2023-2024学年八年级上学期期中数学必刷卷02
（测试范围：苏科版 第1章---第3章）
（考试时间:120分钟 满分:120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效.
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效.
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题（下列各题的备选答案中，有且仅有一个答案是正确的，每小题3分，共30分）
1．（2022秋 昭阳区校级月考）等腰三角形的周长为25cm，其中一边长9cm，则其腰长 为（ ）
A．8cm或9cm B．8cm C．9cm D．以上都不对
2．（2022秋 南宁期末）下面的四个图形中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022秋 九龙坡区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥AB于点E，若BC＝3，且△BDC的周长为8，则AE的长为（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
4．（2023春 砀山县校级期末）如图，直线AB∥CD，等边三角形EFG的顶点F在直线CD上，EG与直线AB交于点H，∠BHE＝40°，则∠CFG的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
5．（2023春 怀宁县期末）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车“，则这个风车的外围周长是（ ）
A．100 B．148 C．196 D．144
6．（2022春 杨浦区校级期末）如图，已知∠C＝∠D，AC＝AD，增加下列条件：
①AB＝AE；②BC＝ED；③∠1＝∠2；④∠B＝∠E．
其中能使△ABC≌△AED的条件有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．（2022秋 林州市期末）如图，点D，E，F分别在△ABC的边AB，BC，CA上（不与顶点重合），设∠BAC＝α，∠FED＝θ．若△BED≌△CFE，则α，θ满足的关系是（ ）
A．α+θ＝90° B．α+2θ＝180° C．α﹣θ＝90° D．2α+θ＝180°
8．（2023春 砀山县校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥AC交BC于点D，∠BAC＝120°，AD＝3，则BC的长为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．6
9．（2022秋 金华期末）如图，已知点D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝6，BC＝4，则BD的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．9.6 B．8 C．6 D．4.8
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．（2022秋 东方期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC，则AD等于 ．
12.（2022秋 东平县校级月考）如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，若∠D＝30°，∠CGF＝88°，则∠E的度数是 ．
13．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若AB＝5，AC＝7，则△ABD的周长为 ．
14．如图，△ABE和△ACD是△ABC分别沿着AB、AC翻折而成的，若∠1＝140°，∠2＝25°，则∠α度数为 ．
15．（2022秋 莱阳市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是BC上的点，若BD＝2，DC＝3，则AB2﹣AD2的值为 ．
16．（2023 浠水县二模）如图是一张直角三角形纸 ，∠C＝90°，AC＝40，BC＝50，将△ABC折叠使点B和点A重合，折痕为DE，则BD的长为 ．
17．（2022秋 岳麓区校级期末）如图，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，∠DEB＝∠EBC＝60°，若BE＝5，DE＝2，则BC＝ ．
18．（2022春 沙坪坝区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，点E为BC上一点，连接AE，∠BAE∠CAD，连接DE．下列结论中正确的是 ．（填序号）
①AC⊥DE；
②∠ADE＝∠ACB；
③若CD∥AB，则AE⊥AD；
④DE＝CE+2BE．
解答题（本大题共9小题，满分共72分）
19．（6分）（2022春 广州期中）如图，点A、D、B、E在一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF，求证：△ABC≌△DEF．
20．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD为半径画弧，交线段AC于点E．
（1）若∠A＝26°，求∠ACD的度数；
（2）若BC＝8cm，CE＝6cm，求AD的长．
21．（7分）（2022秋 荆州月考）如图为某单摆装置示意图，摆线长OA＝OB＝OC＝30cm，当摆线位于OB位置时，过点B作BD⊥OA于点D，当摆线位于OC位置时，OB与OC恰好垂直，过点C作CE⊥OA于点E，测得CE＝24cm．
（1）试说明OE＝BD；
（2）求AD的长．
22．（8分）（2022秋 长春期中）如图，在等腰△ABC中，BA＝BC，点F在AB边上，延长CF交AD于点E，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE．
（1）求证：AD＝CE；
（2）若∠ABC＝30°，∠AFC＝45°，求∠EAC的度数．
23．（8分）（2023春 莘县期末）燕塔广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级的王明和孙亮两位同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：
①测得BD的长度为8米；（注：BD⊥CE）
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；
③牵线放风筝的王明身高1.6米；
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）若王明同学想让风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？
24．（8分）（2022秋 巢湖市期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB．
（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．
25．（8分）在△ABC中，∠BAC＝90°，D为△ABC内一点，连接DA，DC，延长DA到点E，使得AE＝AD．
（1）如图1，延长CA到点F，使得AF＝AC，连接BF，EF．若BF⊥EF，求证：CD⊥BF；
（2）连接BE，交CD的延长线于点H，如图2，若BC2＝BE2+CD2，试判断CD与BE的位置关系，并证明．
26．（12分）如图，△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝a．AC、BD交于M
（1）如图1，当α＝90°时，求证：①△AOC≌△BOD；②AC⊥BD．
（2）如图2，当α＝60°时，∠AMD的度数为 ．
如图3当△OCD绕O点任意旋转时，∠AMD与α的数量关系 ．
（3）如图3，求证：MO平分∠AMD
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2023-2024学年八年级上学期期中数学必刷卷02
（测试范围：苏科版 第1章---第3章）
（考试时间:120分钟 满分:120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效.
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效.
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题（下列各题的备选答案中，有且仅有一个答案是正确的，每小题3分，共30分）
1．（2022秋 昭阳区校级月考）等腰三角形的周长为25cm，其中一边长9cm，则其腰长 为（ ）
A．8cm或9cm B．8cm C．9cm D．以上都不对
【分析】分为两种情况：9cm是等腰三角形的腰或9cm是等腰三角形的底边，然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．
【解答】解：若9cm为等腰三角形的腰长，则底边长为：25﹣2×9＝7（cm），此时三角形的三边长分别为9cm，9cm，7cm，符合三角形的三边关系；
若9cm为等腰三角形的底边，则腰长为：（25﹣9）÷2＝8（cm），此时三角形的三边长分别为8cm，8cm，9cm，符合三角形的三边关系；
∴该等腰三角形的腰长为9cm或8cm，
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
2．（2022秋 南宁期末）下面的四个图形中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（2022秋 九龙坡区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥AB于点E，若BC＝3，且△BDC的周长为8，则AE的长为（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
【分析】根据已知可得BD+CD＝5，从而可得AB＝AC＝5，然后利用等腰三角形的三线合一性质进行计算即可解答．
【解答】解：∵BC＝3，且△BDC的周长为8，
∴BD+CD＝8﹣3＝5，
∵AD＝BD，
∴AD+DC＝5，
∴AC＝5，
∵AB＝AC，
∴AB＝5，
∵AD＝DB，DE⊥AB，
∴AEAB＝2.5，
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
4．（2023春 砀山县校级期末）如图，直线AB∥CD，等边三角形EFG的顶点F在直线CD上，EG与直线AB交于点H，∠BHE＝40°，则∠CFG的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【分析】过G作GM∥AB，得到GM∥CD，推出∠MGH＝∠BHE＝40°，∠CFG＝∠MGF，由△EFG是等边三角形，得到∠EGF＝60°，求出∠MGF的度数，即可得到∠CFG的度数．
【解答】解：过G作GM∥AB，
∵AB∥CD，
∴GM∥CD，
∴∠MGH＝∠BHE＝40°，∠CFG＝∠MGF，
∵△EFG是等边三角形，
∴∠EGF＝60°，
∴∠MGF＝∠EGF﹣∠MGE＝20°，
∴∠CFG＝20°．
故选：B．
【点评】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质，关键是过G作GM∥AB，得到GM∥CD，由平行线的性质即可解决问题．
5．（2023春 怀宁县期末）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车“，则这个风车的外围周长是（ ）
A．100 B．148 C．196 D．144
【分析】利用勾股定理求出CD的长即可．
【解答】解：如图，由题意知，CD＝24，
在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD25，
∴这个风车的外围周长为（25+12）×4＝148，
故选：B．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，读懂题意，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
6．（2022春 杨浦区校级期末）如图，已知∠C＝∠D，AC＝AD，增加下列条件：
①AB＝AE；②BC＝ED；③∠1＝∠2；④∠B＝∠E．
其中能使△ABC≌△AED的条件有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答．
【解答】解：①∵∠C＝∠D，AC＝AD，AB＝AE，
∴△ABC和△AED不一定全等，
故①不符合题意；
②∵∠C＝∠D，AC＝AD，BC＝DE，
∴△ABC≌△AED（SAS），
故②符合题意；
③∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠EAB＝∠2+∠EAB，
∴∠CAB＝∠DAE，
∵∠C＝∠D，AC＝AD，
∴△ABC≌△AED（ASA），
故③符合题意；
④∵∠B＝∠E，∠C＝∠D，AC＝AD，
∴△ABC≌△AED（AAS），
故④符合题意；
所以，增加上列条件，其中能使△ABC≌△AED的条件有3个，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
7．（2022秋 林州市期末）如图，点D，E，F分别在△ABC的边AB，BC，CA上（不与顶点重合），设∠BAC＝α，∠FED＝θ．若△BED≌△CFE，则α，θ满足的关系是（ ）
A．α+θ＝90° B．α+2θ＝180° C．α﹣θ＝90° D．2α+θ＝180°
【分析】由∠BAC＝α，得∠B+∠C＝180°﹣α，根据△BED≌△CFE，即有∠B＝∠C＝90°α，∠BDE＝∠FEC，故∠FEC+∠BED＝90°α，从而90°α+θ＝180°，即可答案．
【解答】解：∵∠BAC＝α，
∴∠B+∠C＝180°﹣α，
∵△BED≌△CFE，
∴∠B＝∠C＝90°α，∠BDE＝∠FEC，
∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝180°﹣（90°α）＝90°α，
∴∠FEC+∠BED＝90°α，
∵∠FED＝θ，∠FEC+∠BED+∠FED＝180°，
∴90°α+θ＝180°，
∴α+2θ＝180°，
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的性质及应用，涉及三角形内角和定理的应用，解题的关键是掌握全等三角形的性质．
8．（2023春 砀山县校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥AC交BC于点D，∠BAC＝120°，AD＝3，则BC的长为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．6
【分析】先根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠C＝30°，再根据垂直定义可得∠DAC＝90°，从而利用含30度角的直角三角形的性质可得CD＝2AD，∠ADC＝60°，然后利用三角形的外角性质可得∠B＝∠BAD＝30°，从而可得BD＝AD＝3，进而可得CD＝6，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C30°，
∵AD⊥AC，
∴∠DAC＝90°，
∴CD＝2AD，∠ADC＝90°﹣∠C＝60°，
∵∠ADC是△ABD的一个外角，
∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝30°，
∴∠B＝∠BAD＝30°，
∴BD＝AD＝3，
∴CD＝2AD＝6，
∴BC＝BD+CD＝9，
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握握等腰三角形的判定与性质，以及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
9．（2022秋 金华期末）如图，已知点D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝6，BC＝4，则BD的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【分析】延长BD与AC交于点E，由题意可推出BE＝AE，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出BC＝CE，AE＝BE＝2BD，根据AC＝6，BC＝4，即可推出BD的长度．
【解答】解：延长BD与AC交于点E，
∵∠A＝∠ABD，
∴BE＝AE，
∵BD⊥CD，
∴BE⊥CD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ECD，
∴∠EBC＝∠BEC，
∴△BEC为等腰三角形，
∴BC＝CE，
∵BE⊥CD，
∴2BD＝BE，
∵AC＝6，BC＝4，
∴CE＝4，
∴AE＝AC﹣EC＝6﹣4＝2，
∴BE＝2，
∴BD＝1．
故选：A．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．9.6 B．8 C．6 D．4.8
【分析】由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，在△ABC中，利用面积法可求出BQ的长度，此题得解．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴BP＝CP．
过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，如图所示．
∵S△ABCBC ADAC BQ，
∴BQ9.6．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积，利用点到直线垂直线段最短找出PC+PQ的最小值为BQ是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．（2022秋 东方期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC，则AD等于 ．
【分析】根据等腰三角形的三线合一得到AD⊥BC，BD＝DCBC＝6，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD＝DCBC＝6，
在Rt△ABD中，AD8，
故选：8．
【点评】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
12.（2022秋 东平县校级月考）如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，若∠D＝30°，∠CGF＝88°，则∠E的度数是 ．
【分析】根据角平分线的性质得到∠ACD＝∠BCD∠BCA，根据全等三角形的性质得到∠D＝∠A＝30°，根据三角形的外角性质求出∠BCD，再求出∠B，然后利用全等三角形的性质求∠E即可．
【解答】解：∵CD平分∠BCA，
∴∠ACD＝∠BCD∠BCA，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠D＝∠A＝30°，
∵∠CGF＝∠D+∠BCD，
∴∠BCD＝∠CGF﹣∠D＝58°，
∴∠BCA＝116°，
∴∠B＝180°﹣30°﹣116°＝34°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠E＝∠B＝34°，
故选：34°．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
13．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若AB＝5，AC＝7，则△ABD的周长为 ．
【分析】依据垂直平分线的性质得DB＝DC．△ABD周长转化为AB+AC即可求解．
【解答】解：∵DE垂直平分BC，
∴DB＝DC．
∴C△ABD＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝12．
∴△ABD的周长是12．
故答案为：12．
【点评】本题主要考查中垂线性质：中垂线上一点到线段两端点距离相等．将所求周长转化为AB+AC的和即可．
14．如图，△ABE和△ACD是△ABC分别沿着AB、AC翻折而成的，若∠1＝140°，∠2＝25°，则∠α度数为 ．
【分析】依据∠1＝140°，∠2＝25°，可得∠3＝15°，利用翻折变换前后对应角不变，得出∠2＝∠EBA，∠3＝∠ACD，进而得出∠BCD+∠CBE的度数，再根据三角形外角性质，即可得到∠α的度数．
【解答】解：∵∠1＝140°，∠2＝25°，
∴∠3＝15°，
由折叠可得，∠2＝∠EBA＝25°，∠3＝∠ACD＝15°，
∴∠EBC＝50°，∠BCD＝30°，
∴由三角形外角性质可得，∠α＝∠EBC+∠DCB＝80°，
故答案为：80°．
【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及三角形外角的性质的运用，利用翻折变换前后对应角不变得出是解题关键．
15．（2022秋 莱阳市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是BC上的点，若BD＝2，DC＝3，则AB2﹣AD2的值为 ．
【分析】在Rt△ABC与Rt△ACD中，由勾股定理得AB2＝AC2+BC2，AD2＝AC2+CD2，两式相减即可得出结论．
【解答】解：∵BD＝2，DC＝3，
∴BC＝BD+DC＝5，
在Rt△ABC与Rt△ACD中，由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2，AD2＝AC2+CD2，
∴AB2﹣AD2＝BC2﹣CD2＝52﹣32＝16，
故答案为：16．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
16．（2023 浠水县二模）如图是一张直角三角形纸 ，∠C＝90°，AC＝40，BC＝50，将△ABC折叠使点B和点A重合，折痕为DE，则BD的长为 ．
【分析】根据折叠性质可得AD＝BD，然后在Rt△ACD利用勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：由折叠性质得AD＝BD，
∵BC＝50，
∴DC＝50﹣BD，
在Rt△ACD中，∠C＝90°，AC＝40，
由勾股定理得AC2+DC2＝AD2，
∴402+（50﹣BD）2＝BD2，
解得BD＝41，
故选：41．
【点评】本题考查了折叠性质、勾股定理，熟练掌握折叠性质和勾股定理是解答的关键．
17．（2022秋 岳麓区校级期末）如图，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，∠DEB＝∠EBC＝60°，若BE＝5，DE＝2，则BC＝ ．
【分析】作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出△BEM为等边三角形，得出BM＝EM＝BE＝5，从而得出BN的长，进而求出答案．
【解答】解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，如图，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN＝CN，
∵∠EBC＝∠DEB＝60°，
∴△BEM为等边三角形，
∴BM＝EM＝BE＝5，∠EMB＝60°，
∵DE＝2，
∴DM＝3，
∵AN⊥BC，
∴∠DNM＝90°，
∴∠NDM＝30°，
∴NMDM，
∴BN＝BM﹣MN＝5，
∴BC＝2BN＝7．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查的是等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，含30°直角三角形的性质等知识，根据题意构造含30°的直角三角形是解题的关键．
18．（2022春 沙坪坝区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，点E为BC上一点，连接AE，∠BAE∠CAD，连接DE．下列结论中正确的是 ．（填序号）
①AC⊥DE；
②∠ADE＝∠ACB；
③若CD∥AB，则AE⊥AD；
④DE＝CE+2BE．
【分析】因为∠BAE，且∠ABC＝90°，所以需要构造2倍的∠BAC，故延长EB至 G，使BE＝BG，从而得到∠GAE＝∠CAD，进一步证明∠GAC＝∠EDA，且AE＝AG，接着证明△GAC≌△EAD，则∠ADE＝∠ACG，DE＝CG，所以②是正确的，也可以通过线段的等量代换运算推导出④是正确的，设∠BAE＝x，则∠DAC＝2x，因为CD∥AB，所以∠BAC＝∠ACD＝90°﹣x，接着用x表示出∠EAC，再计算出∠DAE＝90°，故③是正确的，当∠CAE＝∠BAE时，可以推导出AC⊥DE，否则AC不垂直于DE，故①是错误的．
【解答】解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M，
∵∠ABC＝90°，
∴AB⊥GE，
∴AB垂直平分GE，
∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE∠DAC，
∵∠BAE∠GAE，
∴∠GAE＝∠CAD，
∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，
∴∠GAC＝∠EAD，
在△GAC与△EAD中，
，
∴△GAC≌△EAD（SAS），
∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，
∴②是正确的；
∵AG＝AE，
∴∠G＝∠AEG＝∠AED，
∴AE平分∠BED，
当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE，
当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE，
∴①是不正确的；
设∠BAE＝x，则∠CAD＝2x，
∴∠ACD＝∠ADC90°﹣x，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°﹣x，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝90°﹣x﹣x＝90°﹣2x，
∴∠DAE＝∠CAE+∠DAC＝90°﹣2x+2x＝90°，
∴AE⊥AD，
∴③是正确的；
∵△GAC≌△EAD，
∴CG＝DE，
∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，
∴DE＝CE+2BE，
∴④是正确的，
故答案为：②③④．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，通过二倍角这一条件，构造两倍的∠BAE，是本题的突破口，也是常用方法，同时，要注意本题设参数导角，对学生分析数据的能力有一定要求．
解答题（本大题共9小题，满分共72分）
19．（6分）（2022春 广州期中）如图，点A、D、B、E在一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF，求证：△ABC≌△DEF．
【分析】根据线段的和差得到AB＝DE，由平行线的性质得到∠A＝∠EDF，根据全等三角形的判定定理证得结论．
【解答】证明：∵AD＝BE，
∴AD+BD＝BE+BD，
即AB＝DE，
∵AC∥DF，
∴∠A＝∠EDF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
20．（7分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD为半径画弧，交线段AC于点E．
（1）若∠A＝26°，求∠ACD的度数；
（2）若BC＝8cm，CE＝6cm，求AD的长．
【分析】（1）由图形可知BC＝BD，得出∠BCD＝∠BDC，再根据直角三角形的性质得出∠B的度数即可得出结果；
（2）根据图形可知AD＝AE，在Rt△ABC中，由勾股定理得出等式求出AD即可．
【解答】解：（1）∵以点B为圆心，BC为半径画弧，交线段AB于点D，
∴BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC，
在Rt△ABC中，∠A＝26°，
∴∠B＝90°﹣26°＝64°，
∴∠BCD58°，
∴ACD＝90°﹣58°＝32°；
（2）∵以点A为圆心，AD为半径画弧，交线段AC于点E，
∴AD＝AE，
∵BD＝BC＝8，AC＝AE+CE＝AD+CE＝AD+6，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB2＝AC2+BC2，
∴（AD+8）2＝（AD+6）2+82，
解得AD＝9，
∴AD的长为9cm．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
21．（7分）（2022秋 荆州月考）如图为某单摆装置示意图，摆线长OA＝OB＝OC＝30cm，当摆线位于OB位置时，过点B作BD⊥OA于点D，当摆线位于OC位置时，OB与OC恰好垂直，过点C作CE⊥OA于点E，测得CE＝24cm．
（1）试说明OE＝BD；
（2）求AD的长．
【分析】（1）由直角三角形的性质证出∠COE＝∠B，利用AAS证明△COE≌△OBD，由全等三角形的性质得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出CE＝OD＝24cm，则可得出答案．
【解答】解：（1）∵OB⊥OC，
∴∠BOD+∠COE＝90°，
又∵CE⊥OA，BD⊥OA，
∴∠CEO＝∠ODB＝90°，
∴∠BOD+∠B＝90°，
∴∠COE＝∠B，
在△COE和△OBD中，
，
∴△COE≌△OBD（AAS），
∴OE＝BD；
（2）∵△COE≌△OBD，
∴CE＝OD＝24cm，
∵OA＝30cm，
∴AD＝OA﹣OD＝6cm．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明△COE≌△OBD是解题的关键．
22．（8分）（2022秋 长春期中）如图，在等腰△ABC中，BA＝BC，点F在AB边上，延长CF交AD于点E，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE．
（1）求证：AD＝CE；
（2）若∠ABC＝30°，∠AFC＝45°，求∠EAC的度数．
【分析】（1）根据已知条件证明△ADB≌△CEB即可得结论；
（2）根据等腰三角形的性质可得∠BAC＝75°，根据△ADB≌△CEB，可得∠BAD＝∠BCE＝15°，进而可得∠EAC的度数．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠DBE，
∴∠ABC+∠ABE＝∠DBE+∠ABE，
∴∠ABD＝∠CBE．
在△ADB和△CEB中，
，
∴△ADB≌△CEB（SAS），
∴AD＝CE；
（2）解：∵BA＝BC，∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝∠BCA（180°﹣30°）＝75°，
∵∠AFC＝45°，
∴∠BCE＝∠AFC﹣∠ABC＝45°﹣30°＝15°，
∵△ADB≌△CEB，
∴∠BAD＝∠BCE＝15°，
∴∠EAC＝∠BAD+∠BAC＝15°+75°＝90°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明△ADB≌△CEB．
23．（8分）（2023春 莘县期末）燕塔广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级的王明和孙亮两位同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：
①测得BD的长度为8米；（注：BD⊥CE）
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；
③牵线放风筝的王明身高1.6米；
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）若王明同学想让风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？
【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝172﹣82＝225，
所以，CD＝15（负值舍去），
所以，CE＝CD+DE＝15+1.6＝16.6（米），
答：风筝的高度CE为16.6米；
（2）由题意得，CM＝9米，
∴DM＝6，
∴BM10（米），
∴BC﹣BM＝17﹣10＝7（米），
∴他应该往回收线7米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
24．（8分）（2022秋 巢湖市期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB．
（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．
【分析】（1）根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离＝点D到AC的距离即DE＝CD，再根据HL证明Rt△CDF≌Rt△EBD，从而得出CF＝EB；
（2）设CF＝x，则AE＝12﹣x，再根据题意得出Rt△ACD≌Rt△AED，进而可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，
∴DE＝DC．
在Rt△CDF与Rt△EDB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF＝EB．
（2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD＝DE．
在Rt△ACD与Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x，
解得x＝2，即CF＝2．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键．
25．（8分）在△ABC中，∠BAC＝90°，D为△ABC内一点，连接DA，DC，延长DA到点E，使得AE＝AD．
（1）如图1，延长CA到点F，使得AF＝AC，连接BF，EF．若BF⊥EF，求证：CD⊥BF；
（2）连接BE，交CD的延长线于点H，如图2，若BC2＝BE2+CD2，试判断CD与BE的位置关系，并证明．
【分析】（1）证明△ACD≌△AFE（SAS），由全等三角形的性质得出∠DCA＝∠EFA，证出CD∥EF，则可得出结论；
（2）延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，证出∠AEF＝90°，得出∠DHE＝90°，由直角三角形的性质可得出结论．
【解答】（1）证明：在△ACD和△AFE中，
，
∴△ACD≌△AFE（SAS），
∴∠DCA＝∠EFA，
∴CD∥EF，
∵BF⊥EF，
∴CD⊥BF；
（2）解：CD⊥BE，理由如下：
延长CA到F，使AF＝AC，连接EF，
∵BA⊥CF，AC＝AF，
∴BC＝BF，
由（1）可知CD∥EF，CD＝EF，
∵BC2＝BE2+CD2，
∴BF2＝BE2+EF2，
∴∠BEF＝90°，
∴BE⊥EF，
∴CD⊥BE，
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，证明△BCD≌△FCE是解题的关键．
26．（12分）如图，△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝a．AC、BD交于M
（1）如图1，当α＝90°时，求证：①△AOC≌△BOD；②AC⊥BD．
（2）如图2，当α＝60°时，∠AMD的度数为 ．
如图3当△OCD绕O点任意旋转时，∠AMD与α的数量关系 ．
（3）如图3，求证：MO平分∠AMD
【分析】（1）①如图1中，设OA交BD于K．只要证明△BOD≌△AOC；
②由△BOD≌△AOC，推出∠OBD＝∠OAC，由∠AKM＝∠BKO，可得∠AMK＝∠BOK＝90°，即可得出结论；
（2）如图2中，设OA交BD于K．只要证明△BOD≌△AOC，推出∠OBD＝∠OAC，由∠AKM＝∠BKO，推出∠AMK＝∠BOK＝60°；
如图3中，设OA交BD于K．只要证明△BOD≌△AOC，可得∠OBD＝∠OAC，由∠AKO＝∠BKM，推出∠AOK＝∠BMK＝α．可得∠AMD＝180°﹣α；
（3）由（2）△BOD≌△AOC，得出∠OBD＝∠OAC，过点O作OE⊥AC于E，OF⊥BD于F，进而判断出△BOF≌△AOE，即可得出结论．
【解答】解：（1）①如图1中，设OA交BD于K．
∵∠AOB＝∠COD＝α，
∴∠BOD＝∠AOC，
在△BOD和△AOC中，
∴△BOD≌△AOC，
②由①知，△BOD≌△AOC，
∴∠OBD＝∠OAC，
∵∠AKM＝∠BKO，
∴∠AMK＝∠BOK＝90°．
∴AC⊥BD；
（2）如图2中，设OA交BD于K．
∵OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，
∴∠BOD＝∠AOC，
∴△BOD≌△AOC，
∴∠OBD＝∠OAC，
∵∠AKM＝∠BKO，
∴∠AMK＝∠BOK＝60°．
∴∠AMD＝120°，
故答案为120°．
如图3中，设OA交BD于K．
∵OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，
∴∠BOD＝∠AOC，
∴△BOD≌△AOC，
∴∠OBD＝∠OAC，
∵∠AKO＝∠BKM，
∴∠AOK＝∠BMK＝α．
∴∠AMD＝180°﹣α．
故答案为：∠AMD＝180°﹣α．
（3）如图4，由（2）知，△BOD≌△AOC，
∴∠OBD＝∠OAC，
过点O作OE⊥AC于E，OF⊥BD于F，
∴∠OFB＝∠OEA＝90°，
在△BOF和△AOE中，，
∴△BOF≌△AOE，
∴OF＝OE，
∵OE⊥AC于E，OF⊥BD于F
∴OM平分∠AMD．
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰三角形的性质全等三角形的判定和性质，角平分线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用：“8字型”证明角相等，属于中考常考题型．
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