湖南省长沙市重点学校2023-2024学年八年级上学期入学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．下列四个数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图是小明探索直线平行的条件时所用的学具，木条，，在同一平面内，经测量，要使木条，，要使木条与平行，则的度数应为（ ）
A． B． C． D．
4．下列调查中适合全面调查的是（ ）
A．对一批浏阳烟花的质量的调查
B．对湘江流域中的生物多样性情况的调查
C．对全国中学生的睡眠情况的调查
D．对宇宙空间站的零部件的检查
5．若，则点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6． 如图，与相交于点，，要使≌，则需添加的一个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023八下·揭东期中）不等式的正整数解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2023七下·杭州期中）某校劳动课学习制作娃娃和沙包，已知每米布可做娃娃25个或沙包40个．现有36米布料，完成后打算将1个娃娃和2个沙包配成一套礼物．布料没有剩余，礼物也恰好成套．设做娃娃用了x米布，做沙包用了y米布，则（ ）
A． B．
C． D．
9．如果三角形的两边长分别为和，那么这个三角形的周长可能是（ ）
A． B． C． D．
10．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，则以下结论①∠1=2∠2，②∠BOC=3∠2，③∠BOC=90°+∠1，④∠BOC=90°+∠2正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11．若，则 ．
12．若点在轴上，则点的坐标为 ．
13．若方程组的解满足，则的值是 ．
14．若一个边形的每个内角都为，那么边数为 ．
15．月日为世界读书日，为了解八年级学生的阅读时间，从中抽取名学生进行调查，则该调查中的样本容量是 ．
16．如图，在中，交于点，平分交于点，的面积为，的面积为，，则的长为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．
（1）计算：；
（2）解不等式组：．
18．已知代数式，当和时，它的值都为，当时，它的值为，
（1）求，，的值；
（2）当时，求代数式的值．
19．如图，点、、、在同一条直线上，与相交于点，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
20．如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，，三角形中任意一点，经平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点，，的对应点分别为，，．
（1）点的坐标为 ，点的坐标为 ，点的坐标为 ；
（2）画出平移后的三角形；
（3）计算求解的面积．
21．某校组织了一次“疫情防控知识”专题网上学习，并进行了一次全校名学生都参加的网上测试．阅卷后，教务处随机抽取份答卷进行分析统计，绘制了频数分布表和频数分布直方图不完整，请结合图表信息回答下列问题：
分数段分 频数人
合计
（1） ，频数分布直方图的组距是 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）全校学生参加网上测试，成绩在范围内的学生约有多少人？
22．（2022七下·周村期末）为更好地推进生活垃圾分类工作，改善城市生态环境，某小区准备购买A，B两种型号的垃圾箱，通过市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元，购买2个A型垃圾箱比购买3个B型垃圾箱少用160元．
（1）每个A型垃圾箱和B型垃圾箱分别是多少元？
（2）若该小区物业计划用低于2150元的资金购买A，B两种型号的垃圾箱共20个，且至少购买6个B型垃圾箱，请问有几种购买方案？
23．如图，，，，，，垂足分别是，，
求证：
≌；
．
24．若一个不等式组有解且解集为，则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式组的解即中点值满足不等式组，则称不等式组对于不等式组中点包含．
（1）已知关于的不等式组：，以及不等式：，请判断不等式对于不等式组是否中点包含，并写出判断过程；
（2）已知关于的不等式组：和不等式组：，若对于不等式组中点包含，求的取值范围．
（3）关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，且所有符合要求的整数之和为，求的取值范围．
25．已知，在中，，，，三点都在直线上，且，
（1）如图，若，则与的数量关系为 ，与的数量关系为 ；
（2）如图，判断并说明线段，与的数量关系；
（3）如图，若只保持，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为是否存在，使得与全等？若存在，求出相应的的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的认识
2．【答案】A
【知识点】二元一次方程的定义
3．【答案】B
【知识点】平行线的性质
4．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查
5．【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
6．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
7．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
∴的正整数解为：4，3，2，1，共4个；
故答案为：D．
【分析】按照步骤解不等式求出解集，再求出正整数解。
8．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设做娃娃用了x米布，做沙包用了y米布，根据题意得
.
故答案为：C
【分析】做娃娃用布的数量+做沙包用布的数量=36；做娃娃用布的数量×25=×做沙包用布的数量×40；
9．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
10．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，
∴∠DCE= ∠ACD，∠DBE= ∠ABC，
又∵∠DCE是△BCE的外角，
∴∠2=∠DCE﹣∠DBE，
= （∠ACD﹣∠ABC）
= ∠1，故①正确；
∵BO，CO分别平分∠ABC，
∴∠OBC= ABC，∠OCB= ∠ACB，
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）
=180°﹣ （∠ABC+∠ACB）
=180°﹣ （180°﹣∠1）
=90°+ ∠1，故②、③错误；
∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，
∴∠ACO= ∠ACB，∠ACE= ACD，
∴∠OCE= （∠ACB+∠ACD）= ×180°=90°，
∵∠BOC是△COE的外角，
∴∠BOC=∠OCE+∠2=90°+∠2，故④正确；
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的定义得出∠DCE= ∠ACD，∠DBE= ∠ABC，根据三角形的外角的性质得出∠2=∠DCE﹣∠DBE=∠1；根据角平分线的定义得出及三角形的内角和得出∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=90°+ ∠1；根据角平分线的定义得出∠ACO= ∠ACB，∠ACE= ∠ACD，根据角的和差得出∠OCE= （∠ACB+∠ACD）= 1 2 ×180°=90°，根据三角形的外角的性质得出∠BOC=∠OCE+∠2=90°+∠2。
11．【答案】-1
【知识点】非负数之和为0
12．【答案】（0，5）
【知识点】点的坐标
13．【答案】-8
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
14．【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
15．【答案】300
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
16．【答案】6
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
17．【答案】（1）解：原式
（2）解：，
由得到，，
由得到，，
．
【知识点】实数的运算；在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
18．【答案】（1）解：代数式，当和时，它的值都为，当时，它的值为，
，
解得
所以，，的值分别是、、
（2）解：由，得
把代入上式，得
上式，
所以当时，代数式的值是．
【知识点】代数式求值；三元一次方程组及其解法
19．【答案】（1）证明：，，
，，
，
，
，
在与中，
，
≌，
；
（2）解：，
，
，
．
，
，
，
．
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（ASA）
20．【答案】（1）（-2，4）；（-5，2）；（-1，-1）
（2）解：如图所示，三角形即为所求；
（3）解：三角形的面积
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
21．【答案】（1）25；10
（2）解：如图，即为补充完整的频数分布直方图；
（3）解：，
人，
成绩在范围内的学生约有人．
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图
22．【答案】（1）解：设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元，
依题意，得：，
解得：．
答：每个A型垃圾箱100元，每个B型垃圾箱120元；
（2）解：设购买m个B型垃圾箱，则购买（20-m）个A型垃圾箱，
依题意，得：，
解得：6≤m＜．
又∵m为整数，
∴m可以为6，7，
∴有2种购买方案．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元，根据题意列出不等式组求解即可；
（2）设购买m个B型垃圾箱，则购买（20-m）个A型垃圾箱，根据题意列出不等式组求解即可。
23．【答案】解：证明：，，
，
在和中，
，
≌，
≌，
，
于点，于点，
，
．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
24．【答案】（1）解：不等式对于不等式组中点包含，判断过程如下：
解不等式组：，得，
的中点值为，
在范围内，
不等式对于不等式组中点包含
（2）解：对于不等式组中点包含，
不等式组和不等式组有解，
解不等式组：，得，
不等式组：，得，
，
解得：，
当时，不等式组的解集为，不等式组的解集为，
的中点值为，
对于不等式组中点包含，
，
解得：，
又，
（3）解：解不等式组得，，解不等式组得，，
的中点值为，
不等式组对于不等式组中点包含，
，
解得：，
所有符合要求的整数之和为，
整数可取、、，或整数可取、、、、、，
或．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；定义新运算
25．【答案】（1）；
（2）解：，
，
，
，
，，
在和中
≌，
，，
（3）解：存在，当≌时，
，，
，此时；
当≌时，
，，
，，
综上：，或，．
【知识点】三角形全等的判定（AAS）；三角形-动点问题
湖南省长沙市重点学校2023-2024学年八年级上学期入学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．下列四个数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】无理数的认识
2．下列各式是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程的定义
3．如图是小明探索直线平行的条件时所用的学具，木条，，在同一平面内，经测量，要使木条，，要使木条与平行，则的度数应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质
4．下列调查中适合全面调查的是（ ）
A．对一批浏阳烟花的质量的调查
B．对湘江流域中的生物多样性情况的调查
C．对全国中学生的睡眠情况的调查
D．对宇宙空间站的零部件的检查
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查
5．若，则点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
6． 如图，与相交于点，，要使≌，则需添加的一个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
7．（2023八下·揭东期中）不等式的正整数解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
∴的正整数解为：4，3，2，1，共4个；
故答案为：D．
【分析】按照步骤解不等式求出解集，再求出正整数解。
8．（2023七下·杭州期中）某校劳动课学习制作娃娃和沙包，已知每米布可做娃娃25个或沙包40个．现有36米布料，完成后打算将1个娃娃和2个沙包配成一套礼物．布料没有剩余，礼物也恰好成套．设做娃娃用了x米布，做沙包用了y米布，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设做娃娃用了x米布，做沙包用了y米布，根据题意得
.
故答案为：C
【分析】做娃娃用布的数量+做沙包用布的数量=36；做娃娃用布的数量×25=×做沙包用布的数量×40；
9．如果三角形的两边长分别为和，那么这个三角形的周长可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
10．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，则以下结论①∠1=2∠2，②∠BOC=3∠2，③∠BOC=90°+∠1，④∠BOC=90°+∠2正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，
∴∠DCE= ∠ACD，∠DBE= ∠ABC，
又∵∠DCE是△BCE的外角，
∴∠2=∠DCE﹣∠DBE，
= （∠ACD﹣∠ABC）
= ∠1，故①正确；
∵BO，CO分别平分∠ABC，
∴∠OBC= ABC，∠OCB= ∠ACB，
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）
=180°﹣ （∠ABC+∠ACB）
=180°﹣ （180°﹣∠1）
=90°+ ∠1，故②、③错误；
∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，
∴∠ACO= ∠ACB，∠ACE= ACD，
∴∠OCE= （∠ACB+∠ACD）= ×180°=90°，
∵∠BOC是△COE的外角，
∴∠BOC=∠OCE+∠2=90°+∠2，故④正确；
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的定义得出∠DCE= ∠ACD，∠DBE= ∠ABC，根据三角形的外角的性质得出∠2=∠DCE﹣∠DBE=∠1；根据角平分线的定义得出及三角形的内角和得出∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=90°+ ∠1；根据角平分线的定义得出∠ACO= ∠ACB，∠ACE= ∠ACD，根据角的和差得出∠OCE= （∠ACB+∠ACD）= 1 2 ×180°=90°，根据三角形的外角的性质得出∠BOC=∠OCE+∠2=90°+∠2。
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11．若，则 ．
【答案】-1
【知识点】非负数之和为0
12．若点在轴上，则点的坐标为 ．
【答案】（0，5）
【知识点】点的坐标
13．若方程组的解满足，则的值是 ．
【答案】-8
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
14．若一个边形的每个内角都为，那么边数为 ．
【答案】6
【知识点】多边形内角与外角
15．月日为世界读书日，为了解八年级学生的阅读时间，从中抽取名学生进行调查，则该调查中的样本容量是 ．
【答案】300
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
16．如图，在中，交于点，平分交于点，的面积为，的面积为，，则的长为 ．
【答案】6
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．
（1）计算：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）解：原式
（2）解：，
由得到，，
由得到，，
．
【知识点】实数的运算；在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
18．已知代数式，当和时，它的值都为，当时，它的值为，
（1）求，，的值；
（2）当时，求代数式的值．
【答案】（1）解：代数式，当和时，它的值都为，当时，它的值为，
，
解得
所以，，的值分别是、、
（2）解：由，得
把代入上式，得
上式，
所以当时，代数式的值是．
【知识点】代数式求值；三元一次方程组及其解法
19．如图，点、、、在同一条直线上，与相交于点，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：，，
，，
，
，
，
在与中，
，
≌，
；
（2）解：，
，
，
．
，
，
，
．
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（ASA）
20．如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，，三角形中任意一点，经平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点，，的对应点分别为，，．
（1）点的坐标为 ，点的坐标为 ，点的坐标为 ；
（2）画出平移后的三角形；
（3）计算求解的面积．
【答案】（1）（-2，4）；（-5，2）；（-1，-1）
（2）解：如图所示，三角形即为所求；
（3）解：三角形的面积
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
21．某校组织了一次“疫情防控知识”专题网上学习，并进行了一次全校名学生都参加的网上测试．阅卷后，教务处随机抽取份答卷进行分析统计，绘制了频数分布表和频数分布直方图不完整，请结合图表信息回答下列问题：
分数段分 频数人
合计
（1） ，频数分布直方图的组距是 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）全校学生参加网上测试，成绩在范围内的学生约有多少人？
【答案】（1）25；10
（2）解：如图，即为补充完整的频数分布直方图；
（3）解：，
人，
成绩在范围内的学生约有人．
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图
22．（2022七下·周村期末）为更好地推进生活垃圾分类工作，改善城市生态环境，某小区准备购买A，B两种型号的垃圾箱，通过市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元，购买2个A型垃圾箱比购买3个B型垃圾箱少用160元．
（1）每个A型垃圾箱和B型垃圾箱分别是多少元？
（2）若该小区物业计划用低于2150元的资金购买A，B两种型号的垃圾箱共20个，且至少购买6个B型垃圾箱，请问有几种购买方案？
【答案】（1）解：设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元，
依题意，得：，
解得：．
答：每个A型垃圾箱100元，每个B型垃圾箱120元；
（2）解：设购买m个B型垃圾箱，则购买（20-m）个A型垃圾箱，
依题意，得：，
解得：6≤m＜．
又∵m为整数，
∴m可以为6，7，
∴有2种购买方案．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元，根据题意列出不等式组求解即可；
（2）设购买m个B型垃圾箱，则购买（20-m）个A型垃圾箱，根据题意列出不等式组求解即可。
23．如图，，，，，，垂足分别是，，
求证：
≌；
．
【答案】解：证明：，，
，
在和中，
，
≌，
≌，
，
于点，于点，
，
．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
24．若一个不等式组有解且解集为，则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式组的解即中点值满足不等式组，则称不等式组对于不等式组中点包含．
（1）已知关于的不等式组：，以及不等式：，请判断不等式对于不等式组是否中点包含，并写出判断过程；
（2）已知关于的不等式组：和不等式组：，若对于不等式组中点包含，求的取值范围．
（3）关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，且所有符合要求的整数之和为，求的取值范围．
【答案】（1）解：不等式对于不等式组中点包含，判断过程如下：
解不等式组：，得，
的中点值为，
在范围内，
不等式对于不等式组中点包含
（2）解：对于不等式组中点包含，
不等式组和不等式组有解，
解不等式组：，得，
不等式组：，得，
，
解得：，
当时，不等式组的解集为，不等式组的解集为，
的中点值为，
对于不等式组中点包含，
，
解得：，
又，
（3）解：解不等式组得，，解不等式组得，，
的中点值为，
不等式组对于不等式组中点包含，
，
解得：，
所有符合要求的整数之和为，
整数可取、、，或整数可取、、、、、，
或．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；定义新运算
25．已知，在中，，，，三点都在直线上，且，
（1）如图，若，则与的数量关系为 ，与的数量关系为 ；
（2）如图，判断并说明线段，与的数量关系；
（3）如图，若只保持，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为是否存在，使得与全等？若存在，求出相应的的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）解：，
，
，
，
，，
在和中
≌，
，，
（3）解：存在，当≌时，
，，
，此时；
当≌时，
，，
，，
综上：，或，．
【知识点】三角形全等的判定（AAS）；三角形-动点问题
