24.1测量 华东师大版初中数学九年级上册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为米的竹竿的影长为米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得该影子的长为米，一级台阶高为米，如图所示，若此时落在地面上的影长为米，则树高为
( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
2.如图，小明想用太阳光测量房子的高，发现对面墙上有该房子的影子，小明边移动边观察，发现在点处竖立一根长的木棍时，木棍落在墙上的影子与这房子落在墙上的影子重合且高度恰好相同，此时测得墙上影子高，，点，，在同一条直线上，则房子的高为( )
A. B. C. D.
3.在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时测得一根旗杆的影长为，那么这根旗杆的高度为( )
A. B. C. D.
4.如图，左、右并排的两棵大树的高分别为，，两树底部的距离，王红估计自己眼睛距地面她沿着连接这两棵树的一条水平直路从左向右前进，在前进的过程中，她发现看不到右边较高的树的顶端，此时，她与左边较低的树的水平距离( )
A. 小于 B. 小于 C. 大于 D. 大于
5.如图，有一块直角三角形余料，，，分别是，边上的一点，现从中切出一条矩形纸条，其中，在上，若，，则的长为( )
A. B. C. D.
6.如图，嘉嘉在时测得一棵高的树的影长为，若时和时两次日照的光线互相垂直，则时的影长为( )
A. B. C. D.
7.如图，小明在测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高度为( )
A. B. C. D.
8.某校数学兴趣小组为测量学校旗杆的高度，在点处竖立一根长为的标杆，如图所示，量出的影子的长度为，再量出旗杆的影子的长度为，那么旗杆的高度为
( )
A. B. C. D.
9.如图，小树在路灯的照射下形成投影若树高，树影，树与路灯的水平距离则路灯的高度为
( )
A. B. C. D.
10.如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为________( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
11.如图，为了测量旗杆的高度，某综合实践小组设计了以下方案：用长的竹竿做测量工具，移动竹竿，保持竹竿与旗杆平行，使竹竿、旗杆的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距、与旗杆相距，则旗杆的高度为___米．
12.我国古代数学著作九章算术中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”其大意是：如图，一座正方形城池，为北门中点，从点往正北方向走步到处有一树木，为西门中点，从点往正西方向走步到处正好看到处的树木，则正方形城池的边长为_______步．
13.我国古代数学发展源远流长，成就辉煌．著作九章算术中就有“井深几何”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”现在我们可以解释为：如图，矩形的边、表示井的直径，在的延长线上，尺，尺，交于，尺，根据以上条件，可求得井深为 尺．
14.如图，某时刻阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下米宽的“亮区”，光线与地面所成的角如的正切值是，那么窗口的高等于______米．
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.本小题分
如图，小明用自制的直角三角形纸板测量水平地面上树的高度，已知两直角边：：，他调整自己的姿势和三角形纸板的位置，使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，垂直于地面，测得，边离地面的距离为，求树高．
16.本小题分
如图是位于陕西省西安市荐福寺内的小雁塔，是中国早期方形密檐式砖塔的典型作品，并作为丝绸之路的一处重要遗址点，被列入世界遗产名录小铭、小希等几位同学想利用一些测量工具和所学的几何知识测量小雁塔的高度，由于观测点与小雁塔底部间的距离不易测量，因此经过研究需要进行两次测量，于是在阳光下，他们首先利用影长进行测量，方法如下：小铭在小雁塔的影子顶端处竖直立一根木棒，并测得此时木棒的影长米；然后，小希在的延长线上找出一点，使得、、三点在同一直线上，并测得米．已知图中所有点均在同一平面内，木棒高米，，，试根据以上测量数据，求小雁塔的高度．
17.本小题分
某学习小组为了测量校园内一棵小树的高度，用一根长为米的竹竿作为测量工具将竹竿垂直于地面放置，移动竹竿，使其影子的顶端，小树影子的顶端在水平地面上的同一点处重合，且，，三点共线若测得长为米，长为米，求这棵小树的高度．
18.本小题分
小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点，并在点处安装了测量器，测得古树的顶端的仰角为；再在的延长线上确定一点，使米，并在处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着方向移动，当移动到点时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端的像，此时，测得米，小明眼睛与地面的距离米，测量器的高度米．已知点、、、在同一水平直线上，且、、均垂直于，求这棵古树的高度小平面镜的大小忽略不计
19.本小题分
我国古代数学著作九章算术中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”其大意是：如图，一座正方形城池，为北门中点，从点往正北方向走步到出有一树木，为西门中点，从点往正西方向走步到处正好看到处的树木，求正方形城池的边长．
20.本小题分
在“物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的名同学选择了测量学校里的两棵树的高度在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：
小芳：测得一根长为米的竹竿的影长为米，甲树的影长为米如图．
小丽：测量的乙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上如图，测得此影子长为米，一级台阶高为米，落在地面上的影长为米．
在横线上直接填写甲树的高度为______ 米
求出乙树的高度画出示意图．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的实际应用，读懂题意，得出关系式是解题的关键．
设为树高，为树在地面上的影子，和为树在台阶上的影子，如果我们把平移到的位置，易知四边形是矩形，然后根据题意即可列出关系式．
【解答】
解：如图，
设为树高，为树在地面上的影子，和为树在台阶上的影子．
如果我们把平移到的位置，易知四边形是矩形，
因此，则米．
设米，则米．
根据题意，得，解得．
则树高为米．
故选C．
2.【答案】
【解析】解：延长、交于一点，如图所示：
设，由题意可知：，，
，
∽，∽，
，，
，
解得：，
经检验是方程的解，
，
，
；
故选：．
延长、交于一点，然后根据相似三角形的性质与判定可进行求解．
本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
3.【答案】
【解析】【解析】
本题考查了相似的应用，属于基础题．
根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解．
【解答】
解：设旗杆高度为米，
由题意得，，
解得：．
故选C．
4.【答案】
【解析】解：当小红的眼睛的位置到时，，，共线，
，，
，
∽，
：：，
，，
：：，
，
在前进的过程中，小红发现看不到右边较高的树的顶端，此时，她与左边较低的树的水平距离小于．
故选：．
当小红的眼睛的位置到时，，，共线，此时由∽得到：：，求出即可解决问题．
本题考查相似三角形的应用，关键是从问题中抽象出相似三角形，由相似三角形的性质来解决问题．
5.【答案】
【解析】解：，
，
四边形是矩形，
，，，，
，，
，
，
∽，
：：，
，，
：：，
，
故选：．
根据题意推知∽，由该相似三角形的对应边成比例，求得的长度即可．
本题考查了相似三角形的应用和矩形的性质．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
6.【答案】
【解析】由题意得，，，，．，，，，∽，，即，，解得，即时的影长为故选A．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质的应用，属于基础题根据题意，画出示意图，易得∽，进而可得，即，代入数据可得答案．
【解答】
解：根据题意，作；
树高为，且，，；
，
，
∽，
，
即，
，，
，
，负值舍去
故选B
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．
【解答】
解：
即，
米．
故选D．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查中心投影，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】
解：，
∽，
，
，
，
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查相似三角形的判定和性质，正确找出相似三角形是解题的关键．
先根据已知条件证明∽，列出比例式，即可得出答案．
【解答】
解：如图：过点作，
由题意得：是直角三角形，，
，
，
，
∽，
；即，
代入数据可得，
；
故选B．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出比例式，建立适当的数学模型来解决问题．
根据题意，综合实践小组移动竹竿，旗杆、竹竿和影子及经过旗杆和竹竿顶端的光线构成两个直角三角形，且两三角形相似．利用相似三角形对应边成比例解题．
【解答】
解：因为竹竿和旗杆均垂直于地面，
所以构成两个相似三角形，
设旗杆高米，
则，
．
故答案为．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是构建三角形相似，利用相似比计算对应的线段长．
设正方形城池的边长为步，则，证明∽，利用相似比得到，然后利用比例性质求出即可．
【解答】
解：设正方形城池的边长为步，
则，
，，
∽，
，即，
，
即正方形城池的边长为步．
故答案为．
13.【答案】
【解析】【分析】
利用相似三角形的判定和性质，构建方程求解即可．
本题考查相似三角形的应用，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
【解答】
解：设尺．
四边形是矩形，
，
∽，
，
，
解得，
经检验：是分式方程的解．
尺．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：由题意知，，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
故答案为：．
由题意知，，进而得到，由得到∽，根据相似三角形的性质得到，化简即可求出．
本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
15.【答案】解：，
∽
，
，
，
．
【解析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．
利用直角三角形和直角三角形相似，求得的长后加上小明同学的身高即可求得树高．
16.【答案】解：由题意得，，，
∽，
，
，
∽，
，
，
即，
，
，
，
答：小雁塔的高度是米．
【解析】根据相似三角形的性质得到，，等量代换得到，代入数据即可得到结论．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确得出∽是解题关键．
17.【答案】解：由题意得，，，米，
，
∽，
，即，
米，
这棵小树的高度为米．
【解析】先求出米，然后证明∽得到，然后代值计算即可得到答案．
本题主要考查了相似三角形的应用，证明∽得到是解题的关键．
18.【答案】解：如图，过点作于点
则，
在中，
，
又
∽
，即
解得
经检验：是原方程的解
这棵古树的高为
【解析】本题考查了相似三角形的应用，过点作于点，则，，由等腰直角三角形的性质，得出，那么，再证明∽，根据相似三角形对应边成比例求出，进而求出即可．
19.【答案】解：设正方形城池的边长为步，
由题意可得，∽，
，
即，
解得，，不合题意，舍去，
答：正方形城池的边长为步．
【解析】根据题意，可知∽，从而可以得到对应边的比相等，从而可以求得正方形城池的边长．
本题考查相似三角形的应用、数学常识、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意．利用相似三角形的性质和数形结合的思想解答．
20.【答案】
【解析】设甲树高米，根据题意得：
，
解得：米，
故答案为：．
如图，设为乙树的高度，米，米，米，
由题意得：，，
解得，，
，
四边形是平行四边形，
，
则乙树的高度米．
根据测得一根长为米的竹竿的影长为米，利用比例式直接得出树高；
根据相似三角形的判定和性质定理，即可求出答案．
此题主要考查了相似三角形的应用，根据同一时刻影长与高成比例以及假设没有墙或台阶时求出影长是解决问题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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