2023-2024学年上学期九年级上期第二次课后练习数学试卷
使用时间9月27日分值：120分时间：90分钟
一、选择题（每题3分，共30分）
1．关于的方程是一元二次方程，则的取值是（）
A．B．C．任意实数D．
2．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握了66次手，设到会的人数为人，则根据题意列方程为（）
A．B．
C．D．
3．如图，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在边的中点处，点落在点处，其中，则的长为（）
A．B．4C．4．5D．5
4．如图，下列条件不能判定的是（）
A．B．C．D．
5．在中，点是边上的点（与两点不重合），过点作，分别交，于两点，下列说法正确的是（）
A．若，则四边形是矩形
B．若垂直平分，则四边形是矩形
C．若，则四边形是菱形
D．若平分，则四边形是菱形
6．以下说法合理的是（）
A．小明做了4次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是
B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
C．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中，所以他击中靶的概率是
D．小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是二分子一。
7．如图，在中，为斜边上一动点，，垂足分别为．则线段的最小值为（）
A．B．C．D．
8．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点在轴上，若正方形的边长为6，则点的坐标为（）
A．B．C．D．
9．如图，在正方形中，，点是边上的动点（点不与端点重合），的垂直平分线分别交于点，当时，的长为（）
A．2B．C．D．4
10．如图，在平行四边形中，点同时从点出发点以的速度沿匀速运动到点，点以的速度沿匀速运动到点，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点的运动路程长为的面积为与的函数图象如图2所示，当运动时间为时，的面积是（）．
图1 图2
A．B．C．D．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．已知是方程的两个实数根，则__________．
12．如图，直线，那么的值是__________．
13．如图，当太阳光与地面上的树影成角时，树影投射在墙上的影高等于2米，若树根到墙的距离等于8米，则树高等于__________米（结果保留根号）．
14．在中，为的中点，过点作直线交于点，若以为顶点的三角形与相似，则__________．
15．如图，在中，，点是边上一动点，把沿直线折叠，使点的对应点为，若直线与边垂直，则的长为__________．
三、解答题
16．（8分）在一个不透明的袋子中，装有除颜色外其余均相同的红、蓝两种球，已知其中红球有3个，且从中任意摸出一个蓝球的概率为0.25．
（1）根据题意，袋中有__________个蓝球；
（2）若从袋中随机一次性摸出两个球，请用画树状图或列表法求“摸到两球中至少一个球为蓝球（记为事件A）”的概率．
17．（8分）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：对于任何实数的值，方程总有实数根；
（2）若，求此时方程的根．
18．（9分）如图，在矩形中，，点同时分别从两点出发，以的速度沿向终点运动，点分别为的中点，设运动时间为．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）填空：①当为____________s时，四边形是菱形；②当为____________s时，四边形是矩形。
19．（9分）在中，，（1）如图①所示，把分成面积相等的两部分，即，求线段的长．
（2）如图②所示，把分成面积相等的三部分，即，求线段的长。
（3）如图③所示，把分成面积相等的部分，即，请直接写出线段的长。
图①图②图③
20．（9分）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例：已知可取任何实数，试求二次三项式最小值．
解：
无论取何实数，总有．
，即的最小值是．
即无论取何实数，的值总是不小于的实数．问题：
（1）已知，求证是正数．知识迁移：
（2）如图，在中，，点在边上，从点向点以的速度移动，点在边上以的速度从点向点移动．若点同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设的面积为，运动时间为秒，求的最大值．
21．（10分）2020年，受新冠肺炎疫情影响．口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋．
（1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；
（2）为回馈客户．该网店决定五月降价促销．经调查发现．在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？
22．（11分）如图1，正方形和正方形，连接．
（1）发现：当正方形绕点A旋转，如图2，
①线段与之间的数量关系是__________；②直线与直线之间的位置关系是__________．
（2）探究：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，判断（1）中的结论是否成立？并说明理由。．
（3）应用：在（2）情况下，连结（点在上方），若，且，直接写出线段的长．
图1 图2 图3
23．（11分）如图，在平面直角坐标系中，把矩形沿对角线所在直线折叠，点落在点处，与轴相交于点，矩形的边的长是关于的一元二次方程的两个根，且．
（1）求出线段的长；
（2）求出点D的坐标；
（3）若是直线上一个动点，在坐标平面内是否存在点，使以点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由。
2023-2024学年上学期九年级上期第二次课后练习数学答案
一、选择题
1．B 2．A 3．D 4．D 5．D 6．D 7．A 8．C 9．C 10．D
二、填空题
11．812．213．14．5或15．或6
三、解答题
16．（1）1；
（2）图略：共有12种等可能的结果数，其中两球中至少一个球为蓝球的结果数为6种，所以．
17．（1）证明：，
对于任何实，方程总有两个实数根。
（2）
18．（1）四边形是矩形，，，
点E、F同时分别从D，B两点出发，以的速度沿向终点、运动，
，
在和中，，，
点G、H分别为的中点，
，且，
四边形是平行四边形。
①②8或．
19．（1）（2）（3）
20．（1）证明：．
．
．
．
是正数．
（2）由题意得：．
．
．
当时，有最大值．
解：（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为，
依题意，得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为．
（2）设口罩每袋降价元，则五月份的销售量为袋，
依题意，得：，
化简，得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：当口罩每袋降价2元时，五月份可获利1920元．
22．（1）先判断出，进而得出，再利用等角的余角相等即可得出结论；
（2）先利用两边对应成比例夹角相等判断出，得出，再利用等角的余角相等即可得出结论；
（3）4
23．（1）解方程得，，
；
四边形是矩形，
，
把矩形沿对角线所在直线折叠，点落在点处，
，
，
在与中，，
；
，即，
；
（2）过作轴于，
则，
，
，
；
（3）存在以点为顶点的四边形是菱形，．
