杭州市2023年九年级上学期期中模拟卷
（考试范围：第1-4章）
选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023秋·浙江温州·九年级统考期末）已知，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】设，，代入即可得出答案．
【详解】解：设，，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查比例的性质，正确理解题意是解题的关键．
2．（2023秋·浙江·九年级专题练习）已知的半径为3，点P到圆心O的距离为d，若点P在圆外，则d的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据点与圆的位置关系判断得出即可．
【详解】解：∵点P在圆外，且⊙O的半径为3，
∴，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了点与圆的位置关系．解题的关键在于熟练掌握点与圆的位置关系．
3．（2023秋·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）已知点在抛物线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将点坐标代入即可．
【详解】解：因为点在抛物线的图象上，
所以．
得．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，将点的坐标代入后的正确计算是解题的关键．
4．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，是的直径，弦于E，若，，则的长是（ ）
A．12 B．16 C． D．
【答案】A
【分析】连接，设，则，然后根据垂径定理及勾股定理可列方程进行求解．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，是的直径，，
∴，
设，则，
∴在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴；
故选A．
【点睛】本题主要考查垂径定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键．
5．（2023·浙江·九年级假期作业）某校在劳动课上，设置了植树、种花、除草三个劳动项目．九年一班和九年二班都通过抽签的方式从这三个项目中随机抽取一个项目，则这两个班级恰好都抽到种花的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据列表法求概率即可求解．
【详解】解：设分别表示植树、种花、除草三个劳动项目，列表如下，
共有9种等可能结果，符合题意得出有1种，
∴这两个班级恰好都抽到种花的概率是，
故选：D．
【点睛】本题考查了列表法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键．
6．（2023春·浙江·九年级校考阶段练习）如图，在中，，点D在边上，线段绕点D顺时针旋转，点C恰巧落在边上的点E处．如果，．那么x与y满足的关系式是（ ）
A． B．x-3y=1 C．x-2y=1 D．
【答案】C
【分析】如图所示，过点D作于H，先由旋转的性质得到，则，再证明，由平行线分线段成比例定理得到，由此即可推出．
【详解】如图所示，过点D作于H，
由旋转的性质可得，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
即：，
∵，
∴，
即：．
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，三线合一定理，旋转的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
7．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，已知四边形内接于，，、的延长线相交于点，为直径，连接．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由圆周角定理推出，，得到，由三角形内角和定理求出的度数，即可求出的度数．
【详解】解：为圆的直径，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理，关键是由圆周角定理求出的度数．
8．（2023秋·浙江杭州·九年级杭州市十三中教育集团（总校）校考阶段练习）已知二次函数，当时，x的取值范围是，下列结论：①对称轴是直线；②；③二次函数的图象经过点，，若，则；④y有最大值，其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】D
【分析】根据当时，x的取值范围是，可知开口向下以及对称轴为直线，进而得到，离对称轴越远函数值越小，，由此即可判断①②④；进而得到，解不等式即可得到答案．
【详解】解：∵对于二次函数，当时，x的取值范围是，
∴二次函数开口向下，且二次函数对称轴为直线，故①正确；
∴，，故②错误；
∴离对称轴越远函数值越小，，
∵二次函数的图象经过点，，，
∴，
∴或，
∴或，故③错误；
∵二次函数开口向下，对称轴为直线，
∴当时，二次函数有最大值，即，故④正确；
综上分析可知，正确的是①④．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系等等，正确判断出二次函数的开口方向和对称轴是解题的关键．
9．（2023春·浙江杭州·九年级校联考阶段练习）已知点，均在抛物线上，其中．下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线，从而可得点B为顶点，由抛物线开口向上，可判断A，B选项，由点到对称轴的距离与函数值的关系可判断C，D．
【详解】解：∵，
∴抛物线对称轴为，
把代入得，
∵，
∴为抛物线顶点，，
当时，抛物线开口向上，为函数最小值，
∴A、B错误；
若，则抛物线开口向上，距离对称轴越近的点纵坐标越小，
∴，
∴C错误，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌次函数图象与系数的关系．
10．（2023春·浙江·九年级校联考阶段练习）如图，是半径为4的的直径，P是圆上异于A，B的任意一点，的平分线交于点C，连接和，的中位线所在的直线与相交于点E、F，则的长是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】连接、，交于D，由圆周角定理得出，根据垂径定理可知：必垂直平分．由是的中位线，根据三角形中位线定理可得：．在中求出的长，即可得出的值．
【详解】解：如图所示，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
即是等腰直角三角形．
连接，交于点D，则，
∵是的中位线，
∴，
∴，，
∴，
连接，根据勾股定理，得：，
∴．
故选：A．
【点睛】此题考查圆周角定理，垂径定理，三角形的中位线，综合运用了圆周角定理及其推论发现等腰直角三角形，再进一步根据等腰三角形的性质以及中位线定理，求得的弦心距，最后结合垂径定理和勾股定理求得弦长．
二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）
11．（2023·浙江·一模）已知线段，，则a，b的比例中项线段长是 .
【答案】4
【分析】设线段a，b的比例中项为c，根据比例中项的定义可知，，求得c的值，注意两条线段的比例中项为正数．
【详解】解：设线段a，b的比例中项为c，
∵c是长度分别为2、8的两条线段的比例中项，
∴，
即，
∴（负数舍去），
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了比例线段．根据比例的性质列方程求解即可．解题的关键是掌握比例中项的定义，如果，即，那么b叫做a与c的比例中项．
12．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为 ．
【答案】
【分析】由平行线分线段成比例可得，，，得出，，从而.
【详解】， ，，
，
，
，
，
；
故答案为：.
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键.
13．（2023·浙江·九年级专题练习）现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是 ．
【答案】
【分析】根据概率公式即可求解．
【详解】解：将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
14．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在矩形中，以点D为圆心，长为半径画弧，以点C为圆心，长为半径画弧，两弧恰好交于边上的点E处，现从矩形内部随机取一点，若，则该点取自阴影部分的概率为 ．
【答案】/
【分析】连接，根据勾股定理，得，根据阴影部分的面积为：扇形的面积减去，根据的等于扇形的面积减去，据此求解即可．
【详解】解：连接，如下图：
∵四边形是矩形，，
∴，，，
∴，，
∴扇形的面积为：，
∵的面积为：，
∴阴影部分的面积为：．
矩形的面积为，
该点取自阴影部分的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查几何概率，矩形的性质，扇形的面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式，矩形的性质．
15．（2023秋·浙江舟山·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，连接，．已知点E坐标为，点D在线段上，且．则四边形面积的大小为 ．
【答案】
【分析】根据二次函数的解析式求出A，B，C三点的坐标，然后再求出所在直线的解析式，设，根据，求出D点坐标，再利用割补法即可求出四边形的面积．
【详解】解：二次函数的图象与坐标轴相交于A，B，C三点；
，，；
容易求出所在直线的解析式为；
设，
，
；
；
；，；
；
故答案为．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，涉及到了求二次函数与坐标轴的交点，利用待定系数法求函数解析式以及利用割补法求不规则图形的面积，熟练掌握二次函数的综合知识是解题的关键．
16．（2023·浙江嘉兴·统考一模）平面直角坐标系中，的半径为2，点M在上，点N在线段上，设，点P的坐标为，将点P沿方向平移2个单位，得到点，再将点作关于点N的对称点Q，连接，当点M在上运动时，长度的最大值与最小值的差为 ．（用含t的式子表示）
【答案】/
【分析】根据题意作出点和点，连接,，并延长 至点B，使得,连接并延长交的延长线于点C，证明四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，求出和的长度，根据三角形三边关系即可判断．
【详解】
解：根据题意作出点和点，如图，连接,，并延长 至点B，使得,连接并延长交的延长线于点C，
将点作关于点N的对称点Q，
，
，
，且，
将点P沿方向平移2个单位，
，，
四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，
将点P沿方向平移2个单位，
，
，
点P的坐标为，
，
由图得，，
的最大值为，的最小值为，
长度的最大值与最小值的差为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的综合问题，主要考查了中位线的性质，三角形三边关系，平行四边形的判定及性质，正确画出图形并作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（7小题，共66分）
17．（2023秋·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）已知二次函数的图象分别经过点，，．
(1)求二次函数的函数表达式；
(2)直接写出：当时，自变量的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数图象经过的三个点，设出相应的函数表达式即可．
（2）利用数形结合的思想解题即可．
【详解】（1）因为二次函数的图象分别经过点，，，
所以设二次函数的表达式为，
则，得．
所以二次函数的表达式为．
（2）因为，
所以抛物线的开口向下．
又抛物线与轴的两个交点坐标为和，
所以当时，的取值范围是．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质及用待定系数法求二次函数解析式，根据函数图象经过的点的坐标，设出相应的函数表达式是解题的关键．
18．（2023·浙江·九年级假期作业）下面是证明定理的两种方法，选择其中一种完成证明．
证明定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”． 已知：如图，在中，，是斜边上的中线，求证：．
方法1：利用矩形判定和性质证明． 方法2：利用圆的性质证明．
【答案】证明过程见详解
【分析】根据矩形的性质，对角线相等且相互平分；根据圆的性质，从圆心到圆上的点所成的半径相等即可求解．
【详解】解：方法一：利用矩形判定和性质证明．
如图所示，过点作，且，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形，
∴，
∵是斜边上的中线，即点是斜边上的中点，
∴点D也是的中点，
∴，
∴；
方法二：利用圆的性质证明．
如图所示，是斜边上的中线，即点是斜边上的中点，以为圆心，以为半径画圆，且，即为的直径，
∴内接于，则点在圆上，且，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，圆的性质，理解并掌握矩形中对角线相等且相互平分，从圆心到圆上的半径相等的知识是解题的关键．
19．（2023·浙江·九年级假期作业）概念理解
嘉嘉和淇淇学习了随机事件的概率，老师留的作业中有一道判断题：①自然现象中，“太阳从东方升起”是必然事件；②成语“水中捞月”所描述的事件是随机事件；③若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖50次必中奖1次．
真命题的序号是______；
知识应用
嘉嘉和淇淇做化学实验，紫色石蕊试剂是一种常用的酸碱指示剂，通常情况下石蕊试剂遇酸溶液变红，遇碱溶液变蓝，遇中性溶液不变色．现有4瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液，其中白醋溶液、柠檬水溶液是酸性，食用碱溶液是碱性，蒸馏水是中性，两人各取了4个烧杯，分别倒入这4种不同的无色液体．
（1）嘉嘉将石蕊试剂滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是______；
（2）淇淇随机取了两个烧杯，滴入石蕊试剂，用画树状图法或列表法求一杯变红、一杯变蓝的概率．
【答案】概念理解①；知识应用（1）；（2）
【分析】概念理解：根据随机事件、不可能事件和必然事件的概念逐一判断即可；
知识应用：（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）将蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液分别记作、、、，列表得出所有等可能结果，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：概念理解：真命题的序号是①，
故答案为：①；
知识应用：（1）嘉嘉将石蕊试剂滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是；
（2）将蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液分别记作、、、，列表如下：
由表知，共有12种等可能结果，其中一杯变红、一杯变蓝的有4种结果，
所以一杯变红、一杯变蓝的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及折线统计图和扇形统计图．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
20．（2023秋·浙江·九年级专题练习）2023年8月5日，在成都举行的第31届世界大学生夏季运动会女子篮球金牌赛中，中国队以99比91战胜日本队，夺得冠军．女篮最重要的球员之一韩旭在日常训练中也迎难而上，勇往直前．投篮时篮球以一定速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立平面直角坐标系，篮球从出手到进入篮筐的过程中，它的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足二次函数关系，篮筐中心距离地面的竖直高度是，韩旭进行了两次投篮训练．
(1)第一次训练时，韩旭投出的篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m 0 1 2 3 4 …
竖直高度y/m …
①在平面直角坐标系xOy中，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；
②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度是______，并求y与x满足的函数解析式；
③已知此时韩旭距篮筐中心的水平距离，韩旭第一次投篮练习是否成功，请说明理由；
(2)第二次训练时，韩旭出手时篮球的竖直高度与第一次训练相同，此时投出的篮球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系，若投篮成功，此时韩旭距篮筐中心的水平距离d_____5（填“”，“”或“”）．
【答案】(1)①见解析；②；；③成功，理由见解析；
(2)
【分析】（1）①直接利用描点法画出函数图象，即可；②设y与x满足的函数解析式为，再把点代入，求出m的值，即可；③把代入②中函数解析式，即可；
（2）把点代入，求出函数解析式，再把把代入，求出x，即可．
【详解】（1）解：①如图，即为所求；
②根据题意得：篮球运行的最高点距离地面的竖直高度是；
设y与x满足的函数解析式为，
把点代入得：，
解得：，
∴y与x满足的函数解析式为；
③成功，理由如下：
当时，，
解得：或1（舍去），
即韩旭距篮筐中心的水平距离时，篮球运行的高度为，
∴韩旭第一次投篮练习是成功；
（2）解：把点代入得：
，
解得：，
∴此时y与x满足的函数解析式为，
当时，，
解得：或（舍去），
∵，
∴此时韩旭距篮筐中心的水平距离．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确求出函数解析式是解题的关键．
21．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，的直径和弦相交于点E，且B是的中点，连接，.
(1)判断与是否全等，并说明理由；
(2)连接.已知，，，求的长．
【答案】(1)与全等；理由见解析
(2)
【分析】（1）根据圆周角定理可得、，再结合运用即可解答；
（2）先求得，进而得到、，如图，过点O作于点G，连接OD，则；再根据直角三角形的性质可得；由勾股定理可得，进而求得．
【详解】（1）解：与全等；理由如下：
∵B是的中点，
∴，
∴，，
∴.
又∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴.
∵AB是的直径，
∴，.
如图，过点O作于点G，连接OD，则.
∵，，
∴.
由勾股定理得，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、圆的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
22．（2023春·浙江·九年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点、，二次函数的图象经过点A．
(1)求一次函数的表达式；
(2)若二次函数图象与y轴交点为，请判断此二次函数的顶点是否在直线的图象上？
(3)当，时，二次函数的最小值为t，求t的取值范围．
【答案】(1)
(2)在
(3)
【分析】（1）待定系数法求直线解析式即可；
（2）利用点、求出抛物线解析式，配方后得到抛物线的顶点坐标代入直线解析式验证即可；
（3）根据点A在二次函数图象上，可以确立，即，由可得，利用最值公式得；根据m范围确定t的范围即可．
【详解】（1）解：∵点、在一次函数的图象上，
∴，解得，
一次函数解析式为：；
（2）解：∵二次函数图象与y轴交点为在图象上，
；
二次函数的图象经过点，
，解得：，
∴二次函数解析式为：，
∴顶点坐标．
当时，，
∴抛物线的顶点在直线上；
（3）解：∵二次函数图象过，
，即，
，
，
，
，
．
∵二次函数的最小值为t，
∴，
时，t随m的增大而减小，
当时，，
当时，，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称轴、开口方向、最值是作该类题的基础，需要熟练掌握．
23．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图半径为r，锐角内接于，连并延长交于D，过点D作于E．
(1)如图1，求证：；
(2)如图1，若，求的长；
(3)如图2，当时，，求r的值；
(4)如图3，若，直接写出的值（用含r的代数式表示）
【答案】(1)见解析
(2)3
(3)
(4)
【分析】（（1）延长交于F，连接，由圆周角定理可得，再由等角的余角相等可得结论；
（2）作，可得，再由证明即可得到结论；
（3）作于点G，于点H，可证明，得到，由勾股定理得，，延长交于，连接，可得，再由勾股定理可得结论；
（4）延长交于点F，连接，过点C作于点G，连接交于点H，由证明得，从而，再根据证明得，最后由勾股定理可得结论．
【详解】（1）延长交于F，连接，
∴
∵为直径，，
∴，
∴；
（2）作于N，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）作于点G，于点H，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴可得，
又∵，
∴，
在中，，
设，
在中，，
解得，
∴，
延长交于，连接，
∵，
∴，
在中，．
∴；
（4）延长交于点F，连接，过点C作于点G，连接交于点H，如图，
，
，
，
，
由（1）得，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
为的直径，
，
，
，
．
【点睛】本题考查垂径定理、直径的性质、勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
杭州市2023年九年级上学期期中模拟卷
（考试范围：第1-4章）
选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023秋·浙江温州·九年级统考期末）已知，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2023秋·浙江·九年级专题练习）已知的半径为3，点P到圆心O的距离为d，若点P在圆外，则d的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）已知点在抛物线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，是的直径，弦于E，若，，则的长是（ ）
A．12 B．16 C． D．
5．（2023·浙江·九年级假期作业）某校在劳动课上，设置了植树、种花、除草三个劳动项目．九年一班和九年二班都通过抽签的方式从这三个项目中随机抽取一个项目，则这两个班级恰好都抽到种花的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·浙江·九年级校考阶段练习）如图，在中，，点D在边上，线段绕点D顺时针旋转，点C恰巧落在边上的点E处．如果，．那么x与y满足的关系式是（ ）
A． B．x-3y=1 C．x-2y=1 D．
7．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，已知四边形内接于，，、的延长线相交于点，为直径，连接．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023秋·浙江杭州·九年级杭州市十三中教育集团（总校）校考阶段练习）已知二次函数，当时，x的取值范围是，下列结论：①对称轴是直线；②；③二次函数的图象经过点，，若，则；④y有最大值，其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
9．（2023春·浙江杭州·九年级校联考阶段练习）已知点，均在抛物线上，其中．下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（2023春·浙江·九年级校联考阶段练习）如图，是半径为4的的直径，P是圆上异于A，B的任意一点，的平分线交于点C，连接和，的中位线所在的直线与相交于点E、F，则的长是（ ）
A． B． C．3 D．
二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）
11．（2023·浙江·一模）已知线段，，则a，b的比例中项线段长是 .
12．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为 ．
13．（2023·浙江·九年级专题练习）现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是 ．
14．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在矩形中，以点D为圆心，长为半径画弧，以点C为圆心，长为半径画弧，两弧恰好交于边上的点E处，现从矩形内部随机取一点，若，则该点取自阴影部分的概率为 ．
15．（2023秋·浙江舟山·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，连接，．已知点E坐标为，点D在线段上，且．则四边形面积的大小为 ．
16．（2023·浙江嘉兴·统考一模）平面直角坐标系中，的半径为2，点M在上，点N在线段上，设，点P的坐标为，将点P沿方向平移2个单位，得到点，再将点作关于点N的对称点Q，连接，当点M在上运动时，长度的最大值与最小值的差为 ．（用含t的式子表示）
三、解答题（7小题，共66分）
17．（2023秋·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）已知二次函数的图象分别经过点，，．
(1)求二次函数的函数表达式；
(2)直接写出：当时，自变量的取值范围．
18．（2023·浙江·九年级假期作业）下面是证明定理的两种方法，选择其中一种完成证明．
证明定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”． 已知：如图，在中，，是斜边上的中线，求证：．
方法1：利用矩形判定和性质证明． 方法2：利用圆的性质证明．
19．（2023·浙江·九年级假期作业）概念理解
嘉嘉和淇淇学习了随机事件的概率，老师留的作业中有一道判断题：①自然现象中，“太阳从东方升起”是必然事件；②成语“水中捞月”所描述的事件是随机事件；③若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖50次必中奖1次．
真命题的序号是______；
知识应用
嘉嘉和淇淇做化学实验，紫色石蕊试剂是一种常用的酸碱指示剂，通常情况下石蕊试剂遇酸溶液变红，遇碱溶液变蓝，遇中性溶液不变色．现有4瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液，其中白醋溶液、柠檬水溶液是酸性，食用碱溶液是碱性，蒸馏水是中性，两人各取了4个烧杯，分别倒入这4种不同的无色液体．
（1）嘉嘉将石蕊试剂滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是______；
（2）淇淇随机取了两个烧杯，滴入石蕊试剂，用画树状图法或列表法求一杯变红、一杯变蓝的概率．
20．（2023秋·浙江·九年级专题练习）2023年8月5日，在成都举行的第31届世界大学生夏季运动会女子篮球金牌赛中，中国队以99比91战胜日本队，夺得冠军．女篮最重要的球员之一韩旭在日常训练中也迎难而上，勇往直前．投篮时篮球以一定速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立平面直角坐标系，篮球从出手到进入篮筐的过程中，它的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足二次函数关系，篮筐中心距离地面的竖直高度是，韩旭进行了两次投篮训练．
(1)第一次训练时，韩旭投出的篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m 0 1 2 3 4 …
竖直高度y/m …
①在平面直角坐标系xOy中，描出上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；
②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度是______，并求y与x满足的函数解析式；
③已知此时韩旭距篮筐中心的水平距离，韩旭第一次投篮练习是否成功，请说明理由；
(2)第二次训练时，韩旭出手时篮球的竖直高度与第一次训练相同，此时投出的篮球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系，若投篮成功，此时韩旭距篮筐中心的水平距离d_____5（填“”，“”或“”）．
21．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，的直径和弦相交于点E，且B是的中点，连接，.
(1)判断与是否全等，并说明理由；
(2)连接.已知，，，求的长．
22．（2023春·浙江·九年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点、，二次函数的图象经过点A．
(1)求一次函数的表达式；
(2)若二次函数图象与y轴交点为，请判断此二次函数的顶点是否在直线的图象上？
(3)当，时，二次函数的最小值为t，求t的取值范围．
23．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图半径为r，锐角内接于，连并延长交于D，过点D作于E．
(1)如图1，求证：；
(2)如图1，若，求的长；
(3)如图2，当时，，求r的值；
(4)如图3，若，直接写出的值（用含r的代数式表示）
