复数（三）
一、选择题
1．（2023高二下·深圳期末）若复数满足（为虚数单位），则的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高一下·绍兴月考）已知复数在复平面内对应的点是，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高一下·定远期末）已知复数满足为虚数单位，是的共轭复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2023高二下·汕头期末）已知复数满足，则的共轭复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023高二下·湖州期末） 已知复数满足（i是虚数单位），则复数的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
6．（2023高二下·嘉兴期末） 设（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高二下·龙岗期中）已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2023高一下·长春期中）若复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2023高二下·宁波期末）已知复数z满足，则对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．复数的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
11．设是虚数单位，复数，则等于（ ）
A． B． C． D．
12．已知复数，，若为实数，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
13．（ ）
A． B． C． D．
14．复数的值等于（ ）
A． B． C． D．
15．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
16．已知为实数，并且的实部与虚部系数相等，则的值是（ ）
A． B． C． D．
17．（2023高一下·定远期末）若复数满足，则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
18．（2023高二下·深圳期中）在复平面内，复数，对应的点分别是，，则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
19．（2023高一下·深圳期中）复数，则的虚部是（ ）
A．2 B． C． D．
20．（2023高一下·湖州期末）已知i为虚数单位，复数z满足，则（ ）
A． B． C． D．
21．（2023高三下·吉林）已知复数满足(其中为虚数单位)，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
22．已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
23．欧拉公式（为虚数单位）是瑞士数学家欧拉发明的，将指数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，表示的复数的模为（ ）
A． B． C． D．
24．设有下面四个命题
：若复数满足，则；
：若复数满足，则；
：若复数，满足，则；
：若复数，则．
其中的真命题为（ ）
A．， B．， C．， D．，
二、解答题
25．（2023高二上·西乡县开学考）已知i是虚数单位，.
（1）求；
（2）若复数的虚部为-1，且是纯虚数，求.
26．（2022高一下·张家界期末）已知复数在复平面内对应的点为Z．
（1）若，求（为z的共轭复数）；
（2）若点Z在直线上，求．
27．（2022高一下·湖北期末）复数z满足，为纯虚数，若复数z在复平面内所对应的点在第一象限.
（1）求复数z；
（2）复数z，，所对应的向量为，，，已知，求的值.
28．（2023高一下·闵行期末）欧拉公式将自然对数的底数，虚数单位，三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”，已知复数满足，.
（1）求，；
（2）若复数是纯虚数，求的值.
29．设，
（1）若，求，的值；
（2）若，求的取值范围．
30．（2022高二上·浙江开学考）设是实数，复数，（是虚数单位）．
（1）在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围；
（2）求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴.
故选：C.
【分析】首先根据复数的除法运算求出z，然后由共轭复数的定义即可得出答案．
2．【答案】B
【解析】【解答】解：∵复数z在复平面内对应的点是，∴，
∴.
故选：B．
【分析】首先根据复数z在复平面内对应的点是，可得，再利用复数的四则运算求解．
3．【答案】C
【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，
所以 在复平面内对应的点为（-1，-2） ，在第三象限.
故选：C.
【分析】求出z=-1+2i即得解.
4．【答案】D
【解析】【解答】 ，又，其 虚部为 .
故答案为：D
【分析】先化简求出，进而求出共轭复数 写出其虚部.
5．【答案】D
【解析】【解答】由已知条件可得所以-1+i
故答案为：D
【分析】先把z化简，再根据共轭复数的定义即可求出答案.
6．【答案】A
【解析】【解答】 ， .
故答案为：A
【分析】先求出，再根据共轭复数定义写出.
7．【答案】C
【解析】【解答】因为， 则，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据复数的除法运算求，进而求模长.
8．【答案】D
【解析】【解答】由 ，。
故答案为：D
【分析】利用复数四则运算计算求解。
9．【答案】A
【解析】【解答】由题意可得：，
所以，可知 对应的点为，位于第一象限.
故答案为：A.
【分析】根据复数的除法运算可得，进而根据共轭复数的概念结合复数的几何意义分析判断.
10．【答案】B
【解析】【解答】解：复数，
所以 复数的共轭复数是.
故答案为：B.
【分析】根据复数的除法运算法则对进行化简，再由共轭复数的概念即可得出答案.
11．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得，复数，
所以.
故答案为：C.
【分析】利用复数的乘法运算以及共轭复数的概念化简即可.
12．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得，复数，，
所以，
又因为为实数，
所以即.
故答案为：A.
【分析】根据复数的除法运算化简，再理解复数是实数的概念即可求解.
13．【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得，；
故答案为：B.
【分析】根据复数的乘法运算，加法和减法运算化简即可.
14．【答案】C
【解析】【解答】解：
故选：C.
【分析】 根据复数的运算进行求解即可．
15．【答案】B
【解析】【解答】解：
∵
∴，
故选：B.
【分析】根据复数模的定义以及复数的四则运算求解即可.
16．【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴b=-2.
故选：B.
【分析】先化简，根据实部与虚部系数相等，可解出b的值.
17．【答案】A
【解析】【解答】设，则
由 ，得 ，
即，解得，则，
故 的虚部 为1
故选：A
【分析】利用复数的乘除运算可化简，设，利用共轭复数的定义以及复数相等，列出等式可求出z，进而得 的虚部 .
18．【答案】D
【解析】【解答】∵，
∴的虚部是，
故选：D.
【分析】复数，对应的点 代入 ，化简求值即可.
19．【答案】D
【解析】【解答】， ，
则 ，
故， 则的虚部是 -2
故选：D
【分析】 根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数、虛部的定义，即可求解出答案.
20．【答案】B
【解析】【解答】由得
，，，，又，'
，
故答案为：B
【分析】利用复数四则运算先化简 求，进而写出 。
21．【答案】A
【解析】【解答】设z=a+bi，等式右边=5，等式左边=（a+bi）（1+2i）=a-2b+(b+2a)i=5，
所以a-2b=5，b+2a=0，
解得a=1，b=-2.
即复数的虚部为-2.
故答案为：A.
【分析】先把复数z写成有实部加虚部的形式，再进行乘法计算。等式右边直接看出勾三股四弦五，等式左边整理出实部加虚部的形式，其中左边实部等于右边实部等于五，左边虚部等于右边虚部等于零。建立方程组求出a和b.
22．【答案】A
【解析】【解答】解：因为复数，在复平面内对应的点分别为， ，
所以 ，，
则，
故答案为：A.
【分析】根据复数在复平面内对应的点可得复数，的代数形式，再利用复数的除法运算以及复数的模的性质即可求解.
23．【答案】C
【解析】【解答】解：令代入可得，
令代入可得，
所以
表示的复数的模为.
故答案为：C.
【分析】分别把和代入原式，从而可表示出，再运用求复数的模的公式即可得出结论.
24．【答案】B
【解析】【解答】解：对于p1：
设z=a+bi（a，b∈R），
则，
若，
则b=0，
故z=a∈R，故p1正确；
对于p2：令z=i，满足z2∈R，但z R，故p2错误；
对于p3：不妨令z1=i，z2=2i，满足z1z2∈R，但z1，z2不为共轭复数，故p3错误；
对于p4：设z=a+bi（a，b∈R），
， 若z∈R，
则b=0，，故p4正确；
故选：B.
【分析】 结合共轭复数的定义，复数的四则运算，以及特殊值法，逐一分析四个命题的真假，即可得出答案．
25．【答案】（1）解：根据复数的运算法则，
可得，
所以.
（2）解：设，则，
因为是纯虚数，所以且，
解得，所以.
【解析】【分析】（1）先利用复数的除法运算化简复数，再利用模长公式计算即可；
（2）设，利用复数的乘法运算以及纯虚数的定义得到m，从而求得.
26．【答案】（1）解：若，此时，．
.
（2）解：若点Z在直线上，则，即，
解得：或，此时或．
或．
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合m的值和复数与共轭复数的关系，再利用复数的乘法运算法则，进而得出复数 。
（2）利用已知条件结合复数的几何意义，进而得出复数对应的点的坐标，再利用代入法得出实数m的值，进而得出复数z，再利用复数求模公式得出复数z的模。
27．【答案】（1）解：设，则，为纯虚数，则，且复数z在复平面内对应的点在第一象限，则，可得，复数
（2）解：由题意可得，，，由，得解得：.
【解析】【分析】（1）设，利用模长和为纯虚数列出方程组，结合复数z在复平面内所对应的点在第一象限，求出，即可得解；
（2）利用向量垂直得到方程，求出.
28．【答案】（1）解：；
（2）解：且，
复数是纯虚数，
.
【解析】【分析】(1)根据复数的模和共轭复数的概念直接计算；
(2)先求出 ，再根据复数的除法运算求z，由复数z是纯虚数得出的值.
29．【答案】（1）解：由 ，得 ，
所以 ，
所以 ，解得 ， ；
（2）解：已知 ， ，
因为 ，
所以 ，
即 ， ，
即复数 在复平面内对应的点的轨迹是以 为圆心，以 为半径的圆.
的最小值为
的最大值为
所以
【解析】【分析】（1）利用复数四则运算结合复数相等的概念求出 ，的值；
（2） 根据已知条件，结合复数的几何意义可得复数 在复平面内对应的点的轨迹是以 为圆心，以 为半径的圆，进而求出 的最小值和最大值，可得的取值范围．
30．【答案】（1）解：，则，解得
（2）解：，则，，，当时，的最小值为．
【解析】【分析】（1）化简复数，由已知列不等式组，解出的取值范围；
（2）求出，利用二次函数的性质可得最小值．
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