荆州市名校2023-2024学年高三上学期10月半月考
数学
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）
1．已知复数（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
2．设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．函数的一条对称轴为（ ）
A． B． C． D．
4．等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，则（ ）
A．4 B．16 C．32 D．64
5．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，其中奇数不相邻，且2不在第二位，则这样的六位数个数为（ ）
A．120种 B．108种 C．96种 D．72种
6．已知，设，则（ ）
A． B． C． D．
7．若曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知为坐标原点，是椭圆上位于上方的点，为右焦点．延长交椭圆于两点，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．）
9．设随机变量，则下列说法正确的是（ ）
A．服从正态分布 B．
C． D．当且仅当时，取最大值
10．如图所示，该曲线是由4个圆：的一部分所构成，则下列叙述正确的是（ ）
A．曲线围成的封闭图形面积为
B．若圆与曲线有8个交点，则
C．与的公切线方程为
D．曲线上的点到直线的距离的最小值为4
11．如图，正方体棱长为1，是上的一个动点，下列结论中正确的是（ ）
A．的最小值为 B．当在上运动时，都有
C．当在直线上运动时，三棱锥的体积不变 D．的最小值为
12．已知双曲线的一条渐近线方程为，圆上任意一点处的切线交双曲线于两点，则（ ）
A． B．满足的直线仅有2条
C．满足的直线仅有4条 D．为定值2
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．设为两个不共线向量，若向量与共线，则实数__________．
14．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性回归方程，则__________．
15．设，函数若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为__________．
16．设函数的定义域为，对于任意的，当，有，若，则不等式的解集为__________．
四、解答题（本小题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分）已知函数．
（1）求的值；
（2）在中，若，求的最大值．
18．（12分）如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面分别是的中点．
（1）求证：平面⊥平面；
（2）求和平面所成角的正弦值．
19．（12分）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列．
（1）写出与的递推关系，并求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和为，且，在与之间插入个数，若这个数恰能组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．
20．（12分）已知函数．
（1）若，求的极值；
（2）若对任意恒成立，求整数的最小值．
21．（12分）某中学举办了诗词大会选拔赛，共有两轮比赛，第一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令．第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，若选手在10秒内正确回答出下句可得10分，若不能在10秒内正确回答出下句得0分．
（1）已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望；
（2）已知恰有甲、乙、丙、丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个回答问题，无论答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团队有相同的机会抢答下一问题．记第次回答的是甲的概率为，若．
①求；②正明：数列为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小．
22．（12分）已知抛物线，过点作斜率互为相反数的直线，分别交抛物线于及两点．
（1）若，求直线的方程；
（2）求证：．
荆州市名校2023-2024学年高三上学期10月半月考
数学参考答案
1-4．C D A D 5-8．B C A B 9．BC 10．ACD 11．ABC 12．AD
13．2.5 14． 15． 16． 17．（1）1 （2）
【详解】（1）
，
5分
（2）由题意可知，，
而可得：，即，
，
，
的最大值为 10分
18．（1）证明见解析 （2）
【详解】（1）取的中点，连接，则，
又因为平面，所以平面，则两两垂直， 2分
如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，可得，设分别为平面和平面的法向量，
由，令，则，
可得是平面的一个法向量， 4分
由，令，则，
可得是平面的一个法向量， 6分
因为，即，所以平面平面． 7分
（2）由（1）可得：是平面的一个法向量，
设和平面所成角为，
则，
所以和平面所成角的正弦值为． 12分
19．（1）
（2）
【详解】（1）由题意可知，，
，
所以数列的一个递推关系为， 2分
所以当时，利用累加法可得，
将代入得，符合， 5分
所以数列的通项公式为． 6分
（2）当时，，即，
当时，，①
，②
，得，即， 8分
所以数列是以3为首项，3为公比等比数列，
所以，
由题意可知，所以，
所以， 9分
所以，③
，④
得，
11分
所以，
所以数列的前项和． 12分
20．（1）极大值为，无极小值 （2）1
【详解】（1）当时，，
．
当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减．
所以在时取得极大值且极大值为，无极小值； 5分
（2）因为对任意恒成立，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
设，则．
设，
显然在上单调递减，
因为，
所以，使得，即， 8分
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以， 10分
因为，所以，
故整数的最小值为1． 12分
21．（1）设该选手答对的题目个数为，该选手在第一轮的得分为，则，易知的所有可能取值为0，1，2，
则，故的分布列为
0 1 2
则，所以． 4分
（2）①由题意可知，第一次是甲回答，第二次甲不回答，，则．
②由第次回答的是甲的概率为，得当时，第次回答的是甲的概率为，第次回答的不是甲的概率为，则．
即，又是以为首项，为公比的等比数列，则，
∴第7次回答的是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大． 12分
22．（1）
（2）证明见解析
【详解】（1）设，
．
又，即，
又或，
当时，；
当时，，此时直线的斜率不存在，舍去，
，∴直线的方程为：． 4分
（2）设直线，则直线，
设，
由，即，则，所以，
又，
，同理可证：，
，
又． 12分
