等腰三角形的判定
一．选择题
1．下列能确定为等腰三角形的是
A．、 B．、
C． D．、，周长为15
2．下列三角形：
①有两个角等于；
②有一个角等于的等腰三角形；
③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．
其中是等边三角形的有
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
3．如图，是等边中边上的点，，，则的形状是
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．不能确定形状
4．如图，在中，，，，分别是、的平分线，则图中的等腰三角形有
A．3个 B．4个 C．5个 D．2个
5．已知：如图，下列三角形中，，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是
A．①③④ B．①②③④ C．①②④ D．①③
6．如图，，平分，且．若点，分别在，上，且为等边三角形，则满足上述条件的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上
7．如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知，是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点的个数是
A．9 B．8 C．7 D．6
8．如图，在中，已知和的平分线相交于点．过点作，交于点，交于点．若，，则线段的长为
A．3 B．4 C．5 D．6
9．下列三角形：①有两个角等于的三角形；②有一个角等于的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有
A．①②③④ B．①②④ C．①③ D．②③④
10．如图，在中，，，在直线或上取一点，使得为等腰三角形，则符合条件的点共有
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
二．填空题
11．上午8时，一条船从海岛出发，以15海里时的速度向正北航行，12时到达海岛处，从、望灯塔测得，，那么从海岛到灯塔的距离为 ．
12．如图，等边三角形纸片的边长为6，，是边上的三等分点．分别过点，沿着平行于，方向各剪一刀，则剪下的的周长是 ．
13．如图，在中，，，分别是和的角平分线，且，，则的周长是 ．
14．如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路，为小路端点）和一棵小树为小树位置）．测得的相关数据为：，，米，则 米．
15．如图，在中，，、是内两点，平分，，若，，则 ．
三．解答题
16．如图，在中，，是角平分线，是高，、相交于点．求证：．
17．如图：的边的延长线上有一个点，过点作于，交于，且，求证：为等腰三角形．
18．如图，在中，与分别是的内角、外角平分线，交于点．试说明：
（1）为直角三角形；
（2）．
19．在中，，是的中线，是的角平分线，交的延长线于．
（1）若，求的度数．
（2）求证：是等腰三角形．
20．已知：如图，点为线段上一点，，都是等边三角形，交于点，交于点．
（1）求证：；
（2）求证：为等边三角形．
21．如图，点是等边内一点，，．以为一边作等边三角形，连接、．
（1）当时，试判断的形状，并说明理由；
（2）探究：当为多少度时，是等腰三角形？
参考答案
1．
解：、、，
，
，
为等腰三角形；
故本选项能确定为等腰三角形；
、、，
，
，
不是等腰三角形；
故本选项能确定不是等腰三角形；
、，
，
，
，
不是等腰三角形；
故本选项能确定不是等腰三角形；
、、，周长为15，
，
，
不是等腰三角形；
故本选项能确定不是等腰三角形．
故选：．
解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形，故正确；
②这是等边三角形的判定2，故正确；
③三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，故正确；
④根据线段的垂直平分线的性质．可以证明三边相等，故正确．
所以都正确．
故选：．
3．
解：为等边三角形
，
，
是等边三角形．
故选：．
4．
解：共有5个．
是等腰三角形；
、分别是、的角平分线
，，
是等腰三角形，
，
是等腰三角形；
，，
，
又是的角平分线，
，
是等腰三角形；
同理可证和是等腰三角形．
故选：．
解：由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”，
①中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为：，，和，，，能；
②不能；
③显然原等腰直角三角形的斜边上的高把它还分为了两个小等腰直角三角形，能；
④中的为，72，和，，，能．
故选：．
6．
解：如图在、上截取，作．
平分，
，
，
，是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
．
，，
是等边三角形，
只要，就是等边三角形，
故这样的三角形有无数个．
解法二：过点作于点，于点，作
，，，平分，
，，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
故这样的三角形有无数个．
故选：．
7．
解：如图所示：
符合条件的点的个数为8．
故选：．
解：和的平分线相交于点，
，，
，交于点，交于点．
，，
，，
．
故选：．
解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形；
②有一个角等于的等腰三角形是等边三角形；
③三个外角相等，则三个内角相等，则其是等边三角形；
④根据等边三角形的性质，可得该等腰三角形的腰与底边相等，则三角形三边相等．
所以都正确．
故选：．
10．
解：如图，
①的垂直平分线交一点，交直线于点；
②以为圆心，为半径画圆，交有二点，，交有一点，（此时；
③以为圆心，为半径画圆，交有二点，，交有一点（此时．
，
符合条件的点有六个．
故选：．
11．60海里．
解：根据题意得：（海里），
，，，
，
，
海里．
即从海岛到灯塔的距离是60海里，
故答案为：60海里．
12．6
解：等边三角形纸片的边长为6，，是边上的三等分点，
，
是等边三角形，
，
又，，
，，
是等边三角形，
剪下的的周长是．
故答案为：6．
13．7．
解：、分别是和的角平分线，
，，
，，
，，
，，
，，
的周长．
即的周长是．
故答案为：7．
14．48
解：，，
，
是等边三角形，
米，
米．
故答案为：48．
15．解：延长交于，延长交于，
，平分，
，，
，
为等边三角形，
，，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
16．见解答．
证明：，
，
，
，
，
是角平分线，
，
，
，
，
．
17．证明：，
．
，，
，
．
，
．
．
为等腰三角形．
18．
证明：（1）与分别是的内角、外角平分线，
，，
，
，
为直角三角形；
（2），
，
，
，
，
同理，，
．
19．（1）；
（2）证明过程见解答部分．
（1）解：是等腰三角形，为底边的中点，
，，
，
；
（2）证明：是的角平分线，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．
20．
证明：（1），是等边三角形，
，，，
，即，
在和中，
，
，
．
（2），
，
又，
，
在和中，
，
，
，
为等腰三角形，
又，
为等边三角形．
21．
解：（1）是等边三角形，
，
而是等边三角形，
，
，
，
在与中，
，
，
，
而，，
，
是直角三角形；
（2）设，，，，
则，，，
，
，
，
即，
①要使，需，
，
；
②要使，需，
；
③要使，需，
，
．
所以当为、、时，三角形是等腰三角形．
