2023-2024学年人教版九年级数学上学期期中达标测试卷（A卷）
【满分：120】
一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.九年级567班化学科代表在老师的培训后学会了某个化学实验操作,回到班上后第一节课教会了若干名同学,第二节课会做该实验的同学又教会了同样多的同学,这样全班共有25人会做这个实验;若设1人每次都能教会x名同学,则可列方程为( ).
A. B.
C. D.
2.如图,将绕点A逆时针旋转,得到.若点D在线段BC的延长线上,则的大小为( )
A. B. C. D.
3.下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.如果在二次函数的表达式中，，，，那么这个二次函数的图象可能是( )
A. B. C. D.
5.已知点与点关于原点对称, 则的值为( )
A. -1 B. 0 C. 1 D. 4045
6.方程的两个根为( )
A., B.,
C., D.,
7.若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是( )
A. B.且
C. D.且
8.如图，抛物线与y轴交于点B，直线经过抛物线顶点D，过点B作轴，与抛物线交于点C，与直线交于点A，若点C恰为线段AB中点，则线段OA长度为( )
A. B.3 C. D.
9.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间（单位：s）之间的函数关系如图所示.下列结论：
①小球在空中经过的路程是；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；
③小球抛出3秒时速度为0；
④小球的高度时，.
其中正确的是( )
A.①④ B.①② C.②③④ D.②③
10.新定义,若关于x的一元二次方程:与,称为“同族二次方程”.如与是“同族二次方程”.现有关于x的一元二次方程:与是“同族二次方程”.那么代数式能取的最小值是( )
A.2015 B.2017 C.2022 D.2027
11.已知点，是二次函数(m为常数)图象上的两点，下列说法正确的是( )
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
12.己知二次函数的部分图象如图所示,对称轴为直线,有以下结论:①;
②;
③若t为任意实数,则有;
④当图象经过点时,方程的两根为,,则,其中,正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题（每小题3分，共15分）
13.如图，在中，，，,动点P从点C出发，沿方向运动，速度是;同时，动点Q从点B出发，沿方向运动，速度是,则经过__________s后，P，Q两点之间相距.
14.图1是一个坡度为1：2的斜坡的横截面，斜坡顶端B与地面的距离BC为2.5米，为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，喷头A喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分，设喷出水珠的竖直高度为y（单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与地面的距离），水珠与喷头A的水平距离为x（单位：米），图2记录了y与x的相关数据，则y与x的函数关系式为_____.
15.已知点A是抛物线上的一点.过点A作轴于点C，以AC为斜边作和，使得，连接BD，则BD的最小值为_________.
16.如图，已知矩形，，，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AEFG，连接CG，BG.当__________时，.
17.如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为-2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，则下列结论：
①；②；③阴影部分的面积为4；④若，则.
其中正确的是________.（写出所有正确结论的序号）
三、解答题（本大题共6小题，共计57分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
18.（6分）如图，三个顶点的坐标分别为，，.
(1)请画出将绕点A顺时针旋转后得到的图形；
(2)请画出将关于原点O成中心对称的图形；
(3)当绕点A顺时针旋转后得到时，点B对应旋转到点，请直接写出点的坐标.
19.（8分）用适当的方法解方程：
(1)；
(2).
20.（8分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气.”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同.
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？并说明理由.
21.（10分）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.
（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数.
（2）已知关于x的二次函数和，其中的图象经过点.若与为“同簇二次函数”，求函数的表达式，并求出当时，的最大值.
22.（12分）网络销售已经成为一种热门的销售方式,某果园在网络平台上直播销售荔枝．已知该荔枝的成本为6元/kg,销售价格不高于18元/kg,且每售卖1kg需向网络平台支付2元的相关费用,经过一段时间的直播销售发现,每日销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与的函数解析式．
（2）当每千克荔枝的销售价格定为多少元时,销售这种荔枝日获利最大,最大利润为多少元？
23.（13分）如图,抛物线与x轴交于点,,与y轴交于点C.将抛物线L向右平移一个单位得到抛物线.
（1）求抛物线L与的函数解析式;
（2）连接AC,探究抛物线的对称轴上是否存在点P,使得以点A,C,P为顶点的三角形是等腰三角形 若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
1.答案：D
解析:设1人每次都能教会x名同学,
根据题意得:.
故选:D.
2.答案：B
解析:根据旋转的性质,可得:,,
.
故选:B.
3.答案：C
解析：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项正确；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：C.
4.答案：B
解析：由，，，推出，可知抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，由此即可判断。
，，，
，
抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴。
故选: B。
5.答案：C
解析：点 与点 关于 原点对称, ，,
.
6.答案：A
解析:,
,
或,
,,
故选:A.
7.答案：C
解析：当时，方程化为，解得；
当时，，
解得，
所以k的范围为.
故选：C.
8.答案：D
解析：抛物线顶点为，直线经过抛物线顶点D，
，
，
，
又点C恰为线段AB中点，
，；
又点A在直线上，
，
解得：或（舍去）；
，
.
故选D.
9.答案：D
解析：由图象可知，小球在空中达到的最大高度是；
小球抛出3秒后，速度越来越快；小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；
设函数表达式为，把代入，
得，解得，
函数表达式为，把代入表达式，得解得或，
小球的高度时，或，故②③正确.故选D.
10.答案：B
解析:与是“同族二次方程”,
,
,
,
,
最小值为0,
最小值为2017,
即最小值为2017.
故选B.
11.答案：B
解析：对于，当时，或m，该抛物线的对称轴为直线.易知该抛物线开口向上.当时，点B到对称轴的距离大于点A到对称轴的距离，，故A错误.当时，点B到对称轴的距离小于点A到对称轴的距离，，故B正确.当时，恒成立，此时，故C错误.当时，，，故D错误.故选B.
12.答案：B
解析:抛物线开口向上,
,
抛物线的对称轴为直线,
,
抛物线与y轴的交点在x轴下方,
,
,①错误.
由图象可得时,
,
②正确.
由图象可得时,y取最小值,
,即,③正确.
抛物线对称轴为直线,
抛物线与直线的两个交点关于直线
对称,
图象经过,
图象经过,
方程的两根为,
,
,,
,④不正确.
故选:B.
13.答案：10
解析：设x秒后P、Q两点相距25cm
则，，
由题意得，，
解得，，(舍去)，
则10秒后PQ两点相距25cm.
故答案是：10.
14.答案：或
解析：由图2可知，函数图象的对称轴为，最大值为4，设函数的解析式为，将点代入，
得，
解得，
y与x的函数关系式为，
故答案为：.
15.答案：3
解析：该抛物线顶点的横坐标为，将代入，得，故该抛物线的顶点坐标为.由可知和位于直线AC的两侧.易证四边形ABCD是矩形，.，抛物线开口向上，当点A与抛物线的顶点重合时，AC的值最小，为3，即BD的最小值为3.
16.答案：或
解析：当时，点G在BC的垂直平分线上.分两种情况讨论：
①如图(1)，当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，连接.
，，四边形ABHM是矩形，，
垂直平分，，是等边三角形，，旋转角；
②如图(2)，当点G在AD左侧时，同理可得，旋转角.
故答案为或.
17.答案：③④
解析：
① 抛物线开口向上，.又对称轴为直线， ×
② 当时，， ×
③ 抛物线向右平移了2个单位，又函数的最小值是-2，阴影部分的面积是 √
④ ，， √
18.解析：(1)如图，即为所求；
(2)如图，即为所求；
(3)根据(1)的图可得的坐标.
19.答案：（1），
（2），
解析：（1）整理成一般形式，得
，，，
，
，
即，；
（2）
因式分解，得，
即，
所以或
所以，.
20.答案：（1）50%
（2）能，理由见解析
解析：（1）设进馆人次的月平均增长率为x.由题意得.
化简得，
解得，（舍去）.
答：进馆人次的月平均增长率为50%.
（2）能.理由：进馆人次的月平均增长率为50%，
第四个月的进馆人次为（人次），，
校图书馆能接纳第四个月的进馆人次.
21.答案：（1），.
（2）函数的图象经过点，
，解得.
.
与为“同簇二次函数”，
可设，
则.
由题意知，函数的图象经过点，
，.
.
当时，的最大值为.
22.答案：(1)
(2)12000元
解析：（1）设y与的函数解析式为,
改函数图象经过点和点
解得：
y与的函数解析式为；
（2）设销售销这种荔枝日获利w元,
根据题意,得,
,对称轴为直线,
在对称轴的左侧,y随x的增大而增大,
销售价格不高于18元/kg,
当时,w有最大值为12000元,
当销售单价定为18时,销售这种荔枝日获利最大,最大利润为12000元．
23.解析:（1）将,代入抛物线中,得
,解得
抛物线的函数解析式为:.
,
的函数解析式为:.
（2）存在.
由（1）可知的对称轴为,可设点的坐标为,
,,
,,,
当时,,解得,
点P的坐标为或;
当时,,
解得,,
点P的坐标为或;
当时,,
解得,
点P的坐标为;
综上,抛物线的对称轴上存在点P,使得以点A,C,P为顶点的三角形是等腰三角形,点P的坐标为或或或或.
