21.3二次根式的加减华东师大版初中数学九年级上册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.的值一定是
( )
A. 正数 B. 非正数 C. 非负数 D. 负数
2.若的整数部分为，小数部分为，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，则的值为
A. B. C. D.
4.若为实数，在“”的“”中添上一种运算符号在“，，，”中选择后，其运算的结果为有理数，则不可能是( )
A. B. C. D.
5.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
6.如图在长方形内，两个小正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为( )
A.
B.
C.
D.
7.下列二次根式中能与合并的是( )
A. B. C. D.
8.下列各式：；；；；运算正确的个数是( )
A. B. C. D.
9.计算：的值等于( )
A. B. C. D.
10.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积这个公式也被称为海伦秦九韶公式若，，则此三角形面积的最大值为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
11.如果最简二次根式和是可以合并的二次根式，则 ______ ．
12.古希腊几何学家海伦通过证明发现：如果一个三角形的三边长分别为，，记，那么三角形的面积为，俗称海伦公式，若在中，，，，则用海伦公式求得的面积为______ ．
13.不等式的解集是______ ．
14.已知最简二次根式与可以合并，则的值__________．
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.本小题分
计算：．
解方程：．
16.本小题分
计算：
；
．
17.本小题分
已知在中，，，三边的长分别为，，，如图是小辉同学在正方形网格中每个小正方形的边长为画出的格点的三个顶点都在正方形的顶点处．
请你参照小辉的方法在图的正方形网格图中画出格点，使得，，三边的长分别为，，；
判断的形状，说明理由；
求的面积．
18.本小题分
人教版初中数学教科书八年级下册第页阅读与思考给我们介绍了“海伦秦九韶公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：即如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么这个三角形的面积如图，在中，，，．
求的面积；
设边上的高为，边上的高为，边上的高为，求的值．
19.本小题分
如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小格的顶点叫格点．
在图中以格点为顶点画一条线段，使；
在图中以格点为顶点画，，，，并判断它是否是直角三角形．
20.本小题分
在学习实数这节内容时，我们通过“逐步逼近”的方法来估算出一系列越来越接近的近似值，请回答如下问题：
我们通过“逐步逼近”的方法来估算出，请用“逐步逼近”的方法估算在哪两个近似数之间精确到；
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，可以用来表示的小数部分．
又例如：，即，
的整数部分为，小数部分为．
请解答：的整数部分是______ ，小数部分是______ ；
如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
若是的整数部分，是的小数部分，求的平方根．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二次根式的加减及二次根式的非负性，先把二次根式化成最简二次根式，再进行加减，再根据为非负数，就可作出判断．
【解答】
解：原式
，
为非负数，
为非负数，
为非正数，
故选B．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二次根式的运算以及估算无理数的大小，正确确定的整数部分与小数部分的值是关键．
首先估算一下的范围，再确定的范围，然后确定的整数部分的值，则即可确定，然后代入所求式子计算即可求解．
【解答】
解：，
，
的整数部分，
则小数部分，
则
．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了完全平方公式和二次根式的混合运算，先利用完全平方公式变形，然后代入数值计算即可．
【解答】
解：原式
．
故选A．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了二次根式的运算，熟记平方差公式是解答本题的关键．．
根据题意，添上一种运算符号后一判断即可．
【解答】
解：，故本选项不合题意；
B.，故本选项不合题意；
C.与无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意；
D.，故本选项不合题意．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：．与不能合并，所以选项不符合题意；
B.，所以选项不符合题意；
C.，所以选项符合题意；
D.，所以选项不符合题意；．
故选：．
根据二次根式的加法运算对选项进行判断；根据二次根式的性质对选项进行判断；根据二次根式的减法运算对选项进行判断；根据完全平方公式二对选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
6.【答案】
【解析】解：面积为的正方形的边长为：，面积为的正方形的边长为：，
则阴影部分面积为：，
故选：．
由两个小正方形的面积分别为、，得出其边长分别为和，则阴影部分的长等于，宽等于的长方形，从而可得答案．
本题考查了算术平方根在面积计算中的应用，本题属于基础题，难度不大．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考察同类二次根式的概念和二次根式的化简对每个选项进行化简后根据同类二次根式的定义即可判断．
【解答】
解：．，所以不能与合并，错误；
B.，与是同类二次根式，能够合并，正确；
C.，所以不能与合并，错误；
D.，所以不能与合并，错误．
故选B．
8.【答案】
【解析】解：，正确；
，正确；
，正确；
，错误；
，错误；
所以正确的个数是．
故选：．
先根据二次根式的性质，二次根式的乘法、二次根式的减法法则进行计算，再根据求出的结果找出选项即可．
本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
9.【答案】
【解析】解：原式
．
故选：．
前面的括号内提取之后，再按平方差公式计算，最后根据二次根式的运算求解即可．
本题考查了二次根式的混合运算，以及平方差公式的运用．
10.【答案】
【解析】解：，，，
，
，
，
，
当时，有最大值为．
故选：．
根据公式算出的值，代入公式即可求出解．
本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，化简二次根式．
11.【答案】
【解析】解：最简二次根式和是可以合并的二次根式，
，
．
故答案为：．
根据题意可得最简二次根式和是同类二次根式，根据被开方数相同即可得出答案．
本题考查了最简二次根式和同类二次根式，能得出关于、的方程是解此题的关键．
12.【答案】
【解析】解：由题意可得：，，，
，
，
故答案为：．
先根据的三边长求出的值，然后再代入面积公式，进行计算即可得到答案．
本题主要考查了三角形面积的计算，读懂题意，弄清海伦公式的计算方法是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
求得不等式的解集，进一步化简求得答案即可．
此题考查二次根式的应用，掌握解不等式的方法与步骤是解决问题的关键．
14.【答案】
【解析】解：最简二次根式与可以合并，
，
解得，，
则，
故答案为：．
根据同类二次根式的概念列出方程组，解方程组求出、，计算即可．
本题考查的是同类二次根式的概念、二元一次方程组的解法以及代数式求值，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
15.【答案】解：
．
，
由得：，
解得，
把代入得，
所以，原方程组的解为．
【解析】先计算二次根式的乘法运算，零次幂，化简二次根式，再计算二次根式的加减运算即可；
由先求解，再求解即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，零次幂的含义，二元一次方程组的解法，掌握以上基础运算的运算方法是解本题的关键．
16.【答案】解：
；
．
【解析】先根据完全平方公式，平方差公式和二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可；
先根据二次根式的性质和二次根式的乘法法则进行计算，再算加法，最后算除法即可．
本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，分母有理化等知识点，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
17.【答案】如图：
即为所求；
是直角三角形；
理由如下：
，
是直角三角形．
．
【解析】根据勾股定理画图；
根据勾股定理的逆定理判断并证明；
根据三角形的面积公式求解．
本题考查了作图的应用和设计，掌握勾股定理和逆定理是解题的关键．
18.【答案】解．根据题意知，
所以，
的面积为；
，
，
，，，
．
【解析】本题考查了二次根式在三角形面积计算中的应用，读懂题中所列的海伦公式并正确运用，是解题的关键．
根据题意先求，再将，，，的值代入题中所列面积公式计算即可；
按照三角形的面积等于 底高分别计算出，和的值，再求和即可．
19.【答案】解：如图，线段即为所求．
如图，即为所求．
，，，
，
，
是直角三角形．
【解析】利用数形结合的思想作出图形．
利用数形结合的思想作出图形即可．再利用勾股定理的逆定理判断即可．
本题考查作图应用与设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
20.【答案】
【解析】解：，，
；
，
，
的整数部分是，小数部分是，
故答案为：，；
，，
，，
，，
；
，，
，
，
，
，，
，
的平方根是．
根据“逐步逼近”的方法，结合算术平方根的意义可得答案；
求出，进而可得答案；
根据，，求出，的值，然后代入计算即可；
估算出的取值范围，求出，的值，然后代入计算，根据平方根的定义求解．
本题考查了无理数的估算，算术平方根和平方根的意义，掌握“逐步逼近”的方法是解题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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