辽宁省部分重点中学协作体2023-2024学年高三上学期第三次月考数学模拟卷D
解析版
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合、集合，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】∵集合，∴，
又集合，∴，故选B。
2．已知复数满足：，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】，∴，故选D。
3．已知函数的图像如图所示，则的解析式可能是（ ）。
A、 B、
C、 D、
【答案】A
【解析】C、D选项中，不符合，、，故选A。
4．在中，内角、、所对的边分别为、、，已知的面积为，，，则
（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】在中，，由题意可知，，
又，∴且，∴，∵，∴，
∴，∴，∴，故选D。
5．已知函数为奇函数，且，若，则数列的前项和为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】∵函数为奇函数，∴，即，
∴，∴，
∴
，故选C。
6．在中，，，为所在平面内一动点，则的最小值为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】由题意可建立如图所示的平面直角坐标系，则、、，
设则，，，
∴
，
当且仅当时取得等号，∴所求最小值为，故选A。
7．恰有一个实数使得成立，则实数的取值范围为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】当时，不成立，∴不是方程的根，∴原方程转化为，
∴原问题转化为与仅有一个交点，
的定义域为，，令，解得，
当或时，，∴在和内单调递增，
当时，，∴在内单调递减，
∴在处取得极小值（但不是），，
当时，，当时，，
当时，，当时，，做函数的大致图像如图所示，
∴要使得与仅有一个交点，即实数的取值范围是，故选B。
8．已知正三棱台的上、下底面边长分别为和，侧棱长为，以下底面顶点为球心，为半径的球面与侧面的交线长为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】将正三棱台补形成正棱锥，如图所示，
由，得，而，则，
即为正三角形，∴三棱锥为正四面体，
设正的中心为，连接、，
则平面，，
∴，而球半径为，
∴这个球面截平面所得截面小圆是以为圆心，为半径的圆，
在正中，取、的中点、，取的三等分点、，连接、，
显然，即、，同理，
即有，
是正三角形，有，
同理，而，
∴六边形是正六边形，其半径为，
点、、、、、在此球面截平面所得截面小圆上，
连接、、、，则，
此球面与侧面的交线为图中的两段圆弧（实线），∴交线长度为，故选C。
二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，有选错的得分，部分选对的得分。
9．已知角的顶角与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，将角的终边顺时针旋转得到角，则下列结论正确的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】AD
【解析】∵角的终边过点，则为第三象限角，∴，，，
将角的终边顺时针旋转得到角，则，则，
∴A选项对，B选项错，
又，∴C选项错，
，
∴D选项对，
故选AD。
10．已知平面向量、是两个夹角为的单位向量，且与垂直，则下列说法正确的是（ ）。
A、若，则与方向相同的单位向量为
B、若，则在上的投影向量为
C、若，则与方向相同的单位向量为
D、若，则在上的夹角的余弦值为
【答案】AC
【解析】由题意可知，
解得或，
若，则，∴、，与方向相同的单位向量为，A选项对，
在上的投影向量为，B选项错，
若，则，∴，与方向相同的单位向量为，C选项对，
在上的夹角的余弦值为，D选项错，
故选AC。
11．地球环境科学亚欧合作组织在某地举办地球环境科学峰会，为表彰为保护地球环境做出卓越贡献的地球科研卫士，会议组织方特别制作了富有地球寓意的精美奖杯，奖杯主体由一个铜球和一个三足托盘组成，如图①，已知球的表面积为，底座由边长为的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠成直二面角所得，如图②，则下列结论正确的是（ ）。
A、直线与平面所成的角为
B、底座多面体的体积为
C、平面平面
D、球离球托底面的最小距离为
【答案】ABD
【解析】根据图形可知，、、三点在底面上的投影分别是三边中点、、，如图所示，
A选项，平面，∴就是直线与平面所成的角，
∵是等边三角形，∴，对，
B选项，将几何体补全为直三棱柱，如下图示，
∴多面体的体积为直三棱柱体积减去三个相同的三棱锥，
∴由图可知，对，
C选项，∵，∴四边形为平行四边形，∴，
∵、分别为、的中点，则，∴，
∵平面，平面，∴平面，
∵，平面，平面，∴平面，
∵，∴平面平面，
∵过直线有且只有一个平面与平面平行，显然平面与平面不重合，
∴平面与平面不平行，错，
D选项，由上面讨论知，
设是球心，球半径为，由得，
则是正四面体，棱长为，设是的中心，
则平面，又平面，∴，，
则，又，∴球离球托底面的最小距离为，对，
故选ABD。
12．定义在上的函数和，其导函数分别为和，若、、
，，则下列结论正确的是（ ）。
A、函数是奇函数 B、函数的图像关于点中心对称
C、函数的周期为 D、
【答案】ABD
【解析】∵，∴是偶函数，∴，则是奇函数，A选项对，
∵，是偶函数，是偶函数，
∴是偶函数，∴关于对称，
∵，是奇函数，是奇函数，
∴是奇函数，的图像关于点中心对称，
，，
则，其中为常数，又，∴，
∴函数的图像关于点中心对称，B选项对，
令等价于，，∴，
∵的图像关于点中心对称，∴，
∴令等价于，∴，∴，
可看成数列，
而∵的图像关于点中心对称，∴、，
∴、、、……是以为首项，为公差的等差数列，
、、、……是以为首项，为公差的等差数列，
∴没有周期性，C选项错，
，
，
∴，D选项对，
故选ABD。
三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。
13．已知非零向量、，若，则 。
【答案】
【解析】∵，∴，
由题意可知、，∴。
14．函数的图像与函数的图像在上有交点的横坐标之和为 。
【答案】
【解析】∵，，解得：，，∴是的一条对称轴，
又∵，∴关于对称，
又∵，，
则与图像如图所示，则与在有个交点，
设这5个交点从左到右的横坐标分别为、、、、，
则、、，∴。
15．已知在中，内角、、所对的边分别为、、，若，为边上一点，，且
，则的面积为 。
【答案】
【解析】在中，，
由题意及正弦定理得，
∴，
整理得，又，∴，
∴，∴，又，∴，
由题意、可得，
在中，由余弦定理得，
即，整理得，解得，
则的面积，
又∵，∴。
16．对正整数，函数是小于或等于的正整数中与互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，故被称为欧拉函数。根据欧拉函数的概念，可得 ，数列的前项和 。（本小题第一个空2分，第二个空3分）
【答案】
【解析】∵，∴不大于的数中，能被（或）整除的数与都不互质，
∴，
∵除了的倍数外，其他数都与互质，∴，
则，
∴，
∴。
四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分分）在中，角、、的对边分别为、、，且
。
（1）求；
（2）若的周长为，面积为，求。
【解析】（1）在中，，
∵，∴，
∴，∴， 3分
∴， 4分
又，∴，∴，∴； 5分
（2）由余弦定理得，∴， 6分
又∵，∴，即，
整理得， 8分
又∵，∴，∴，∴。 10分
18．（本小题满分分）如图所示的空间几何体为一个正四棱柱被两个平面与所截后剩余部分，且满足：
，，。
（1）当多长时，，证明你的结论；
（2）当时，求平面与平面所成角的余弦值。
【解析】（1）当时，，证明如下： 1分
将正四棱柱补全为，则、均为正方形，
又，∴底面边长为，又且，
∴、分别为、中点，取为中点，连接、，
则且，即为平行四边形， 3分
∵，又、，∴，∴∽，
∴、且，
∴，∴，又，∴； 5分
（2）由可知，（1）中补全正四棱柱为正方体，构建空间直角坐标，如图所示，
则、、、、、，
∴、、、， 7分
设平面的法向量为，则，即，
令，则、，则， 9分
设平面的法向量为，则，即，
令，则、，则， 11分
设平面与平面所成角的平面角为，∴。 12分
19．（本小题满分分）已知各项都为正数的等比数列的前项和为，且、，数列满足：
，。
（1）求、的通项公式；
（2）求数列的前项和。
【解析】（1）设等比数列的公比为（），
∵，∴，∴，∴，∴，∴，2分
∴，∴，∴， 3分
∵、，∴且，∴，，∴， 4分
∴数列的奇数项是首项为、公比为的等比数列，
设，，则，∴，∴， 5分
数列的偶数项是首项为、公比为的等比数列，
设，，则，∴，∴， 6分
∴； 7分
（2）当为偶数时，
， 9分
当为奇数时，
，11分
∴。 12分
20．（本小题满分分）已知函数。
（1）若，，求函数的图像的对称轴；
（2）已知，函数的图像向右平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，当时，方程恰有三个不相等的实数根、、（），求实数的取值范围以及的值。
【解析】（1）函数的最小正周期，
∵，，∴函数的最小正周期，
∴，解得， 2分
当时，，令（），解得（），
∴函数的图像的对称轴为（）， 3分
当时，，令（），解得（），
∴函数的图像的对称轴为（）； 4分
（2）由题意可知， 5分
∵是的一个零点，∴，∴，
∴（）或（），
∴（）或（），
又，∴，∴， 7分
当时，，设，则，
则原式可化为，
即的图像在区间内与水平直线的图像有个不同的交点，
作出在上的图像如下图所示，
∴当时，即
与恰有个不同的交点，
∴实数的取值范围为， 10分
设与的个不同的交点分别为、、（），
则、，∴，即，
整理得。 12分
21．（本小题满分分）在中，角、、所对的边分别为、、，已知。
（1）求的值；
（2）证明：。
【证明】（1）在中，，
∵，∴，∴、，∴和均为锐角，
又∵，∴或，即或， 2分
当时，，不合符题意，舍去， 3分
∴，即，则，
∴； 5分
（2）由（1）可知，∴，∴，
又，∴，∴，∴， 6分
∵，∴，
由正弦定理得，
∴， 8分
又由正弦定理得，
要证，即证，即证， 9分
由得：，∴，
设函数，定义域为，∴，
∵，∴，∴、，∴，
∴，∴在内单调递增，∴，
∴，∴，∴， 11分
综上所述，。 12分
22．（本小题满分分）已知函数（）。
（1）讨论函数在上的单调性；
（2）若时，方程有两个不等实根、，求证：。
【解析】（1）的定义域为，，∵，∴， 1分
当时，，，∴在上单调递减， 2分
当时，令，解得，
当时，，当时，，∴在上单调递增，
当时，，当时，，∴在上单调递减，
当时，，∴在上单调递增； 4分
（2）证明：方程，即，即， 5分
令（），则，∴函数在上单调递增， 6分
∵方程有两个实根、，
令、，则关于的方程也有两个实根、，且，
要证，即证，即证，即证， 8分
由已知，∴，整理得，
设，即证，即证， 10分
令，即证，其中，
构造函数，定义域为，，
∴函数在上单调递增，当时，，∴原不等式成立。 12分辽宁省部分重点中学协作体2023-2024学年高三上学期第三次月考数学模拟卷D
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合、集合，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
2．已知复数满足：，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
3．已知函数的图像如图所示，则的解析式可能是（ ）。
A、 B、
C、 D、
4．在中，内角、、所对的边分别为、、，已知的面积为，，，则
（ ）。
A、 B、 C、 D、
5．已知函数为奇函数，且，若，则数列的前项和为（ ）。
A、 B、 C、 D、
6．在中，，，为所在平面内一动点，则的最小值为（ ）。
A、 B、 C、 D、
7．恰有一个实数使得成立，则实数的取值范围为（ ）。
A、 B、 C、 D、
8．已知正三棱台的上、下底面边长分别为和，侧棱长为，以下底面顶点为球心，为半径的球面与侧面的交线长为（ ）。
A、 B、 C、 D、
二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，有选错的得分，部分选对的得分。
9．已知角的顶角与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，将角的终边顺时针旋转得到角，则下列结论正确的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
10．已知平面向量、是两个夹角为的单位向量，且与垂直，则下列说法正确的是（ ）。
A、若，则与方向相同的单位向量为
B、若，则在上的投影向量为
C、若，则与方向相同的单位向量为
D、若，则在上的夹角的余弦值为
11．地球环境科学亚欧合作组织在某地举办地球环境科学峰会，为表彰为保护地球环境做出卓越贡献的地球科研卫士，会议组织方特别制作了富有地球寓意的精美奖杯，奖杯主体由一个铜球和一个三足托盘组成，如图①，已知球的表面积为，底座由边长为的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠成直二面角所得，如图②，则下列结论正确的是（ ）。
A、直线与平面所成的角为
B、底座多面体的体积为
C、平面平面
D、球离球托底面的最小距离为
12．定义在上的函数和，其导函数分别为和，若、、
，，则下列结论正确的是（ ）。
A、函数是奇函数
B、函数的图像关于点中心对称
C、函数的周期为
D、
三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。
13．已知非零向量、，若，则 。
14．函数的图像与函数的图像在上有交点的横坐标之和为 。
15．已知在中，内角、、所对的边分别为、、，若，为边上一点，，且
，则的面积为 。
16．对正整数，函数是小于或等于的正整数中与互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，故被称为欧拉函数。根据欧拉函数的概念，可得 ，数列的前项和 。（本小题第一个空2分，第二个空3分）
四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分分）在中，角、、的对边分别为、、，且
。
（1）求；
（2）若的周长为，面积为，求。
18．（本小题满分分）如图所示的空间几何体为一个正四棱柱被两个平面与所截后剩余部分，且满足：
，，。
（1）当多长时，，证明你的结论；
（2）当时，求平面与平面所成角的余弦值。
19．（本小题满分分）已知各项都为正数的等比数列的前项和为，且、，数列满足：
，。
（1）求、的通项公式；
（2）求数列的前项和。
20．（本小题满分分）已知函数。
（1）若，，求函数的图像的对称轴；
（2）已知，函数的图像向右平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，当时，方程恰有三个不相等的实数根、、（），求实数的取值范围以及的值。
21．（本小题满分分）在中，角、、所对的边分别为、、，已知。
（1）求的值；
（2）证明：。
22．（本小题满分分）已知函数（）。
（1）讨论函数在上的单调性；
（2）若时，方程有两个不等实根、，求证：。
