5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）一课一练
一、单选题
1．为了得到函数 的图象，可以将函数 的图象（ ）
A．向右平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
2．要得到函数 的图象，只要将函数 的图象（ ）
A．向右平移 单位 B．向左平移 单位
C．向左平移 单位 D．向右平移 单位
3．为了得到函数 的图象，则只需将 的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
4．将函数 的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移 个单位，得到的函数的一个对称中心（ ）
A． B． C． D．
5．为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
6．函数 在一个周期内的图象如图（其中 ， ， ），则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
7．将函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣ ＜φ＜ ）图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移 个单位长度得到y=cosx的图象，则函数f（x）的单调递增区间为（ ）
A．[kπ﹣ ，kπ+ ]（k∈Z）
B．[kπ﹣ ，kπ﹣ ]（k∈Z）
C．[4kπ﹣ ，kπ﹣ ]（k∈Z）
D．[4kπ﹣ ，kπ+ ]（k∈Z）
二、多选题
8．把函数的图像向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图像，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．最小正周期为
B．在区间上的最大值为
C．图像的一个对称中心为
D．图像的一条对称轴为直线
9．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于点对称
B．的图象向右平移个单位后得到的图象
C．在区间上单调递増
D．为偶函数
三、填空题
10．将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象与 的图象重合，则 的一个可能的值为 .（写出一个正确答案即可）
11．已知函数图像的两条相邻对称轴之间的距离小于，且，则的最小值为 .
四、解答题
12．设函数 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数 在 上的最大值.
13．已知函数 是 上的偶函数，其图象关于点 对称，且在区间 上是单调函数，求 和 的值．
14．已知函数y=1﹣3sinx
（1）画出上述函数的图象
（2）求上述函数的最大值、最小值和周期，并求这个函数取最大值、最小值的x值的集合．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】将函数 的图象向右平移 个单位，
即 .
故答案为：C.
【分析】直接利用函数的图象的平移变换求出结果.
2．【答案】B
【解析】【解答】由于函数y＝sin（2x ）＝sin2（x ），
故只要将函数y＝sin2x的图象相左平移 个单位，即可得到函数y＝sin（2x ）的图象，
故答案为：B．
【分析】将函数y＝sin2x的图象向左平移 个单位即可得到函数y＝sin（2x ）的图象。
3．【答案】A
【解析】【解答】解：只需将 的图象向左平移 个单位长度，
即可得到函数 的图象，
故答案为：A.
【分析】利用函数y=Asin(ωx+Φ）的图像变换规得出结论。
4．【答案】A
【解析】【解答】解：函数 的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍得到图象的解析式为
再向右平移 个单位得到图象的解析式为
令 ，得 ，所以函数的对称中心为
观察选项只有A符合．
故答案为：A．
【分析】首先由函数平移的性质得到函数平移之后的函数解析式，再由正弦函数图象的性质即可求出函数的对称中心。
5．【答案】B
【解析】【解答】 ,故应向右平移 个单位长度.
故答案为：B.
【分析】先化简函数 得 ，即得到变换方式.
6．【答案】B
【解析】【解答】由图象， ， ，
， ．
， ，又 ，所以 。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合正弦型函数的图象，进而求出正弦型函数的解析式。
7．【答案】B
【解析】【解答】解：将函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣ ＜φ＜ ）图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），
可得y=cos（ ωx+φ）图象；再向右平移 个单位长度，得到 y=cos[ ω（x﹣ ）+φ]=cos（ ωx﹣ ω+φ）的图象，
而由已知可得，得到的是函数y=cosx的图象，∴ =1，∴ω=2；
再根据﹣ 2+φ=2kπ，k∈Z，∴φ= ，f（x）=cos（2x+ ）．
令2kπ﹣π≤2x+ ≤2kπ，求得kπ﹣ ≤x≤kπ﹣ ，k∈Z，
则函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣ ，kπ﹣ ]，（k∈Z），
故选：B．
【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得f（x）的解析式，再利用余弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递增区间．
8．【答案】A,D
【解析】【解答】的图像向左平移个单位长度得函数，
再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数，
其最小正周期为，A选项正确；
由，得，则当，即时，取最大值为，B选项错误；
令，，得，，所以函数的对称中心为，，所以不成立，C选项错误；
令，，解得，，所以函数的对称轴为，，当时，，D选项正确；
故答案为：AD.
【分析】根据题意由正弦函数的图象和性质，结合函数平移的性质以及整体思想由此对选项逐一判断即可得出答案。
9．【答案】B,D
【解析】【解答】解：因为的图象过点，所以，
因为，所以，
因为的图象过点，
所以由五点作图法可知，得，
所以，
对于A，因为，
所以为的图彖的一条对称轴，所以A不符合题意；
对于B，的图象向右平移个单位后，得，所以B符合题意；
对于C，若，则，所以在区间上不单调，所以C不符合题意；
对于，，
令，因为，
所以为偶函数，所以D符合题意，
故答案为：BD.
【分析】利用待定系数法求出，，从而可求出函数的函数解析式，再根据正弦函数的对称性，单调性，奇偶性及平移变换的特征逐一判断即可.
10．【答案】 （不唯一）
【解析】【解答】因为 ，
所以函数 的图象向右平移 个单位可得 的图象，
所以 满足.
故答案为： （不唯一）
【分析】由函数平移的性质结合余弦函数的图象，即可得出答案。
11．【答案】13
【解析】【解答】，，
因为两条相邻对称轴之间的距离小于，即，故，所以，
因为在处取得最大值，所以，即，
所以，
所以，因为，所以，
即，
所以，
所以，
又，
解得，又，所以，所以，又，
所以，解得，又，所以的最小值为13.
故答案为：13.
【分析】先由对称轴间的距离确定，再利用得到，依次利用诱导公式与基本关系式求得、，，求出，进而得到，即可得到结果.
12．【答案】（1）解：由辅助角公式得 ，
则 ，
所以该函数的最小正周期
（2）解：由题意，
，
由 可得 ，
所以当 即 时，函数取最大值
【解析】【分析】（1）先将原函数化为：，
再化简 ，再根据正弦函数的周期公式，求得周期；
（2）化简 ，然后根据x的取值范围，求得函数的最大值。
13．【答案】解：∵ 是 上的偶函数，∴∴ ，又 ，∴ .由图象关于点 对称，知
，解得 ．
又 在 上是单调函数，∴ 即 ∴当 时， 当k＝2时， 综上，可知 或2
【解析】【分析】根据题意首先利用偶函数的性质求出φ的代数式对k赋值即可求出φ的值，再由待定系数法把点M的坐标代入即可求出ω的代数式，结合正弦型函数的单调性求解出的取值范围，对k赋值即可求出的值从而求解出φ和的值即可。
14．【答案】（1）解：列表为：
x 0 π 2π
sinx 0 1 0 ﹣1 0
y=1﹣3sinx 1 ﹣2 1 4 1
画出图形，如图：
（2）解：∵﹣1≤sinx≤1，
∴函数y=1﹣3sinx的最大值是4，最小值是﹣2，周期为2π，
当y取最大值时x的集合为{x|x= +2kπ，k∈Z}．
当y取最小值时x的集合为{x|x= +2kπ，k∈Z}
【解析】【分析】（1）根据五点做出函数的简图，即可得到结论．（2）根据正弦函数的图象与性质作答．
5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）一课一练
一、单选题
1．为了得到函数 的图象，可以将函数 的图象（ ）
A．向右平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
2．要得到函数 的图象，只要将函数 的图象（ ）
A．向右平移 单位 B．向左平移 单位
C．向左平移 单位 D．向右平移 单位
3．为了得到函数 的图象，则只需将 的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
4．将函数 的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移 个单位，得到的函数的一个对称中心（ ）
A． B． C． D．
5．为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
6．函数 在一个周期内的图象如图（其中 ， ， ），则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
7．将函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣ ＜φ＜ ）图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移 个单位长度得到y=cosx的图象，则函数f（x）的单调递增区间为（ ）
A．[kπ﹣ ，kπ+ ]（k∈Z）
B．[kπ﹣ ，kπ﹣ ]（k∈Z）
C．[4kπ﹣ ，kπ﹣ ]（k∈Z）
D．[4kπ﹣ ，kπ+ ]（k∈Z）
二、多选题
8．把函数的图像向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图像，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．最小正周期为
B．在区间上的最大值为
C．图像的一个对称中心为
D．图像的一条对称轴为直线
9．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于点对称
B．的图象向右平移个单位后得到的图象
C．在区间上单调递増
D．为偶函数
三、填空题
10．将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象与 的图象重合，则 的一个可能的值为 .（写出一个正确答案即可）
11．已知函数图像的两条相邻对称轴之间的距离小于，且，则的最小值为 .
四、解答题
12．设函数 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数 在 上的最大值.
13．已知函数 是 上的偶函数，其图象关于点 对称，且在区间 上是单调函数，求 和 的值．
14．已知函数y=1﹣3sinx
（1）画出上述函数的图象
（2）求上述函数的最大值、最小值和周期，并求这个函数取最大值、最小值的x值的集合．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】将函数 的图象向右平移 个单位，
即 .
故答案为：C.
【分析】直接利用函数的图象的平移变换求出结果.
2．【答案】B
【解析】【解答】由于函数y＝sin（2x ）＝sin2（x ），
故只要将函数y＝sin2x的图象相左平移 个单位，即可得到函数y＝sin（2x ）的图象，
故答案为：B．
【分析】将函数y＝sin2x的图象向左平移 个单位即可得到函数y＝sin（2x ）的图象。
3．【答案】A
【解析】【解答】解：只需将 的图象向左平移 个单位长度，
即可得到函数 的图象，
故答案为：A.
【分析】利用函数y=Asin(ωx+Φ）的图像变换规得出结论。
4．【答案】A
【解析】【解答】解：函数 的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍得到图象的解析式为
再向右平移 个单位得到图象的解析式为
令 ，得 ，所以函数的对称中心为
观察选项只有A符合．
故答案为：A．
【分析】首先由函数平移的性质得到函数平移之后的函数解析式，再由正弦函数图象的性质即可求出函数的对称中心。
5．【答案】B
【解析】【解答】 ,故应向右平移 个单位长度.
故答案为：B.
【分析】先化简函数 得 ，即得到变换方式.
6．【答案】B
【解析】【解答】由图象， ， ，
， ．
， ，又 ，所以 。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合正弦型函数的图象，进而求出正弦型函数的解析式。
7．【答案】B
【解析】【解答】解：将函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣ ＜φ＜ ）图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），
可得y=cos（ ωx+φ）图象；再向右平移 个单位长度，得到 y=cos[ ω（x﹣ ）+φ]=cos（ ωx﹣ ω+φ）的图象，
而由已知可得，得到的是函数y=cosx的图象，∴ =1，∴ω=2；
再根据﹣ 2+φ=2kπ，k∈Z，∴φ= ，f（x）=cos（2x+ ）．
令2kπ﹣π≤2x+ ≤2kπ，求得kπ﹣ ≤x≤kπ﹣ ，k∈Z，
则函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣ ，kπ﹣ ]，（k∈Z），
故选：B．
【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得f（x）的解析式，再利用余弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递增区间．
8．【答案】A,D
【解析】【解答】的图像向左平移个单位长度得函数，
再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数，
其最小正周期为，A选项正确；
由，得，则当，即时，取最大值为，B选项错误；
令，，得，，所以函数的对称中心为，，所以不成立，C选项错误；
令，，解得，，所以函数的对称轴为，，当时，，D选项正确；
故答案为：AD.
【分析】根据题意由正弦函数的图象和性质，结合函数平移的性质以及整体思想由此对选项逐一判断即可得出答案。
9．【答案】B,D
【解析】【解答】解：因为的图象过点，所以，
因为，所以，
因为的图象过点，
所以由五点作图法可知，得，
所以，
对于A，因为，
所以为的图彖的一条对称轴，所以A不符合题意；
对于B，的图象向右平移个单位后，得，所以B符合题意；
对于C，若，则，所以在区间上不单调，所以C不符合题意；
对于，，
令，因为，
所以为偶函数，所以D符合题意，
故答案为：BD.
【分析】利用待定系数法求出，，从而可求出函数的函数解析式，再根据正弦函数的对称性，单调性，奇偶性及平移变换的特征逐一判断即可.
10．【答案】 （不唯一）
【解析】【解答】因为 ，
所以函数 的图象向右平移 个单位可得 的图象，
所以 满足.
故答案为： （不唯一）
【分析】由函数平移的性质结合余弦函数的图象，即可得出答案。
11．【答案】13
【解析】【解答】，，
因为两条相邻对称轴之间的距离小于，即，故，所以，
因为在处取得最大值，所以，即，
所以，
所以，因为，所以，
即，
所以，
所以，
又，
解得，又，所以，所以，又，
所以，解得，又，所以的最小值为13.
故答案为：13.
【分析】先由对称轴间的距离确定，再利用得到，依次利用诱导公式与基本关系式求得、，，求出，进而得到，即可得到结果.
12．【答案】（1）解：由辅助角公式得 ，
则 ，
所以该函数的最小正周期
（2）解：由题意，
，
由 可得 ，
所以当 即 时，函数取最大值
【解析】【分析】（1）先将原函数化为：，
再化简 ，再根据正弦函数的周期公式，求得周期；
（2）化简 ，然后根据x的取值范围，求得函数的最大值。
13．【答案】解：∵ 是 上的偶函数，∴∴ ，又 ，∴ .由图象关于点 对称，知
，解得 ．
又 在 上是单调函数，∴ 即 ∴当 时， 当k＝2时， 综上，可知 或2
【解析】【分析】根据题意首先利用偶函数的性质求出φ的代数式对k赋值即可求出φ的值，再由待定系数法把点M的坐标代入即可求出ω的代数式，结合正弦型函数的单调性求解出的取值范围，对k赋值即可求出的值从而求解出φ和的值即可。
14．【答案】（1）解：列表为：
x 0 π 2π
sinx 0 1 0 ﹣1 0
y=1﹣3sinx 1 ﹣2 1 4 1
画出图形，如图：
（2）解：∵﹣1≤sinx≤1，
∴函数y=1﹣3sinx的最大值是4，最小值是﹣2，周期为2π，
当y取最大值时x的集合为{x|x= +2kπ，k∈Z}．
当y取最小值时x的集合为{x|x= +2kπ，k∈Z}
【解析】【分析】（1）根据五点做出函数的简图，即可得到结论．（2）根据正弦函数的图象与性质作答．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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