荣昌中学高2024届高二下期半期考试数学试题
总分150分，考试时间120分钟
第一卷（选择题共60分）
一．单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 在等差数列中，，，则（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
【答案】D
【解析】
【分析】根据等差数列的通项公式，求得数列的公差，结合，即可求解.
【详解】因为等差数列中，，，可得公差，
所以.
故选：D.
2. 下列导数计算错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】A选项，利用幂函数的求导法则计算即可；B选项，简单复合函数求导法则计算即可；CD选项，利用求导乘法和除法法则计算即可.
【详解】A选项，，A正确；
B选项，，B正确；
C选项，，C正确；
D选项，，D错误.
故选：D
3. 春节期间，某地政府在该地的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域．现有5种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（ ）
A. 120种 B. 240种 C. 420种 D. 720种
【答案】C
【解析】
【分析】先对图中不同的区域命名，再运用分步计数和分类计数的方法从中央开始计数即可.
【详解】如图，先在A中种植，有5种不同的选择，再在B中种植，有4种不同的选择，再在C中种植，有3种不同的选择，再在D中种植，
若D与B种植同一种花卉，则E有3种不同的选择，若D与B种植不同花卉，则D有2种不同的选择，E有2种不同的选择，
不同的布置方案有种；
故选：C.
4. 某班级周三上午共有5节课，只能安排语文、数学、英语、体育和物理.数学必须安排，且连续上两节，但不能同时安排在第二三节，除数学外的其他学科最多只能安排一节，体育不能安排在第一节，则不同的排课方式共有（ ）
A. 48种 B. 60种 C. 72种 D. 96种
【答案】B
【解析】
【分析】先安排数学，当数学排在第一二节时，第三四五节可任意安排；当数学排在第三四节或第四五节时，先给第一节排课，再给余下的节次排课即可解决.
【详解】分三类讨论：
（1）当数学排在第一二节，则语文、英语、体育和物理任选三科排在
第三四五节即可，共有种方法；
（2）当数学排在第三四节，则在语文、英语和物理中任选一科排在第一节，
再在包含体育余下的三科中任选二科排在第二五节即可.共有种方法；
（3）当数学排在第四五节，则在语文、英语和物理中任选一科排在第一节，
再在包含体育余下的三科中任选二科排在第二三节即可.共有种方法；
则符合要求的方法总数为
故选：B
5. “斐波那契数列” 由十三世纪意大利数学家列昂纳多 斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为 “兔子数列”.斐波那契数列 满足:，记其前项和为，设(为常数)，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据的关系，把转化为，结合递推关系可得答案.
【详解】由题意可得，.
故选：A.
6. 已知 为函数的导函数，且，则不等式的解 集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令 ，得到函数的单调性，再转化为解不等式即得解.
【详解】令 ，所以，
所以为上的增函数，由，所以，
则不等式等价于，则不等式的解为。
故 选 ：C.
7. 已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（ ）
A. 16 B. 12 C. 8 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据导数的几何意义结合已知方程求出的关系，再根据不等式中“1”的整体代换即可得出答案.
【详解】对求导得，
由得，则，即，
所以，
当且仅当时取等号．
故选：D．
8. 定义在上的偶函数的导函数为，且当时，．则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造函数在上单调递增，再根据奇偶性可判断各选项.
【详解】由当时，，
得，
设，则，
所以在上单调递增，
又函数为偶函数，
所以为偶函数，
所以在在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，所以，A选项错误；
，即，所以，B选项错误；
，即，所以，C选项错误；
，即，所以，D选项正确；
故选：D.
二．多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9. 已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项不正确的是（ ）
A. 数列为递减数列 B.
C. 最大值为 D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据等差数列的性质可得，则，即可判断AB，根据数列的单调性即可判断C，根据等差数列前n项求和公式计算即可判断D.
【详解】因为，故，，所以等差数列为递增数列，故AB错误；
因为时，，当时，，所以的最小值为，故C错误；
因为，故D正确.
故选：ABC
10. 如图为函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ）
A. 在上单调递增
B. 是的极小值点
C. 在上单调递减，在上单调递增
D. 是的极小值点
【答案】BC
【解析】
【分析】根据导函数图象与原函数图象的关系，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】当时，，当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴是的极小值点，故A错误，B正确；
当时，，在上单调递减，
∴是的极大值点，故C正确，D错误．
故选：BC．
11. 对于函数，下列说法正确的有（ ）
A. 的单调递增区间为 B. 在处取得最大值
C. 有两个不同零点 D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用导数求得的单调区间、最值、零点以及比较函数值的大小.
【详解】的定义域是，，
所以在上单调递增，
在上单调递减，A选项错误，
在处取得最大值，B选项正确，
在上单调递增，当时，，所以没有两个零点，C选项错误，
在上单调递减，所以，
，
，所以，所以，
，所以，
所以，所以D选项正确.
故选：BD
12. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）．
A. 当时，过原点作曲线的切线l，则l的方程为
B. 当时，在上单调递增
C. 若在上单调递增，则
D. 当时，在上有极小值点
【答案】ABD
【解析】
【分析】设切点坐标并求导及导数几何意义可求得切线方程，运用导数研究函数的单调性、极值点.
【详解】当时，，设切点为，，，
所以，
又l过原点，则，解得，所以l的方程为，故A正确；
当时，，，
当时，，，所以，
所以在上单调递增，故B正确；
，若在上单调递增，
则在上恒成立，即在上恒成立，
令，则，
令，得，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，所以，故C错误；
当时，，，
令，则，
当时，，所以，
所以上单调递增，
又，，
所以由零点存在定理可知，存在唯一的，使得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在上有极小值点，故D正确．
故选：ABD．
第二卷（非选择题共90分）
三．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 2位校长和4位老师合影留念，2位校长不相邻的站法有__________种.
【答案】480
【解析】
【分析】利用间接法，先把6人排序，再排除2位校长相邻的站法，结合排列数运算求解.
【详解】2位校长和4位老师的站法有种，
若2位校长相邻的站法有种，
故2位校长不相邻的站法有种.
故答案为：480.
14. 数列中，，，则此数列的通项公式_________.
【答案】
【解析】
【分析】依题意可得，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出数列的通项公式.
【详解】因为，所以，又，
所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则.
故答案为：
15. 已知在上单调递增，则实数a的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用题给条件构造出关于实数a的不等式，解之即可求得实数a的取值范围.
【详解】由，可得
又在上单调递增，
则在上恒成立，则在上恒成立，
又，则，则
故答案为：
16. 已知函数在区间上有两个极值，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】求得，根据题意转化为在上有两个不等的实数根，转化为和的图象有两个交点，求得，求得函数的单调性与最值，即可求解.
【详解】，
由题意知在上有两个不相等的实根，
将其变形为，设，则.
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
的极大值为.
画出函数的大致图象如图，
易知当时，；当时，，
，即.
故答案为：.
四．解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 电影《长津湖》讲述了在极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神为长津湖战役胜利做出重要贡献的故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果）
（1）女生必须坐在一起的坐法有多少种？
（2）女生互不相邻的坐法有多少种？
（3）甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
【答案】（1）720种
（2）1440种 （3）960种．
【解析】
【分析】（1）根据题意，由捆绑法，即可得到结果；
（2）根据题意，由插空法，即可得到结果；
（3）根据题意，结合捆绑法，插空法，代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
根据题意，先将3个女生排在一起，有种排法，
将排好的女生视为一个整体，与4个男生进行排列，共有种排法，
由分步乘法计数原理，共有种排法；
【小问2详解】
根据题意，先将4个男生排好，有种排法，
再在这4个男生之间及两头的5个空位中插入3个女生有种方法，
故符合条件的排法共有种；
【小问3详解】
根据题意，先排甲、乙、丙以外的其他4人，有种排法，
由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有种排法，
最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空挡中有种排法，故符合条件的排法共有种．
18. 在数列中，．
（1）求证：是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）满足不等式成立的k的最大值．
【答案】（1）证明见解析，
（2）4
【解析】
【分析】（1）根据所给递推公式，化简可得判断为等差数列，再根据等差数列的通项公式求解即可；
（2）由（1）知，再裂项相消求解，根据不等式求解即可.
小问1详解】
因为，所以，否则与矛盾，故，等式两边同除以可得，
又，数列是以3为首项，2为公差的等差数列，
所以，
因此．
【小问2详解】
由（1）知，，
，
,
,即，
，故k的最大值为4．
19. 已知函数在处有极值6.
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在上的最大值与最小值.
【答案】（1）的单调增区间是，单调减区间是
（2）最大值为，最小值为
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，结合极值点和极值求得参数，即可求出函数的单调区间；
（2）结合（1）的结论判断函数在上的单调性，计算极值以及端点处的函数值，可得答案.
【小问1详解】
由题意可得，故，
即，得，
得或1，
当和时，，当时，，
故的单调增区间是，单调减区间是，
满足在处取得极值；
【小问2详解】
由（1）知，，且在单调递减，单调递增，
又，
时，.
20. 设数列的前n项和为，若．
（1）求证：是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】（1）证明见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据与关系及等比数列的定义即可求得答案；
（2）由错位相减法即可求得答案.
【小问1详解】
因为，，所以，解得，
当时，，所以，
所以，即．因为也满足上式，
所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以；
【小问2详解】
由（1）知，所以，
所以，①
则，②
①-②得
＝
＝，
所以．
21. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间；
（3）若对于任意，都有，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）的单调递增区间是；的单调递减区间是（3）.
【解析】
【分析】
（1）先求得导函数，由导数的几何意义求得切线的斜率，再求得切点坐标，即可由点斜式得切线方程；
（2）求得导函数，并令求得极值点，结合导函数的符号即可判断函数单调区间；
（3）将不等式变形，并分离参数后构造函数，求得并令求得极值点，结合极值点左右两侧的单调性和端点求得最值，即可确定的取值范围.
【详解】（1）因为函数，
所以，
又因为，则切点坐标为，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）函数定义域为，
由（1）可知，.
令解得.
与在区间上的情况如下：
－ 0 ＋
↘ 极小值 ↗
所以，的单调递增区间是；
的单调递减区间是.
（3）当时，“”等价于“”.
令，，，.
令解得，
当时，，所以在区间单调递减.
当时，，所以在区间单调递增.
而，.
所以在区间上的最大值为.
所以当时，对于任意，都有.
【点睛】本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，由导函数求函数的单调区间，分离参数法并构造函数研究参数的取值范围，由导数求函数在闭区间上的最值，属于中档题.
22. 已知函数，．
（1）求函数的单调区间及极值；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为，极大值，无极小值
（2）
【解析】
【分析】（1）求导根据导数的正负判断单调性与极值；
（2）解法一：设，，求导，再令，，求导可判断，使得，即，则，即，进而确定函数函数得单调性与最值，进而可得；解法二：令，求导可证，所以，当时等号成立，所以的最小值为，若恒成立，则，即可得.
【小问1详解】
由已知可得，函数的定义域为，且，
当时，；
当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以是的极大值点，无极小值点，
所以的极大值为，无极小值；
【小问2详解】
解法一：设，，
则，
令，，
则对任意恒成立，
所以在上单调递减，
又，，
所以，使得，即，则，即．
因此，当时，，即，则单调递增；
当时，，即，则单调递减，
故，解得，
所以当时，恒成立，即实数的取值范围是．
解法二：令，，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即．
因为，所以，
当时等号成立，
即，当时等号成立，
所以的最小值为．
若恒成立，则，
所以当时，恒成立，
即实数的取值范围是．
【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；
(4)考查数形结合思想的应用．荣昌中学高2024届高二下期半期考试数学试题
总分150分，考试时间120分钟
第一卷（选择题共60分）
一．单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 在等差数列中，，，则（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
2. 下列导数计算错误的是（ ）
A. B. C. D.
3. 春节期间，某地政府在该地的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域．现有5种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（ ）
A. 120种 B. 240种 C. 420种 D. 720种
4. 某班级周三上午共有5节课，只能安排语文、数学、英语、体育和物理.数学必须安排，且连续上两节，但不能同时安排在第二三节，除数学外的其他学科最多只能安排一节，体育不能安排在第一节，则不同的排课方式共有（ ）
A. 48种 B. 60种 C. 72种 D. 96种
5. “斐波那契数列” 由十三世纪意大利数学家列昂纳多 斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为 “兔子数列”.斐波那契数列 满足:，记其前项和为，设(为常数)，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知 为函数导函数，且，则不等式的解 集为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（ ）
A 16 B. 12 C. 8 D. 4
8. 定义在上的偶函数的导函数为，且当时，．则（ ）
A. B.
C. D.
二．多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9. 已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项不正确的是（ ）
A. 数列为递减数列 B.
C. 的最大值为 D.
10. 如图为函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ）
A. 在上单调递增
B. 是的极小值点
C. 在上单调递减，在上单调递增
D. 是的极小值点
11. 对于函数，下列说法正确的有（ ）
A. 的单调递增区间为 B. 在处取得最大值
C. 有两个不同零点 D.
12. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）．
A. 当时，过原点作曲线的切线l，则l的方程为
B. 当时，在上单调递增
C. 若在上单调递增，则
D. 当时，在上有极小值点
第二卷（非选择题共90分）
三．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 2位校长和4位老师合影留念，2位校长不相邻的站法有__________种.
14. 数列中，，，则此数列的通项公式_________.
15. 已知在上单调递增，则实数a的取值范围为______.
16. 已知函数在区间上有两个极值，则实数的取值范围是__________．
四．解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 电影《长津湖》讲述了在极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏精神为长津湖战役胜利做出重要贡献的故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果）
（1）女生必须坐在一起的坐法有多少种？
（2）女生互不相邻的坐法有多少种？
（3）甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
18. 在数列中，．
（1）求证：是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）满足不等式成立的k的最大值．
19. 已知函数在处有极值6.
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在上的最大值与最小值.
20. 设数列的前n项和为，若．
（1）求证：是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
21. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间；
（3）若对于任意，都有，求实数的取值范围.
22 已知函数，．
（1）求函数的单调区间及极值；
（2）若恒成立，求实数取值范围．
