2023 - 2024学年第一学期昌平区融合学区（第三组）
初三年级期中质量抽测
数学试卷
2023.10
本试卷共 6页，三道大题，28个小题，满分 100分。考试时间 120分钟。考生务
必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，请交回答题卡。
一、选择题（本题共 16分，每小题 2分）
下列各题均有 4个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．下列形状分别为两个正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形
的是
A． B．
C． D．
2．下列长度的各组线段中，是成比例线段的是
A．1cm，2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cm，6cm
C．2cm，4cm，8cm，8cm D．3cm，4cm，5cm，10cm
3．若函数 y m 3 xm 1 5是关于 x的二次函数，则 m的值为
A． 3 B．3 C．3或 3 D．2
4 2．若二次函数 y x 3 2的图象过 A 1, y1 ，B 2, y2 ，C 3.5, y3 ，则 y1，y2，y3
的大小关系是
A． y2 y1 y3 B． y3 y2 y1 C． y3 y1 y2 D． y1 y2 y3
5. 如图，在△ABC中，点 D，E，F分别在边 AB，AC，BC上，且DE // BC，EF / /AB，
CF
若 AD=2BD，则 的值为
BF
1 1 1 2
A． B． C． D．
2 3 4 3
6．如图，在平行四边形 ABCD中，E是DC上的点，DE : EC 3: 2，连接 AE交 BD于
点 F ，则△DEF与△BAF的面积之比为
A． 2:5 B．3:5 C．9 : 25 D．4 : 25
试卷第 1页，共 2页
第 5题 第 6题 第 7题
7．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第 1个小孔成倒像的实验．并
在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小
孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是8cm，则蜡
烛火焰的高度是
9 16
A． B．6 C． D．8
2 3
8．二次函数 y ax2 bx c（a、b、c为常数， a 0）的 x与 y的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 2 1 2 5 10 …
下列各选项中，正确的是
A．这个函数的图象开口向下 B． abc 0
C．这个函数的最大值为 10 D．关于 x的一元二次方程 ax2 bx c 0无解
二、填空题（本题共 16分，每小题 2分）
9．将抛物线 y 3x 2向左平移 2个单位长度，再向下平移 5个单位长度后得到的抛物线
的表达式为 ．
10. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不
同时值的音符及其他记号来记载音乐．如图，A，B，C为直线 l与
五线谱的横线相交的三个点，则 AB:BC= ． 第 10题
11．写出一个二次函数，其图象满足：（1）开口向下；（2）与 y轴交于点（0，3），这
个二次函数的表达式可以是 ．
12. 已知点 C是线段 AB的黄金分割点 AC BC ，若线段 AB的长 10cm，则线段 AC的
长为 ．（结果保留根号）
13. 如图所示是二次函数 y ax2 bx c的部分图象，根据图象可知，关于 x的一元二
次方程 ax2 bx c 0的解是 ．
试卷第 2页，共 2页
第 13题 第 14题 第 15题
14. 如图，在△ABC中，AB 6，CA 4，点D为 AC中点，点 E在 AB上，当 AE= 时，
△ABC与以点 A、D、E为顶点的三角形相似．
1
15. 如图 AD是△ABC的中线，E是 AD上一点，且 AE AD，CE的延长线交 AB于点 F ，
3
若 AF 1.2，则 AB ．
16. 已知二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象如图所
示．则有以下结论：①abc <0；②b2 4ac；③b 2a；
④ a b c 0；⑤对于任意实数 m，总有 am2 bm a b．
其中正确的结论是 ．（填序号）
第 16题
三、解答题（本题共 68分，第 17－22题，每小题 5分，第 23－26题，每小题 6分，第 27，
28题，每小题 7分）
17. 如图，在△ABC中，∠C =90°，，点 D在 AC上，DE⊥AB于点 E，
（1）求证：△ADE∽△ABC ；
（2）AC=4，AB=5且 AD=3，求 AE的长.
a b c
18. 线段 a、b、c，且 .
2 3 4
1 a b（ ）求 的值；
b
（2）如线段 a、b、c满足 a b c 27，求 a b c的值.
19．已知二次函数 y=x2 2x 3．
（1）求该二次函数图象的对称轴及顶点坐标，并画出函数图象；
（2）结合函数图象，直接写出 y<0时 x的取值范围．
第 3 页 共 6 页
20．如图，在△ABC中，D为BC上一点， BAD C．
（1）求证：△ABD∽△CBA；
（2）若 AB 6， BD 3，求CD的长．
21．网格中每个小正方形的边长都是 1．
（1）在图 1中画一个格点△ A1B1C1，使△ A1B1C1∽△ABC，且相似比为 2：1；
（2）在图 2中画一个格点△A2B2C2 ，使△A2B2C2 ∽△ABC，且相似比为 2 :1．
22．如图，A是直线MN上一点， BAC 90 ，过点 B作 BD MN于点 D，过点 C作CE MN
于点 E．
(1) 求证：△ADB∽△CEA ；
(2) 若 AB 5， AD AE 2，求CE的长.
23. 为了测量水平地面上一栋建筑物 AB的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据
光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：先在水平地面上放置
一面平面镜，并在镜面上做标记点 C，后退至点 D处恰好看到建筑物 AB的顶端 A在镜子中
的像与镜面上的标记点 C重合，法线是 FC，小军的眼睛与地面距离 DE是 1.65m，BC、CD
的长分别为 60m、3m，求建筑物 AB的高度．
第 4 页 共 6 页
24. 抛物线 y=﹣x2+(m﹣1)x+m．
（1）求证：无论 m为何值，这条抛物线都与 x轴至少有一个交点；
（2）求它与 x轴交点坐标 A，B和与 y轴的交点 C的坐标；（用含 m的代数式表示点坐标）
（3）S△ABC=3，求抛物线的表达式．
25．材料 1：昌平南环大桥是经典的悬索桥，当今大跨度桥梁大多采用此种结构．此种桥梁
各结构的名称如图 1所示，其建造原理是在两边高大的桥塔之间，悬挂着主索，再以相应的
间隔，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面，承接桥面的重量，主索的几何
形态近似符合地物线．
材料 2：如图 2，某一同类型悬索桥，两桥塔 AD=BC=10m，间距 AB=32m，桥面 AB水平，
主索最低点为点 P，点 P 距离桥面为 2m．
（1）建立适当的平面直角坐标系，并求出主索抛物线的表达式；
（2）若距离点 P水平距离为 8m处有两条吊索需要更换，求这两条吊索的总长度．
26．在平面直角坐标系 xOy中，已知抛物线 y＝x2﹣2ax+a2﹣1，P（x1，m），Q（x2，m）（x1
＜x2）是此抛物线上的两点．
（1）若 a＝1，
①求抛物线顶点坐标；
②若 2x2﹣x1＝7，求 m的值；
（2）若存在实数 b，使得 x1≤b﹣3，且 x2≥b+7成立，则 m的取值范围是 ．
第 5 页 共 6 页
27．如图，在等边△ ABC中，作 ACD ABD 45 ，边 CD、BD交于点 D，连接 AD.
（1）请直接写出 CDB的度数；
（2）求 ADC的度数；
（3）用等式表示线段 AC、BD、CD三者之间的数量关系，
并证明．
28．城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按
直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系 xOy，对两点
A x1, y1 和 B x2 , y2 ，用以下方式定义两点间距离： d A,B x1 x2 y1 y2 ．
（1）①已知点 A 2,1 ，则 d O, A ______．
②函数 y 2x 4 0 x 2 的图象如图①所示，B是图象上一点，d O,B 3，求点
B的坐标．
（2）函数 y x2 5x 7 x 0 的图象如图②所示，D是图象上一点，求d O,D 的最小值
及对应的点 D的坐标.
第 6 页 共 6 页
