2023-2024学年美林中学九（上）数学第一阶段作业检测
班级：______ 姓名：______ 座号：______
一、选择题（共10题，每小题4分，共40分）
1.下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A. B.
C. D.
2.将一元二次方程化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数和常数项分别是（ ）
A.，3 B.1，1 C.1， D.1，3
3.抛物线的顶点坐标为（ ）
A. B. C. D.
4.关于x的一元二次方程，若，则该方程必有一个根是（ ）
A. B. C. D.
5.关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C.且 D.且
6.在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式为（ ）
A. B.
C. D.
7.九（1）班毕业时，每一个同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张作为留念，全班共送了1560张照片，如果全班有x名学生，根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
8.定义运算：.例如：.则方程的根为（ ）
A.， B.，
C.， D.，
9.如果a是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根，那么a的值是（ ）
A.1或2 B.0或 C.或 D.0或3
10.如图，正方形的顶点B在抛物线的第一象限的图象上，若点B的纵坐标是横坐标的2倍，则对角线的长为（ ）
A.2 B. C. D.
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11.抛物线的对称轴是______，顶点坐标是______.
12.若关于x的一元二次方程配方后得到方程，则c的值为______.
13.若菱形两条对角线的长度是方程的两根，则该菱形的面积为______.
14.非零实数，满足，，则______.
15.某农户1月份购买了100只兔子进行养殖，经过两个月后，农户养殖的兔子数量增长至169只，若兔子的月平均增长率都相同，则开始养殖一个月后，农户养殖的兔子数量为______只.
16.二次函数的图象如图所示，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在函数图象上，四边形为菱形，且，则点的坐标为______.
三、解答题（本大题共8小题，满分共86分）
17.（每小题5分，共15分）用适当的方法解下列方程：
（1）；（2）；（3）.
18.（8分）如图，已知四边形是平行四边形，对角线，相交于点，点，在上，
.求证：.
第18题图
19.（9分）先化简，再求值：，其中x是方程的根.
20.（10分）已知是二次函数，且当时，随的增大而增大.
（1）求的值，并画出它的图象；
（2）如果点是此二次函数的图象上一点，若，求的取值范围.
21.（10分）【阅读材料】
若，求，的值.
解：，，
∴，，
∴，.
【解决问题】
（1）已知，求的值；
【拓展应用】
（2）已知a，b，c是的三边长，且b，c满足，a是中最长的边，求a的取值范围.
22.（10分）已知关于x的一元二次方程有，两实数根.
（1）求m的取值范围；
（2）是否存在实数m，满足 若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由.
23.（10分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（CD边所在的墙长10米，边所在的墙足够长），用28米长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设米，
（1）若围成花园的面积为160平方米，求x的值；
（2）能否围成花园的面积为300平方米 说明理由.
24.（14分）平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C.
图1 图2
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形 若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图，点M是直线上的一个动点，连接，，是否存在点M使最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由.
