2023-2024学年陕西省西安市高新第二学校九年级第一学期第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．如图所示，几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
2．一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝5 C．（x﹣4）2＝1 D．（x﹣4）2＝5
3．在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为2：1，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣8，4）
C．（﹣2，1）或（2，﹣1） D．（﹣8，4）或（8，﹣4）
4．如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（ ）
A．200tan70°米 B．米
C．200sin 70°米 D．米
5．已知反比例函数，点A（x1，y1），B（x2，y2）都在其图象上，下列说法不正确的是（ ）
A．图象分布在第二、四象限
B．当x＜0时，y随x的增大而增大
C．图象经过点（3，﹣1）
D．若x1＜x2，则 y1＜y2
6．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰，测得BD＝12cm，AC＝16cm，直线EF⊥AB交两对边于点E，F，则EF的长为（ ）
A．8cm B．10cm C． D．
7．已知m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则式子2m2+4m﹣mn的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．1
8．如图，已知正方形ABCD，E为AB的中点，F是AD边上的一个动点，连接EF将△AEF沿EF折叠得△HEF，延长FH交BC于M，现在有如下5个结论：①△EFM定是直角三角形；②△BEM≌△HEM；③当M与C重合时，有；④MF平分正方形ABCD的面积；⑤4FH MH＝AB2，在以上5个结论中，正确的有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
9．若，则＝ ．
10．在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球50次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球 个．
11．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．若舞台AB长为16m，那么主持人站立的位置离A点较近的距离为 m．（结果保留根号）
12．如图，点A是反比例函数y＝（k≠0，x＜0）图象上的一点，经过点A的直线与坐标轴分别交于点C和点D，过点A作AB⊥y轴于点B，＝，连接BC，若△BCD的面积为2，则k的值为 ．
13．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E为BC中点，H，G分别是边AB，CD上的动点，且始终保持GH⊥AE，则EH+AG最小值为 ．
三、计算题（本大题共12小题，共18.0分）
14．解方程：
（1）4（x﹣3）2＝x（x﹣3）（因式分解）．
（2）3x2﹣6x﹣5＝0 （公式法）．
15．计算：tan260°﹣2sin30°﹣cos45°．
16．已知如图，△ABC中，AB＝AC，用尺规在BC边上求作一点P，使△BPA∽△BAC（保留作图痕迹，不写作法）．
17．已知：如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．求证：四边形AECF是菱形
18．如图，在△ABC中，sinA＝，∠C＝105°，AC＝2，求AB的长．
19．某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，用一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后人面积推广，如图所示，茶园一面常墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆），求这个茶园的长和宽．
20．李老师为缓解小如和小意的压力，准备了四个完全相同（不透明）的锦囊，里面各装有一张纸条，分别写有：A．转移注意力，B．合理宣泄，C．自我暗示，D．放松训练．
（1）若小如随机取走一个锦囊，则取走的是写有“自我暗示”的概率是 ；
（2）若小如和小意每人先后随机抽取一个锦囊（取走后不放回），请用列表法或画树状图的方法求小如和小意都没有取走“合理宣泄”的概率．
21．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条边DF＝0.5m，EF＝0.3m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB．
22．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的长．
23．四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，BE，CD，GF为长度固定的支架，支架在A，D，G处与立柱AH连接（AH垂直于MN，垂足为H），在B，C处与篮板连接（BC所在直线垂直于MN），EF是可以调节长度的伸缩臂（旋转点F处的螺栓改变EF的长度，使得支架BE绕点A旋转，从而改变四边形ABCD的形状，以此调节篮板的高度）．已知AD＝BC，DH＝208cm，测得∠GAE＝60°时，点C离地面的高度为288cm．调节伸缩臂EF，将∠GAE由60°调节为54°，判断点C离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：sin54°≈0.8，cos54°≈0.6）
24．已知A（﹣4，﹣4），B（2，8）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）连接OB，求△AOB的面积；
（3）结合图象直接写出不等式的解集．
25．（1）问题提出：如图①，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，P是AD上一动点，则BP+PD的最小值为 ．
（2）问题探究：如图②，在正方形ABCD中，AB＝3，点E是平面上一点，且CE＝1，连接BE在BE上方作正方形BEMN，求BM的最大值．
（3）问题解决：为迎接2021年9月在西安举办的第14届全运会，打造体育历史文化名城，某小区对一正方形区域ABCD进行设计改造，方便大家锻炼运动．如图③，在正方形内设计等腰直角△CEF为健身运动区域，直角顶点E设计在草坪区域扇形MBN的弧MN上．设计铺设CF和DF这两条不同造价鹅卵石路，已知AB＝40米，BM＝10，∠CEF＝90°，CE＝EF，若铺设CF路段造价为每米200元，铺设DF路段的造价为每米100元，请求出铺设CF和DF两条路段的总费用的最小值．
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．如图所示，几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从左面看到的图形是左视图，可得答案．
解：该几何体的左视图为：
．
故选：B．
【点评】本题主要考查了简单组合体的三视图．用到的知识点为：主视图指从物体的正面看，左视图是指从物体的左面看，俯视图是指从物体的上面看．准确掌握定义是解题的关键．
2．一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝5 C．（x﹣4）2＝1 D．（x﹣4）2＝5
【分析】本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．
解：∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4，
∴（x﹣2）2＝5．
故选：B．
【点评】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
3．在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为2：1，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣8，4）
C．（﹣2，1）或（2，﹣1） D．（﹣8，4）或（8，﹣4）
【分析】由在直角坐标系中，点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以O为位似中心，按2：1的相似比把△EFO缩小为△E′F′O，利用位似图形的性质，即可求得点E的对应点E′的坐标．
解：∵点E（﹣4，2），以O为位似中心，按2：1的相似比把△EFO缩小为△E′F′O，
∴点E的对应点E′的坐标为：（2，﹣1）或（﹣2，1）．
故选：C．
【点评】此题考查了位似图形的性质．此题比较简单，注意熟记位似图形的性质是解此题的关键．
4．如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（ ）
A．200tan70°米 B．米
C．200sin 70°米 D．米
【分析】在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及∠PQT的度数，进而得到∠PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长．
解：在Rt△PQT中，
∵∠QPT＝90°，∠PQT＝90°﹣70°＝20°，
∴∠PTQ＝70°，
∴tan70°＝，
∴PT＝＝，
即河宽米，
故选：B．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键．
5．已知反比例函数，点A（x1，y1），B（x2，y2）都在其图象上，下列说法不正确的是（ ）
A．图象分布在第二、四象限
B．当x＜0时，y随x的增大而增大
C．图象经过点（3，﹣1）
D．若x1＜x2，则 y1＜y2
【分析】直接利用反比例函数的性质结合反比例函数的增减性分别分析得出答案．
解：A．反比例函数，k＝﹣3＜0，图象分布在第二、四象限，故此选项不合题意；
B．当x＜0时，y随x的增大而增大，故此选项不合题意；
C．∵当x＝3时，y＝﹣1，
∴图象经过点（3，﹣1），故此选项不合题意；
D．若x1＜x2＜0或0＜x1＜x2时，则 y1＜y2，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，在描述反比例函数的增减性的时候，必须说明在第几象限内，否则就是错误的．
6．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰，测得BD＝12cm，AC＝16cm，直线EF⊥AB交两对边于点E，F，则EF的长为（ ）
A．8cm B．10cm C． D．
【分析】根据菱形的性质得到AC⊥BD，AO＝AC＝8cm，BO＝BD＝6cm，根据勾股定理得到AB＝10（cm），根据菱形的面积公式即可得到结论．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝AC＝8cm，BO＝BD＝6cm，
∴AB＝＝10（cm），
∵S菱形ABCD＝AC BD＝AB EF，
∴×16×12＝10EF，
∴EF＝，
故EF的长为cm，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
7．已知m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则式子2m2+4m﹣mn的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．1
【分析】由题意知m+n＝﹣2，mn＝﹣1，m2+2m﹣1＝0，将2m2+4m﹣mn转化为2（m2+2m）﹣mn代值即可得出结论．
解：∵m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣2，mn＝﹣1，m2+2m﹣1＝0，
∴m2+2m＝1，
∴2m2+4m﹣mn＝2（m2+2m）﹣mn＝2×1+1＝3，
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，熟记根与系数的关系是解本题的关键．
8．如图，已知正方形ABCD，E为AB的中点，F是AD边上的一个动点，连接EF将△AEF沿EF折叠得△HEF，延长FH交BC于M，现在有如下5个结论：①△EFM定是直角三角形；②△BEM≌△HEM；③当M与C重合时，有；④MF平分正方形ABCD的面积；⑤4FH MH＝AB2，在以上5个结论中，正确的有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由折叠的性质可得FA＝FH，EA＝EH，∠A＝∠FHE＝90°，由“HL”可证Rt△EMH≌Rt△EMB，可得∠MEH＝∠MEB，由平角的性质可求∠FEM＝90°，故①和②正确；通过证明△FHE∽△EHM，可得，可得AB2＝4HF HM，故⑤正确；如图1，设AE＝EB＝2a．则AB＝BC＝AD＝CD＝4a，通过证明△AEF∽△BCE，可得＝，可求AF＝a，可得，故③正确；当点F与点D重合时，直线MF不平分正方形的面积，故④错误，即可求解．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵E为AB的中点，
∴EA＝EB，
由翻折可知：FA＝FH，EA＝EH，∠A＝∠FHE＝90°，
∴∠EHM＝∠B＝90°，
∵EM＝EM，EH＝EB，
∴Rt△EMH≌Rt△EMB（HL），
∴∠MEH＝∠MEB，
∵∠FEH＝∠FEA，
∴，
∴△EFM是直角三角形，
故①②正确，
∵∠FEM＝90°＝∠FHE，
∴∠FEH+∠MEH＝90°＝∠FEH+∠EFH，
∴∠EFH＝∠HEM，
又∵∠FHE＝∠EHM＝90°，
∴△FHE∽△EHM，
∴，
又∵EH＝EB＝AB，
∴AB2＝4HF HM，故⑤正确，
如图1中，当M与C重合时，
设AE＝EB＝2a．则AB＝BC＝AD＝CD＝4a，
∵∠FEM＝90°，
∴∠AEF+∠CEB＝90°＝∠AEF+∠AFE，
∴∠AFE＝∠ECB，
又∵∠A＝∠B＝90°，
∴△AEF∽△BCE，
∴＝，
∴AF＝a，
∴DF＝3a，
∴DF＝3AF，
∴，故③正确，
如图2中，
当点F与点D重合时，显然直线MF不平分正方形的面积，故④错误，
综上所述，正确的有：①②③⑤，
故选：C．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质等知识，利用相似三角形的性质求线段的关系是解题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
9．若，则＝ 5 ．
【分析】根据比例的性质解答：设＝t，则x、y、z分别用t表示，然后将其代入所求的代数式，消去t，从而解得代数式的值．
解：设＝t，则
x＝3t，y＝5t，z＝7t．
∴＝＝5；
故答案为：5．
【点评】本题考查了比例的基本性质：两个内项之积等于两个外项之积．解答此题时，采用了代入法．
10．在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球50次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球 16 个．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解．
解：∵共试验50次，其中有10次摸到黑球，
∴白球所占的比例为＝，
设盒子中共有白球x个，则＝，
解得：x＝16．
经检验，x＝16是分式方程的解．
故答案为：16．
【点评】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．
11．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．若舞台AB长为16m，那么主持人站立的位置离A点较近的距离为 （24﹣8） m．（结果保留根号）
【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
解：设主持人站立的位置离A点较近的距离为xm，
由题意得：＝，
解得：x＝24﹣8，
∴主持人站立的位置离A点较近的距离为（24﹣8）m，
故答案为：（24﹣8）．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
12．如图，点A是反比例函数y＝（k≠0，x＜0）图象上的一点，经过点A的直线与坐标轴分别交于点C和点D，过点A作AB⊥y轴于点B，＝，连接BC，若△BCD的面积为2，则k的值为 ﹣6 ．
【分析】连接OA，根据＝，△BCD的面积为2，即可求得△COD的面积为4，通过证得△ABD∽△COD，求得S△ABD＝1，进一步求得S△AOD＝2，得到S△AOB＝3，根据k的几何意义，可得|k|＝3，根据图象可知k＜0，即可求出k的值．
解：连接OA，如图所示：
∵＝，△BCD的面积为2，
∴△COD的面积为4，
∵AB⊥y轴，
∴AB∥OC，
∴△ABD∽△COD，
∴＝（）2＝，
∴S△ABD＝1，
∵＝，
∴S△AOD＝2，
∴S△AOB＝3，
∵S△ABO＝|k|，
∴|k|＝3，
∴|k|＝6，
根据图象可知，k＜0，
∴k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了三角形的面积，反比例函数k的几何意义，由三角形面积求k的值注意符号是关键．
13．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E为BC中点，H，G分别是边AB，CD上的动点，且始终保持GH⊥AE，则EH+AG最小值为 ．
【分析】过G作GN⊥AB于N，依据△ABE∽△GNH，即可得到GH的长；以AG，AE为邻边作平行四边形AEMG，可得AG+HE＝ME+HE，当H，E，M在同一直线上时，AG+HE的最小值等于HM的长，再根据勾股定理求得HM的长，即可得到EH+AG的最小值．
解：如图所示，过G作GN⊥AB于N，则∠ANG＝90°，GN＝AD＝2，
∵GH⊥AE，
∴∠ANG＝∠AFG＝90°，
∴∠BAE＝∠NGH，
∴△ABE∽△GNH，
∴，
∵Rt△ABE中，AE＝＝＝，
∴，
∴GH＝，
如图所示，以AG，AE为邻边作平行四边形AEMG，则AG＝ME，GM＝AE＝，∠HGM＝∠AFG＝90°，
∴AG+HE＝ME+HE，
当H，E，M在同一直线上时，AG+HE的最小值等于HM的长，
此时，Rt△GHM中，HM＝＝＝，
∴EH+AG的最小值为，
故答案为．
【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，最短路线问题，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
三、计算题（本大题共12小题，共18.0分）
14．解方程：
（1）4（x﹣3）2＝x（x﹣3）（因式分解）．
（2）3x2﹣6x﹣5＝0 （公式法）．
【分析】（1）利用因式分解法解方程即可．
（2）利用公式法解方程即可．
解：（1）4（x﹣3）2＝x（x﹣3），
4（x﹣3）2﹣x（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（4x﹣12﹣x）＝0，
∴x﹣3＝0或3x﹣12＝0，
∴x1＝3，x2＝4．
（2）3x2﹣6x﹣5＝0，
这里a＝3，b＝﹣6，c＝﹣5，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4×3×（﹣5）＝36+60＝96＞0，
∴x＝＝＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了一元二方程的解法，根据所给一元二次方程的特点选择适当的解法是解题的关键．
15．计算：tan260°﹣2sin30°﹣cos45°．
【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．
解：原式＝（）2﹣2×﹣×
＝3﹣1﹣1
＝1．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
16．已知如图，△ABC中，AB＝AC，用尺规在BC边上求作一点P，使△BPA∽△BAC（保留作图痕迹，不写作法）．
【分析】作出AB的垂直平分线，可得BP＝AP，则∠PBA＝∠BAP，进而得出△BPA∽△BAC．
解：如图所示：点P即为所求，
此时△BPA∽△BAC．
【点评】此题主要考查了相似变换以及复杂作图，正确把握相似三角形的判定方法是解题关键．
17．已知：如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．求证：四边形AECF是菱形
【分析】由正方形的性质可得AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，可得EO＝FO，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形AECF是平行四边形，即可证四边形AECF是菱形．
【解答】证明：如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，
∵BE＝DF
∴DO﹣DF＝BO﹣BE
∴FO＝EO，且AO＝CO
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AC⊥BD
∴四边形AECF是菱形
【点评】本题考查了正方形的性质，菱形的判定，熟练运用正方形的性质解决问题是本题的关键．
18．如图，在△ABC中，sinA＝，∠C＝105°，AC＝2，求AB的长．
【分析】过C作CD⊥AB于D，由sinA＝得∠A＝30°，推出∠B＝45°，从而求出AD，BD长即可．
解：过C作CD⊥AB于D，
∵
∵sinA＝，
∴∠A＝30°，
∵∠A＝30°，，
∴，
∵cocA＝，
∴AD＝AC cosA＝2×＝3，
∵∠A＝30°，∠ACB＝105°
∴∠B＝∠BCD＝45°，
∴，
∴．
【点评】本题考查解直角三角形，关键是过C作CD⊥AB于D，构造直角三角形，以便应用三角函数定义．
19．某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，用一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后人面积推广，如图所示，茶园一面常墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆），求这个茶园的长和宽．
【分析】设这个茶园的宽AB为xm时，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，根据茶园的面积为600m2，列出方程并解答．
解：设这个茶园的宽AB为xm时，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，
根据题意，得x（69+1﹣2x）＝600，
整理，得x2﹣35x+300＝0，
解得x1＝15，x2＝20，
当x＝15时，70﹣2x＝40＞35，不符合题意舍去；
当x＝20时，70﹣2x＝30，符合题意．
答：这个茶园的宽AB为20m，长BC为30m．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出方程是解题的关键．
20．李老师为缓解小如和小意的压力，准备了四个完全相同（不透明）的锦囊，里面各装有一张纸条，分别写有：A．转移注意力，B．合理宣泄，C．自我暗示，D．放松训练．
（1）若小如随机取走一个锦囊，则取走的是写有“自我暗示”的概率是 ；
（2）若小如和小意每人先后随机抽取一个锦囊（取走后不放回），请用列表法或画树状图的方法求小如和小意都没有取走“合理宣泄”的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，小如和小意都没有取走“合理宣泄”的结果有6种，再由概率公式求解即可．
解：（1）若小如随机取走一个锦囊，则取走的是写有“自我暗示”的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有12种等可能的结果，小如和小意都没有取走“合理宣泄”的结果有6种，
∴小如和小意都没有取走“合理宣泄”的概率为＝．
【点评】此题考查利用树状图求概率，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条边DF＝0.5m，EF＝0.3m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB．
【分析】先在Rt△DEF中，由勾股定理求得DE，再利用Rt△DEF和Rt△BCD相似求得BC的长，加上小明同学的身高即可求得树高AB．
解：∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠EDF＝∠CDB，
∴△DEF∽△DCB，
∴＝，
在Rt△DEF中，
∵DF＝0.5m，EF＝0.3m，
由勾股定理得DE＝＝0.4（m），
∵CD＝10m，
∴＝，
∴BC＝7.5（m），
∴AB＝AC+BC＝1.5+7.5＝9（m），
答：树高AB是9m．
【点评】本题考查了相似三角形的应用和勾股定理的应用，解题的关键是证得△DEF∽△DCB．
22．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的长．
【分析】（1）由正方形的性质得出AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，得出∠AMB＝∠EAF，再由∠B＝∠AFE，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠AMB＝∠EAF，
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE＝90°，
∴∠B＝∠AFE，
∴△ABM∽△EFA；
（2）解：∵∠B＝90°，AB＝12，BM＝5，
∴AM＝＝13，AD＝12，
∵F是AM的中点，
∴AF＝AM＝6.5，
∵△ABM∽△EFA，
∴，
即，
∴AE＝16.9，
∴DE＝AE﹣AD＝4.9．
【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
23．四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，BE，CD，GF为长度固定的支架，支架在A，D，G处与立柱AH连接（AH垂直于MN，垂足为H），在B，C处与篮板连接（BC所在直线垂直于MN），EF是可以调节长度的伸缩臂（旋转点F处的螺栓改变EF的长度，使得支架BE绕点A旋转，从而改变四边形ABCD的形状，以此调节篮板的高度）．已知AD＝BC，DH＝208cm，测得∠GAE＝60°时，点C离地面的高度为288cm．调节伸缩臂EF，将∠GAE由60°调节为54°，判断点C离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：sin54°≈0.8，cos54°≈0.6）
【分析】当∠GAE＝60°时，过点C作CK⊥HA，交HA的延长线于点K，根据已知易得BC∥AH，从而可得四边形ABCD是平行四边形，进而可得AB∥CD，然后利用平行线的性质可得∠ADC＝∠GAE＝60°，再根据已知可得DK＝80cm，最后在Rt△CDK中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长；当∠GAE＝54°，过点C作CQ⊥HA，交HA的延长线于点Q，在Rt△CDQ中，利用锐角三角函数的定义求出DQ的长，然后进行计算，即可解答．
解：点C离地面的高度升高了，
理由：如图，当∠GAE＝60°时，过点C作CK⊥HA，交HA的延长线于点K，
∵BC⊥MN，AH⊥MN，
∴BC∥AH，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ADC＝∠GAE＝60°，
∵点C离地面的高度为288cm，DH＝208cm，
∴DK＝288﹣208＝80（cm），
在Rt△CDK中，CD＝＝＝160（cm），
如图，当∠GAE＝54°，过点C作CQ⊥HA，交HA的延长线于点Q，
在Rt△CDQ中，CD＝160cm，
∴DQ＝CD cos54°≈160×0.6＝96（cm），
∴96﹣80＝16（cm），
∴点C离地面的高度升高约16cm．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，三角形的稳定性，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
24．已知A（﹣4，﹣4），B（2，8）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）连接OB，求△AOB的面积；
（3）结合图象直接写出不等式的解集．
【分析】（1）把B点坐标代入反比例函数上，可得m，把A、B两点代入一次函数图象中得一次函数解析式为y＝2x+4；
（2）在y＝2x+4中，令x＝0，得C的坐标，根据三角形的面积公式可求结果；
（3）由一次函数与反比例函数的图象可知，不等式的解集．
解：（1）∵B点（2，8）在反比例函数的图象上，
∴m＝2×8＝16，
∴反比例函数解析式为，
∵A点（﹣4，﹣4），B点（2，8）在一次函数图象上，
∴代入一次函数解析式y＝kx+b可得：，
解得，
∴一次函数解析式为y＝2x+4．
（2）在y＝2x+4中，令x＝0可得y＝4，
∴C点坐标为（0，4），
∴OC＝4，
又∵A为（﹣4，﹣4），B为（2，8），
∴A到OC的距离为4，B到OC的距离为2，
∴，
即S△AOB＝12．
（3）∵由一次函数与反比例函数的图象可知，
当﹣4＜x＜0或x＞2时反比例函数图象在一次函数图象的下方，
∴当﹣4＜x＜0或x＞2时，一次函数的值大于反比例函数的值，
即不等式的解集是﹣4＜x＜0或x＞2．
【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的性质，解本题的关键熟练掌握一次函数和反比例函数的性质．
25．（1）问题提出：如图①，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，P是AD上一动点，则BP+PD的最小值为 ．
（2）问题探究：如图②，在正方形ABCD中，AB＝3，点E是平面上一点，且CE＝1，连接BE在BE上方作正方形BEMN，求BM的最大值．
（3）问题解决：为迎接2021年9月在西安举办的第14届全运会，打造体育历史文化名城，某小区对一正方形区域ABCD进行设计改造，方便大家锻炼运动．如图③，在正方形内设计等腰直角△CEF为健身运动区域，直角顶点E设计在草坪区域扇形MBN的弧MN上．设计铺设CF和DF这两条不同造价鹅卵石路，已知AB＝40米，BM＝10，∠CEF＝90°，CE＝EF，若铺设CF路段造价为每米200元，铺设DF路段的造价为每米100元，请求出铺设CF和DF两条路段的总费用的最小值．
【分析】（1）以PD为斜边构造30°的直角三角形，则PB+PD＝PB+PE≥BE，求BE的值即可；
（2）根据题意确定E点的运动轨迹，进而得出BM最大时E点的位置，求出BM即可；
（3）根据费用的关系可知求出线段CF+DF的最小值即可．
解：（1）以PD为斜边构造30°的直角三角形，且∠PDE＝30°，
此时DE＝PD，
则PB+PD＝PB+PE，
则当P、B、E在同一直线上时PB+PE有最小值为BE，
即PB+PD的最小值为如图①所示PE的长度，
∵AB＝1，BC＝，则BD＝2，且∠DBC＝30°，
又∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BDP＝∠DBC＝30°，
又∵∠PDE＝30°，
∴∠EDB＝∠PDE+∠PDE＝60°，
∴BE＝BD sin∠EDB＝2×sin60°＝；
故答案为：；
（2）∵E为动点且CE为1，
∴E点的运动轨迹为以C为圆心半径为1的圆，
∵四边形MEBA为正边形，
∴BM＝BE，即当BE最大时BM有最大值，
由图②知当E在BC延长线上E'的位置时，BE'有最大值，
此时BE'＝BC+CE'＝3+1＝4，
∴BM＝BE'＝4，
故BM的最大值为4；
（3）由题知，CD+DF的费用为200CF+100DF＝200（CF+DF），
∴求费用的最小值即为求CF+DF的最小值，
连接AC，AF，在AD上截取AD'＝10，
∵四边形ABCD是正方形，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵△CEF是等腰直角三角形，
∴∠ACF＝∠BCE，，
∴△ACF∽△BCE，
∴＝，
∴AF＝BE＝20，
可得点F在以A为圆心，AF为半径的弧上，
∵＝，∠DAF＝∠D'AF，
∴△DAF∽△FAD'，
∴＝，
∴CF+DF＝CF+FD'，
∴当C，F，D'三点共线时CF+DF有最小值为CD'，
此时在Rt△CDD'中，CD'＝＝＝50，
∴铺设CF和DF两条路段的总费用的最小值为200（CF+DF）＝200×50＝10000（元），
即铺设CF和DF两条路段的总费用的最小值为10000元．
【点评】本题主要考查了两点之间线段最短，正方形的性质，圆的性质等知识点，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
