方向，并通过比较两点的纵坐标可知两点离对称轴的远近关系，由此可列不等式，求出d范围，进而选出符合条件的选项．
解：如图，根据题意可知，该二次函数开口向下．
对称轴为x＝＝﹣1，
∵t2+5﹣4t＝（t﹣2）2+1＞0，
∴与点Q相比，点P更靠近对称轴，
即3﹣（﹣1）＜|d﹣（﹣1）|，整理得|d+1|＞4．
∴当d+1≥0时，有d+1＞4，
解得d＞3；
当d+1＜0时，有﹣（d+1）＞4，
解得d＜﹣5．
综上，d＞3或d＜﹣5．
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的性质及图象上点的坐标的特征，有一定难度，对于程度一般的学生可能没有思路，无从下手．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分．
11．抛物线y＝﹣4（x+1）2﹣3的对称轴是 直线x＝﹣1 ．
【分析】根据抛物线解析式，可以直接写出该抛物线的对称轴．
解：∵抛物线y＝﹣4（x+1）2﹣3，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，
故答案为：直线x＝﹣1．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
12．掷一枚六个面分别标有1，2，3，4，5，6的正方形骰子，则向上一面的数不大于5的概率是 ．
【分析】根据概率公式计算即可．
解：根据题意，不大于5的面有1，2，3，4，5，
则向上一面的数不大于5的概率是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
13．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD＝120°，连接BD，作AE∥BD交CD延长线于点E．过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，且AB＝2，则EF的长是 2 ．
【分析】易证四边形ABDE是平行四边形，得出AB＝DE，证出CE＝2AB＝2，求出∠CEF＝30°，得出CF＝2，EF＝2即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB＝DE，
∴CE＝2AB＝4，
∵∠BCD＝∠BAD＝120°，
∴∠ECF＝60°，
∵EF⊥BC，
∴∠CEF＝30°，
∴CF＝CE＝2，EF＝CF＝2；
故答案为：2．
【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定、直角三角形的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
14．公园草坪上，自动浇水喷头喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠与喷头的水平距离x（米）的函数解析式是．水珠可以达到的最大高度是 14 米．
【分析】根据二次函数的顶点式即可求解．
解：∵y＝﹣x2+14x＝﹣（x﹣2）2+14，
∴当x＝2时，y有最大值，最大值为14，
∴水珠的最大离地高度是14米，
故答案为：14．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握把二次函数的解析式化为顶点式．
15．若实数a、b满足a+b2＝2，则a满足的范围 a≤2 ，a2+5b2的最小值为 4 ．
【分析】由a+b2＝2得出b2＝2﹣a，即可得出2﹣a≥0，从而求得a≤2，把b2＝2﹣a代入a2+5b2得出a2+5b2＝a2+5（2﹣a）＝a2﹣5a+10，再利用配方法化成a2+5b2＝（a﹣）2+，即可求出其最小值．
解：∵a+b2＝2，
∴b2＝2﹣a，
∴b2≥0，
∴a＝2﹣b2≤2，
a2+5b2＝a2+5（2﹣a）＝a2﹣5a+10＝＝．
∵a≤2，
∴当a＝2时，，
故a2+5b2的最小值为4．
故答案为：a≤2；4．
【点评】本题考查了二次函数的最值，根据题意得出a2+5b2＝（a﹣）2+是关键．
16．已知抛物线y＝2x2+bx+c与直线y＝﹣2只有一个公共点，且过点A（m﹣2，n），B（m+4，n），过点A，B分别作x轴的垂线，垂足为M，N，则四边形AMNB的周长为 44 ．
【分析】依据题意，抛物线y＝2x2+bx+c与直线y＝﹣2只有一个公共点，可知该抛物线顶点的纵坐标是﹣2，由A（m﹣2，n）和B（m+4，n），可得抛物线的对称轴和AB的长度，从而可以得到关于b，c的关系式，通过转化即可求得n的值，从而可以求得四边形AMNB的周长．
解：由题意，∵抛物线经过点A（m﹣2，n）和点B（m+4，n），
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣．
又抛物线y＝2x2+bx+c与直线y＝﹣2只有一个公共点，
∴抛物线的顶点在直线y＝﹣2上．
∴，
即c＝＝2m2+4m．
∴n＝2（m﹣2）2﹣4（m+1）（m﹣2）+2m2+4m＝16．
∴AM＝BN＝16．
又∵A（m﹣2，n），B（m+4，n），
∴AB＝（m+4）﹣（m﹣2）＝6．
∴四边形AMNB的周长为是：AM+MN+NB+BA＝16+6+16+6＝44．
故答案为：44．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
三、解答题：本大题有8个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．请在6×6的正方形网格中，各画出一个不同类型的特殊平行四边形，并分别求出所画特殊平行四边形的面积．
（1）图1：AB为菱形的一条边；
（2）图2：AB为正方形的一条对角线．
【分析】（1）根据菱形的定义作图，根据“菱形的面积等于对角线积的一半”求解；
（2）根据正方形的判定定理作图，根据正方形份民间故事求解．
解：（1）菱形ABDC即为所求，面积为：＝3；
（2）正方形AEBF即为所求，面积为：＝5．
【点评】本题考查了作图的应用与设计，掌握特殊的平行四边形的判定定理是解题的关键．
18．在一个不透明的布袋中装有8个红球和16个白球，它们除颜色不同外其余都相同．
（1）求从布袋中摸出一个球是红球的概率；
（2）现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从布袋中摸出一个球是红球的概率是，问取走了多少个白球？
【分析】（1）用红球的个数除以球的总共个数可求从布袋中摸出一个球是红球的概率；
（2）设取走了x个白球，根据从布袋中摸出一个球是红球的概率是，列出方程求解即可．
解：（1）P（从布袋中摸出一个球是红球）＝＝＝；
（2）设取走了x个白球，根据题意得：
＝，
解得：x＝1．
答：取走了1个白球．
【点评】本题考查了概率的知识．解答本题的关键是掌握概率的求法：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若∠B＝30°，AE平分∠BAC，，求AD的长．
【分析】（1）证AD∥BC，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得EC＝AD＝2，再由含30°角的直角三角形的性质得AE＝2EC＝4，进而由勾股定理得AC＝2，然后由含30°角的直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠CAD＝90°，
∴AD∥BC，
又∵AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形；
（2）解：由（1）可知，四边形AECD是平行四边形，
∴EC＝AD，
∵∠B＝30°，，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝60°，AC＝2，
∵AE平分∠BAC，
∴，
∴∠AEC＝60°，AE＝2CE，
在Rt△AEC中，由勾股定理得：AC＝＝＝2，
∴EC＝2，
∴AD＝2．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、平行线的判定以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
20．某农场拟建三间矩形牛饲养室，饲养室的一面全部靠现有墙（墙长为40m），饲养室之间用一道用建筑材料做的墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为60m，设三间饲养室合计长x（m），总占地面积为y（m2）．
（1）求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围．
（2）x为何值时，三间饲养室占地总面积最大？最大为多少？
【分析】（1）设饲养室长为x（m），则宽为（60﹣x）m，根据长方形面积公式即可得，由墙可用长≤40m可得x的范围；
（2）把函数关系式化成顶点式，然后根据二次函数的性质即可得到结论．
解：（1）根据题意得，y＝x（60﹣x）＝﹣x2+15x，
自变量的取值范围为：0＜x≤40；
（2）∵y＝﹣x2+15x＝﹣（x﹣30）2+225，
∴当x＝30时，三间饲养室占地总面积最大，最大为225（m2）．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题以后，准确列出二次函数关系式，正确运用二次函数的有关性质来解题．
21．如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx﹣b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．
（1）求二次函数与一次函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出满足（x+2）2+m＜kx﹣b的x的取值范围．
【分析】（1）先利用待定系数法先求出m，再求出点B坐标，利用方程组求出一次函数解析式．
（2）根据二次函数的图象在一次函数的图象上面即可写出自变量x的取值范围．
解：（1）∵抛物线y＝（x+2）2+m经过点A（﹣1，0），
∴0＝1+m，
∴m＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝（x+2）2﹣1＝x2+4x+3，
∴点C坐标（0，3），
∵对称轴x＝﹣2，B、C关于对称轴对称，
∴点B坐标（﹣4，3），
∵y＝kx+b经过点A、B，
∴，解得，
∴一次函数解析式为y＝﹣x﹣1，
（2）由图象可知，写出满足（x+2）2+m＜kx+b的x的取值范围为﹣4＜x＜﹣1．
【点评】本题考查二次函数与不等式、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定好像解析式，学会利用图象根据条件确定自变量取值范围，属于中考常考题型．
22．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点（AE＞CE），连接BE，DE．
（1）求证：BE＝DE；
（2）过点E作EF⊥AC交BC于点F，延长BC至点G，使得CG＝BF，连接DG、EG．
①依题意补全图形；
②若，求DG的长．
【分析】（1）根据“SAS”证明三角形全等，再根据全等三角形的性质证明；
（2）①根据题中步骤作图；
②根据三角形全等的判断和性质，及勾股定理求解．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AD＝AB，∠BAC＝∠DAC，
∵AE＝AE，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE；
（2）解：①如图：
②∵∠ECF＝45°，∠FEC＝90°，
∴∠EFC＝∠ECF＝45°，
∴EF＝EC，∠EFB＝∠ECG，
又∵BF＝CG，
∴△BFE≌△GCE（SAS），
∴BE＝GE，∠BEF＝∠GEC，
由（1）△BAE≌△DAE，
∴BE＝DE，∠AEB＝∠AED，
∴DE＝GE，
∵∠AEB+∠BEF＝90°，
∴∠AED+∠GEC＝90°，
∴∠DEG＝90°，
∴DE2+EG2＝DG2，
∴2DE2＝DG2，
∴DG＝BE＝4．
【点评】本题考查了复杂作图，掌握三角形全等的判断和性质，及勾股定理是解题的关键．
23．已知二次函数y＝mx2+2mx+3，其中m≠0．
（1）若二次函数的图象经过（1，0），求二次函数表达式；
（2）若该二次函数图象开口向下，当﹣2≤x≤2时，二次函数图象的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为5，求点M和点N的坐标；
（3）在二次函数图象上任取两点（x1，y1），（x2，y2），当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，求a的取值范围．
【分析】（1）把（1，0）点的坐标代入函数解析式中求出m即可；
（2）根据抛物线开口向下得m＜0，根据函数图象的性质确定最高点和最低点，从而得出m的值，即可求出M点和N点的坐标；
（3）分开口方向向上和开口方向向下两种情况，根据图象的增减性讨论a的取值范围．
解：（1）把（1，0）代入函数解析式得，m+2m+3＝0，
∴m＝﹣1，
∴函数解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵抛物线开口方向向下，
∴m＜0，
∵y＝mx2+2mx+3＝m（x+1）2+3﹣m，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，顶点为（﹣1，3﹣m），即最高点M（﹣1，3﹣m），
∵点M的纵坐标为5，
∴3﹣m＝5，
解得m＝﹣2，
∴M（﹣1，5），y＝﹣2x2﹣4x+3，
∵﹣1﹣（﹣2）＜2﹣（﹣1），
∴最低点N的横坐标为2，此时y＝﹣2×22﹣4×2+3＝﹣13，
∴N（2，﹣13）；
（3）①当m＞0时，
则有当x≤﹣1时，y随x增大而减小，
当x≥﹣1时，y随x增大而增大，
∵当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，
此时a+2≤﹣1，
∴a≤﹣3，
②当m＜0时，
则有当x≤﹣1时，y随x增大而增大，
当x≥﹣1时，y随x增大而减小，
∵当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，
此时a≥﹣1，
综上，当m＞0时a≤﹣3；当m＜0时，a≥﹣1．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质是解题的关键．
24．（1）【探究发现】如图①，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F．求证：四边形AFCE是菱形；
（2）【类比应用】如图②，直线EF分别交矩形ABCD的边AD，BC于点E，F，将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D′，若AB＝6，BC＝8，求四边形ABFE的周长；
（3）【拓展延伸】如图③，直线EF分别交平行四边形ABCD的边AD，BC于点E，F，将平行四边形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D′，若，BC＝12，∠C＝45°，求EF的长．
【分析】（1）通过证明△EAO≌△FCO（ASA），得到OE＝OF，可证四边形AFCE为平行四边形，再由EF⊥AC，可证平行四边形AFCE为菱形；
（2）过点F作FH⊥AD于H，先判断四边形ABFH是矩形，再根据勾股定理和矩形的性质，求出四边形的周长；
（3）过点A作AN⊥BC，交CB的延长线于N，过点F作FM⊥AD于M，先证明四边形ANFM是平行四边形，再证明四边形ANFM是矩形，通过勾股定理，在Rt△AMF中，求出ME＝AE﹣AM＝2，再在Rt△MFE中，求出EF即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥CF，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵EF垂直平分AC，
∴∠AOE＝∠COF＝90°，AO＝OC，
∴△EAO≌△FCO（ASA），
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AFCE为菱形；
（2）解：过点F作FH⊥AD于H，
由折叠可知：AF＝CF，∠AFE＝∠EFC，
在Rt△ABF中，AF2＝BF2+AB2，即（8﹣BF）2＝BF2+36，
∴BF＝，
∴AF＝CF＝，
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠EFC＝∠AFE，
∴AE＝AF＝，
∵∠B＝∠BAD＝∠AHF＝90°，
∴四边形ABFH是矩形，
∴AB＝FH＝6，AH＝BF＝，
∴EH＝，
∴EF＝＝＝，
∴四边形ABFE的周长＝AB+BF+AE+EF＝6+++＝；
（3）解：过点A作AN⊥BC，交CB的延长线于N，过点F作FM⊥AD于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠C＝45°，
∴∠ABC＝135°，
∴∠ABN＝45°，
∵AN⊥BC，
∴∠ABN＝∠BAN＝45°，
∴AN＝BN＝AB＝6，
由折叠的性质可知：AF＝CF，∠AFE＝∠EFC，
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠EFC＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∵AF2＝AN2+NF2，
∴AF2＝36+（18﹣AF）2，
∴AF＝10，
∴AE＝AF＝10，
∵AN∥MF，AD∥BC，
∴四边形ANFM是平行四边形，
∵AN⊥BC，
∴四边形ANFM是矩形，
∴AN＝MF＝6，
在Rt△AMF中，AM＝＝＝8，
∴ME＝AE﹣AM＝10﹣8＝2，
在Rt△MFE中，EF＝＝＝2．
【点评】本题是四边形的综合题，熟练掌握菱形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，图形折叠的性质是解题的关键．
