第12章全等三角形 同步练习
一．选择题（共10小题）
1．如图，△ABC≌△EFD，则下列说法错误的是（ ）
A．FC＝BD B．EF平行且等于AB
C．AC平行且等于DE D．CD＝ED
2．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝（ ）
A．28° B．59° C．60° D．62°
3．在△ABC中，∠A＝∠B，若与△ABC全等的三角形中有一个角为90°，则△ABC中等于90°的角是（ ）
A．∠A B．∠B C．∠C D．∠B或∠C
4．下列尺规作图的语句正确的是（ ）
A．延长射线AB到D
B．以点D为圆心，任意长为半径画弧
C．作直线AB＝3cm
D．延长线段AB至C，使AC＝BC
5．如图，在△ABC中，点E为BC边上一点，AC＝CE，连结AE，CD⊥AE交AE于点F，连结DE，∠CAB＝2∠B，若CE＝5，AD＝3，则BC的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB．若DE＝3，BD＝6，则BC的长度为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．如图，△ABC中，CD是角平分线，DE⊥AC垂足为E，DF⊥BC垂足为F，EF与CD交于G，下列说法不一定正确的是（ ）
A．CD也是△ABC中线 B．CD平分∠EDF
C．CD⊥EF D．EG＝GF
8．如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝80°，∠DAE＝70°，则∠E的度数为（ ）
A．30° B．35° C．70° D．80°
9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC≌△DEF，AB＝BC＝5，若点A的坐标为（﹣3，1），点B，C在直线y＝﹣3上，点D在y轴的正半轴上，且点E的坐标为（0，﹣1），则点F的坐标为（ ）
A．（4，2） B．（3，2） C．（4，3） D．（5，3）
10．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，AD＜AB，∠BAC＝∠DAE＝49°，连接CE，BD，延长BD交CE于点F，连接AF．下列结论：①BD＝CE；②AD＝BD；③∠BFC＝49°；④AF平分∠BFE．其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
二．填空题（共6小题）
11．如图，已知AC＝DB，如果要用“SSS”证明△ABC≌△DCB，则应增加的条件是 ．
12．如图，在△ABC与△ADE中，E在BC边上，AD＝AB，AE＝AC，DE＝BC，若∠1＝26°，则∠2＝ °．
13．如图，一块三角形玻璃裂成①②两块，现需配一块同样的玻璃，为方便起见，只需带上碎片 即可．
14．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，点E，G分别是边AB，AC上的点，且DE＝DG，则∠AED+∠AGD＝ 度．
15．如图，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°，CE⊥AD于点E，AD＝12cm，AB＝7cm，那么DE的长度为 cm．
16．如图，已知四边形ABCD中，∠A+∠DCB＝180°，延长两组对边后，分别交于E，F两点，∠AED、∠AFB的平分线交于点G，则∠EGF的度数为 ．
三．解答题（共7小题）
17．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ADC，点E在线段BD上，∠A＝∠DEC＝90°，AB＝CE．求证：△ABD≌△ECD．
18．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．求证：AD是△ABC的角平分线．
19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，连接AC．求证：△ABC≌△CDA．
20．如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．
（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．
21．如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠D＝180°，求证：AE＝AD+BE．
22．如图，在△ABC中，，AC＝3，BC边上的中线，过B作BE∥AC交AD延长线于点E．
（1）求证：ED＝AD；
（2）求∠CAD的度数；
（3）点A到BC的距离为 ．
23．为参加学校举办的风筝设计比赛，小明用四根竹棒扎成如图所示的风筝框架，其中∠EDH＝∠FDH，ED＝FD．将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道EH＝FH吗？为什么？
第12章全等三角形 同步练习 2023-2024人教版八年级数学上册
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【解答】解：A、∵△ABC≌△EFD，
∴FD＝CB，
∴FD﹣CD＝BC﹣CD，
即FC＝BD，故此选项不合题意；
B、∵△ABC≌△EFD，
∴∠F＝∠B，EF＝AB，
∴EF∥AB，故此选项不合题意；
C、∵△ABC≌△EFD，
∴∠FDE＝∠BCA，
∴AC∥DE，AC＝DE，故此选项不合题意；
D、不能证明CD＝ED，故此选项符合题意；
故选：D．
2．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，且AE＝AE，
∴△CAE≌△DAE（HL），
∴∠CAE＝∠DAE＝∠CAB，
∵∠B+∠CAB＝90°，∠B＝28°，
∴∠CAB＝90°﹣28°＝62°，
∴∠AEC＝90°﹣∠CAB＝90°﹣31°＝59°．
故选：B．
3．【解答】解：∵与△ABC全等的三角形中有一个角为90°，∠A＝∠B，
∴∠C＝90°．
故选：C．
4．【解答】解：A．根据射线AB是从A向B无限延伸，故延长射线AB到D是错误的；
B．根据圆心和半径长即可确定弧线的形状，故以点D为圆心，任意长为半径画弧是正确的；
C．根据直线的长度无法测量，故作直线AB＝3cm是错误的；
D．延长线段AB至C，则AC＞BC，故使AC＝BC是错误的；
故选：B．
5．【解答】解：∵AC＝CE＝5，CD⊥AE，
∴AF＝EF，
∴CD是线段AE的垂直平分线，
∴AD＝DE＝3，
∴∠DAE＝∠DEA，
∵AC＝CE，
∴∠CAE＝∠CEA，
∴∠CAE+∠DAE＝∠CEA+∠DEA，
即：∠CAB＝∠AED，
∵∠CAB＝2∠B，
∴∠CED＝2∠B
又∵∠CED＝∠B+∠EDB，
∴2∠B＝∠B+∠EDB，
∴∠B＝∠EDB，
∴BE＝DE＝3，
∴BC＝CE+BE＝5+3＝8，
故选：C．
6．【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴ED＝DC，
∵DE＝3，BD＝6，
∴BC＝BD+CD＝BD+DE＝9．
故选：C．
7．【解答】解：A．等腰三角形底边上的中线，顶角平分线，底边上的高线才三线合一，而△ABC不是等腰三角形，因此CD不一定是△ABC中线，故A符合题意；
B．∵CD是角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
∵CD＝CD，
∴Rt△CDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠CDE＝∠CDF，
∴CD平分∠EDF，故B不符合题意；
C与D选项．∵Rt△CDE≌Rt△CDF，
∴CE＝CF，
∵DE＝DF，
∴CD垂直平分EF，
∴CD⊥EF，EG＝GF，故CD不符合题意．
故选：A．
8．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠B＝80°，
∴∠D＝∠B＝80°，
∵∠DAE＝70°，
∴∠E＝180°﹣80°﹣70°＝30°，
故选：A．
9．【解答】解：如图，作CG⊥AB于G，FH⊥DE于H．
∵点A的坐标为（﹣3，1），点B，C在直线y＝﹣3上，
∴A到BC的距离为d＝1﹣（﹣3）＝4．
∵S△ABC＝AB CG＝BC d，AB＝BC，
∴CG＝d＝4．
∵△ABC≌△DEF，
∴FH＝CG＝4，BC＝AB＝EF＝DE＝5．
在Rt△BCG与Rt△EFH中，
，
∴Rt△BCG≌Rt△EFH（HL），
∴BG＝EH．
在Rt△BCG中，∵∠BGC＝90°，BC＝5，CG＝4，
∴BG＝＝3，
∴EH＝3，
∵点E的坐标为（0，﹣1），
∴OH＝EH﹣OE＝3﹣1＝2，
∴点F的坐标为（4，2）．
故选：A．
10．【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE＝49°，
∴∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，故①符合题意；
∴∠ABD＝∠ACE，
如图，记AC，BF的交点为O，
∵∠AOB＝∠COF，
∴∠BFC＝∠BAO＝49°，故③符合题意；
∵D在BF上可以是个动点，仍然满足△ADE中AD＝AE，∠DAE＝49°，
∴AD不一定等于BD，故②不符合题意；
如图，作AK⊥BD于K，作AH⊥CE于H．
∵△BAD≌△CAE，
∴由全等三角形的对应高相等可得：AK＝AH，
∵AF＝AF，∠AKF＝∠AHE＝90°，
∴Rt△AFK≌Rt△AFH，
∴∠AFD＝∠AFE，
∴FA平分∠BFE，故④符合题意；
故选：B．
二．填空题（共6小题）
11．【解答】解：添加条件：AB＝DC；
在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SSS）．
12．【解答】解：∵AE＝AC，
∴∠AEC＝∠C，
又∠1＝26°，
∴∠AEC＝∠C＝（180°﹣∠1）＝77°，
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE（SSS），
∴∠C＝∠AED＝77°，
∠2＝180°﹣（∠AED+∠AEC）＝180°﹣（77°+77°）＝26°．
故答案为：26°．
13．【解答】解：②中满足两边夹一角完整，即可得到一个与原来三角形全等的新三角形，所以只需带②去即可．
故答案为：②．
14．【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于点H，
∴∠DHG＝90°，
∵DF⊥AB，
∴∠DFE＝90°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴DF＝DH，
∵DE＝DG，
∴△DEF≌△DGH（HL），
∴∠AGD＝∠DEF，
∴∠AED+∠AGD＝∠AED+∠DEF＝180°，
故答案为：180．
15．【解答】证明：如图，
过C作CF⊥AB的延长线于点F，
∵AC平分∠BAD，
∴∠FAC＝∠EAC，
∵CE⊥AD，CF⊥AB，
∴∠BFC＝∠CED＝90°，
在△AFC和△AEC中，
，
∴△AFC≌△AEC（AAS），
∴AF＝AE，CF＝CE，
∵∠ABC+∠D＝180°，
∴∠FBC＝∠EDC，
∴△FBC≌△EDC，
∴BF＝ED，
∴AB+AD＝AE+ED+AF﹣BF＝2AE，
∵AD＝12cm，AB＝7cm，
∴19＝2AE，
∴AE＝9.5cm，
∴DE＝AD﹣AE＝12﹣9.5＝2.5cm．
16．【解答】证明：连接PQ，
∵∠ECF＝180°﹣∠1﹣∠2，
∠A＝180°﹣∠AFE﹣∠AEF＝180°﹣∠1﹣∠2﹣∠AFB﹣∠AED，
又∵∠AED、∠AFB的平分线交于点G，
∴∠AFB＝2∠3，∠AED＝2∠4，
∴∠FCE+∠A＝（180°﹣∠1﹣∠2）+（180°﹣∠1﹣∠2﹣2∠3﹣2∠4）
＝360°﹣2∠1﹣2∠2﹣2∠3﹣2∠4，
∴（∠FCE+∠A）＝180°﹣∠1﹣∠2﹣∠3﹣∠4，
又∵∠BCD＝∠ECF，
∴（∠BCD+∠A）＝180°﹣∠1﹣∠2﹣∠3﹣∠4，
又∵∠FGE＝180°﹣∠GEF﹣∠GFE＝180°﹣∠1﹣∠3﹣∠2﹣∠4，
∴∠EGF＝（∠BCD+∠A）＝×180°＝90°．
故答案为：90°．
三．解答题（共7小题）
17．【解答】证明：∵BD平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠EDC，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（AAS）．
18．【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴Rt△BDE和Rt△CDF是直角三角形．
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD＝AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴∠DAE＝∠DAF，
∴AD是△ABC的角平分线．
19．【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（AAS）．
20．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠CBF＝∠ABE＝90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；
（2）解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝45°，
∴∠ACB＝45°，
又∵∠BAE＝∠CAB﹣∠CAE＝45°﹣30°＝15°，
由（1）知：Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF＝∠BAE＝15°，
∴∠ACF＝∠BCF+∠ACB＝45°+15°＝60°．
21．【解答】解：过点C作CH⊥AD，交AD的延长线于点H，如图所示：
则∠CHA＝90°，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，
∴CE＝CH，∠CEB＝∠CEA＝90°，∠BAC＝∠DAC，
∵∠B+∠ADC＝180°，∠CDH+∠ADC＝180°，
∴∠CDH＝∠B，
在△CDH和△CEB中，
，
∴△CDH≌△CEB（AAS），
∴BE＝DH，
在△CEA和△CHA中，
，
∴△CEA≌△CHA（AAS），
∴AE＝AH，
∴AE＝AD+DH＝AD+EB．
22．【解答】解：（1）∵BE∥AC，
∴∠E＝∠CAD，
∵AD是BC边的中线，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDA中，
，
∴△BDE≌△CDA（AAS），
∴ED＝AD；
（2）由（1）知△BDE≌△CDA，
∴ED＝AD＝，BE＝CA＝3，
∴AE＝，
∵AB＝，
∴AB2＝17，AE2+BE2＝（）2+32＝17，
∴AE2+BE2＝AB2，
∴△ABE是直角三角形，∠E＝90°，
∴∠CAD＝∠E＝90°；
（3）作AF⊥BC于点F，如图，
在Rt△BDE中，
由勾股定理，得BD＝＝＝，
∴BC＝，
又由（2），
∵△BDE≌△CDA，
∴，
∴，
∴AF＝＝，
即点A到BC的距离为．
故答案为：．
23．【解答】解：小明不用测量就能知道EH＝FH．
理由：在△HED和△HFD中
∵，
∴△HED≌△HFD（SAS），
∴EH＝FH．
第2页（共2页）
