2024届高三一轮复习小练(十四) 三类典型的圆周运动问题
A级——全员必做
1.如图所示，某餐桌上有一半径为0.8 m的圆形水平转盘在转盘的边缘有一个茶杯随转盘一起转动。已知茶杯和转盘间的动摩擦因数为0.32，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小g＝10 m/s2。为了使处于转盘边缘的茶杯不滑出转盘，转盘转动的角速度不能超过( )
A．3.2 rad/s B．2 rad/s
C．1.6 rad/s D．0.8 rad/s
解析：选B 由题意当转盘转起来时，由静摩擦力提供向心力，当静摩擦力达到最大值时，角速度最大，结合牛顿第二定律及向心力公式μmg＝mrω2，可求得ω＝＝2 rad/s，故选B。
2．摩擦传动是传动装置中的一个重要模型，如图所示的两个水平放置的轮盘靠摩擦力传动，其中O、O′分别为两轮盘的轴心。已知两个轮盘的半径比r甲∶r乙＝3∶1，且在正常工作时两轮盘不打滑，今在两轮盘上分别放置两个同种材料制成的滑块A、B，两滑块与轮盘间的动摩擦因数相同，两滑块距离轴心O、O′的间距RA＝2RB，若轮盘乙由静止开始缓慢地转动起来，且转速逐渐增加，则下列叙述不正确的是( )
A．滑块A和B在与轮盘相对静止时，角速度之比为ω甲∶ω乙＝1∶3
B．滑块A和B在与轮盘相对静止时，向心加速度之比为aA∶aB＝2∶9
C．转速增加后，滑块B先发生滑动
D．转速增加后，两滑块一起发生滑动
解析：选D 两轮边缘的线速度相等r甲∶r乙＝3∶1，则根据v＝ωr可知，滑块A和B在与轮盘相对静止时，角速度之比为ω甲∶ω乙＝1∶3；因为RA＝2RB，根据a＝ω2r，滑块A和B在与轮盘相对静止时，向心加速度之比为aA∶aB＝2∶9；转速增加后，假设滑块B先发生滑动，则对B，μmBg＝mBaB，此时对A ，mAaA＝mAaB＝μmAg<μmAg，即此时滑块A还没有产生滑动，选D。
3．(2020·全国卷Ⅰ)如图，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均为10 m，该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg。绳的质量忽略不计。当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8 m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为( )
A．200 N B．400 N
C．600 N D．800 N
解析：选B 该同学身高相对于秋千的绳长可忽略不计，可以把该同学与踏板看成质点。当该同学荡到秋千支架的正下方时，由牛顿第二定律有2F－mg＝m，代入数据解得F≈400 N，B正确。
4．(多选)如图所示，竖直平面内有一半径为R的圆形管道，管道内有一质量为m的小钢球，小钢球的直径稍小于圆管的内径，小钢球的直径远小于R。在最低点给小钢球一大小为v0、方向水平向右的初速度，小钢球到达最高点的速度大小为(g为重力加速度大小)。圆管内壁光滑，水平线ab过管道圆心。下列说法正确的是( )
A．小钢球到达最高点时，受到管壁的作用力大小为mg
B．稍微减小v0，小钢球无法通过最高点
C．稍微增大v0，小钢球通过最高点时，对圆管外侧管壁有压力
D．小钢球在水平线ab以下的管道中运动时，外侧管壁对小钢球一定有作用力
解析：选CD 小钢球到达最高点时，根据牛顿第二定律有N＋mg＝m，v＝，联立求得N＝0，即小球在最高点不受管壁的作用，故A错误；稍微减小v，则小钢球到达最高点的速度小于，小球重力大于所需向心力，将与管壁内侧接触，内壁对小球的支持力与小球重力的合力提供向心力，小球可以通过最高点，故B错误；稍微增大v，小钢球通过最高点时速度大于，小钢球重力不足以提供所需向心力，从而对圆管外侧管壁有压力的作用，故C正确；小钢球在水平线ab以下的管道中运动时，重力沿垂直管壁向下的分力与管壁对小钢球的弹力的合力要指向圆心，提供向心力，所以外侧管壁对小钢球一定有作用力，故D正确。
5．(多选)如图为自行车气嘴灯及其结构图，弹簧一端固定在A端，另一端拴接重物，当车轮高速旋转时，重物由于离心运动拉伸弹簧后才使触点M、N接触，从而接通电路，LED灯就会发光。下列说法正确的是( )
A．安装时A端比B端更靠近气嘴
B．转速达到一定值后LED灯才会发光
C．增大重物质量可使LED灯在较低转速下也能发光
D．匀速行驶时，若LED灯转到最低点时能发光，则在最高点时也一定能发光
解析：选BC 要使重物做离心运动时M、N接触，则A端应靠近圆心，A错误；转速越大，所需向心力越大，弹簧拉伸的越长，M、N接触时灯就会发光，B正确；灯在最低点时F弹－mg＝mrω2，解得ω＝，因此增大重物质量可使LED灯在较低转速下也能发光，C正确；灯在最低点时F1－mg＝，灯在最高点时F2＋mg＝，匀速行驶时，在最低点时弹簧的伸长量可能大于在最高点时的伸长量，易知D错误。
6.如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2。则ω的最大值是( )
A. rad/s B. rad/s
C．1.0 rad/s D．0.5 rad/s
解析：选C 由题意易知临界条件为物体在圆盘最低点受到的静摩擦力最大，根据牛顿第二定律有，μmgcos 30°－mgsin 30°＝mrω2，解得ω＝1.0 rad/s，C项正确，A、B、D项错误。
7．如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一个小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F v2图像如图乙所示，则下列说法错误的是( )
A．小球的质量为
B．当地的重力加速度大小为
C．v2＝c时，小球对杆的弹力方向向上
D．v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等
解析：选B 当弹力F方向向下时，F＋mg＝，解得：F＝v2－mg，当弹力F方向向上时，mg－F＝m，解得：F＝mg－m，对比F v2图像可知，b＝gR、a＝mg，联立解得g＝、m＝，选项A正确，B错误；v2＝c时，小球对杆的弹力方向向上，选项C正确；v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等，选项D正确。
8.(多选)如图所示，A是半径为r的圆形光滑轨道，固定在木板B上，竖直放置；B 的左右两侧各有一光滑挡板固定在地面上，使其不能左右运动，小球 C 静止放在轨道最低点，A、B、C 质量相等。现给小球一水平向右的初速度 v0，使小球在圆形轨道的内侧做圆周运动，为保证小球能通过轨道的最高点，且不会使 B 离开地面，初速度 v0必须满足(重力加速度为 g) ( )
A．最小值为 B．最大值为
C．最小值为 D．最大值为
解析：选CD 设A、B、C的质量m，在最高点，速度最小时有mg＝m，解得v1＝，根据机械能守恒定律，有2mgr＋mv12＝mv1′2，解得初速度v1′＝，A错误，C正确；在最高点，速度最大时有mg＋2mg＝m，解得v2＝，同理可得初速度v2′＝，B错误，D正确。
9．如图所示，水平转盘上有一质量为m的小物块，用长为L的细绳与通过转盘中心的竖直转轴相连，细绳与转轴间的夹角为θ；系统静止时，细绳绷直但绳中张力为零。物块与转盘间的动摩擦因数为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，转盘可以不同的角速度匀速转动。求：
(1)要使细绳上张力为零，转盘的角速度大小ω应该满足的条件；
(2)转盘的角速度ω=时细绳上张力的大小F。
解析：(1)要使细绳上张力为零，则由静摩擦力提供物块的向心力，
由牛顿第二定律得μmg≥mω2Lsin θ
解得ω≤ 。
(2)由牛顿第二定律得Fsin θ＋μFN＝mω2Lsin θ
Fcos θ＋FN－mg＝0，联立解得F＝。
答案：(1)ω≤ (2)
B级——重点选做
10．(多选)如图所示，在水平转台上放一个质量M＝2.0 kg的木块，它与台面间的最大静摩擦力Ffm＝6.0 N，绳的一端系住木块，另一端穿过转台的中心孔O(为光滑的)悬吊一质量m＝1.0 kg的小球，当转台以ω＝5.0 rad/s的角速度转动时，欲使木块相对转台静止，则它到O孔的距离可能是( )
A．6 cm B．15 cm C．30 cm D．34 cm
解析：选BC 转台以一定的角速度ω旋转，木块M所需的向心力与回旋半径r成正比，在离O点最近处r＝r1时，M有向O点的运动趋势，这时摩擦力Ff沿半径向外，刚好达最大静摩擦力Ffm，即mg－Ffm＝Mω2r1得r1 ＝ ＝8 cm，同理，M在离O点最远处r＝r2时，有远离O点的运动趋势，这时摩擦力Ff的方向指向O点，且达到最大静摩擦力Ffm，即mg ＋ Ffm ＝ Mω2r2得r2 ＝ ＝32 cm，则木块M能够相对转台静止，回旋半径r应满足关系式r1≤r≤ r2。故选B、C。
11．过山车是游乐场里一项刺激有趣的项目，小张同学玩过之后，制作了一个迷你型的过山车模型(如图甲)，其中一段结构简化为如图乙所示，该段由倾角α＝37°的倾斜轨道AB、水平轨道BC、竖直圆轨道和弧形轨道平滑连接而成。假设迷你型过山车的质量m＝1 kg且可以看作质点，现从斜轨道上A处静止滑下，已知竖直圆轨道半径R＝0.1 m，LAB＝1.5 m，LBC＝1 m，过山车与轨道AB和BC之间的动摩擦因数均为0.25，弧形轨道与圆轨道均视为光滑，忽略题意之外其他阻力。(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)
(1)求过山车到C点时对圆轨道的压力大小；
(2)通过计算判断过山车能否冲上弧形轨道；
(3)若过山车从斜面上距离B点s处静止释放，求s满足什么条件，过山车会脱轨。
解析：(1)A→C过程，根据动能定理得
mgLABsin 37°－μmgcos 37°·LAB－μmgLBC＝mvC2－0，
解得vC＝ m/s，
在C点，根据牛顿第二定律得FN－mg＝m，
解得FN＝80 N，
根据牛顿第三定律得：过山车到C点时对圆轨道的压力FN′＝FN＝80 N，方向竖直向下。
(2)设过山车到最高点时的临界速度为v1，有mg＝m，
解得v1＝＝1 m/s，
由C点到最高点，由动能定理有－mg·2R＝mv2－mvC2，
解得v＝ m/s>v1，可以冲上弧形轨道。
(3)过山车恰好不能通过最高点时，有v＜，此时的动能小于mgR，由动能定理可知，到达圆轨道圆心高度处的动能0＜Ek＜mgR时，过山车脱轨，
根据动能定理有mg(ssin 37°－R)－μmgscos 37°－μmgLBC＞0
mg(ssin 37°－R)－μmgscos 37°－μmgLBC＜mgR，
解得 m＜s＜ m，因此，若距离B处释放点满足 m＜s＜ m，则过山车会脱轨。
答案：(1)80 N (2)可以 (3) m
A级——全员必做
1.如图所示，某餐桌上有一半径为0.8 m的圆形水平转盘在转盘的边缘有一个茶杯随转盘一起转动。已知茶杯和转盘间的动摩擦因数为0.32，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小g＝10 m/s2。为了使处于转盘边缘的茶杯不滑出转盘，转盘转动的角速度不能超过( )
A．3.2 rad/s B．2 rad/s
C．1.6 rad/s D．0.8 rad/s
2．摩擦传动是传动装置中的一个重要模型，如图所示的两个水平放置的轮盘靠摩擦力传动，其中O、O′分别为两轮盘的轴心。已知两个轮盘的半径比r甲∶r乙＝3∶1，且在正常工作时两轮盘不打滑，今在两轮盘上分别放置两个同种材料制成的滑块A、B，两滑块与轮盘间的动摩擦因数相同，两滑块距离轴心O、O′的间距RA＝2RB，若轮盘乙由静止开始缓慢地转动起来，且转速逐渐增加，则下列叙述不正确的是( )
A．滑块A和B在与轮盘相对静止时，角速度之比为ω甲∶ω乙＝1∶3
B．滑块A和B在与轮盘相对静止时，向心加速度之比为aA∶aB＝2∶9
C．转速增加后，滑块B先发生滑动
D．转速增加后，两滑块一起发生滑动
3．(2020·全国卷Ⅰ)如图，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均为10 m，该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg。绳的质量忽略不计。当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8 m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为( )
A．200 N B．400 N
C．600 N D．800 N
4．(多选)如图所示，竖直平面内有一半径为R的圆形管道，管道内有一质量为m的小钢球，小钢球的直径稍小于圆管的内径，小钢球的直径远小于R。在最低点给小钢球一大小为v0、方向水平向右的初速度，小钢球到达最高点的速度大小为(g为重力加速度大小)。圆管内壁光滑，水平线ab过管道圆心。下列说法正确的是( )
A．小钢球到达最高点时，受到管壁的作用力大小为mg
B．稍微减小v0，小钢球无法通过最高点
C．稍微增大v0，小钢球通过最高点时，对圆管外侧管壁有压力
D．小钢球在水平线ab以下的管道中运动时，外侧管壁对小钢球一定有作用力
5．(多选)如图为自行车气嘴灯及其结构图，弹簧一端固定在A端，另一端拴接重物，当车轮高速旋转时，重物由于离心运动拉伸弹簧后才使触点M、N接触，从而接通电路，LED灯就会发光。下列说法正确的是( )
A．安装时A端比B端更靠近气嘴
B．转速达到一定值后LED灯才会发光
C．增大重物质量可使LED灯在较低转速下也能发光
D．匀速行驶时，若LED灯转到最低点时能发光，则在最高点时也一定能发光
6.如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2。则ω的最大值是( )
A. rad/s B. rad/s
C．1.0 rad/s D．0.5 rad/s
7．如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一个小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F v2图像如图乙所示，则下列说法错误的是( )
A．小球的质量为
B．当地的重力加速度大小为
C．v2＝c时，小球对杆的弹力方向向上
D．v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等
8.(多选)如图所示，A是半径为r的圆形光滑轨道，固定在木板B上，竖直放置；B 的左右两侧各有一光滑挡板固定在地面上，使其不能左右运动，小球 C 静止放在轨道最低点，A、B、C 质量相等。现给小球一水平向右的初速度 v0，使小球在圆形轨道的内侧做圆周运动，为保证小球能通过轨道的最高点，且不会使 B 离开地面，初速度 v0必须满足(重力加速度为 g) ( )
A．最小值为 B．最大值为
C．最小值为 D．最大值为
9．如图所示，水平转盘上有一质量为m的小物块，用长为L的细绳与通过转盘中心的竖直转轴相连，细绳与转轴间的夹角为θ；系统静止时，细绳绷直但绳中张力为零。物块与转盘间的动摩擦因数为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，转盘可以不同的角速度匀速转动。求：
(1)要使细绳上张力为零，转盘的角速度大小ω应该满足的条件；
(2)转盘的角速度ω=时细绳上张力的大小F。
B级——重点选做
10．(多选)如图所示，在水平转台上放一个质量M＝2.0 kg的木块，它与台面间的最大静摩擦力Ffm＝6.0 N，绳的一端系住木块，另一端穿过转台的中心孔O(为光滑的)悬吊一质量m＝1.0 kg的小球，当转台以ω＝5.0 rad/s的角速度转动时，欲使木块相对转台静止，则它到O孔的距离可能是( )
A．6 cm B．15 cm C．30 cm D．34 cm
11．过山车是游乐场里一项刺激有趣的项目，小张同学玩过之后，制作了一个迷你型的过山车模型(如图甲)，其中一段结构简化为如图乙所示，该段由倾角α＝37°的倾斜轨道AB、水平轨道BC、竖直圆轨道和弧形轨道平滑连接而成。假设迷你型过山车的质量m＝1 kg且可以看作质点，现从斜轨道上A处静止滑下，已知竖直圆轨道半径R＝0.1 m，LAB＝1.5 m，LBC＝1 m，过山车与轨道AB和BC之间的动摩擦因数均为0.25，弧形轨道与圆轨道均视为光滑，忽略题意之外其他阻力。(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)
(1)求过山车到C点时对圆轨道的压力大小；
(2)通过计算判断过山车能否冲上弧形轨道；
(3)若过山车从斜面上距离B点s处静止释放，求s满足什么条件，过山车会脱轨。
