浙教数学 九年级上册
第2章 简单事件的概率
知识梳理
知识点一、事件的可能性
必然事件： 把在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件
不可能事件： 把在一定条件下一定不会发生的事件叫做不可能事件;
随机事件： 把在一定条件下可能发生,也可能不发生的事件叫做不确定事件或随机事件。
知识点二、简单事件的概率
把事件发生可能性的大小称为事件发生的概率,一般用P表示。事件A发生的概率记为P（A）
必然事件发生的概率为100%,即P(必然事件)=1:
不可能事件发生的概率为0,即P(不可能事件)=0:
随机事件的概率介于0与1之间,即0
（1）、古典概型
满足下列两个特点的概率问题称为古典概型.
（1）一次试验中，可能出现的结果是有限的；
（2）一次试验中，各种结果发生的可能性相等的.
古典概型可以从事件所包含的各种可能的结果在全部可能的试验结果中所占的比例分析事件的概率.
特别说明：如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=.
（2）、用列举法求概率
常用的列举法有两种：列表法和树形图法.
方法一：列表法：
当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.
列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
特别说明：（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.
方法二：树形图：当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图.
树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
特别说明：(1) 树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
（2）在用列表法或树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.
（3）、利用频率估计概率
当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.
特别说明：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确.
基础训练
一、单选题
1．某班级中男生和女生各若干，若随机抽取1人，抽到男生的概率是，则抽到女生的概率是（ ）
A．不确定 B． C． D．
2．某校甲、乙、丙、丁四名同学在运动会上参加4×100米接力比赛，其中甲跑第一棒，那么乙跑第二棒的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．某足球运动员在同一条件下进行射门，结果如下表所示：
射门次数n 20 50 100 200 500 800
踢进球门频数m 13 35 58 104 255 400
踢进球门频率m/n 0.65 0.7 0.58 0.52 0.51 0.5
则该运动员射门一次，射进门的概率为( )A．0.7 B．0.65 C．0.58 D．0.5
4．从长度分别为3、5、7、9的4条线段中任取3条作边，能组成三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．从编号为1～10的10个完全相同的球中，任取一球，其号码能被3整除的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如下图所示的四个图形，在看不到图形的情况下从中任意抽出一张，则抽出的卡片是轴对称图形的概率为【 】
A． B． C． D．1
7．把一副普通的扑克牌中的13张黑桃洗匀后正面向下放在桌子上，从中任意抽取一张，抽出的牌左上角的标记是字母的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．100个白色乒乓球中有20个被染红，随机抽取20个球，下列结论正确的是（ ）
A．红球一定刚好4个 B．红球不可能少于4个 C．红球可能多于4个 D．抽到的白球一定比红球多
9．一个不透明的盒子里装有2个白球，2个红球，若干个黄球，这些球除了颜色外，没有任何其他区别．若从这个盒子中随机摸出一个是黄球的概率是 ， 则盒子中黄球的个数是（ )
A．2 B．4 C．6 D．8
10．甲乙两人轮流在黑板上写下不超过 的正整数（每次只能写一个数），规定禁止在黑板上写已经写过的数的约数，最后不能写的为失败者，如果甲写第一个，那么，甲写数字（ ）时有必胜的策略．
A．10 B．9 C．8 D．6
二、填空题
11．从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：
种子粒数 100 400 800 1000 2000 5000
发芽种子粒数 85 298 652 793 1604 4005
发芽频率 0.850 0.745 0.815 0.793 0.802 0.801
根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为___（精确到0.1）．
12．某电视台综艺节目接到热线电话500个，现从中抽取“幸运观众”10名，小明打通了一次热线电话，他成为“幸运观众”的概率是___．
13．小明参加“一站到底”节目，答对最后两道单选题就通关：第一道单选题有个选项，第二道单选题有个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．从概率的角度分析，你建议小明在第________题使用“求助”．
14．把一个体积是64立方厘米的立方体木块的表面涂上红漆，然后锯成体积为1立方厘米的小立方体，从中任取一块，则取出的这一块至少有一面涂红漆的概率是 ________．
15．一个不透明的袋子中装有3个黄球和4个蓝球，这些球除颜色外完全相同，从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是黄球的概率是____．
16．如图，正方形内的阴影部分是由四个直角边长都是1和3的直角三角形组成的，假设可以在正方形内部随意取点，那么这个点取在阴影部分的概率为_________．
17．在一个不透明的布袋中装有2个白球和n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是，则______．
18．我们知道π约为3.14159265359，在这串数字中，任挑一个数是5的可能性为 ________．
19．从1、2、3、4中任取一个数作为十位上的数字，再从2、3、4中任取一个数作为个位上的数字，那么组成的两位数是3的倍数的概率是_______.
20．小强与小红两人下军棋，小强获胜的概率为46%，小红获胜的概率是30%，那么两人下一盘棋小红不输的概率是________．
三、解答题
21．现有小莉，小罗，小强三个自愿献血者，两人血型为O型，一人血型为A型．若在三人中随意挑选一人献血，两年以后又从此三人中随意挑选一人献血，试求两次所抽血的血型均为O型的概率．（要求：用列表或画树状图的方法解答）
22．体育课上，老师为了解女学生定点投篮的情况，随机抽取8名女生进行每人4次定点投篮的测试，进球数的统计如图所示．
（1）求女生进球数的平均数、中位数；
（2）投球4次，进球3个以上（含3个）为优秀，全校有女生1200人，估计为“优秀”等级的女生约为多少人？
23．小明和小亮利用三张卡片做游戏，卡片上分别写有A，B，B．这些卡片除字母外完全相同，从中随机摸出一张，记下字母后放回，充分洗匀后，再从中摸出一张，如果两次摸到卡片字母相同则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？请说明现由．
24．甲班56人，其中身高在160厘米以上的男同学10人，身高在160厘米以上的女同学3人，乙班80人，其中身高在160厘米以上的男同学20人，身高在160厘米以上的女同学8人．如果想在两个班的160厘米以上的女生中抽出一个作为旗手，在哪个班成功的机会大？为什么？
25．解不等式组写出符合不等式组的整数解，并求出这些整数解中能使关于的方程：的解为非负数的概率．
26．某批乒乓球的质量检验结果如下：
抽取的乒乓球数n 200 500 1000 1500 2000
优等品频数m 188 471 946 1426 1898
优等品频率 0.940 0.942 0.946 0.951 0.949
（1）画出这批乒乓球“优等品”频率的折线统计图；
（2）这批乒乓球“优等品”的概率的估计值是多少？
（3）从这批乒乓球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋中．
①求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
②现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于， 问至少取出了多少个黑球？
27．一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同．
（1）求摸出1个球是白球的概率；
（2）摸出1个球，记下颜色后放回，并搅均，再摸出1个球．求两次摸出的球恰好颜色不同的概率（要求画树状图或列表）；
（3）现再将n个白球放入布袋，搅均后，使摸出1个球是白球的概率为．求n的值．
28．有两个可以自由转动的均匀转盘，都被分成了3等份，并在每份内均标有数字，如图所示．规则如下：分别转动转盘，两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相乘，（若指针停止在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某份为止）．
(1)用列表或画树状图法分别求出数字之积为3的倍数和数字之积为5的倍数的概率；
(2)小明和小亮想用这两个转盘做游戏，他们规定：数字之积为3的倍数时，小明得2分；数字之积为5的倍数时，小亮得3分．这个游戏对双方公平吗？若认为公平，请说明理由；若认为不公平，试修改得分规定，使游戏对双方公平．
参考答案：
1．C
【分析】由某班级中男生和女生各若干，若随机抽取1人，抽到男生的概率是，根据概率的意义，即可得抽到女生的概率是：1-．
【详解】解：∵某班级中男生和女生各若干，若随机抽取1人，抽到男生的概率是，
∴抽到女生的概率是：1-=．
故选C．
【点睛】此题考查了概率的意义．此题比较简单，注意掌握概率的意义是解此题的关键．
2．D
【分析】列举出所有情况，看乙跑第二棒的情况数占总情况数的多少即可．
【详解】甲跑第一棒有6种情况，其中乙跑第二棒的情况数有2种，所以概率为=．
故选D．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法，正确画出图是解题的关键．
3．D
【分析】根据表格中实验的频率，然后根据频率即可估计概率．
【详解】解：由击中靶心频率分别为：0.65、0.7、0.58、0.52、0.51、0.5，可知频率都在0.5上下波动，
所以估计这个运动员射击一次，击中靶心的概率约是0.5，
故选D．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率的思想，解题的关键是求出每一次事件的频率，然后即可估计概率解决问题．
4．A
【分析】先根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边判断出有几个符合条件的三角形，然后再根据概率公式求解即可．
【详解】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，
从长度分别为3、5、7、9的4条线段中任取3条作边，
能组成三角形的是：3，5，7；5，7，9；3，7，9；共三组，
∴能组成三角形的概率为3÷4=，
故选A．
5．C
【分析】根据数的整除性得出连续自然数每10个有三个能整除3，即可得出卡片号能被3整除的概率．
【详解】解：∵10张已编号的球（编号为连续的自然数）有三个能整除3，为3,6,9，
∴号码能被3整除的概率为．
故选C.
【点睛】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
6．A
【分析】从四张卡片中，找到轴对称图形的个数，然后根据概率公式即可求解．
【详解】解：∵四张卡片中，轴对称图形有等腰梯形、圆，
∴P（抽出的卡片是轴对称图形）＝
故选：A．
【点睛】本题考查概率的求法与轴对称的概念，熟练掌握概率公式：随机事件A的概率P（A）＝和轴对称图形的概念是解题的关键．
7．C
【分析】左上角是字母的只有A，J，Q，K，四个，总的样本数目为13，由此可以容易知道事件抽出的牌左上角的标记是字母的概率为．
【详解】解：此事件为古典概型，13张黑桃分别为：A，2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K；
其中字母只有A，J，Q，K，共四个，所以概率为；
故选C．
【点睛】用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8．C
【分析】根据被染红的球的可能性求出抽取的红球的可能数量，再对各选项判断即可得解．
【详解】解：由题意得，抽到的红球的数量可能为20×=4个，
所以，抽到的红球可能是4个，也可能多于4个或少于4个，
说法“红球一定刚好4个”，“红球不可能少于4个”，“抽到的白球一定比红球多”都过于武断，不正确．
故选C．
【点睛】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
9．C
【详解】本题考查的是已知概率求数量．
设总数为x，
则 ，
解得x=6
故C正确．
10．D
【分析】解答此题的关键是第一个数字写出后，后面可写的数字是偶数个，并且可以分成不是约数关系的几组．
【详解】选项A：当甲写10时,乙可以写3、4、6、7、8、9,如果乙写7,则乙必胜,因为无论甲写3,4,6,8,9这五个数中的6(连带3)或8(连带4),乙可以写4或3，剩下2个数字;当甲写3或4时,乙可以写8(连带4)或6(连带3)，剩下偶数个数字甲最后不能写，乙必胜，不符合题意；
选项B：当甲写9后,乙可以写2、4、5、6、7、8、10,如果乙写6,则乙必胜,因为剩下4、5、7、8、10这5个数中,无论甲写8(连带4)或10(连带5),乙可以写5或4;当甲写4或5时,乙可以写10(连带5)或8(连带4),甲最后不能写,乙必胜，不符合题意;
选项C：当甲写8时,乙可以写3、5、6、7、9、10,当乙写6(或10)时,甲就必须写10(或6),因为乙写6(或10)后,连带3(或5)也不能写了,这样才能保证剩下能写的数有偶数个,甲才可以获胜，不符合题意;
选项D：甲先写6，由于6的约数有1，2，3，6，接下来乙可以写的数只有4、5、7、8、9、10，把这6个数分成三组：(4,7)、(5,8)、(9,10)，当然也可(4,5)、(8,10)、(7,9)或(4,9)、(5,7)、(8,10)等等，只要组内两数大数不是小数的倍数即可，这样，乙写某组数中的某个数时，甲就写同组中的另一数，从而甲一定写最后一个，甲必获胜，符合题意．
综上可知,只有甲先写6,才能必胜．
故选：D．
【点睛】考查谁能赢的问题，重点是策略，解答此题的关键是第一个数字写出后，后面可写的数字是偶数个，并且分成不是约数关系的几组．
11．0.8
【分析】6批次种子粒数从100粒增加到5000粒时，种子发芽的频率趋近于0.801，所以估计种子发芽的概率为0.801，再精确到0.1，即可得出答案．
【详解】根据题干知：当种子粒数5000粒时，种子发芽的频率趋近于0.801，
故可以估计种子发芽的概率为0.801，精确到0.1，即为0.8，
故答案为：0.8．
【点睛】本题比较容易，考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．
12．
【分析】由某电视台综艺节目接到热线电话500个，现要从中抽取“幸运观众”10名，小明同学打通了一次热线电话，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：由题意得，.
故答案为.
【点睛】此题考查概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率为.
13．一
【分析】根据概率的求法，求出第一题使用“求助”小明顺利通关的概率及在第二题使用“求助”小明顺利通关的概率，再比较大小，即可判断出小明在第几题使用“求助”．
【详解】第一题使用“求助”小明顺利通关的概率是： ；
第二题使用“求助”小明顺利通关的概率是：；
∵ ，
∴建议小明在第一题使用“求助”．
故答案为一．
【点睛】本题主要考查了概率的意义和应用，解答本题的关键是分别求出第一题使用“求助”和第二题使用“求助”使小明顺利通关的概率．
14．
【详解】解：根据题意可得共有64块1立方厘米的小立方体，有红色的正方体的个数为56块，然后根据概率的计算法可知，至少有一面涂红漆的概率为.
15．．
【详解】解：∵一个不透明的袋子中装有3个黄球和4个蓝球，
∴从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是黄球的概率是：．
故答案为．
【点睛】本题考查概率公式．
16．．
【分析】先求出正方形的面积，阴影部分的面积，再根据几何概率的求法即可得出答案．
【详解】解：∵S正方形=（3×2）2=18，S阴影=4××3×1=6，∴这个点取在阴影部分的概率为：=，故答案为： ．
17．8
【分析】根据概率公式列出方程求解即可．
【详解】∵在一个不透明的布袋中装有2个白球和n个黄球，
∴共有(2+n)个球，其中黄球n个，
根据概率公式知：P(摸到黄球)=，
解得n=8.
故答案为8.
【点睛】此题考查概率公式，解题关键在于根据概率公式列出方程.
18．
【分析】在这12个数中，每个数被挑出的机会相同，而挑到5时有3种结果，根据概率公式即可求解．
【详解】解：这串数字共有12个，“5”共有3个，
根据概率放入计算公式，任挑一个数是5的可能性为，即；
故答案为．
【点睛】用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
19．
【详解】试题分析：从1，2，3，4中任取一个数作为十位上的数，再从2，3，4中任取一个数作为个位上的数，共4×3=12种取法，其中4个两位数是3的倍数： 12、24、33、42，故其概率为 ．
20．0.54
【详解】下棋的结果有三种：赢，和，输；所以两人下一盘棋小红不输的概率=1-小强获胜的概率=1-0.46=0.54.
故答案为0.54.
点睛：本题主要考查了概率的定义，因为下棋的结果有三种：赢，和，输，所以每一个人下棋赢的概率+和的概率+输的概率=1，理解到小红不输的概率即是小红赢的概率+小红和的概率，而小红输的概率=小强获胜的概率.
21．
【分析】列举出所有情况，看两次所抽血的血型均为O型的情况占总情况的多少即可．
【详解】画树状图如下：
共有9种情况，两次都为O型的有4种情况，所以概率是．
22．（1）平均数为：2；中位数为：2；（2）450人．
【详解】解：（1）由条形统计图可得，女生进球数的平均数为：（1×1+2×4+1×3+4×2）÷8=2.5（个）；
∵第4，5个数据都是2，则其平均数为：2；
∴女生进球数的中位数为：2．
（2）样本中优秀率为：，
故全校有女生1200人，“优秀”等级的女生为：1200×=450（人），
答：“优秀”等级的女生约为450人．
23．这个游戏对双方不公平，理由见解析.
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸到卡片字母相同的情况，再利用概率公式即可求得答案.
【详解】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次摸到卡片字母相同的有5种等可能的结果，
∴两次摸到卡片字母相同的概率为： ；
∴小明胜的概率为 ，小亮胜的概率为 ，
∵ ≠ ，
∴这个游戏对双方不公平.
故答案为这个游戏对双方不公平，理由见解析.
【点睛】本题考查了树状图法求概率，判断游戏的公平性.
24．甲班成功的机会大，理由见解析.
【分析】首先分别求出在两个班的160厘米以上的女生中抽出一个作为旗手的概率，然后进行比较，哪个大在哪个班成功的机会大．
【详解】∵已经限定在身高160厘米以上的女生中抽选旗手，甲班身高在160厘米以上的女同学3人，乙班身高在160厘米以上的女同学8人，
∴在甲班被抽到的概率为，在乙甲班被抽到的概率为，
∵＞，
∴在甲班被抽到的机会大．
25．整数解为，，，，，；所求概率
【分析】首先求得不等式组的整数解；关于的方程的解为非负数时，确定的范围，从而得出的值，再根据概率公式求解可得答案．
【详解】解：∵不等式组的解集为，
∴其整数解为，，，，，，
∵关于的方程的解为非负数，
∴，
∴，
∴，，
∴所求概率．
【点睛】本题考查解一元一次不等式（组） 及解—元一次方程，概率的求法．掌握概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率是解题的关键．
26．（1）如图见解析；（2）0.946；（3）①；②至少取出了9个黑球．
【分析】（1）根据统计表中的数据，先描出各点，然后折线连结即可；
（2）根据频率估计概率，频率都在0.946左右波动，所以可以估计这批乒乓球“优等品”概率的估计值是0.946；
（3）①用黄球的个数除以球的总个数即可；
②设从袋中取出了x个黑球，根据搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于， 列出不等式，解不等式即可．
【详解】（1）如图；
（2）这批乒乓球“优等品”概率的估计值是0.946；
（3）①∵袋中一共有球5+13+22=40个，其中有5个黄球，
∴从袋中摸出一个球是黄球的概率为：；
②设从袋中取出了x个黑球，由题意得
≥，解得x≥8，
故至少取出了9个黑球．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，绘制频数（率）分布折线图，难度较易，熟练掌握其知识点是解此题的关键.
27．（1）概率为；（2）概率为；（3）n=4
【分析】（1）直接利用列举法就可以得到答案；
（2）利用画树状图的方法可以得到两次摸出的球恰好颜色不同的概率；
（3）利用概率计算公式列出等式，求解即可．
【详解】（1）∵一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，
∴摸出1个球是白球的概率为；
（2）画树状图得：
∴一共有9种可能的结果，两次摸出的球恰好颜色不同的有4种，
∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率为；
（3）由题意得：，
解得：n=4．
经检验，n=4是所列方程的解，且符合题意，
∴n=4．
28．【小题1】P（3的倍数）＝ P（5的倍数）＝ 【小题2】不公平
得分应修改为：当数字积为3的倍数时得3分；当数字积为5的倍数时得5．
【详解】试题分析：游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．
转盘B的数字
转盘A的数字 4 5 6
1 （1，4） （1，5） （1，6）
2 （2，4） （2，5） （2，6）
3 （3，4） （3，5） （3，6）
解：（1）每次游戏可能出现的所有结果列表如下：
表格中共有9种等可能的结果，
则数字之积为3的倍数的有五种，
其概率为；数字之积为5的倍数的有三种，
其概率为=．
（2）这个游戏对双方不公平．
∵小亮平均每次得分为（分），
小芸平均每次得分为（分），
∵，∴游戏对双方不公平．修改得分规定为：
若数字之积为3的倍数时，小亮得3分；
若数字之积为5的倍数时，小芸得5分即可．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．浙教数学 九年级上册
第2章 简单事件的概率
知识梳理
知识点一、事件的可能性
必然事件： 把在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件
不可能事件： 把在一定条件下一定不会发生的事件叫做不可能事件;
随机事件： 把在一定条件下可能发生,也可能不发生的事件叫做不确定事件或随机事件。
知识点二、简单事件的概率
把事件发生可能性的大小称为事件发生的概率,一般用P表示。事件A发生的概率记为P（A）
必然事件发生的概率为100%,即P(必然事件)=1:
不可能事件发生的概率为0,即P(不可能事件)=0:
随机事件的概率介于0与1之间,即0
（1）、古典概型
满足下列两个特点的概率问题称为古典概型.
（1）一次试验中，可能出现的结果是有限的；
（2）一次试验中，各种结果发生的可能性相等的.
古典概型可以从事件所包含的各种可能的结果在全部可能的试验结果中所占的比例分析事件的概率.
特别说明：如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=.
（2）、用列举法求概率
常用的列举法有两种：列表法和树形图法.
方法一：列表法：
当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.
列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
特别说明：（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.
方法二：树形图：当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图.
树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
特别说明：(1) 树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
（2）在用列表法或树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.
（3）、利用频率估计概率
当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.
特别说明：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确.
基础训练
一、单选题
1．某班级中男生和女生各若干，若随机抽取1人，抽到男生的概率是，则抽到女生的概率是（ ）
A．不确定 B． C． D．
2．某校甲、乙、丙、丁四名同学在运动会上参加4×100米接力比赛，其中甲跑第一棒，那么乙跑第二棒的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．某足球运动员在同一条件下进行射门，结果如下表所示：
射门次数n 20 50 100 200 500 800
踢进球门频数m 13 35 58 104 255 400
踢进球门频率m/n 0.65 0.7 0.58 0.52 0.51 0.5
则该运动员射门一次，射进门的概率为( )A．0.7 B．0.65 C．0.58 D．0.5
4．从长度分别为3、5、7、9的4条线段中任取3条作边，能组成三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．从编号为1～10的10个完全相同的球中，任取一球，其号码能被3整除的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如下图所示的四个图形，在看不到图形的情况下从中任意抽出一张，则抽出的卡片是轴对称图形的概率为【 】
A． B． C． D．1
7．把一副普通的扑克牌中的13张黑桃洗匀后正面向下放在桌子上，从中任意抽取一张，抽出的牌左上角的标记是字母的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．100个白色乒乓球中有20个被染红，随机抽取20个球，下列结论正确的是（ ）
A．红球一定刚好4个 B．红球不可能少于4个 C．红球可能多于4个 D．抽到的白球一定比红球多
9．一个不透明的盒子里装有2个白球，2个红球，若干个黄球，这些球除了颜色外，没有任何其他区别．若从这个盒子中随机摸出一个是黄球的概率是 ， 则盒子中黄球的个数是（ )
A．2 B．4 C．6 D．8
10．甲乙两人轮流在黑板上写下不超过 的正整数（每次只能写一个数），规定禁止在黑板上写已经写过的数的约数，最后不能写的为失败者，如果甲写第一个，那么，甲写数字（ ）时有必胜的策略．
A．10 B．9 C．8 D．6
二、填空题
11．从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：
种子粒数 100 400 800 1000 2000 5000
发芽种子粒数 85 298 652 793 1604 4005
发芽频率 0.850 0.745 0.815 0.793 0.802 0.801
根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为___（精确到0.1）．
12．某电视台综艺节目接到热线电话500个，现从中抽取“幸运观众”10名，小明打通了一次热线电话，他成为“幸运观众”的概率是___．
13．小明参加“一站到底”节目，答对最后两道单选题就通关：第一道单选题有个选项，第二道单选题有个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．从概率的角度分析，你建议小明在第________题使用“求助”．
14．把一个体积是64立方厘米的立方体木块的表面涂上红漆，然后锯成体积为1立方厘米的小立方体，从中任取一块，则取出的这一块至少有一面涂红漆的概率是 ________．
15．一个不透明的袋子中装有3个黄球和4个蓝球，这些球除颜色外完全相同，从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是黄球的概率是____．
16．如图，正方形内的阴影部分是由四个直角边长都是1和3的直角三角形组成的，假设可以在正方形内部随意取点，那么这个点取在阴影部分的概率为_________．
17．在一个不透明的布袋中装有2个白球和n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是，则______．
18．我们知道π约为3.14159265359，在这串数字中，任挑一个数是5的可能性为 ________．
19．从1、2、3、4中任取一个数作为十位上的数字，再从2、3、4中任取一个数作为个位上的数字，那么组成的两位数是3的倍数的概率是_______.
20．小强与小红两人下军棋，小强获胜的概率为46%，小红获胜的概率是30%，那么两人下一盘棋小红不输的概率是________．
三、解答题
21．现有小莉，小罗，小强三个自愿献血者，两人血型为O型，一人血型为A型．若在三人中随意挑选一人献血，两年以后又从此三人中随意挑选一人献血，试求两次所抽血的血型均为O型的概率．（要求：用列表或画树状图的方法解答）
22．体育课上，老师为了解女学生定点投篮的情况，随机抽取8名女生进行每人4次定点投篮的测试，进球数的统计如图所示．
（1）求女生进球数的平均数、中位数；
（2）投球4次，进球3个以上（含3个）为优秀，全校有女生1200人，估计为“优秀”等级的女生约为多少人？
23．小明和小亮利用三张卡片做游戏，卡片上分别写有A，B，B．这些卡片除字母外完全相同，从中随机摸出一张，记下字母后放回，充分洗匀后，再从中摸出一张，如果两次摸到卡片字母相同则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？请说明现由．
24．甲班56人，其中身高在160厘米以上的男同学10人，身高在160厘米以上的女同学3人，乙班80人，其中身高在160厘米以上的男同学20人，身高在160厘米以上的女同学8人．如果想在两个班的160厘米以上的女生中抽出一个作为旗手，在哪个班成功的机会大？为什么？
25．解不等式组写出符合不等式组的整数解，并求出这些整数解中能使关于的方程：的解为非负数的概率．
26．某批乒乓球的质量检验结果如下：
抽取的乒乓球数n 200 500 1000 1500 2000
优等品频数m 188 471 946 1426 1898
优等品频率 0.940 0.942 0.946 0.951 0.949
（1）画出这批乒乓球“优等品”频率的折线统计图；
（2）这批乒乓球“优等品”的概率的估计值是多少？
（3）从这批乒乓球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋中．
①求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
②现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于， 问至少取出了多少个黑球？
27．一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同．
（1）求摸出1个球是白球的概率；
（2）摸出1个球，记下颜色后放回，并搅均，再摸出1个球．求两次摸出的球恰好颜色不同的概率（要求画树状图或列表）；
（3）现再将n个白球放入布袋，搅均后，使摸出1个球是白球的概率为．求n的值．
28．有两个可以自由转动的均匀转盘，都被分成了3等份，并在每份内均标有数字，如图所示．规则如下：分别转动转盘，两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相乘，（若指针停止在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某份为止）．
(1)用列表或画树状图法分别求出数字之积为3的倍数和数字之积为5的倍数的概率；
(2)小明和小亮想用这两个转盘做游戏，他们规定：数字之积为3的倍数时，小明得2分；数字之积为5的倍数时，小亮得3分．这个游戏对双方公平吗？若认为公平，请说明理由；若认为不公平，试修改得分规定，使游戏对双方公平．
