第一章 有理数 单元检测
时间：90分钟 满分：120分
一．选择题（每小题3分，共36分）
1．手机支付给生活带来便捷，如图是王老师某日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），王老师当天微信收支的最终结果是
A．收入14元 B．支出3元 C．支出18元 D．支出10元
2．如图，点，，，在数轴上的位置如图所示，为原点，，，若点所表示的数为，则点所表示的数为
A． B． C． D．
3．两个有理数互为相反数，则它们的积
A．符号为正 B．符号为负 C．一定不小于0 D．一定不大于0
4．若，则的值是
A． B． C． D．
5．若，互为相反数，且是绝对值为1的数，则的值是
A．1 B． C． D．0
6．若，则的值是
A．2 B． C．10 D．
7．现有四种说法：
①几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负；
②若，则；
③几个有理数相乘，当积为正时，负因数有偶数个；
④若，则．
其中正确的说法有 个．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知，，均为非负整数，且，．当时，则这三个数字组成的最大三位数可能是
A．340 B．430 C．520 D．610
9．用“☆”定义一种新运算：对于任何不为零的整数和，☆．例如：☆，则☆☆的值为
A． B．1 C．4 D．
10．下列各组数中，数值相等的是
A．与 B．与
C．与 D．与
11．据报道，2023年“十一”假期文旅市场异常火爆，全国国内旅游出游预计达到896000000人次，数字896000000用科学记数法表示是
A． B． C． D．
12．由四舍五入法得到的近似数160.25万，精确到
A．万位 B．百位 C．百分位 D．百万位
二．填空题（每小题3分，共24分）
13．当 时，式子有最小值．
14．若，，则的值为 ．
15．已知是的相反数，比最小的正整数大4，是相反数等于它本身的数，则的值是 ．
16．一种零件的直径尺寸在图纸上是（单位：，它表示这种零件的标准尺寸是，加工要求尺寸最小不低于 ．
17．把式子写成省略算式中的括号和加号的形式是 ．
18．在数4、、3、、1中，任意取3个不同的数相乘，其中乘积最大是 ．
19．将一张纸对折1次可裁2张，对折2次可裁4张，对折6次可裁 张．
20．有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是：任取1至13之间的四个自然数，将这四个数（每个数用且只用一次，可以加括号）进行加减乘除混合运算，使其结果等于24．现有四个有理数，3，4，10，请仿照“二十四点”游戏规则写出一个算式： ，使其结果等于24．
三．解答题（共60分）
21．（20分）计算：
（1）
（2）；
（3）；
（4）．
22．（6分）对于有理数，规定一种新运算：★，例如：★．求：
（1）★；
（2）5★★．
23．（6分）（1）已知，则 ．
（2）若，，且，，则 ．
（3）若，，且，求的值．
24．（8分）某游泳馆推出两种游泳付费方式：
方式一：先购买会员卡，每张会员卡200元，只限本人当年使用，凭卡游泳每次再付费10元；
方式二：不购买会员卡，每次游泳付费30元．
（1）若游泳3次，按方式一付费，则总费用为 元；
（2）若游泳9次，选择哪种付费方式更划算？请通过计算说明；
（3）若小轩同学预计今年游泳费用为600元，他选择哪种付费方式游泳次数比较多？请加以说明．
25．（8分）杭州亚运会的举办，不仅提升了杭州的国际影响力，也为杭州的旅游业带来了巨大的发展机遇．随着亚运会的到来，杭州每月的游客人数较往年同期有明显增长．已知杭州2023年1月的游客人数为17.0百万人次，接下来7个月的游客人数变化情况如表：
月份 2 3 4 5 6 7 8
游客人数（百万人次）
注：表中的数据为当月的游客人数相比前一个月游客人数的变化量．
（1）杭州2023年4月份的游客人数是多少百万人次？
（2）杭州2023年2月到8月，哪个月游客人数最多？最多是多少百万人次？哪个月游客人数最少？最少是多少百万人次？
（3）假设杭州市每个月为旅游业建设支出50亿元，2023年前4个月每百万人次的游客能为杭州市旅游业带来收入10亿元，而随着亚运会的临近，5月到8月每百万人次的游客为杭州市旅游业带来的收入提升至20亿元，则2023年1月到8月杭州市旅游业的总利润是多少亿元？
26．（12分）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题：
（1）当时，求的值．
（2）当时，求的值．
（3）已知，是有理数，当时，试求的值．
（4）已知，是有理数，当时，试求的值．
参考答案
1．
解：（元，
即王老师当天微信收支的最终结果是支出3元，
故选：．
2．
解：，点所表示的数为，
点表示的数为：，
，
点所表示的数为：，
故答案为：．
3．
解：两个有理数互为相反数，则它们的积小于等于0，即一定不大于0．
故选：．
4．
解：，
，，
解得：，，
则
．
故选：．
5．
解：，互为相反数，且是绝对值为1的数，
，，
或，
则原式的值为，
故选：．
6．
解：由题意得，
，
故选：．
7．
解：①几个非零有理数相乘，当负数有奇数个时，积为负，故该项说法错误；
②若，则，故该项说法正确；
③几个有理数相乘，当积为正时，负因数有偶数个，故该项说法正确；
④若，则，故该项说法错误．
故只有0个说法正确．
故选：．
8．
解：，
、、三个数中至少有一个为0，
已知，，
当时，b+c=7,0-c=3，
得b=10,c=-3，
为非负整数，
不适合题意，舍去；
当时，a+c=7,a-c=3，
得a=5,c=2，
、、组成的最大数是520；
当时，a+b=7,a-0=3，
得a=3,b=4，
、、组成的最大数是430；
故选：．
9．
解：☆，
☆☆
☆
☆
☆1
，
故选：．
10．
解：，
选项符合题意；
，，
选项不符合题意；
，，
选项不符合题意；
，，
选项不符合题意．
故选：．
11．
解：由题意得，，
故选：．
12．
解：近似数160.25万精确到0.01万位，即百位．
故选：．
13．2
解：，
当时，的值最小，
，
即，
故答案为：2．
14．4或0或2．
解：，，
、、三个数中必定是一正两负，
当，，时，，此时
；
当，，时，，此时
当，，时，，此时
故答案为：4或0或2．
15．25．
解：因为是的相反数，所以；
因为最小的正整数是1，且比最小的正整数大4，所以；
因为相反数等于它本身的数是0，所以，
所以．
故答案为：25．
16．29.98．
解：由题可知，加工要求尺寸最小不低于．
故答案为：29.98．
17．．
解：
．
故答案为：；
18．48．
解：在数4、、3、、1中，任意取3个不同的数相乘，乘积最大时，显然积是正数，
任意取的3个不同的数是三个正数或其中有两个负数，
，，
在数4、、3、、1中，任意取3个不同的数相乘其中乘积最大是48．
故答案为：48．
19．64．
解：由分析可知，对折6次可裁（张，
故答案为：64．
20．
解：，
算式为：；
故答案为：．
21．（1）；
（2）1；
（3）；
（4）．
解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
．
22．（1）3；
（2）56．
解：（1）★
；
（2）5★★
★
★
★7
．
23．（1）；
（2）6；
（3）48或6．
解：（1）由题可知，，，故．
故答案为：．
（2），，且，，
，，
则．
故答案为：6．
（3），，
，，
，
为负数，
，．
则或6．
24．（1）230；
（2）若游泳9次，选择方式二付费方式更划算；
（3）若小轩同学预计今年游泳费用为600元，他选择方式一付费方式游泳次数比较多．
解：（1）
（元．
故总费用为 230元．
故答案为：230；
（2）方式一：
（元；
方式二：（元；
元元，
若游泳9次，选择方式二付费方式更划算；
（3）
（次，
（次，
次次，
若小轩同学预计今年游泳费用为600元，他选择方式一付费方式游泳次数比较多．
25．（1）24.7百万人次；
（2）7月游客人数最多，最多是30.1百万人次；2月游客人数最少，最少是23.2百万人次；
（3）2637亿元．
解：（1）（百万），
即杭州2023年4月份的游客人数是24.7百万人次；
（2）2023年1月份的游客人数是17百万；
2023年2月份的游客人数是（百万）；
2023年3月份的游客人数是（百万）；
2023年4月份的游客人数是24.7百万；
2023年5月份的游客人数是（百万）；
2023年6月份的游客人数是（百万）；
2023年7月份的游客人数是（百万）；
2023年7月份的游客人数是（百万）；
综上，杭州2023年2月到8月，7月游客人数最多，最多是30.1百万人次；2月游客人数最少，最少是23.2百万人次；
（3）
（亿元），
即2023年1月到8月杭州市旅游业的总利润是2637亿元．
26．（1）1；
（2）；
（3）；
（4）0，．
解：（1）当时，；
（2）当时，；
（3）若，是有理数，当时，分两种情况：
当，时，
，
当，时，
当时，的值为；
（4）若，是有理数，当时，分2种情况：
①当，，三个字母中有一个字母小于0，其它两个字母大于0时，，
②当，，时，，
综上所述，的所有可能的值为0，．
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