浙江省宁波市海曙区储能学校2023－2024学年八年级上学期数学期初检测试卷
一、选择题（共8小题，每小题4分)
1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，Р为直线CD上的一点.已知△PAB的周长为14，PA=4，则线段AB的长度为（ )
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵CD是AB的垂直平分线， PA=4，
∴ PA=PB=4.
∵△PAB的周长为14 ，
∴PA+PB+AB=14，
∴AB=6.
故答案为：A.
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等求出PB的长度，利用周长公式即可求出AB的长度.
2．如图，AB和CD相交于点O，则下列结论不正确的是（ )
A．∠1=∠2 B．∠1=∠A+∠C
C．∠2>∠D D．∠A+∠D=∠B+∠C
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、∵∠1与∠2是对顶角，∴，故此选项正确；
B、∵∠1是△ADO与△CBO的外角，∴∠1=∠A+∠D=∠C+∠B，故此选项错误；
C、∵∠2是△ADO的外角，∴∠2＞∠D，故此选项正确；
D、∵∠1是△ADO与△CBO的外角，∴∠1=∠A+∠D=∠C+∠B，故此选项正确.
故答案为：B.
【分析】根据对顶角的性质即可判断A选项，根据三角形外角的性质即可判断B、C、D选项.
3．（2016八上·无锡期末）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5,DE=2，则△BCE的面积等于（ ）
A．5 B．7 C．10 D．3
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BC，ED⊥AB，
∴EF=DE=2，
∴△BCE的面积= ×BC×EF=5．
故答案为：A．
【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质定理得出EF=DE=2，然后根据三角形的面积计算公式得出答案。
4．△ABC中，AB=AC，CD为AB上的高，且△ADC为等腰三角形，则∠BCD等于（ )
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当等腰△ABC中，顶角为锐角时，
∵△ADC为等腰三角形，且CD为AB上的高，
∴，
∵△ABC中，AB=AC，
∴，
∴；
当等腰△ABC中，顶角为钝角时，
∵△ADC为等腰三角形，且CD为AB上的高，
∴，
∵△ABC中，AB=AC，
∴，
∴.
∴或.
故答案为：D.
【分析】根据等腰三角形的定义，分情况讨论：当等腰△ABC中，顶角为锐角时，利用等腰三角形的性质求出∠A=∠ACD=45°，和∠ACB=∠B=67.5°，从而求出∠BCD度数；当等腰△ABC中，顶角为钝角时，利用等腰三角形的性质求出∠CAD=∠ACD=45°，和∠ACB=∠B=22.5°，从而求出∠BCD的度数.
5．（2021八上·碑林开学考）若等腰三角形的一个内角比另一个内角大30°，则这个等腰三角形的底角度数是（ ）
A．50° B．80° C．50°或70° D．80°或40°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：在△ABC中，设∠A＝x，∠B＝x+30°，分情况讨论：
当∠A＝∠C为底角时，2x+（x+30°）＝180°，解得x＝50°，底角∠A＝50°；
当∠B＝∠C为底角时，2（x+30°）+x＝180°，解得x＝40°，底角∠B＝70°.
故这个等腰三角形的底角的度数为50°或70°.
故答案为：C.
【分析】在△ABC中，设∠A＝x，∠B＝x+30°，然后分∠A＝∠C为底角，∠B＝∠C为底角并结合三角形的内角和定理进行求解.
6．若Rt的两边长为5和12，则第三边长为（ )
A．13 B．26 C． D．13或
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：当Rt△ABC的两边长5和12为直角边时，
第三边的长度则为：.
当Rt△ABC的一边12为斜边时，
第三边的长度则为：.
综上所述：第三边的长度为：13或
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方，分情况讨论当12是直角边或斜边的时候，根据勾股定理的公式求出即可.
7．（2020八上·义安期末）如图，将△ABC沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，若∠1＝131°，则∠2的度数为（ ）
A．49° B．50° C．51° D．52°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】由折叠得：∠HOG＝∠B，∠DOE＝∠A，∠EOF＝∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠HOG+∠DOE+∠EOF＝180°，
∵∠1+∠2+∠HOG+∠DOE+∠EOF＝360°，
∴∠1+∠2＝180°，
∵∠1＝131°，
∴∠2＝180°﹣131°＝49°，
故答案为：A．
【分析】先根据折叠性质得：∠HOG＝∠B，∠DOE＝∠A，∠EOF＝∠C，根据三角形内角和为180°和周角360°求出结论．
8．如图，中，的垂直平分线交AB于点，交BC于点E，AC的垂直平分线交AC于点F，交BC于点.若以BE，EG，GC为边的三角形的面积为8，则的面积可能是（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】D
【知识点】三角形的面积；三角形三边关系；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：连接E、GE，
∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，
∴AE=BE， AG=GC，
∵BE，EG，GC为边的三角形的面积为8，
∴△AEG的面积为8，
∴，
∴，
∵△ABE，△AEG和△AGC等高，
∴
∴，
∴，
故只有D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用线段垂直平分线的性质推出AE=BE， AG=GC，根据三角形的任意两边之和大于第三边求出BE+CG＞EG，最后利用三角形等高，即可求出三角形三个面积的大小，从而求出△ABC的可能面积.
二、填空题(共6小题,每小题4分)
9．（2019七下·句容期中）如图，将一副三角板的两个直角重合，使点B在EC上，点D在AC上，已知∠A＝45°，∠E＝30°，则∠BFD的度数是 ．
【答案】165°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠A＝45°，
∴∠ABC＝45°，
∴∠EBF＝135°，
∴∠BFD＝135°+30°＝165°，
故答案为165°．
【分析】利用三角板的特殊性可以求出∠ABC的度数，然后求出∠EBF的度数，利用三角形的外角性质可以求出∠BFD的度数.
10．如图，中的垂直平分线交AB于，交边AC于点的周长等于，则的周长等于 .
【答案】28cm
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分线段AB，
∴AE=BE，
∵BC=8cm，△BCE的周长为18cm，
∴BE+CE=18-8=10cm，
∴AE+EC=AC=AB=10cm，
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=10+10+8=28cm.
故答案为：28cm.
【分析】利用线段垂直平分线的性质求出AE=BE，根据周长公式结合等量代换求出AC的长度，利用等腰三角形知道AB长度，从而知道△ABC的周长.
11．（2021八下·北票期中）如图，AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，DE⊥AB，E为垂足，△ABC的周长为20cm，面积为40cm2，则DE的长为 ．
【答案】4cm
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】连接CD，
∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，
∴点D到AC，AB，BC的距离相等，即为DE，
∵△ABC的周长为20cm，面积为40cm2，
∴S△ABC＝S△ADC+S△CDB+S△ADB＝AC DE+BC DE+AB DE，
即40＝DE×20，
解得：DE=4，
故答案为：4cm．
【分析】连接CD，根据角平分线的性质可得点D到AC，AB，BC的距离相等，即为DE，再利用三角形的面积公式和割补法可得S△ABC＝S△ADC+S△CDB+S△ADB＝AC DE+BC DE+AB DE，再将数据代入可得40＝DE×20，然后求出DE的长即可。
12．若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为20°，则该三角形的一个底角为 °
【答案】55或35
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当等腰三角形为锐角等腰三角形时，且AB=AC，如图所示，
由题意得，，，
∴，
∴等腰三角形的底角为：；
当等腰三角形为钝角等腰三角形时，且AB=AC，如图所示，
由题意得，，，
∴，
∴三角形的底角为：.
综上所述，三角形的底角为55°或35°.
故答案为：55或35.
【分析】分情况讨论，当三角形为锐角三角形的时候，根据等腰三角形的性质和垂直定义求出三角形的顶角度数，从而求出三角形的底角度数；当三角形为钝角三角形的时候，根据等腰三角形的性质和垂直定义求出三角形顶角的邻补角的度数，根据外角定义即可求出三角形的底角度数.
13．如图，△ABC中，∠B=40°，∠C=30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠ADE的度数为 .
【答案】110°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵△ADC翻折成△ADE，
∴，.
∵DE∥AB，
∴，
∵∠B=40°，∠C=30°
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】根据折叠的性质求出∠E的度数，利用平行线的性质求出∠BAE的度数，根据三角形的内角和定理和折叠性质求出∠EAD度数，最后再根据内角和定理即可求出∠ADE的度数 .
14．如图，BD垂直平分垂直平分AF于，若，则的周长为 .
【答案】6
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵BD垂直平分AG，CE垂直平分AF，
∴AB=BG，AC=CF，
∵
∴AB=BG=BF+FG=1+3=4，AC=CF=CG+FG=2+3=5，BC=BF+FG+CG=1+3+2=6.
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=4+5=6.
故答案为：6.
【分析】根据线段垂直平分线的性质求出AB=BG，AC=CF，利用已知条件求出AB，AC，BC的长度，从而求出△ABC的周长.
三、解答题(共4小题，8+10+12+14）
15．如图，已知点Q是直线AB上一动点（Q不与O重合)，∠POB=30°，请利用圆规和直尺，在图上找出所有的点Q，使得以P、O、Q为顶点的三角形是等腰三角形.
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：如图，在AB上截取OQ1=OQ3=OP，作OP的垂直平分线交AB于Q2，
点Q1，Q2，Q3即为所求，如图所示：
【分析】根据等腰三角形的性质，分以OP为腰点O为顶角顶点，以OP为腰点P为顶角顶点，分以OP为底三种情况作图即可.
16．如图，已知，则，请说明理由。
【答案】解：连接BC，如图所示，
∵AB=AC，
，
∵，
∴，
∴BD=CD.
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据等边对等角得∠ABC=∠ACB，利用已知条件求出∠CBD=∠BCD，从而根据等角对等边得到BD=CD.
17．如图，在等腰△ABC中，AB=BC，点D是AC边的中点，延长BD至点E，使得DE=BD，连接CE.
（1）求证：△ABD≌△CED.
（2）当时，求的周长.
【答案】（1）解∵D是AC中点，
∴AD=CD，
∵，
∵DE=BD，
∴；
（2）解∵，
∴AB=CE=BC=5，
∵AB=BC，点D时AC 中点，
∴，
∴在Rt△BDC 中，，
∴BE=BD+DE=4+4=8，
∴△BCE的周长为：BE+BC+CE=8+5+5=18.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）利用中点和对顶角的性质，根据边角边即可求证两个三角形全等；
（2）结合第（1）问的结果可求得CE的长度，根据等腰三角形三线合一的性质求得BD⊥AC，根据勾股定理即可求出BD的长度，从而求得BE长度，进而求出△BCE的周长.
18．感知：如图1，AD平分，易知：.
探究：(1)如图2，AD平分.求证：.
应用：(2)在图2中AD平分，如果，则 .
【答案】探究：证明：过点D作，，如图所示，
∵AD是的角平分线，
∴DF=DE，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴DB=DC；
应用：5.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】应用：过点D作，，如图所示，
∵AD是的角平分线，
∴DF=DE，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴DB=DC=2，EB=FC，
∴在Rt△DEB中，，
∵AD=AD，FD=DE，，
∴，
∴AF=AE=AC+CF=AC+EB=3+1=4.
∴AB=AE+EB=4+1=5.
故答案为：5.
【分析】探究：利用角平分线的性质求出DF=DE，通过同角的补角相等得∠FCD=∠EBD，根据角角边求证△FCD≌△EBD，即可推出DB=DC；
应用：利用角平分线的性质求出DF=DE，通过同角的补角相等得∠FCD=∠EBD=60°，根据角角边求证△FCD≌△EBD，即可推出DB=DC；根据直角三角形的性质求出EB的长度，通过HL证明Rt△AFD≌Rt△AED求出AF=AE以及长度，进而求出AB长度.
浙江省宁波市海曙区储能学校2023－2024学年八年级上学期数学期初检测试卷
一、选择题（共8小题，每小题4分)
1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，Р为直线CD上的一点.已知△PAB的周长为14，PA=4，则线段AB的长度为（ )
A．6 B．5 C．4 D．3
2．如图，AB和CD相交于点O，则下列结论不正确的是（ )
A．∠1=∠2 B．∠1=∠A+∠C
C．∠2>∠D D．∠A+∠D=∠B+∠C
3．（2016八上·无锡期末）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5,DE=2，则△BCE的面积等于（ ）
A．5 B．7 C．10 D．3
4．△ABC中，AB=AC，CD为AB上的高，且△ADC为等腰三角形，则∠BCD等于（ )
A．或 B．或
C．或 D．或
5．（2021八上·碑林开学考）若等腰三角形的一个内角比另一个内角大30°，则这个等腰三角形的底角度数是（ ）
A．50° B．80° C．50°或70° D．80°或40°
6．若Rt的两边长为5和12，则第三边长为（ )
A．13 B．26 C． D．13或
7．（2020八上·义安期末）如图，将△ABC沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，若∠1＝131°，则∠2的度数为（ ）
A．49° B．50° C．51° D．52°
8．如图，中，的垂直平分线交AB于点，交BC于点E，AC的垂直平分线交AC于点F，交BC于点.若以BE，EG，GC为边的三角形的面积为8，则的面积可能是（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
二、填空题(共6小题,每小题4分)
9．（2019七下·句容期中）如图，将一副三角板的两个直角重合，使点B在EC上，点D在AC上，已知∠A＝45°，∠E＝30°，则∠BFD的度数是 ．
10．如图，中的垂直平分线交AB于，交边AC于点的周长等于，则的周长等于 .
11．（2021八下·北票期中）如图，AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，DE⊥AB，E为垂足，△ABC的周长为20cm，面积为40cm2，则DE的长为 ．
12．若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为20°，则该三角形的一个底角为 °
13．如图，△ABC中，∠B=40°，∠C=30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠ADE的度数为 .
14．如图，BD垂直平分垂直平分AF于，若，则的周长为 .
三、解答题(共4小题，8+10+12+14）
15．如图，已知点Q是直线AB上一动点（Q不与O重合)，∠POB=30°，请利用圆规和直尺，在图上找出所有的点Q，使得以P、O、Q为顶点的三角形是等腰三角形.
16．如图，已知，则，请说明理由。
17．如图，在等腰△ABC中，AB=BC，点D是AC边的中点，延长BD至点E，使得DE=BD，连接CE.
（1）求证：△ABD≌△CED.
（2）当时，求的周长.
18．感知：如图1，AD平分，易知：.
探究：(1)如图2，AD平分.求证：.
应用：(2)在图2中AD平分，如果，则 .
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵CD是AB的垂直平分线， PA=4，
∴ PA=PB=4.
∵△PAB的周长为14 ，
∴PA+PB+AB=14，
∴AB=6.
故答案为：A.
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等求出PB的长度，利用周长公式即可求出AB的长度.
2．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、∵∠1与∠2是对顶角，∴，故此选项正确；
B、∵∠1是△ADO与△CBO的外角，∴∠1=∠A+∠D=∠C+∠B，故此选项错误；
C、∵∠2是△ADO的外角，∴∠2＞∠D，故此选项正确；
D、∵∠1是△ADO与△CBO的外角，∴∠1=∠A+∠D=∠C+∠B，故此选项正确.
故答案为：B.
【分析】根据对顶角的性质即可判断A选项，根据三角形外角的性质即可判断B、C、D选项.
3．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BC，ED⊥AB，
∴EF=DE=2，
∴△BCE的面积= ×BC×EF=5．
故答案为：A．
【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质定理得出EF=DE=2，然后根据三角形的面积计算公式得出答案。
4．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当等腰△ABC中，顶角为锐角时，
∵△ADC为等腰三角形，且CD为AB上的高，
∴，
∵△ABC中，AB=AC，
∴，
∴；
当等腰△ABC中，顶角为钝角时，
∵△ADC为等腰三角形，且CD为AB上的高，
∴，
∵△ABC中，AB=AC，
∴，
∴.
∴或.
故答案为：D.
【分析】根据等腰三角形的定义，分情况讨论：当等腰△ABC中，顶角为锐角时，利用等腰三角形的性质求出∠A=∠ACD=45°，和∠ACB=∠B=67.5°，从而求出∠BCD度数；当等腰△ABC中，顶角为钝角时，利用等腰三角形的性质求出∠CAD=∠ACD=45°，和∠ACB=∠B=22.5°，从而求出∠BCD的度数.
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：在△ABC中，设∠A＝x，∠B＝x+30°，分情况讨论：
当∠A＝∠C为底角时，2x+（x+30°）＝180°，解得x＝50°，底角∠A＝50°；
当∠B＝∠C为底角时，2（x+30°）+x＝180°，解得x＝40°，底角∠B＝70°.
故这个等腰三角形的底角的度数为50°或70°.
故答案为：C.
【分析】在△ABC中，设∠A＝x，∠B＝x+30°，然后分∠A＝∠C为底角，∠B＝∠C为底角并结合三角形的内角和定理进行求解.
6．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：当Rt△ABC的两边长5和12为直角边时，
第三边的长度则为：.
当Rt△ABC的一边12为斜边时，
第三边的长度则为：.
综上所述：第三边的长度为：13或
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方，分情况讨论当12是直角边或斜边的时候，根据勾股定理的公式求出即可.
7．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】由折叠得：∠HOG＝∠B，∠DOE＝∠A，∠EOF＝∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠HOG+∠DOE+∠EOF＝180°，
∵∠1+∠2+∠HOG+∠DOE+∠EOF＝360°，
∴∠1+∠2＝180°，
∵∠1＝131°，
∴∠2＝180°﹣131°＝49°，
故答案为：A．
【分析】先根据折叠性质得：∠HOG＝∠B，∠DOE＝∠A，∠EOF＝∠C，根据三角形内角和为180°和周角360°求出结论．
8．【答案】D
【知识点】三角形的面积；三角形三边关系；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：连接E、GE，
∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，
∴AE=BE， AG=GC，
∵BE，EG，GC为边的三角形的面积为8，
∴△AEG的面积为8，
∴，
∴，
∵△ABE，△AEG和△AGC等高，
∴
∴，
∴，
故只有D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用线段垂直平分线的性质推出AE=BE， AG=GC，根据三角形的任意两边之和大于第三边求出BE+CG＞EG，最后利用三角形等高，即可求出三角形三个面积的大小，从而求出△ABC的可能面积.
9．【答案】165°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠A＝45°，
∴∠ABC＝45°，
∴∠EBF＝135°，
∴∠BFD＝135°+30°＝165°，
故答案为165°．
【分析】利用三角板的特殊性可以求出∠ABC的度数，然后求出∠EBF的度数，利用三角形的外角性质可以求出∠BFD的度数.
10．【答案】28cm
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分线段AB，
∴AE=BE，
∵BC=8cm，△BCE的周长为18cm，
∴BE+CE=18-8=10cm，
∴AE+EC=AC=AB=10cm，
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=10+10+8=28cm.
故答案为：28cm.
【分析】利用线段垂直平分线的性质求出AE=BE，根据周长公式结合等量代换求出AC的长度，利用等腰三角形知道AB长度，从而知道△ABC的周长.
11．【答案】4cm
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】连接CD，
∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，
∴点D到AC，AB，BC的距离相等，即为DE，
∵△ABC的周长为20cm，面积为40cm2，
∴S△ABC＝S△ADC+S△CDB+S△ADB＝AC DE+BC DE+AB DE，
即40＝DE×20，
解得：DE=4，
故答案为：4cm．
【分析】连接CD，根据角平分线的性质可得点D到AC，AB，BC的距离相等，即为DE，再利用三角形的面积公式和割补法可得S△ABC＝S△ADC+S△CDB+S△ADB＝AC DE+BC DE+AB DE，再将数据代入可得40＝DE×20，然后求出DE的长即可。
12．【答案】55或35
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当等腰三角形为锐角等腰三角形时，且AB=AC，如图所示，
由题意得，，，
∴，
∴等腰三角形的底角为：；
当等腰三角形为钝角等腰三角形时，且AB=AC，如图所示，
由题意得，，，
∴，
∴三角形的底角为：.
综上所述，三角形的底角为55°或35°.
故答案为：55或35.
【分析】分情况讨论，当三角形为锐角三角形的时候，根据等腰三角形的性质和垂直定义求出三角形的顶角度数，从而求出三角形的底角度数；当三角形为钝角三角形的时候，根据等腰三角形的性质和垂直定义求出三角形顶角的邻补角的度数，根据外角定义即可求出三角形的底角度数.
13．【答案】110°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵△ADC翻折成△ADE，
∴，.
∵DE∥AB，
∴，
∵∠B=40°，∠C=30°
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】根据折叠的性质求出∠E的度数，利用平行线的性质求出∠BAE的度数，根据三角形的内角和定理和折叠性质求出∠EAD度数，最后再根据内角和定理即可求出∠ADE的度数 .
14．【答案】6
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵BD垂直平分AG，CE垂直平分AF，
∴AB=BG，AC=CF，
∵
∴AB=BG=BF+FG=1+3=4，AC=CF=CG+FG=2+3=5，BC=BF+FG+CG=1+3+2=6.
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=4+5=6.
故答案为：6.
【分析】根据线段垂直平分线的性质求出AB=BG，AC=CF，利用已知条件求出AB，AC，BC的长度，从而求出△ABC的周长.
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：如图，在AB上截取OQ1=OQ3=OP，作OP的垂直平分线交AB于Q2，
点Q1，Q2，Q3即为所求，如图所示：
【分析】根据等腰三角形的性质，分以OP为腰点O为顶角顶点，以OP为腰点P为顶角顶点，分以OP为底三种情况作图即可.
16．【答案】解：连接BC，如图所示，
∵AB=AC，
，
∵，
∴，
∴BD=CD.
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据等边对等角得∠ABC=∠ACB，利用已知条件求出∠CBD=∠BCD，从而根据等角对等边得到BD=CD.
17．【答案】（1）解∵D是AC中点，
∴AD=CD，
∵，
∵DE=BD，
∴；
（2）解∵，
∴AB=CE=BC=5，
∵AB=BC，点D时AC 中点，
∴，
∴在Rt△BDC 中，，
∴BE=BD+DE=4+4=8，
∴△BCE的周长为：BE+BC+CE=8+5+5=18.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）利用中点和对顶角的性质，根据边角边即可求证两个三角形全等；
（2）结合第（1）问的结果可求得CE的长度，根据等腰三角形三线合一的性质求得BD⊥AC，根据勾股定理即可求出BD的长度，从而求得BE长度，进而求出△BCE的周长.
18．【答案】探究：证明：过点D作，，如图所示，
∵AD是的角平分线，
∴DF=DE，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴DB=DC；
应用：5.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】应用：过点D作，，如图所示，
∵AD是的角平分线，
∴DF=DE，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴DB=DC=2，EB=FC，
∴在Rt△DEB中，，
∵AD=AD，FD=DE，，
∴，
∴AF=AE=AC+CF=AC+EB=3+1=4.
∴AB=AE+EB=4+1=5.
故答案为：5.
【分析】探究：利用角平分线的性质求出DF=DE，通过同角的补角相等得∠FCD=∠EBD，根据角角边求证△FCD≌△EBD，即可推出DB=DC；
应用：利用角平分线的性质求出DF=DE，通过同角的补角相等得∠FCD=∠EBD=60°，根据角角边求证△FCD≌△EBD，即可推出DB=DC；根据直角三角形的性质求出EB的长度，通过HL证明Rt△AFD≌Rt△AED求出AF=AE以及长度，进而求出AB长度.
