4.4 对数函数一课一练
一、单选题
1．设，则（ ）
A． B． C． D．
2．若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．设全集为 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
5．设函数的值域为R，则常数a的取值范围是（ ）
A．[5，+∞） B．（﹣∞，1]
C．[1，+∞） D．（﹣∞，5]
6．设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（ ）
A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z
二、多选题
7．已知函数，则（ ）
A．是偶函数 B．值域为
C．在上递增 D．有一个零点
8．若 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．已知函数f（x）=logax+b（a＞0，a≠1）的定义域、值域都是[1，2]，则a+b= ．
10．已知实数 且 若 ，则 ；若 ，则实数 的取值范围是
11．对于区间 上有定义的函数 ，记 . 定义域为 的函数 有反函数，满足： . 若方程 有解 ，则 .
四、解答题
12．已知集合，.
（1）求集合；
（2）已知集合，若，求实数的取值范围.
13．已知 ，函数 为奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）求不等式 的解集．
14．如函数.
（1）求的定义域.
（2）从下面①②两个问题中任意选择一个解答，如果两个都解答，按第一个解答计分.
①求不等式的解集.
②求的最大值.
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】 ，则在定义域内单调递增. 故 .
故答案为：D
【分析】利用对数函数的性质即可求出答案.
2．【答案】B
【解析】【解答】 ,
,
,
即 .
故答案为：B.
【分析】根据题意由对数函数的单调性以及指数函数的性质即可得出a、b、c的大小。
3．【答案】B
【解析】【解答】因为，，，
所以．
故答案为：B.
【分析】 利用指数函数、对数函数的单调性和特殊点，可得a>1，0
【解析】【解答】∵ ， ，∴ .
故答案为：D.
【分析】解对数不等式得集合A，解一元二次不等式得集合B，再由交集定义计算．
5．【答案】C
【解析】【解答】∵函数的值域为R，且当x＞2时，log2x＞1，
则当x≤2时，﹣x2+a 的最大值能取到1，故有a≥1，
故选C．
【分析】由题意可得，当x≤2时，﹣x2+a 的最大值能取到1，由此可得a的范围．
6．【答案】D
【解析】【解答】解：x、y、z为正数，
令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．
则x= ，y= ，z= ．
∴3y= ，2x= ，5z= ．
∵ = = ， ＞ = ．
∴ ＞lg ＞ ＞0．
∴3y＜2x＜5z．
故选：D．
【分析】x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x= ，y= ，z= ．可得3y= ，2x= ，5z= ．根据 = = ， ＞ = ．即可得出大小关系．
7．【答案】B,D
【解析】【解答】画出的函数图象如下：
由图可知，既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；
值域为，故B正确；
在单调递减，在单调递增，故C错误；
有一个零点1，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】由y=lgx的图像，进行下翻上即可得的图像，由图像即可判断。
8．【答案】B,C,D
【解析】【解答】因为 ， ， ，所以 。
故答案为：BCD
【分析】利用已知条件结合对数函数的单调性，再结合与特殊值对应的对数的大小关系比较，从而比较出a,b,c的大小。
9．【答案】 或3
【解析】【解答】解：当0＜a＜1时，易知函数f（x）为减函数，
由题意有 解得：a= ，b=2，符合题意，此时a+b= ；
当a＞1时，易知函数为增函数，由题意有 ，
解得：a=2，b=1，符合题意，此时a+b=3．
综上可得：a+b的值为 或3．
故答案为： 或3．
【分析】本题考查的是对数函数的定义域和值域。
10．【答案】；
【解析】【解答】∵实数 且 ， ，∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，∴当 时， ；当 时，无解，
综上 的取值范围是 ．
故答案为 ， ．
【分析】利用指数式与对数式的互化公式求出a的值，从而求出的值，再利用对数不等式将0和1化为与对数同底，再借助对数函数单调性求出a的取值范围。
11．【答案】2
【解析】【解答】因为 ， ， ， ， ， ，
所以对于函数 ，
当 ， 时， ， ，所以方程 即 无解；
当 ， 时， ， ，所以方程 即 无解；
所以当 ， 时方程 即 无解，
又因为方程 有解 ，且定义域为 ， ，
故当 ， 时， 的取值应属于集合 ， ，
故若 ，只有 ，
故答案为： .
【分析】根据互为反函数的两函数定义域、值域互换可判断：当 ， 时， ， 时 的值域，进而可判断此时 无解；由 在定义域 ， 上存在反函数可知： ， 时， 的取值集合，再根据方程 有解即可得到 的值．
12．【答案】（1）解：，
，
或，
或，
（2）解：若，则，
①若，则，符合题意；
②若，则依据题意有：
，
综上所述，实数的取值范围为.
【解析】【分析】(1)首先由指、对数函数的单调性即可得出x的取值范围，进而得出集合A和B，然后由补集和并集的定义，结合不等式即可得出答案。
(2)根据题意由集合之间的关系，即可得出，结合边界点的取值范围整理化简即可得出关于a的不等式组，求解出a的取值范围即可。
13．【答案】（1）因为 是奇函数，
所以
即 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 .
（2）因为 ，
可知函数在定义域内单调递减的奇函数．
所以 ，
故 或 ，
故解集为 或 ．
【解析】【分析】（1）由 是奇函数可得即 ，求解即可得出实数a的值；
（2）根据函数在定义域内单调递减的奇函数，可得，求解，即可求出解集。
14．【答案】（1）解：由题意，，解得，所以的定义域为.
（2）解：选①，不等式，即，所以
，即，则，
化简为，解得，或
所以原不等式的解集为，或.
选②，因为函数的定义域为，所以函数，其中，
令函数，，因为，要使函数有最大值，
则只需要函数有最大值，且为正数，，
因为，所以当时，有最大值，，
所以的最大值为.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合对数型函数的定义域求解方法，再结合交集的运算法则，进而得出函数f(x)的定义域。
（2） 选①，不等式，再利用对数的运算法则和对数函数的单调性，进而得出原不等式的解集。
选②，利用函数的定义域为，所以函数，其中，令函数，，再利用二次函数的图象求值域的方法和对数函数的单调性，进而得出的最大值。
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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