第十三章轴对称拔高专题（等腰三角形）
专题1利用“三线合一”作辅助线
1.如图，在△ABC中，∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点，E,F分别是AB,AC上的点，且BE=
AF,求证：
(1)DE=DF;
(2)DE⊥DF.
2.如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E,F分别在BC,AB,AC上，且BD=CF,BE=CD,G是EF的中点.求证：DG⊥EF.
3.如图，在△ABC,AB=AC,CD⊥AB于点D,试探究∠BAC与∠BCD之间的数量关系，并说明理由。
4.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BD于点D,且BC=2BD.若∠DAB=20°,求∠BAC的度数.
5.如图，等腰△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC,点D在AB上，AD=AC,BE⊥CD交CD的延长线于
点E.
(1)求∠BCD的度数；
(2)求证：CD=2BE.
专题2角平分线模型
1.如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于点E,EF⊥AB于点F,EG⊥AC交AC的延长线于点G,
求证：(1)BF=CG
(2)AB+AC=2AF
2.如图，在△ABC中，AB=AC,D是AC的延长线上的一点，连接BD,点E在线段DB上，且∠BAC=∠CED,连接AE,判断∠AEB与∠AEC的关系，并证明.
3.(1)如图1,在△ABC中，∠C=90°,AD平分∠CAB,BC=6,BD=4,那么点D到AB的距离是______,
(2)如图2,已知∠1=∠2,∠3=∠4.求证：AP平分∠BAC.
4.如图，在△ABC中，∠A=90°,AB=AC,BD平分∠ABC,CE⊥BD,乘足为E.求证：BD=2CE,
5.如图，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,BD平分∠ABC,过点A作AF⊥BD于点F,在BD的延长线上取一点E,使∠ACE=∠FAD.求证：BD=2CE.
如图，OA为第一象限的角平分线，点E在y轴上，∠OEF=∠AOF,FE⊥OF交OA于点M.
求证：EM=2OF.
7.如图1,在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°,点D是线段BC上一个动点，点F在线段AB上，且∠FDB=∠ACB.BE⊥DF,垂足E在DF的延长线上.
(1)如图2,当点D与点C重合时，试探究线段BE和FD的数量关系，并证明你的结论；
(2)若点D不与点B,C重合，试探究线段BE和FD的数量关系，并证明你的结论.
8.在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°。
(1)如图1,BD平分∠ABC交AC于点D,F为BC上一点，连接AF交BD于点E.若AF⊥BD,求证：AD=CF;
(2)如图2,BD平分∠ABC交AC于点D,CE⊥BD交BD的延长线于点E.探究线段CE和BD的数量关系，并说明理由；
∠EFC=∠B,CE⊥EF,
(3)如图3,F为BC上一点，,垂足为E,EF与AC相交于点D.探究线段CE和DF的数量关系，并说明理由.
9.如图，在四边形ABCD中，BC>BA,AD=DC,BD平分∠ABC.求证：∠BAD+∠C=180°.
10.如图，在△ABC中，∠A=2∠B,CD平分∠ACB,且AC=6,AD=2.求BC的长.
11.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D,点E在线段CD上，且∠EAC=2∠EBC.求证：AE+AC=BC.
12.如图，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由.
13.如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AB上，AD=CD=CB.
(1)求证：CD平分∠ACB;
(2)点E在AC上，EF⊥CD交BC于点F.求证：AE=DB+BF.
14.在四边形ABCD中，AE平分∠BAD,E为BC的中点，∠AED=a.
(1)如图1,当α=90°时，求证：AD=AB+CD;
(2)如图2,当α=120°,且DE平分∠ADC时，探究线段AB,BC,CD,AD之间的数量关系，并说明理由.
专题3等腰直角三角形与全等
例.在△ABC中，AB=BC,∠ABC=90°,E为直线BC上一点，EF⊥AE且EF=AE,连接CF.
(1)如图1,若点E在线段BC上，点F在直线BC的上方，求∠FCE的度数；
(2)如图2,若点E在CB的延长线上，点F在直线BC的下方，求∠FCE的度数；
(3)如图3,若点E在BC的延长线上，点F在直线BC的上方，完成作图，并求∠FCE的度数.
1.如图1,△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°,过点C在△ABC外作直线MN,且AM⊥MN于点
M,BN⊥MN于点N.
(1)求证：MN=AM+BN;
(2)如图2,过点C在△ABC内作直线MN,且AM⊥MN于点M.BN⊥MN于点N.猜想AM,BN与MN之间的数量关系，并证明.
2.(1)如图1,△ABC为等腰直角三角形，AC=BC,AC⊥BC,点A(0,3),C(1,0),求点B的坐标；
(2)如图2,△ABC为等腰直角三角形，AC=BC.AC⊥BC,点A(-1,0),C(1,3),求点B的坐标；
(3)如图3,△ABC为等腰直角三角形，AC=AB,AC⊥AB,点B(2,2),C(4,-2),求点A的坐标.
3.如图1,OA=2,OB=4,以点A为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC.
(1)求点C的坐标；
(2)如图2,OA=2,P为y轴的负半轴上一个动点，当点P在y轴的负半轴上沿负方向运动时，以点P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD,过点D作DE⊥x轴于点E,求OP-DE的值；
(3)如图3,已知点F的坐标为(-2,-2),当点G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作等腰Rt△FGH,始终保持∠GFH=90°,FG与y轴的负半轴相交于点G(0,m),FH与x轴的正半轴相
交于点H(n,0).以下两个结论：①m-n为定值；②m+n为定值.其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值.
4.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°,D为BC上一点，过点D作DE⊥AD,且DE=AD,连接
BE,求∠DBE的度数.
5.我们知道，如果两个三角形全等，则它们的面积相等，而两个不全等的三角形，在某些情况下，可通过证明等底等高来说明它们的面积相等.已知△ABC与△DEC都是等腰直角三角形，
∠ACB=∠DCE=90°,连接AD,BE.
(1)如图1,当∠BCE=90°时，求证：=;
(2)如图2,当0°<∠BCE<90°时，上述结论是否仍然成立 请说明理由；
(3)如图3,在(2)的基础上，如果G为AD的中点，连接CG,延长GC交BE于点F,试猜想GF与BE的位置关系，并说明理由.
参考答案
专题1 利用“三线合一”作辅助线
1.证明：(1)如图，连接AD.∵AB=AC,D为BC的中点，
∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD,∠B=∠C.∵∠BAC=90°,
∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°.AD=BD,
在△BED和△AFD中，BE=AF，∠B=∠DAF,BD=AD,
∴△BED≌△AFD(SAS).∴DE=DF.
(2)由(1),知AD⊥BC.∴∠ADB=90°.
∵ABEDA△AFD, ∠HDE=∠ADF
∴∠BDE+∠EDA=∠EDA+∠ADF=9O∴∠EDF=90°,∴ED⊥DF.
2.证明：如图，连接ED,DF.
∵AB=AC,∴∠B=∠C,
在△BED和△CDF中，BE=CD,∠B=∠C，DB=FC，
∴△BED≌△CDF(SAS).∴DE=DF,∵G是EF的中点∴DG⊥EF.
3.解：∠BAC=2∠BCD.理由如下：如图，过点A作AE⊥BC于点E.
∴∠AEC=90°,∵AB=AC,∴∠BAE=∠CAE.
∵CD⊥AB,∴∠D=90°.∴∠D+∠AEC=180°,∴∠BCD+∠DAE=180°,
∵∠BAE+∠DAE=180°,∴∠BAE=∠BCD,∴∠BAC=2∠BAE=2∠BCD.
4.解；如图，过点A作AF⊥BC于点F.∵AB=AC,AF⊥BC,
∴BC=2BF=2CF,∠BAC=2∠FAB.又BC=2BD,∴BD=BF,
∵AD⊥BD,∴∠D=∠AFB=90°.
在Rt△ABD和Rt△ABF中，AB=AB,BD=BF∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL),
∴∠DAB=∠FAB,
∵∠DAB=20°,∴∠FAB=20°,∴∠BAC=2∠FAB=40°。
5.解：(1)在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠A=∠CBA=45°.∵AD=AC,∴∠ACD=∠ADC.
∵在△ACD中，∠A=45°,∴∠ACD=∠ADC=67.5°.
∴∠BCD=90 -∠ACD=22.5°。
(2)证明：如图，过点A作AH⊥CD于点H.
∵AH⊥CD,BE⊥CD,AC=AD,∴CD=2CH,∠BEC=∠CHA=90°,
∵∠BCE+∠ACD=∠HAC+∠ACD=90°,∴∠BCE=∠CAH.
在△CBE与△ACH中，∠BCE=∠CAH,∠BEC=∠CHA,BC=CA，
∴△CBE≌△ACH(AAS),∴CH=BE,即CD=2CH=2BE.
专题2角平分线模型
1.证明；(1)如图，连接BE,CE.
∵DE⊥BC,∴∠BDE=∠CDE=90°.
又BD=CD,DE=DE,∴△BDE≌△CDE(SAS),∴EB=EC,
∵AE平分∠BAC,EF⊥AB,EG⊥AC,∴EF=EG,
:在Rt△EFB和Rt△EGC中，EF=EG，EB=EC，
∴Rt△EFB≌Rt△EGC(HL)，∴BF=CG.
(2)证明：在Rt△AEF和Rt△AEG中，AE=AE,EF=EG，
∴△AEF≌△AEG(HL).∴AF=AG.
∵△EFB≌△EGC∴BF=CG.
∴AB+AC=AF+BF+AG-CG=2AF,即2AF=AB+AC。
2.解：∠AEB=∠AEC,
证明：如图，过点A作AM⊥DB交DB的延长线于点M,
AN⊥CE于点N,∴∠AMB=∠ANC=90°,
∵∠BAC=∠CED,∠CED+∠BEC=180°,∴∠BAC+∠BEC=180°.
∴∠ABE+∠ACE=180°.又∠ABE+∠ABM=180°,∴∠ABM=∠ACE,
在△ABM和△ACN中，∠AMB=∠ANC，∠ABM=∠ACE，AB=AC,
∴△ABM2△ACN(AAS),∴AM=AN.∴∠AEB=∠AEC.
3.解；(1)2
(2)证明：如图，过点P作PD⊥AB交AB的延长线于点D,
PE⊥BC于点E,PF⊥AC交AC的延长线于点F.
∵∠1=∠2,PD⊥AB,PE⊥BC,
∴PD=PE.同理，PF=PE,∴PD=PF.
又PD⊥AB,PF⊥AC,∴AP平分∠BAC.
4.证明，如图，延长BA,CE相交于点F,
∵∠A=90°,CE⊥BD,
∴∠BAD=∠CAF=∠DEC=∠DEF=90°.
∴∠ABD+∠ADB=90°,∠CDE+∠ACF=90°.
又∠ADB=∠CDE∴∠ABD=∠ACF,
在△ABD和△ACF中，∠ABD=∠ACF，AB=AC,∠BAD=∠CAF，
∴△ABD≌△ACF(ASA)。∴BD=CF.
∵BD平分∠ABC,∴∠FBE=∠CBE.
在△FBE和△CBE中，∠FBE=∠CBE，BE=BE,∠BEF=∠BEC,
∴△FBE≌△CBE(ASA),∴EF=EC.∴CF=2CE.∴BD=2CE.
5.证明：如图，延长BA,CE相交于点H.
∵∠ACE=∠FAD,∴AF//CE.∴∠AFD=∠CED.
∵AF⊥BD,∴∠AFD=∠CED=90°,∴∠BEC=∠BEH=90°.
∵BE平分∠ABC,∴∠HBE=∠CBE.
在△BEH和△BEC中，∠BEC=∠BEH，BE=BE,∠HBE=∠CBE.
∴△BEH≌△BEC(ASA),∴EH=CE,即CH=2CE,
∵∠BEH=∠CAH=∠BAD=90°,
∴∠H+∠ACH=90°,∠H+∠ABD=90°.∴∠ACH=∠ABD
在△ABD和△ACH中，∠BAD=∠CAH,AB=AC,∠ACH=∠ABD，
∴△ABD≌△ACH(ASA).∴BD=CH=2CE.
6.证明：如图，过点E作EP⊥OA于点P,延长EP,OF交于点Q.
∵OA为第一象限的角平分线，∴∠AOE=45°
∴△OPE为等腰直角三角形。∴EP=OP.
∵EF⊥OF,∴∠EFQ=∠EFO=∠EPM=∠OPQ=90°.
∵∠OMF=∠EMP,∴∠POQ=∠PEM.
∵∠OEF=∠POQ,∴∠OEF=∠PEM.
在△OEF和△QEF中，∠OEF=∠QEF,EF=EF,∠EFO=∠EFQ，
∴△OEF≌△QEF(ASA).∴OF=FQ,即OQ=2OF.
在△POQ和△PEM中，∠POQ=∠PEM，OP=EP，∠OPQ=∠EPM，
∴△P0Q≌△PEM(ASA).∴EM=OQ,即EM=2OF.
3.解；(1)BE= FD.
证明；如图1,延长CA与BE交于点G,
∵∠FDB= ∠ACB∴∠BDE=∠EDG,即CE是∠BCG的平分线。
∵BE⊥DE,∴∠BEC=∠GEC=90°.
又CE=CE,∴△BEC≌△GEC,∴BE=EG=÷BG,
∵∠BED=∠BAD=90°,∠BFE=∠CFA,∴∠EBF=∠ACF,即∠ABG=∠ACF.
在△ABG和△ACF中，∠ABG=∠ACF，AB=AC,∠BAG=∠CAF
∴△ABG△ACF(ASA),∴BG=CF=FD又BE= BG∴BE= FD.
(2)BE= FD.
证明：如图2,过点D作DG//AC,与AB相交于点H,与BE的延长线相交于点G.
∵DG//AC,∠BAC=90°,∴∠BDG=∠C,∠BHD=∠BHG=∠BAC=90°.
∵∠BDE= ∠ACB,∴∠EDG=∠BDG -∠BDE=∠C- ∠C= ∠C.∴∠BDE=∠EDG.
在△DEB和△DEG中，∠BDE=∠EDG，DE=DE,∠DEB=∠DEG，
∴△DEB≌△DEG(ASA),∴BE=EG= BC,
∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠ABC=∠ACB=∠GDB,HB=HD
∵∠BED=∠BHD=90°,∠BFE=∠DFH.∴∠EBF=∠HDF,即∠HBG=∠HDF.
在△BGH和△DFH中，∠HBG=∠HDF，HB=HD，∠BHG=∠DHF,
∴△BGH≌△DFH(ASA).∴BG=FD.∵BE= BC,∴BE= FD.
4.解；(1)证明；如图1,过点C作CM⊥AF交AF的结长线于点M.
∵∠BAC=90°,AF⊥BD,∴∠ABE+∠BAE=90°,∠BAE+∠CAM=90°.∴∠ABE=∠CAM,
∵AF⊥BD,CM⊥AF∴∠AEB =∠CMA=90°.
在△ABE和△CAM中，∠AEB =∠CMA，∠ABE=∠CAM，AB=CA,
∴△ABE≌△CAM(AAS).∴AE=CM.
∵AF⊥BD,AF⊥CM.∴∠AED=∠CMF=90°.∴BD//CM,∴∠FCM=∠CBD.
∵BD平分∠ABC,∴∠ABD =∠CBD.∴∠FCM=∠ABD,∠FCM=∠DAE
在△AED和△CMF中，∠DAE=∠FCM，AE=CM,∠AED=∠CMF，
∴△AED≌△CMF(ASA).∴AD=CF.
(2)BD=2CE.理由如下：
如图2,延长BA,CE相交于点F.
∵BD平分∠ABC∴∠CBE=∠FBE.∵CE⊥BD,∴∠BEC=∠BEF=90°.
在△BCE和△BFE中，∠CBE=∠FBE，BE=BE,∠BEC=∠BEF，
∴△BCE≌△BFE(ASA).∴CE=FE.
∵∠BAC=∠BEC=90°,∴∠BAD=∠CAF=90°,∠ACF+∠F=90，∠ABD+∠F=90∴∠ABD=∠ACF
在△ABD和△ACF中，∠ABD=∠ACF，AB=AC，∠BAD=∠CAF，
∴△ABD≌△ACF(ASA).∴BD=CF.
∵CF=CE+FE=2CE,∴BD=2CE,
(3)CE= DF.理由如下，
如图3.过点F作FG//BA,交AC于点H,交CF的越长线于点G.
∵FG//BA∴∠CFG=∠B.
∵∠EFC= ∠B,∴∠EFC= ∠CFG.∴∠EFC=∠EFG.
∵CE⊥EF.∴∠CEF=∠GEF=90°.
在△CEF和△GEF中，∠EFC=∠EFG，FE=FE,∠CEF=∠GEF，
∴△CEF≌△GEF(ASA).∴CE=GE,即CE= GC.
∵FG//BA,∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠CHG=∠FHD=∠BAC=90°,∠ACB=∠B=∠HFC=45°.∴CH=FH.
∵∠FHD=90°,CE⊥EF,∴∠G+∠GCH=90°,∠G+∠DFH=90°.∴∠GCH=∠DFH.
在△CGH和△FDH中，∠CHG=∠FHD,CH=FH,∠GCH=∠DFH，
∴△CGH≌△FDH(ASA).∴GC=DF,∴CE= DF.
例3证明：如图，在BC上截取BE=BA,连接DE.
∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠EBD.
在△ABD和△EBD中，AB=EB,∠ABD=∠EBD,BD=BD,
∴△ABD≌△EBD(SAS).∴∠A=∠BED,AD=ED.
∵AD=DC,∴DE=DC.∴∠C=∠DEC.
∵∠BED+∠DEC=∠A+∠DEC=∠A+∠C=180°,∴∠BAD+∠C=180°.
解：如图，在BC上截取CE=CA,连接DE.
∵CD平分∠ACB,∴∠1=∠2.
在△ACD和△ECD中，CA=CE,∠1=∠2,CD=CD,
∴△ACD≌△ECD(SAS).∴AD=ED,∠A=∠CED.
∵∠A=2∠B,∴∠CED=2∠B.
∵∠CED=∠B+∠BDE,∴∠BDE=∠B.∴BE=ED.
∵AC=6,AD=2∴AD=ED=BE=2,AC=CE=6.∴BC=BE+CE=2+6=8.
证明；如图，在CB上截取CF=CA,连接EF,
∵CD平分∠ACB.∴∠ACD=∠BCD.
在△ACE和△FCE中，AC=FC,∠ACD=∠BCD,CE=CE,
∴△ACE≌△FCE(SAS).∴AE=FE,∠EAC=∠EFC,
∵∠EAC=2∠EBC,∠EFC=∠EBC+∠BEF,∠EAC=∠EFC,∴∠EBF=∠BEF.
∴BF=EF,∴BF=AE.∴AE+AC=BF+FC=BC.
3.解：PB+PC>AB+AC.理由如下：
如图，在BA的延长线上取一点E,使AE=AC,连接EP.
由AD是△BAC的外角平分线可知，∠CAP=∠EAP.
在△ACP与△AEP中，AC=AE,∠CAP=∠EAP,AP=AP,
∴△ACP≌△AEP(SAS).∴PC=PE.
∵在△BPE中，PB+PE>BE,又BE=AB+AE=AB+AC,∴PB+PE>AB+AC.∴PB+PC>AB+AC
4.证明：(1)∵AD=CD=CB,AB=AC,∴∠A=∠ACD,∠CDB=∠CBD=∠ACB.
设∠A=∠ACD=x,∴∠CDB=∠CBD=∠ACB=2x,
∵∠A+∠ACB+∠ABC=5x=180°,∴x=36°.∴∠A=∠ACD=36°,∠CDB=∠CBD=∠ACB=72°.
∴∠DCB=∠ACB -∠ACD=36°=∠ACD.∴CD平分∠ACB.
如图，在AE上截取ET=BF,连接DT.
∵EF⊥CD,CD平分∠ACB,∴∠CGE=∠CGF=90°,∠ECG=∠FCG.
在△CEG和△CFG中，∠CGE=∠CGF,CG=CF,∠ECG=∠FCG，
∴△CEG≌△CFG(ASA).∴CE=CF.∵ET=BF,∴CT=CB.
在△CTD和△CBD中，CT=CB,∠ECG=∠FCG,CD=CD,
∴△CTD≌△CBD(SAS).∴DT=DB,∠CTD=∠CBD=72°.
∴∠CTD=∠A+∠TDA=72°.∴∠TDA=36°.∴∠TDA=∠A.∴TA=TD=DB.
∴AE=AT+ET=DB+BF.∴AE=DB+BF.
5.解：(1)证明：如图1,在AD上截取AF=AB,连接EF.
∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠FAE.
在△ABE和△AFE中，AB=AF,∠BAE=∠FAE,AE=AE,
∴△ABE≌△AFE(SAS).∴∠AEB=∠AEF,BE=FE.
∵E为BC的中点，∴BE=CE.∴FE=CE.
∵∠AED=∠AEF+∠DEF=90°,∴∠AEB+∠DEC=90°.∴∠DEF=∠DEC.
在△DEF和△DEC中，FE=CE,∠DEF=∠DEC,DE=DE,
∴△DEF≌△DEC(SAS).∴FD=CD.∵AD=AF+FD,∴AD=AB+CD.
(2)AD=AB+CD+ BC.理由如下：
如图2,在AD上截取AG=AB,DH=DC,连接EG,EH,
∵E为BC的中点∴BE=CE= BC.
由(1),得△ABE≌△AGE,△DEH≌△DEC.
∴BE=GE,∠AEB=∠AEG,CE=HE,∠CED=∠HED.
∵BE=CE,∴GE=HE,∵∠AED=120°,∴∠AEB+∠CED=180°-120°=60°.
∴∠AEG+∠HED=60°∴∠GEH=60°.∴△EGH是等边三角形。
∴GH=GE=BE= BC.∵AD=AG+HD+GH,∴AD-AB+CD+ BC.
专题3 等腰直角三角形与全等
例：解:(1)如图1,过点F作FM⊥BC,交BC的延长线于点M.
∴∠B=∠M=90°,∵EF⊥AE,∴∠AEB+∠MEF=180°-90°=90°.
∵∠ABC=90°,∴∠BAE+∠AEB=180°-90°=90°。∴∠BAE=∠MEF.
在△ABE和△EMF中，∠BAE=∠MEF，∠B=∠M，AE=EF，
∴△ABE≌△EMF(AAS).∴RE=MF,AB=EM.
∵AB=BC,∴CM=EM-EC=AB-EC=BC-EC=BE.∴CM=MF.
∴△CMF是等腰直角三角形。∴∠FCM=45°.
∴∠FCE=180°-∠FCM=180°-45°=135°.
(2)如图2,过点F作FM⊥BC于点M.
∴∠ABC=∠ABE=∠EMF=90'.∵EF⊥AE,∴∠AEF=90°.∴∠AEB+∠MEF=90°.
∵∠ABC=90°,∴∠BAE+∠AEB=180°-90°=90°.∴∠BAE=∠MEF.
在△ABE和△EMF中，∠BAE=∠MEF，∠ABE=∠EMF，AE=EF,
∴△ABE≌△EMF(AAS).∴BE=MF,AH=EM,
∵AB=BC,∴CM=EC-EM=EC-AB=EC-BC-BE.∴CM=MF,
∴△CMF是等腰直角三角形。∴∠FCM=45°,即∠FCE=45°.
(3)如图3,过点F作FM⊥BC,交BC的延长线于点M,
∵EF⊥AE,∴∠AEB+∠MEF=180°-90°=90°.
∵∠ABC=90°,∴∠BAE+∠AEB=180°-90°=90°.∴∠BAE=∠MEF.
在△ABE和△EMF中，∠BAE=∠MEF，∠B=∠M，AE=EF,
∴△ABE≌△EMF(AAS).∴BE=MF,AB=EM.
∵AB=BC,∴CM=EM+EC=AB+EC=BC+EC=BE.∴CM=MF
∴△CMF是等腰直角三角形。∴∠FCM=45°,即∠FCE=45°。
解；(1)证明：∵AM⊥MN,BN⊥MN,∴∠AMC=∠CNB=90°.∴∠MAC+∠ACM=90°.
∵∠ACB=90°,∴∠NCB+∠ACM=90°.∴∠MAC=∠NCB.
∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC。
∴△AMC≌△CNB(AAS).∴AM=CN,MC=NB
∵MN=NC+MC,∴MN=-AM+BN.
(2)MN=BN-AM.
证明；∵AM」MN,BN⊥MN,∴∠AMC=∠CNB=90°.∴∠MAC+∠ACM=90°.
∵∠ACB=90°,∴∠NCB+∠ACM=90°.∴∠MAC=∠NCB.
∴△AMC≌△CNB(AAS).∴AM=CN,MC=NB,∵MN=CM - CN,∴MN=BN-AM
2.解：(1)如图1,过点B作BD⊥x轴于点D.∴∠BDO=90°.
∵∠ACB=∠AOC=90°,∴∠0AC+∠OCA=90°,∠OCA+∠DCB=90°.∴∠OAC=∠DCB.
∴△AOC≌△CDB(AAS).∴AO=CD.CO=BD.
∵A(0,3),C(1,0),∴AO=3,CO=1.
∴BD=1,0D=4.∴点B的坐标为(4,1)。
(2)如图2,过点C作CD⊥x轴于点D,过点B作BE⊥CD于点E.
∴∠ADC=∠CEB=90°.∵∠ACB=∠ADC=90°,
∴∠DAC+∠DCA=90°,∠DCA+∠ECB=90°.∴∠DAC=∠ECB.
∴△ACD≌△CBE(AAS).∴AD=CE,CD=BE.
∵A(-1,0),C(1,3)∴AD=2,CD=3,0D=1.
∴CE=2.BE=3.∴DE=CD-CE=1.∴点B的坐标为(4,1).
(3)如图3,过点A作AD//y轴，过点B作BD⊥AD于点D,过点C作CE⊥AD于点E.
∴∠ADB=∠CEA=90°.∵∠ADB=∠BAC=90°,
∴∠DAB+∠DBA=90°,∠DAB+∠EAC=90°.∴∠DBA=∠EAC.
∴△ABD≌△CAE(AAS)。∴BD=AE,AD=CE.设A(x;y),
∵B(2,2),C(4,-2),∴2-x=y+2,2-y=4-x.
∴x=1,y=-1.∴点A的坐标为(1,-1).
3.解：(1)如图1,过点C作CM⊥x轴于点M.
∵CM⊥OA,AC⊥AB,∴∠CMA=∠CAB=∠AOB=90°.
∴∠MAC+∠OAB=90°,∠OAB+∠OBA=90°.∴∠MAC=∠OBA.
∴△MAC≌△OBA(AAS).∴AM=BO=4,CM=AO=2.
∴OM=0A+AM=2+4=6.∴点C的坐标为(-6,-2).
(2)如图2,过点D作DQ⊥OP于点Q.
∵DQLOP,DE⊥OE,∠POE=90°,∴DE//OP,OE//DQ,∠AOP=∠PQD.
∴OE=QD,DE=0Q.∴OP=PQ+0Q=DE+PQ.
∵∠APO+∠QPD=90°,∠APO+∠OAP=90°,∴∠QPD=∠OAP.
∴△AOP≌△PQD(AAS).∴OP=OA=2.∴OP-DE=PQ=2.
(3)结论②是正确的.
如图3,过点F分别作FS⊥x轴于点S,FT⊥y轴于点T.
∵F(-2,-2),∴FS=FT=2,∠FSH=∠FTG=∠SOT=90°.∴∠SFT=∠HFG=90°.
∴∠SFH=∠TFG.∴△FSH≌△FTG(ASA).∴HS=GT.
∵G(0,m),H(n,0),点F的坐标为(-2,-2)。
∴OT=OS=2.OG=|m|=-m.OH=n.∴GT=OG-0T=-m-2,HS=OH+OS=n+2.
∴-m-2=n+2.∴m+n=-4.
4.解：如图，作AM⊥BC于点M,作EN1BC于点N.∴∠AMD=∠END=90°.
∵AB=AC,∠BAC=90,AM⊥BC.∴∠BAM=∠CAM=∠ABM=∠ACM=45°.∴AM=MB=CM.
∵AD⊥DE,∴∠ADE=90°,∴∠ADM+∠EDN=90°,
又∠EDN+∠DEN=90°,∴∠ADM=∠DEN.∴△AMD≌△DNE(AAS).
∴DM=EN,AM=DN=BM.∴DN-MN=BM-NM.∴BN=DM=EN.
∵EN⊥BC,∴∠ENB=90°.∴∠DBE=∠BEN=45°
解：(1)证明：∵△ABC与△DEC都是等腰直角三角形，∴AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=90°.∵∠BCE=90°,∴∠ACD=∠BCE=90°.∴△ACD≌△BCE(SAS).∴=
(2)结论仍然成立.理由如下，
如图1.作AG⊥DC的越长线于点G,作BH⊥CE于点H.∴∠AGC=∠BHC.
∵∠ACB=∠DCE=∠GCE=90°,
∴∠ACB -∠GCB=∠GCE -∠GCB.∴∠ACG=∠BCH.
∴△ACG≌△BCH(AAS),∴AG=BH,
∵CD=CE∴CD·AG = CE·BH,即=
(3)GF⊥BE.理由如下：
如图2,过点A作AN//CD,交CG的延长线于点N,∴∠N=∠GCD,
∵G为AD的中点，∴AG=GD.∴△AGN≌△DGC(AAS).∴AN=DC.
∵AN//CD,∴∠NAC+∠ACD=180°.
∵∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACD+∠BCE=180°.∴∠BCE=∠NAC.
∴△ACN≌△CBE(SAS)。∴∠ACN=∠CBE.
∵∠ACN+∠BCF=90°,∴∠CBE+∠BCF=90°.∴∠BFC=90°.∴GF⊥BE.
