2023年湖北省武汉市
九年级四调数学模拟试卷（一）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．实数2023的相反数是（ ）
A． B． C． D．2023
2．“清明时节雨纷纷”这个事件是（ ）
A．必然事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．随机事件
3．下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A．线段 B．等边三角形 C．圆 D．长方形
4．等于（ ）
A． B． C． D．
5．如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知的图象上，，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（―1，2）
B．（―9，18）
C．（―9，18）或（9，―18）
D．（―1，2）或（1，―2）
8．甲、乙、丙三位同学把自己的数学课本放在一起，每人从中随机抽起一本（不放回），三位同学抽到的课本都是自己课本的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，等边内接于，为上一点，，交于点，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程的方法．类似地可以用折纸的方法求方程的一个正根．如图，裁一张边长为1的正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段AE上，标注点B的新位置F，则． 类似地，再在AB上折出点M使，则表示方程的一个正根的是（ ）
A．线段BM的长 B．线段AM的长
C．线段BE的长 D．线段AE的长
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11．2022年3月23日，备受瞩目的中国空间站“天宫课堂”第二课，通过架设在太空约3600万米的中继卫星与地面之间顺利开讲，其中3600万用科学记数法可表示为 ．
12．某体育用品专卖店在一段时间内销售了20双学生运动鞋．各种尺码运动鞋的销售量如下表．则这20双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数是 ．
尺码 24 24.5 25 25.5 26
销售量/双 1 12 5 1 1
13．计算：的结果是
14．大门高ME＝7.6米，学生身高BD＝1.6米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，在点B时测得摄像头M的仰角为30°，当学生刚好离开体温检测有效识别区域AB时，在点A时测得摄像头M的仰角为60°，则AB的长是 ．（结果保留根号）
15．已知抛物线（为常数），，过，两点，．下列四个结论：①；②若，则；③若点，在抛物线上，且，，则；④若，关于的一元二次方程必有两个不等实数根，正确的是 ．
16．如图，若，，，，则；如图，，，，，则 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．解不等式，请按下列步骤完成解答．
(1)解不等式①，得______ ；
(2)解不等式②，得______ ；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4)原不等式解集为______ ．
18．如图，在四边形中，，．
(1)的度数；
(2)平分交于点，，求证：．
19．为庆祝中国共青团成立100周年，某校开展四项活动：项参观学习，项团史宣讲，项经典诵读，项文学创作，要求每名学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动．该校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．
(1)本次调查的样本容量是__________，项活动所在扇形的圆心角的大小是_________，条形统计图中项活动的人数是_________；
(2)若该校约有2000名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活动的人数．
20．已知的圆心在上，、分别为的切线，切点分别为、，交另一点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
21．利用无刻度直尺完成下列作图．
(1)如图，作点关于的对称点；
(2)如图，作的中点；
(3)如图，点为上一点，作点关于的对称点．
22．某商店以一定的价格购进甲、乙两种商品若干千克，销售统计发现，甲商品从开始销售至销售的第天总销量（千克）与的关系如图所示，且是的二次函数．乙商品从开始销售至销售第天的总销量，，其中是关于的一次函数，其图象如图．
(1)分别求出，与的函数关系；
(2)甲、乙两种商品购进量相差多少；
(3)分别求出甲、乙两种商品哪天销量最大，并求出最大销售量是多少．
23．【模型】如图1，正方形，点在上，将绕点顺时针旋转得到，画出图形；
【运用】如图2，已知正方形中，点、分别在，上，，过点作于点，交于点，
（1）求证：．
【拓展】
（2）如图3，中点为，，，直接写出______ ．
24．已知抛物线与轴交于、两点点在左侧．
(1)，、分别交抛物线于、两点，的解析式为点在第一象限，的解析式为，直接写出的值点在第三象限；
(2)在（1）的条件下，若，求证：一定与定直线平行；
(3)若，、、都在抛物线上，且四边形为平行四边形，求证：必过一定点．
参考答案
1．A
【分析】根据相反数的意义即可解答．
【详解】解：实数2023的相反数是，
故选：A．
【点睛】本题考查了实数的性质，相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．
2．D
【分析】根据事件发生的可能性大小判断，即可得到答案．
【详解】解：“清明时节雨纷纷”这个事件是随机事件，
故选：D．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．B
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】A．线段，是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．等边三角形，是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．圆，是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．长方形，是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．B
【分析】根据积的乘方法则求解．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题考查了积的乘方，掌握运算法则是解答本题的关键．
5．A
【分析】根据从正面所看得到的图形为主视图，据此解答即可．
【详解】解：从正面可发现有两层，底层三个正方形，上层的左边是一个正方形．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图成为解答本题的关键．
6．A
【分析】根据反比例函数图象与性质即可得到答案．
【详解】解：的，
反比例函数的图象在第一、三象限，
的图象上，，且，
，且，
，
故选：．
【点睛】本题考查反比例函数图象与性质，熟练掌握反比例函数中与图象的象限关系是解决问题的关键．
7．D
【详解】解：方法一：∵△ABO和△A′B′O关于原点位似
∴△ ABO∽△A′B′O且＝
.∴＝＝
∴A′E＝AD＝2
OE＝OD＝1
∴A′（-1,2）
同理可得A′′（1,-2）
方法二：∵点A（-3，6）且相似比为
∴点A的对应点A′的坐标是（-3×，6×），
∴A′（-1,2）
∵点A′′和点A′（-1,2）关于原点O对称
∴A′′（1,-2）
故选：D．
8．B
【分析】设甲、乙、丙三位同学的数学课本分别记为，，，画树状图得出所有等可能的结果数以及三位同学抽到的课本都是自己课本的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：设甲、乙、丙三位同学的数学课本分别记为，，，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中三位同学抽到的课本都是自己课本的结果有1种，
三位同学抽到的课本都是自己课本的概率是，
故选：B．
【点睛】本题考查列表法与树状图法求概率，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
9．B
【分析】连接，过点作交延长线于，在上取一点使，证，在中求出，，进而在中由勾股定理得，则，证为等边三角形得，据此可证，进而得：：，由此得，据此可得的长．
【详解】解：连接，过点作交延长线于，在上取一点，使，如图：
为等边三角形，，
，，
又四边形内接于，
，
，
，
在中，，，
，，
，，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
，，
为等边三角形，
，
，
，
又，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线，灵活运用三角函数及相似三角形的性质进行计算是解答此题的关键．
10．B
【分析】设正方形的边长为1，，根据勾股定理即可求出答案．
【详解】解：设正方形的边长为1，，
则，，
在Rt△ABE中，
∴，
∴，
∴，
∴AM的长为的一个正根．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是根据勾股定理列出方程．
11．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：3600万，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
12．24.5
【分析】根据众数的定义求解即可．
【详解】解：由表知，这组数据中24.5出现次数最多，有12次，
这组数据的众数为24.5，
故答案为：24.5．
【点睛】本题主要考查众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，众数就是最多的那个数据．掌握众数的定义是解题的关键．
13．.
【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果.
【详解】.
故答案为.
【点睛】此题考查了分式的加减法，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母.
14．米
【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造三角关系，进而可求出答案．
【详解】解：根据题意可知：四边形EFC A和ABDC是矩形，ME= 7.5米，
CA = EF = BD= 1.5米，CD= AB
设FC= x，
在Rt△MFC中，
∠MCF = 60°
∠FMC= 30°
MC= 2FC= 2x, MF=x
∠MDC= 30°
∠CMD= 60°- 30°= 30°
CD= CM= 2x
ME= MF+ EF
x+ 1.5 = 7.5
解得：
MC= 2x= (米)
答：体温监测有效识别区域AB的长为米．
故答案为：米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用一仰角俯角问题，锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握以上知识．
15．①②④
【分析】依据题意，对称轴，又，故可①结论判断；当时，对称轴，从而，又当时，，故可判断②结论；抛物线的对称轴直线，由，从而得点到对称轴的距离点到对称轴的距离，故可判断③结论；设抛物线的解析式为，从而，计算可以判断④结论．
【详解】解：抛物线过，两点，，
对称轴，
对称轴在轴右侧，
，
，
，故①结论正确；
当时，对称轴，
，
抛物线过点，
，
，
，故②结论正确；
由题意，抛物线的对称轴直线，，
．
，
点，在抛物线上，，且，
点到对称轴的距离点到对称轴的距离，
，故③结论错误；
设抛物线的解析式为，
方程，
整理得，，
，
，，
，
关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．故④结论正确．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
16．
【分析】由直角三角形的性质可得，，，，可证，可得，可求的长，由勾股定理可求解．
【详解】解：如图，过点作于，连接，
，
，
，
∴，，
，，
，，，
，
，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，证明三角形相似是解题的关键．
17．(1)
(2)
(3)见解析
(4)
【分析】分别解这两个不等式，把不等式和的解集在数轴上表示出来，找到解集的公共部分即可得到原不等式组的解集．
【详解】（1）解：解不等式，得：；
故答案为：
（2）解不等式，得：；
故答案为：
（3）把不等式和的解集在数轴上表示出来为：
（4）原不等式组的解集为：．
故答案为：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，体现了数形结合的思想，在数轴上找到解集的公共部分是解题的关键．
18．(1)
(2)见解析
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出；
根据角平分线的定义求出，根据平行线的性质求出，得到，根据平行线的判定定理证明结论．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）证明：平分，
，
，
，
∵，
，
．
【点睛】本题考查的是平行线的判定和性质、角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．
19．(1)80，，20
(2)大约有800人
【分析】（1）根据“总体=部分÷对应百分比”与“圆心角度数=360°×对应百分比”可求得样本容量及B项活动所在扇形的圆心角度数，从而求得C项活动的人数；
（2）根据“部分=总体×对应百分比”，用总人数乘以样本中“参观学习”的人数所占比例可得答案．
【详解】（1）解：样本容量：16÷20%=80（人），
B项活动所在扇形的圆心角：，
C项活动的人数：80－32－12－16=20（人）；
故答案为：80，54°，20；
（2）解：（人），
答：该校意向参加“参观学习”活动的学生大约有800人．
【点睛】本题主要考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，读懂图，找出对应数据，熟练掌握总体、部分与百分比之间的关系是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，证明出或即可利用同位角相等，两直线平行，或内错角相等，两直线平行证明出结论；
（2）先由勾股定理求出，再利用，利用平行线分线段成比例定理求出半径，最后由得到比例线段即可求出．
【详解】（1）证明：连接，
、分别为的切线，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：在中，
，，
由勾股定理，得，
设，则，，
，，
，
由（1）知，
，
即，
解得，
经检验，是原方程的解，
，
在中，
由勾股定理，得，
，
，
，
即，
解得．
【点睛】本题考查圆的切线的性质，圆的基本性质，平行线的判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相关图形的判定和性质是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据轴对称变换的性质作出点的对应点即可；
（2）取格点，连接，延长交网格线与点，连接，，作出的中位线，连接交于点，点即为所求；
（3）过点作关于直线的对称点，连接，交与点，连接，延长交于点，点即为所求．
【详解】（1）解：在图中，点即为所求；
（2）解：在图中，点即为所求；
（3）解：在图中，点即为所求．
【点睛】本题考查作图一轴对称变换，三角形中位线定理，平行线等分线段定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．(1)，；
(2)甲、乙两种商品购进量相差
(3)甲乙均在第天销量最大，分别是、．
【分析】（1）依据题意，设，结合图象上的点代入计算可以得解；又是关于的一次函数，过，，从而先求出与的关系，再代入可以的的关系式；
（2）依据题意，分别依据顶点式求出两种商品的最大值，然后作差可以得解；
（3）依据题意，设第天，甲、乙商品销量最大，表示出来后，求出最大值即可得解．
【详解】（1）解：由题意，设，
∴，
∴，
又是关于的一次函数，过，，
设，
∴，
解得，
∴，
∴；
（2）解：由题意得，，
∵，
∴当时，甲商品的最大值为；
又，
∵，
∴当时，乙商品的最大值为300．
∴，即乙商品比甲商品多购进．
即甲、乙两种商品购进量相差；
（3）解：第天，乙商品销量：
，
∴当时，．
此时甲商品销量：
，
∴当时，．
答：甲乙均在第天销量最大，分别是、．
【点睛】本题考查二次函数、一次函数的应用，关键是求出函数解析式．
23．模型：见解析；（1）见解析；（2）
【分析】模型：根据题意画出图形即可；
（1）由“”可证，可得，由“”可证，可得，，通过证明，可得，即可求解；
（2）由相似三角形的性质和勾股定理分别求出，的长，即可求解．
【详解】模型：
解：画出图象如图所示：
；
（1）证明：如图2，过点作交直线于点，
，
，，
，，，
，
，
，
，
，
又，，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
；
（2）解：中点为，，，
，，
，，
由（1）可得，
，
，
，，
，
，
如图3，连接，交于，
，
，，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，证明三角形相似是解题的关键．
24．(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）令，得，可得，，设交轴于点，交轴于点，可证得，得出，由一次函数图象与轴的交点坐标为，，即可求得答案；
（2）联立方程组得，则，同理可得：，结合（1）的结论可得，进而可得，设的解析式为，可得，再由，可求得，即直线与直线平行．
（3）设解析式，联立得，设，，，，由平行四边形的性质可得，，可求得，再由点在抛物线上，可得，即，解得：，故直线过定点．
【详解】（1）解：，
令，得，
解得：，，
，，
，
设交轴于点，交轴于点，如图，
，
，
又，
，
，
的解析式为点在第一象限，的解析式为点在第三象限，
，，
点在轴正半轴上，点在轴负半轴上，且，
；
（2）证明：的解析式为，与抛物线的解析式联立得：，，
则，
同理可得：，
，
由（1）知：，
，
，
，
，
，
设的解析式为，
则，
，
，
，
即，
，
，
解得：，
又，
，即直线与直线平行，
一定与定直线平行；
（3）证明：设解析式，与抛物线的解析式联立，得，
，
设，，，
，
，且四边形为平行四边形，
，，
，，
，，
，
点在抛物线上，
，
，
解得：，
直线过定点．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
