泸县2023-2024学年高三上学期10月月考
数学（理工类）
本试卷共4页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合，，则
A． B． C． D．
2．复数（，为虚数单位），在复平面内所对应的点在上，则
A． B． C． D．
3．若实数x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为
A． B．3 C． D．4
4．设，，则“'”是“”的
A．充要条件 B．充分条件但不是必要条件
C．既不是充分条件也不是必要条件 D．必要条件但不是充分条件
5．天文学中，用视星等表示观测者用肉眼所看到的星体亮度，用绝对星等反映星体的真实亮度.星体的视星等，绝对星等，距地球的距离有关系式（为常数）.若甲星体视星等为，绝对星等为，距地球距离；乙星体视星等为，绝对星等为，距地球距离，则
A． B． C． D．
6．已知球的内接圆柱（圆柱的底面圆周在球面上）的高恰好是球的半径，则圆柱侧面积与球的表面积之比为
A． B． C． D．
7．函数的图象大致为
A．B．C．D．
8．已知直线是曲线的切线，则
A． B．1 C． D．2
9．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且的图象的一条对称轴是直线，则的最小值为
A． B．2 C．3 D．
10．如图，已知四棱锥中，四边形为正方形，平面平面为上一点，且平面，则三棱锥体积最大值为
A． B．
C． D．
11．若不等式恒成立，则a的取值范围是
A． B． C． D．
12．克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为(，).若，，，则
A． B． C． D．
第II卷 非选择题
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13． ．
14．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．若，则 ．
15．在中，角的对边分别为，且，的面积为，则的值为 ．
16．已知函数，.下列有关的说法中，正确的是 (填写你认为正确的序号).
①不等式的解集为或；②在区间上有四个零点；
③的图象关于直线对称；④的最大值为；⑤的最小值为；
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。
17．（12分）已知函数， ，若在处与直线相切.
（1）求，的值；
（2）求在上的极值.
18．（12分）已知函数(，，)的部分图象如图所示，为图象与轴的交点，，分别为图象的最高点和最低点，中，角，，所对的边分别为，，，的面积.
（1）求的角的大小；
（2）若，点的坐标为，求的最小正周期及的值.
19．（12分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且．
(1)求的外接圆半径R；
(2)求内切圆半径r的取值范围．
20．（12分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，是线段上一点（不含，），在平面内过点作平面交于点．
（1）写出作的步骤（不要求证明）；
（2）若，，是的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
21．（12分）已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：时，．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22.已知在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)已知过点，倾斜角为的直线l与曲线C交于A，B两点，若M为线段AB的三等分点，求的值．
[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
23．已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若的最小值为，且实数，满足，求证：.泸县2023-2024学年高三上学期10月月考
数学（理工类）参考答案
1．C 2．B 3．D 4．D 5．A 6．B 7．A 8．B 9．A 10．A 11．A 12．B
13．5 14． 15． 16．③④
17．解：（1）由题意，函数，可得，
因为函数在处与直线相切，
所以，即，解得.
（2）由（1）得，定义域为，且，
令，得，令，得.
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在上的极大值为，无极小值.
18．解：（1），
由余弦定理得，又，
，即，，.
由题意得，，
由余弦定理，
得，即，
设边与轴的交点为则为正三角形，
且，函数的最小正周期为，
，
又点在函数的图象上，，
即，即，
即又，.
19．解：（1）因为，由正弦边角关系得，即，
由余弦定理，得，又，所以，
由，则.
（2）由正弦定理得，所以，，
由余弦定理，得，所以，
利用等面积法可得，
则
，
∵，∴，故，则，
所以，故.
20．（1）第一步：在平面内，过点作交于点；
第二步：在平面内过点作交于；
第三步：连接，即为所求．如图所示：
（2）解法一：因为是的中点，，所以是的中点，
而，所以是的中点，
连接，交于，连，设在底面的射影为，
因为，所以，即为的外心，
所以与重合，
因为，，所以，，
过作交于，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，
所以，，设平面的法向量为，
则，
取，则，，所以
因为平面，所以平面平面，又，
所以平面，
故为平面的法向量，
设平面与平面所成锐二面角的大小为，
则，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
21．解：（1），，
.
当时，，函数在上单调递减；
时，由，得，由，得，
此时函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：时，要证，
即要证：，，
令，则，
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增.
可得时，函数取得最小值，.
令，，
当时，，此时为增函数，当时，，此时为减函数，
所以时，函数取得最大值，.
与不同时取得，因此，即，.故原不等式成立.
22．（1）由，得，所以
所以曲线C的直角坐标方程为．
（2）设直线l的参数方程为（t为参数，），
代入，得，
恒成立，所以，．
由M为线段AB的三等分点，且，故．
将代入前式，得
，，所以，
，则
解得：或．
23．解：（1）①当时，不等式即为，解得；
②当时，不等式即为，；
③当时，不等式即为，.
综上，不等式的解集为.
（2）由绝对值不等式的性质可得：
当时，取最小值4，即，即
当且仅当时等号成立.
